数学オリンピックの対策あげてけ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 20:01:22.73

ハッと目覚める確率

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 20:16:36.47

>>1の意味は分からないが、僕は青チャートぐらいの高校数学やったあと過去問でいこうと思ってます

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/18(金) 20:36:41.45

>>2
青チャから過去問いける？
解説意味わからんのだが

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 13:25:39.85

俺含めバカしかいなくて草

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/19(土) 17:15:40.97

>>3
分野別に問題のせてる参考書あるから得意分野からならまあまあ解ける

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/22(火) 22:35:18.65

>>1　合宿でおねしょをしないようにね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 10:52:13.83

合宿のおねしょの対策としては、
あまり水分を取らないとか
夜中に起きてトイレに行くために、スマホやケータイをセットするなどがあるけど、

せっかくの合宿なんだし食事はしっかり取って
朝までぐっすり眠ってベストコンディションで問題に挑みたいですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 10:55:38.89

おススメしたいのは
手ぬぐいやタオルで、ふんどしを作って下着にすること

合宿で朝パンツを洗って、パンツを干すのって恥ずかしいじゃないですか？？
でも、手ぬぐいで作ったふんどしなら
朝に洗面所で洗ってても違和感全くなしですよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/26(土) 11:00:17.60

数学オリンピックは、単に頭の良さを競うだけでなくて
異文化と交わる・日本文化を紹介するのも大事でしょう、

女性の間でもけっこう評判らしいです、自作のふんどし
蒸れないし、パンツのゴムの変な締め付けがないと。
それと下着ドロボーに狙われないという意外な長所がありますね、ふんどし。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/10(日) 13:37:16.06

漫画の「聖おにいさん」のラーフラみたいに
トイレで眠るのもおススメです、おねしょの対策。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/20(水) 21:35:05.12

さくらさん
ずばりアナニーでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 10:26:07.40

アランチューリングみたいに、男の恋人がいた方がいいのか？
お前のパンツは俺が洗ってやるぜ・・・とか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/11(月) 12:27:53.62

〔問題1〕
次の式の値を計算し、整数値で答えよ。
　√{(11^4 + 100^4 + 111^4)/2}

・JMO-2016 予選
・どちゃ楽数学bot
　//www.twitter.com/solove_math/ Q.157 ☆2
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/12(火) 08:40:08.50

〔ヘロンの公式〕
辺長 a,b,c の三角形の面積を S とする。
16SS =（a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
　　=（aa+bb+cc)^2 - 2(a^4+b^4+c^4),

-a+b+c=0, a-b+c=0, または a+b-c=0 のとき
三角形が潰れて S=0 だから
　√{(a^4+b^4+c^4)/2｝=（aa+bb+cc)/2,

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/27(水) 17:13:40.91

〔問題3〕
　p/q - 4/(r+1）= 1　をみたす素数 p,q,r をすべて求めよ。

Find all prime numbers p,q,r, such that p/q - 4/(r+1）= 1.
　JBMO-2008 A3.

http://www.youtube.com/watch?v=Ci4GrEoNxjI 17:44
【数学実況#42】JBMO素数　by　AKITO

http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/27(水) 17:44:34.28

　JBMO はバルカンMO（BMO）のジュニア版らしい。

http://global.olympiadsuccess.com/junior-balkan-mathematical-olympiad
http://www.massee-org.eu/index.php/mathematical/jbmo

17th　JBMO-2013　トルコ
18th　JBMO-2014　マケドニア (Ohrid)
19th　JBMO-2015　セルビア (Belgrade)
20th　JBMO-2016　ルーマニア (City of Slatina)
21st　JBMO-2017　ブルガリア (City of Varna)
22nd　JBMO-2018　ギリシャ (Rhodes island)
23rd　JBMO-2019　キプロス
24th　JBMO-2020　？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/30(土) 19:25:00.71

[例9-3] 改
　次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、かつどの絶対
値も100万を超えないものが存在することを示せ。
　　｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),

[第2章．274-276]
秋山仁 + ピーター・フランクル共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)

注）鳩ノ巣原理では解けません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/01(月) 03:31:34.86

97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4)　････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5)　････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.139967594×10^(-5)　････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6)　････ (5)

*　3.35288････×10^(-13）まではあるらしい｡

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/08(月) 03:17:58.78

38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/08(月) 04:31:39.44

97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28,　････ (3)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/09(火) 10:29:26.59

38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9)　　････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10)　　････ (7)

(4)×2 - (5)×7
　-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7)　　････ (8)

(6)×4 - (3)
　153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12)　　････ (9)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 07:37:39.65

〔問題4〕
4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cを求めよ。

IMO-1975 (ブルガリア大会)

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/15(月) 07:40:00.67

N=4444^4444　とする。このとき
　log(N) = 4444 log(4444) = 16210.707879
であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。
また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、
　A ≦ 16211×9 = 145899
となる。
同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54
（=6×9）以下ということになり、B≦54 である。
54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その
値は13である。よって C≦13 である。
　一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。　A=72601
これより
　B = 7+2+6+0+1 = 16,
　C = 1+6 = 7,

「［完全攻略］数学オリンピック」(1991)　p.70-71

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/24(水) 04:57:19.50

〔問題〕
8^1000 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cの各桁に現れる数の和をDとする。
A,B,C,D を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/30(火) 06:44:39.96

空間[5]
　空間の点全体を5色すべてを使って勝手に塗る。
このとき、この空間内に少なくとも4色（異なる4色で塗られた4点）
を含む平面が存在することを示せ。

秋山仁＋ピーター・フランクル共著
「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991)　p.99

**１３２人目の素数さん** · 2020/06/30(火) 06:47:49.68

「2直線ABとCDが同一平面上にない場合」に補足。
平面πと直線CD とが平行ならば、交わらない。
点Pを通ってCDに平行な直線Lをひく。
直線L は平面πに含まれる。また
L // CD はABと平行でないから、ABと交わる。
その交点Qは色a,bのどちらかで塗られている。
CDPQは同一平面上にあり、4色を含む。（終）

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/01(水) 03:25:35.97

数列[1]
　数列{a_n} を次のように定める。
　a_1 = 1,
　n≧1 のとき a_{n+1} = a_n + 1/a_n,
このとき次を示せ。
　(1)　2≦m のとき　(a_m)^2 ≧ 2m,
　(2)　m≦100 のとき　(a_m)^2 < 2m + (H_{m-1} -1)/2 < 2(m+2),
　(3)　2≦m≦100 のとき　(a_m)^2 > 2m + (H_{m+1} -11/6)/2,
　(4)　14.20 < a_100 < 14.22
　　　ただし調和級数は H_99 = 5.1774　H_101 = 5.1973 とせよ。
　　　　　(1990年国内大会予選-改)

「［完全攻略］数学オリンピック」(1991)　p.107

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/01(水) 11:50:31.39

(1)
(a_{n+1})^2 = (a_n)^2 + 2 + 1/(a_n)^2,

これを n=2,3,････,m-1 でたすと

(a_m)^2 = (a_2)^2 + 2(m-2) + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2
　　= 2m + Σ[n=2,m-1] 1/(a_n)^2,
　　≧ 2m,

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/01(水) 19:35:31.28

>>24

A = 3871
B = 19
C = 10
D = 1

桁, 数字の和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
下１～ 100, 476, 9, 13, 11, 9, 4, 9, 4, 15, 10, 16,
101～ 200, 402 , 17, 9, 14, 9, 7, 4, 14, 10, 8, 8,
201～ 300, 385, 14, 12, 10, 12, 13, 9, 7, 11, 7, 5,
301～ 400, 398, 16, 13, 11, 5, 8, 15, 9, 3, 14, 6,
401～ 500, 463, 8, 9, 10, 8, 16, 8, 7, 15, 12, 7,
501～ 600, 429, 15, 6, 9, 16, 11, 5, 8, 9, 12, 9,
601～ 700, 455, 11, 9, 6, 11, 12, 9, 13, 11, 9, 9,
701～ 800, 410, 11, 9, 15, 13, 10, 11, 8, 2, 14, 7,
801～ 900, 447, 8, 15, 8, 10, 6, 11, 12, 12, 11, 7,
901～ 904, 6, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
計, A=3871, 110, 96, 95, 94, 87, 81, 82, 88, 97, 74,

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 07:30:12.41

>>17
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
　a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 08:23:46.36

〔Zsigmondy の定理〕に関連する問題

<<Problem 3>>
Prove that the sequences a_n = 3^n - 2^n contains no three numbers in geometric progression.
〔問題3〕
数列 a_n = 3^n - 2^n は等比数列となる3項を含まないことを示せ。
　(1994年 Romania 第1回TST)

<<Problem>>
Find all triplets of positive integers (a,m,n)
　such that (a^m)+1 divides (a+1)^n.
　　　　　　　　　　(IMO-2000 SLP）
〔問題〕
(a^m)+1 が (a+1)^n を割り切るような正の整数の3つ組(a,m,n)をすべて求めよ。
　(→ 和のZsigmondy の定理)

〔第2問〕
正の整数の組 (a,n,p,q,r) であって、等式
　a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1)
を満たすものをすべて求めよ。　(JMO-2011 本選)

http://science-log.com/数学/number-theory-の話題（zsigmondys-theorem）/

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 14:01:07.21

〔Question 4〕
Determine all x,y∈Z　such that
　1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.
　　　　　　　　(IMO-2006, Q.4)

　(2^x){1+2^(x+1)} = (y+1)(y-1)　を使う。
http://www.youtube.com/watch?v=wviiZlYRaGE 05:52

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/11(土) 14:02:58.37

1 + 2^x + 2^(2x) = y^2 - 2^(2x) = (y-2^x)(y+2^x),
を使うとどうなるか？

・xが偶数のとき
　t = 2^(x/2) >0　とおく。
　1 + t^2 + t^4 = (1+t+t^2)(1-t+t^2),
　y^2 - t^4 = (y+t^2)(y-t^2),
よって
　y + t^2 = 1+t+t^2,
　y - t^2 = 1-t+t^2,
辺々引いて
　0 = 2t(1-t),
∴　t=1,　x=0,　y=±2.

・xが4の倍数のとき
　t = 2^(x/4) >0　とおく。
　1 + t^4 + t^8 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2)(1+t+t^2),
　y^2 - t^8 = (y+t^4)(y-t^4),
よって
　y + t^4 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2),
　y - t^4 = 1+t+t^2,
辺々引いて
　0 = -2t - t^2 + t^3 - 2t^4 - t^5 + t^6
　　= -t(1+t)(2-t)(1+t^3)
∴　t=2,　x=4,　y=±23.

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 16:05:21.92

バルカンMOから

〔問題3.10〕
三角形ABCの外心をOとし、重心をGとする。
Rとrをそれぞれ三角形の外接円および内接円の半径とする。
このとき OG ≦ √{R(R-2r)} を証明せよ。
　バルカンMO-1996

〔問題3.28〕
ABCを鋭角三角形とし、L,M,N をABCの重心Gから
それぞれ辺BC, CA, AB へ下ろした垂線の足とする。
このとき次を証明せよ。
　4/27 < (LMN)/(ABC) < 1/4,
　バルカンMO-1999

〔問題3.51〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　aa + bb + cc ≧ ab + bc + ca ≧ √{3abc(a+b+c)}.
　バルカンMO-2001

〔問題3.58〕
正の実数 a,b,c に対して次を証明せよ。
　2/(b(a+b)) + 2/(c(b+c)) + 2/(a(c+a)) ≧ 9/(ab+bc+ca) ≧ 27/(a+b+c)^2.
　バルカンMO-2002

〔問題3.93〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　1/(a(b+1)) + 1/(b(c+1)) + 1/(c(a+1)) ≧ 3/(g(g+1)) ≧ 3/(1+abc),
　g = (abc)^(1/3).
　バルカンMO-2006,　Inequalitybot [77]

佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　p.127,　p.130　p.134　p.135　p.141

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/23(木) 16:43:25.08

〔問題3.51〕
左側は AM-GM で。
右側
　(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)
　= (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx)
　≧ 0,

〔問題3.58〕
左側
　Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積)　　　(チェビシェフ) により
　(左辺) ≧ 2/(c(a+b)) + 2/(a(b+c)) + 2/(b(c+a))
　≧ 2･9/{c(a+b) + a(b+c) + b(c+a)}　　　(AM-HM)
　≧ 9/(ab+bc+ca),
右側は AM-GM で。

〔問題3.93〕
左側は
　(abc+1)/(a(b+1)) = b(c+1)/(b+1) -1 + (a+1)/(a(b+1)),
巡回的にたして AM-GM する。
　(g^3 + 1)(左辺) ≧ g -1 +1/g = (gg-g+1)/g,
　g^3 + 1 > 0 で割って
　(左辺) ≧ 1/(g(g+1)),
右側は
　(g^3 +1) - g(g+1) = (g+1)(g-1)^2 ≧ 0,

佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　p.127,　p.130　p.134　p.135　p.141

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/25(土) 01:22:57.94

>>21
(3)×1372 - (2)
　-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9)　････ (10)
また
　-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6)　････ (11)
(5) - (11)×2
　789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　････ (12)
(11) - (3)×79
　1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(10)×3 + (7)×50
　-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8)　････ (13)
(13) - (3)
　-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9)　････ (14)
(13) - (14)×15
　269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12)　････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
　249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12)　････ (16)
(16) - (9)
　96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13)　････ (17)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 08:17:32.31

>>34
バルカン半島はかつて「ヨーロッパの火薬庫」と呼ばれたが、
今はイスラエル（エルサレム）やレバノン（ベイルート）の辺りだろうな。
　(硝酸アンモニウム：2750トン)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 13:05:03.71

>>17
　次の不等式をみたす整数 a,b,c で、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
　｜a + b√2 + c√3｜< 1/n^2,

( 面白スレ３４-995 )

例)
n=10　　　0.339978835200 /n^2,　(a, b, c) = (-3, -4, 5)
n=10^2　　0.520711297654 /n^2,　(-1, 35, -28)
　…　…
n=10^6　　0.335288234411 /n^2,　(96051, -616920, 448258)
n=10^7　　0.617825865545 /n^2,　(2425305, 2250206, -3237536)
n=10^8　　0.594330503906 /n^2,　(54823746, 25581379, -52539613)
n=10^9　　0.466099494288 /n^2,　(-116906393, -23832207, 86954853)
n=10^10　　0.600393045602 /n^2,　(-2133560879, -933735484, 1994203778)
　(注：鳩ノ巣原理では解けません)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 15:41:57.54

n=10^3　　0.03795765927 /n^2,　(-28, 495, -388)
n=10^4　　0.8889085512745 /n^2,　(817, 5753, -5169)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 10:48:32.67

n=1　　　　0.317837245196　(0, -1, 1)
n=2　　　　0.049888052765　(-2, -1, 2)
n=3,4　　　0.046488264413　(1, 3, -3)
n=5～17　　0.003399788352　(-3, -4, 5)
n=11～15 　0.004128746211　(11, -9, 1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 03:57:40.37

n=14～37　　0.000728958　(14, -5, -4)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 15:37:59.01

2項だと無理っぽいけど、3項なら可能(？)
　|a'|, |a"|, |b|, |c| ≦ n　とする。

リウヴィルの定理(1844)
　|a' + b√2| > k(√2)/b > k(√2)/n,
　|a" + c√3| > k(√3)/c > k(√3)/n,

　k(√2) = 2(√2 -1)^2 = 0.34314575
　k(√3) = (1/2)(√3 -1)^2 = 0.2679492

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/18(木) 20:02:17.19

>>38
n=10^5　　0.9710681853653 /n^2,　　(17841, 11305, -19531)

(略解)
　 -28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8)　　　　････ (3)
　 789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8)　　････ (12)
(3)×21 - (12)×17
　-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10)　････ (18)

　1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10)　････ (7)
(7)×2 - (18)
　17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/09(月) 00:21:03.80

オリンピックの結果

TOKYO-2020　3位 (金 27, 銀 14, 銅 17)　…　過去最高らしい

http://olympics.com/tokyo-2020/ja/
http://sports.nhk.or.jp/olympic/
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2020/

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/02(日) 20:42:50.58

組み合わせの分野はどう勉強すればいいでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/12(日) 09:01:23.03

x²

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/04(火) 13:05:08.51

>>45
数学セミナーで吉永正彦の連載を読む

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/14(火) 08:07:43.66

3/2-4/(7+1)=1
5/3-4/(5+1)=1
7/3-4/(2+1)=1