0152現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
2020/01/07(火) 16:19:54.33ID:xZrnD9VN(引用開始)
哀れな素人さん(下記スレ)
”現代数学はインチキのデパートである。たとえば
0.99999……=1。”
(引用終り)
これ面白いから、これを使わてもらう(^^
1.(繰り返すが)時枝と同様の無限列のシッポの同値類の ミニモデル として、
十進無限小数を考えてみよう
2.簡単のために、整数部は1桁の実数を考える。この集合をR1とする
その上で、例えば、円周率πの同値類をRπとすると
π=3.14 1592・・・に対して、π'=4.25 1592・・・として
π〜π'(同値)だ
3.さて、
4.25の部分は、有限小数だ
そこで、整数部は1桁の有限小数の集合をUとしよう
4.π'=4.25 1592・・・とπ=3.14 1592・・・との差Δを考える
Δ=π'−π=4.25 1592・・・−3.14 1592・・・=1.11となる
つまり
π'=π+1.11=π+Δ
ここにΔ∈U(有限小数の集合)
記号の濫用で
同値類 Rπ=π+U と書ける
(ここに"+"は、無限小数の先頭部分に各有限小数を加える意味)
つまり、任意の同値類Rrは、代表の無限小数rに対して、同値類 Rr=r+Uと表現できる
(自明だが、Δ=0なら、r'=r+Δ=rとなる。また、Δが有限小数である限り”r'〜r”成立。この逆も成立。)
5.従って、上記5項より、無限小数のシッポの同値類Rrの任意の元r'は、代表rと同じ無限長のシッポを持つことが示せた
6.さて、有限小数U を、多項式環と同様に、先頭のある有限部分を除いて、そのシッポが全て0の無限小数を定義することができる
そうすると、有限小数Uは、R1中で、代表0=0.000・・・なる無限小数の同値類と見ることができる
7.これは、形式的冪級数環における 級数の先頭が有限長である 多項式環のアナロジーである
以上
繰り返すが、上記は時枝の無限列のシッポの同値類のミニモデルである
もし、時枝の議論が分からなくなれば、このミニモデルに戻ることをお薦めする(^^