>>161
どうも。スレ主です。

１．形式的冪級数は、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。（下記ご参照）
２．しかし、特殊ケースで、「代入」が意味を持つ
３．例えば、
　　形式的冪級数 Σn=0〜∞ anX^n=a0+a1X+a2X^2+・・・を、十進小数にしてみよう
４．X＝1/10を代入し、係数an には0から9までの整数を入れる
　　例えば、a0=3, a1=1, a2=4, a3=1, a4=5, a5=9・・・
５．それは 3+ 1/10+ 4/10^2+ 1/10^3+ 5/10^4+ 9/10^5・・・
　　であって、3.14159・・・と円周率πを表わすことができる
６．この例において、多項式なら、あるanより後の係数 例えば、n=3から後を0と考えることができる
　　a0=3, a1=1, a2=4, a3=0, a4=0, a5=0・・・
　　である
７．これは、多項式p(X)＝a0+a1X+a2X^2 を表わす
　　X=1/10を代入して、p(1/10)＝3+1/10+4/10^2＝3.14となる
８．繰返すが、下記にあるように
　　多項式は、無限の項を持つ形式的冪級数の特殊なものと捉えることができる
　　即ち、”つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零である” 形式的冪級数と考えれば良いのだ
９．そうすれば、”多項式環 ⊂ 形式的冪級数環 ”と理解することができるのだ
１０．なお、多項式”環”として、環を強調していることには意味があって、
　　多項式自身は有限ｎ次の式ではあるけれども
　　”環”であるから、ｍ次式とｎ次式との積はｍｎ次式となり、それは”環”要素の「多項式の次数に上限が無い」ことを意味する
　　つまり、「多項式の次数に上限が無い」ことを強調するために、多項式”環”として強調しているのだった

以上

(>>23より)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。

つづく