現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む80

2020/01/04(土) 07:36:52.24

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定お断り
例：サイコパスのピエロ＝数学おサル（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾；）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾；）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

2020/01/04(土) 23:42:17.74

スレ79 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/961 より
>>961 補足

どうも、スレ主です
あなた無限数列のシッポの同値類、これ”概念”として理解できないようだね
私は、過去スレでも同じ説明をしたと思うが
（あなたの来る前だったかもしれんが）
再度説明しよう

(まず >>961より引用開始)
数列の尻尾の同値類なんだから
その同値類に属する数列が
s1,s2,s3,・・・
とあれば、みな同じシッポなんでしょ？
それって、ほとんど同値類の定義じゃね？ｗ（＾＾
無限長の数列だから、シッポは無限の先になるけどｗ
(引用終り)

以下説明
１）
時枝の可算無限長の数列のシッポの同値類は（下記の時枝記事ご参照）
形式的冪級数（無限級数）と多項式（有限級数）との関係と見ることができる！！
（この説明は、”できる”数学科生なら理解可能だろうが、”落ちこぼれ”のあなたには理解できないかも知れない（＾＾）

２）
時枝記事（下記）の数列で
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，
から、下記形式的冪級数Fpができる。つまり
Fp＝s1X+s2X^2+s3X^3+・・・となる
さて、（時枝記事にある）番号n0から先のしっぽが一致する数列でも
s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )から形式的冪級数Fp'ができる
Fp'＝s'1X+s'2X^2+s'3X^3+・・・となる
なお、Fp,Fp' ∈R[[X]] (形式的冪級数環) である（念押し）

つづく

2020/01/04(土) 23:45:20.83

>>21
つづき

３）
同値類内の
2つの形式的冪級数の差 Fp-Fp'を作ると、nから先が一致するから
Fp-Fp'＝(s1-s'1)x+(s2-s'2)x^2+(s3-s'3)x^3・・・+0X^n0+0X^(n0+1)+・・・
（シッポの「+0X^n0+0X^(n0+1)+・・・」の部分は、n0次以上の項から係数が0になる意味です。なお、それ以前の係数は0ではない）
つまり、p'=Fp-Fp' で、p'∈R[X] （多項式環）で、n0-1次多項式です
上記の式を変形して、Fpと同じ同値類の任意の元Fp'は
Fp'=Fp-p' と書ける
つまり、任意のFp'は、Fpから多項式 p'を引いたものになる
多項式 p'は、下記のwikipedia 多項式環の定義の通り
”多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零である”です
（なお、R[X] は環だから、任意の和と積の２項演算で閉じているので、R[X]に含まれる多項式の次数nには、上限は無いことを注意しておこう）
そして、p'がR[X] の全てを渡ることで、Fpの同値類が尽くされることにも、注意しておこう

４）
いま、簡単のために、Fpの係数、即ち数列 s = (s1，s2，s3 ，・・・）の各数ｓｎたちはどれも0ではないとする。こうしても、一般性は失わなれない
つまり、Fp not∈R[X] かつ Fp ∈R[[X]] ということです
これで、上記の多項式p'が多項式環R[X] の全てを渡っても
必ず Fp'=Fp-p' ≠0 (つまり、Fp'の係数が全て0になることはないということ）
もっと言えば、シッポの先に、係数で0にならない部分が、必ず残るということ

つづく

2020/01/04(土) 23:47:03.65

>>22
つづき

５）
このシッポの先に残る係数で0にならない部分は、多項式環R[X] からはみ出す部分です
この多項式環R[X] からはみ出す部分があるから、同値類内の任意の形式的冪級数においては、”Fp'=Fp-p' not∈R[X] ”となります
この多項式環R[X] からはみ出すシッポの部分は、任意の同値類内の形式的冪級数Fp'=Fp-p'が、必ず持っているシッポです
この多項式環R[X] からはみ出すシッポの部分は、決して空集合にはなりえない。∵ 空集合なら、Fp∈R[X] で矛盾です
この多項式環R[X] からはみ出すシッポの部分は、常に可算無限長の数列を成します。∵ ∞－(ｎ0-1)＝∞だから。つまり、列の長さで、無限大の長さの数列で先頭の有限ｎ0-1個の数を除いても、必ず∞の長さの列が残るからです。
QED

お分かりかな？
これ、”できる”数学科生なら理解可能だろうが、”落ちこぼれ”のあなたには理解できないかも知れないねぇ（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σn=0～∞ a_nX^n=a_0+a_1X+a_2X^2+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n >= m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

つづく

2020/01/04(土) 23:48:07.13

>>23
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
総和の記号
を使えば、同じ多項式は
p=p_mX^m+p_m-1X^m-1+・・・ +p_1X+p_0=Σk=0～m p_kX^k
と簡潔な形に書くことができる。この総和の範囲はよく省略されて、 p=Σk p_kX^k のように書くこともある。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。

過去スレ20 時枝再録 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/2-7
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.

　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/～の切断を選んだことになる.
(引用終り)
以上

2020/01/05(日) 00:01:08.55

>>22 タイポ訂正

2つの形式的冪級数の差 Fp-Fp'を作ると、nから先が一致するから
　↓
2つの形式的冪級数の差 Fp-Fp'を作ると、n0から先が一致するから

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