問題文一行の超難問を出し合うスレ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 17:15:45.50

出来る限り問題文を短くしたシンプルかつ難しい数学の問題を出していってください
分野は何でもok

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 09:25:08.93

プログラムとか組めないんですか？全列挙でやるとしてもそれぞれの結果をここに書く意味が全くないと思うんですが

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 10:01:26.93

1枚の正方形の紙を縦に半分に折り、3本の線を引いて、その線に沿って切り分ける。可能な枚数は何通りか？ただし、線とは直線または線分のこととする。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/16(月) 11:48:20.80

前>>389
>>391なんとはなしに切ったら12通りやが、うまいこと切ったら13通りは可能。つまり三本の切り線の1つが谷折りで折り返してしまうと1エリアロスるから。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 12:11:46.94

切らないという選択肢はないやろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 12:32:34.44

あるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 12:52:40.24

切った結果ならば1枚から13枚までの13通りあるが、1枚では切れ込みを入れただけで"切り分ける"という条件を満たしていないので12通り(アスペ)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 14:10:31.30

>>376
正解
(1,1,1)に直交する平面 x+y+z=0の中で考えるのがよい
(1,1,-2),(1,-2,1)のなす角は2π/3だが補角をとってπ/3

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 14:15:25.25

切らないという選択肢があるんだかないんだかは正直どっちでもいいや。
最大の方は13で終わり？
だったらなにそれって感じなんだけど。
実は14あったりする？
あるいは抜け番があるとか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/16(月) 17:18:19.90

前>>392
>>396ちょちょ、まってぇな。
π/3が正解やったら60°も正解やろ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 17:23:12.03

cos((n-1)/(2n+1))πが有理数となるような2以上の自然数nは存在するか

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 20:20:02.31

4のみ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/16(月) 21:37:04.95

前>>398
π/3やで正解やね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/16(月) 22:03:39.38

>>398
解法が滅茶苦茶。
座標軸に平行に置いたいかなる立方体の表面にも所望の二面角をつくる二直線は現れない。

この2つの平面は空間を4つに分けるが、
君は120°の側に変な向きで置いた二直線を計測してたまたま60°を得たにすぎない。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/17(火) 04:26:41.38

前>>401
再確認したが>>373は>>381であってる。完解だ。たまたまじゃない。ルービックキューブが模造品でなければ、だれがやってもかならず60°になる。具体的に色で示す。
xyz空間におけるx=y,x=zとは、正対したルービックキューブ(配色の関係上、付きに限る)の白面を上、赤面を手前すなわち緑面を右に置いたときの、
オレンジ面(xy面)を斜め下すなわち原点(オレンジ黄青のコーナーキューブのコーナー)から、オレンジ緑白のコーナーキューブのコーナーに向けて切った直線(x=y)と、
青面(xz面)を原点から青赤緑のコーナーキューブのコーナーに向けて切った直線(x=z)であり、
原点とそれぞれの端点(コーナーキューブで言うとオレンジ緑白と青緑赤)を結ぶとおのずと正三角形になる。
つまり内角は60°である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 08:28:02.19

全ての素数の積は偶数？奇数？どちらでもない？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/17(火) 08:33:56.10

前>>403
>>404偶数。∵かならず2で割れるから。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 09:12:43.54

>>404
①
2(3*5*7*11*…) ←偶数なので答えは偶数

②
(3*5*7*11*…) ←奇数
+2(5*7*11*13*…) ←偶数
+4(7*11*13*17*…) ←偶数
… ←以降偶数なので答えは奇数

①と②どちらが正しいか？
全ての素数の積なる値Pnが存在した場合、それが偶数だと1を足す事で新たな素数が作られ矛盾する
奇数ならばそこに2k-1を足しても偶数となり、2kを足してもPnと2kが共に2を素因数に持つため新たな素数は作られない
よって全ての素数の積の存在を認めるならばそれは2を素因数に持つ奇数でなければならない

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/17(火) 23:57:54.33

>>403
＞xyz空間におけるx=y,x=zとは、……直線(x=y)と、……直線(x=z)であり

xyz空間において x=y, x=z はどちらも平面を表す。直線じゃない。
それを理解してから二面角の定義を調べてこい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/18(水) 05:49:33.19

前>>405
>>407x=y,x=zはともに平面か。たまたま60°になっただけか。
平面x=yの法線ベクトル(-1,1,0)と、
平面x=zの法線ベクトル(-1,0,1)のなす角は、
どうしたら60°と示せるか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 08:25:01.03

1,2,3,4,6,7,8,9の全ての数字を使い、1,2,3,4,6,7,8,9のどの数でも割り切れる8桁以上の数を作る。同じ数字を何度も使ってよい。最小の数を答えよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 11:36:01.60

a=1123474968は条件をみたす。
112346789≡4(mod 9)なのでmod9で5に合同な数を追加する必要がある。
5はないので最低2文字で最低10桁。
加える2数が14でない限り上5桁は11234より大きくなるのでaより小さくなることはない。
以下加える2数は14で上5桁は11234としてよい。
万の位が4のとき4の倍数になるには下2桁は68,76,96。
さらに8の倍数になり得るのは47968,49768,48976,47896のみだがいずれもできる10桁の数は7の倍数でない。
万の位が6のとき4の倍数になるには下2桁は48,84だがこれらの時100の位が奇数となって8の倍数になることはない。
よって上6桁は112347としてよい。
4の倍数になるために下2桁は64,84,96,48,68。
8の倍数になるために9864,9684,4896,8496,9648,4968に絞られるが4968がこの中で最小だから1123474968が求める最小値である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 11:38:32.36

7, 8, 9で割り切れるならば1, 2, 3, 4, 6でも割り切れるので求める値は504の倍数である事が分かる
条件を満たす最小の数は
11111184

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 11:39:02.73

全ての数字かよまた見落とした

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 11:53:44.65

>>409
1123449768

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/18(水) 12:23:42.20

ありゃ？1123449768は7で割り切れる？
電卓叩き損なったw

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2019/12/18(水) 14:03:24.57

10450944

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2019/12/18(水) 14:08:05.66

俺も見落としとった。スルーしてくれ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/18(水) 15:46:02.56

前>>408
正解をよく見たら、平面のなす角を法線ベクトルのなす角に置き換えただけで、とくに証明がなされたわけじゃなく、ルービックキューブ眺めてたら平面のなす角は60°だとわかったのと大差なかった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 00:17:22.76

∫［0,1］｜x＾2+ax +b｜dxが最小となる実数a,bの値を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 00:46:10.55

まず∫[p-1/2,p+1/2]|x^2-q|dxが最小となるp,qについて考える。
max{p,q}→∞のとき積分は∞に発散するから極小値が最小値である。
極小となるのははみ出しキリの考察によりp=0,q=1/16のとき最小である。
本問に適用して放物線の頂点が(1/2,-1/16)に来るときであり
-a/2=1/2, -(a^2-4b)4=-1/16
のときであるからa=-1,b=3/16のときである。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 06:20:33.71

1から9までの自然数を1回ずつ使って、n/mの形の分数を作る。円周率に一番近いものは何か？
例、15632/4978=3.1402169546002410

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/19(木) 08:20:57.17

これはちょっといくらなんでもくだらなすぎない？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/19(木) 10:18:19.84

前>>417
>>373
平面x=yの法線ベクトル(-1,1,0)と、平面x=zの法線ベクトル(-1,0,1)の内積から、平面のなす角θを求める。
cosθ=(1+0+0)(1/√2)^2
=1/2
∴θ=60°
ちゃんと計算して出した解答が出てなかったから。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 01:13:35.87

333/106=3.14150943‥は分母が106以下の近似分数の中で最良である事を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 02:12:08.67

1215
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 04:05:34.09

計算機回したら終了する問題よろしくないなあ、そんなんもう競プロじゃん
総当り通用しない、数学の問題として面白い問題出してくれよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 06:47:08.45

数学の問題において、(問題文の短さ)/(問題の難易度)の最小値を求めよ.

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 08:37:13.15

a～iは1～9の異なる数とする。不等式a＜b＞c＜d＞e＜f＞g＜h＞iをみたすものは何通りあるか

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 08:47:56.44

>>423は答えだけ出すならもちろん計算機回しておしまいだけど、もちろんそれなりな背景はあるよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 08:55:55.54

>>428少し改題して
正の無理数αの正規連分数の打ち切り近似をp/q<α<r/sとするときp/q,r/sのαに近い方は分母がmax{q,s}以下の分数による近似全体の中で最良である事を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/20(金) 09:21:49.42

>>427
奇数nに対して1～nをx1<x2>x3<‥と並べる場合の数をanとする。
a1=1
a3=C[2,1]a1a1=2
a5=C[4,1]a1a3+C[4,3]a3a1=8
a7=C[6,1]a1a5+C[6,3]a3a3+C[6,5]a5a1=176
a9=C[8,1]a1a7+C[8,3]a3a5+C[8,5]a5a3+C[8,7]a7a1=4608

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/21(土) 16:29:20.90

lim[n→∞]a_n = 2020のとき、lim[n→∞](a_1 + a_2 + … + a_n)/n = 2020であることをを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/21(土) 23:12:29.32

ε>0をとる。
n>N についてan<2020+εとしてよい。
Σai/n<Σ[i≦N](ai+(2020+ε)(n-N)/n
より両辺のlimsupをとって
limsupΣai/n≦2020+ε。
εは任意だったからlimsupΣai/n≦2020。
liminfについても同様。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/22(日) 06:11:59.18

各位の数の和が2019になる自然数の個数と2020になる自然数の個数の差はいくつか

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/22(日) 06:37:58.98

∞-∞になるやん？
自分で答え出してから出さんとダメだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/24(火) 21:28:14.10

i^iの値を求めよ。ただし、iは虚数単位とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 00:40:27.98

i^i
=exp(i log i)
=exp(i (log|i| + i arg i)
=exp(- (π/2+2πn))

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 03:23:41.89

(1+π/(99!))^((100!)*i)を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 08:33:20.11

iどっか抜けてない？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/25(水) 08:37:24.03

前>>422
>>437
(1+π/(99!))^((100!)*i)=1

おもしろくない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 09:21:23.03

>>437
(1+π/(99!))^((100!)*i)

lim(1+x/n)^n=exp(x)

により

(1+π/(99!))^((100!)*i)
= (1+100πi/(100!)i)^((100!)*i)

はexp(100πi)=1に極めて近い値にはなるだろうけどピッタリ1にはならん。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 12:06:49.94

>>439
>>440
思いっ切り勘違いしてるやんけ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 13:19:00.39

>>441
勘違い？
まともにやっても
(1+π/(99!))^((100!)i)
=exp( (100!)i log (1+π/(99!))
=cos (100π (n/π) log (1+π/n))
. +i sin (100π (n/π) log (1+π/n)) (ただしn=99!)
じゃないの？
(n/π)log(1+π/n)
は1にめちゃくちゃ近いが1ではないとしか言えないしこれに100πかけてcos、sinに噛ませても何にも言えないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 13:48:46.00

100πi=0

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 13:52:46.00

>>443
?????

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 13:57:37.93

もしかして
exp(xi)=cos(x) + isin(x)
のとこ？
なんかおかしいか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 14:04:22.16

10^0=1
e^(100πi)=1
100πi=0

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 14:11:21.08

>>446
>>445の公式成り立たないと？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 14:30:19.12

exp(100πi)=1
exp(0)=1

100πi=0

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/25(水) 15:01:29.78

前>>439
勘違いもなにも、所詮iの絡んだうその世界の絵空事でしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 15:26:37.23

>>448
何言いたいのかさっぱりわかりません？
はっきり教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 16:04:23.04

>>450
exp(100πi)=1じゃないと思う

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 16:26:34.00

>>451
なぜですか？
exp(ix)=cos(x)+isin(x)
は任意の複素数について成立する恒等式のハズですけど？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 16:41:22.64

イナは無視しろ
イナにマジレス返してるアスペも
荒らしほんとやめてほしい

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 16:51:28.24

>>451はイナではないでしょ？
イナはコテ忘れない限り絶対書くし。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/25(水) 16:56:29.89

イナにレスしているのは>>441(=>>437,443,451？)1人だけじゃないの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/25(水) 22:48:41.66

前>>449こういう難しいんじゃないんだけどさ、狼男が何人いるかって問題だれか考えてくれないかな？
村人の人数が何人かわかればわかると思うんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 05:17:20.21

(1/4)×tan(π/4) + (1/8)×tan(π/8) + (1/16)×tan(π/16) + (1/32)×tan(π/32) + … = 1/πであることを証明せよ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/26(木) 10:03:02.34

前>>456
>>457
(1/4)×tan(π/4) + (1/8)×tan(π/8) + (1/16)×tan(π/16) + (1/32)×tan(π/32) + …
=Σ[n=1→∞](1/4)(1/2)^(n-1)×tan(π/4){(1/2)^(n-1)

1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+……=2
考え中。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/26(木) 10:22:02.12

tan2x=2tanx/(1-tan^2 x)
2/tan2x=1/tanx-tanx
tanx=1/tanx-2tan2x
x=θ/2^n、両辺÷2^n

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 06:44:41.92

任意の自然数nを一つ選ぶとき、√nの小数部分の期待値を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 07:07:51.22

>>460
自然数集合上で一様分布に従う独立確率変数列は存在しない
自然数から一つランダムにとることは出来ない

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 17:00:31.95

1145141910496104

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 08:26:06.07

前>>458
>>460
√1=1.0
√2=1.41421356
√3=1.7320508
√4=2.0
√5=2.2360679
√6=2.44949
√7=2.64171
√8=2√2=2.82842712
√9=3.0
√10=3.16227766
少数第一位は定期的に0になるが、その出現間隔は徐々にひらいていき、0以外のすべての数字が出現するが、間隔は狭まり同じ数字が連続しがちになる。つまり1がもっともはじめに出てもっとも出やすいんじゃないかと考えられる。
√n=|√n|.111……

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 08:28:01.42

11451419419191910496104

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 08:32:28.16

前>>463訂正。
>>460
√n=[√n].111……
[　]はgauβ記号。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 08:34:06.92

ハッピーニューイヤーまでには解ける人居ないね！ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 08:34:51.44

問題として成立してないものは解けない

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 08:55:45.82

前>>465考慮時間。
>>460
√n=[√n].191919……
[　]はgauβ記号。
たしかに9がいささか多い気がする。あるいはニューイヤー2020に対する2019がヒントならば。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 09:01:29.88

三角形ABCの重心G、垂心H、内心I、外心Oが一直線上に並ぶことはあるか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 09:25:14.98

>>467
暗号としては面白いのに。
ギブアップですか？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 09:26:16.25

>>468
イナ氏諦めて！解けないからｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 09:26:56.47

来年のニューイヤーまでだって解けないからｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 09:30:34.29

勇者が解けない呪文。。。
魔女の暗号で～す♪ｗｗｗ
やったー！勝ったｗ
新年まで逃げ切り宣言ｗ
Ｖ(о＾∇＾о)Ｖ♪

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:09:21.87

>>470
暗号だったと言うことが今初めてわかったw

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:28:21.26

ワールドコードブレーカーズ諸君！
検討を祈る！

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 11:41:46.12

野獣先輩降臨さすのヤメレ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 11:51:27.70

>>460
Σ[n=1,k](√n-[√n])/k のk→∞での極限を求めよという問題なら、1/2に収束する。

m=[√k]とおく
Σ[n=m^2,k](√n-[√n])/k < (2m+1)/k = 2([√k]+1)/k →0 (k→∞)

√(n-1) < ∫[n-1,n]√x dx < √n を足し合わせて
(2/3)(m^3-m) < Σ[n=1,m^2-1]√n < (2/3)m^3

他方
Σ[n=1,m^2-1] [√n] = Σ[s=1,m-1] [s]((s+1)^2-s^2) = (4m^3-3m^2-m)/6

よって
(1/2)(m^2-m)/k < Σ[n=1,m^2-1](√n-[√n])/k < (1/6)(3m^2+m)/k

(1/2)(m^2-m)/k→1/2, (1/6)(3m^2+m)/k→1/2 (k→∞)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 12:54:39.42

>>476
○|￣|＿ﾊﾞﾚﾀｶ...

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 07:22:55.80

与えられた自然数が7の倍数かどうかを判定するやり方のうち、一番簡単なものを答えよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 14:35:38.72

>>479
何をもって「最も簡単」と言うのか不明
例えば下の2つの方法ではどちらが簡単といえるのか

【例1】
①判定したい自然数Nを10進数で書いたとき、1の位の数をA、残りの数をBとする
　(即ち A=N mod 10, B=(N-A)/10)
②Aの2倍とBの差Mが7の倍数ならば、そのときのみNは7の倍数
③上の②で求めたMが7の倍数であることが簡単に判定できなければ、望むだけ①～②の操作を繰り返す

【例2】
①判定したい自然数Nを7進数で書いたとき、1の位の数をA、残りの数をBとする
　(即ち A=N mod 7, B=(N-A)/7)
②Aが0ならば、そのときのみNは7の倍数

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/30(月) 22:53:06.92

前>>468
>>478OK。
>>479
その自然数nが7の倍数かどうかを見きわめるためにはnを7で割ってみな。
7の倍数なら割りきれる。
n≡0(mod7)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 23:28:58.99

143かけて1000n+nの形になってるかどうかちょっとした虫食い算で確かめる

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 19:23:55.25

無限個の部屋がある満室のホテルに1人の客が泊まりにきたので、既に泊まっている全員に隣の部屋に移動してもらうことで、その客を泊めることができた。
問、こんなことが可能だろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 22:17:38.68

あ～、これはアレですわ
どこかの部屋にキャンセル出たね...

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 02:11:23.17

無限個の客室を用意できるホテルがありえないので問題文がまず不可能

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 04:03:38.25

>>485
或る意味量子力学ではあるだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 04:52:02.16

ある二人が喫茶店に行く。着くのは６時から７時の間で、二人とも１０分間だけ喫茶店にいるとすると、二人が同時に喫茶店にいる確率はいくらか？ただし、二人の行動は独立とする。

【最底辺】 · 2020/01/01(水) 05:56:50.60

前>>481
>>487
60分のうち20分まで同じ時間に喫茶店内にいるんじゃないか？　たとえば6:15～6:25一人がいたとしてだ、
6:05着だとカランコロンうわーヘ(゜ο°;)ノだな。
6:25着でもやっぱりカランコロンヘ(゜ο°;)ノうわーだ。出入り逆だけど。
20÷60=1/3
∴1/3

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 08:18:23.99

0≦x≦1, 0≦y≦1, |x-y|≦1/6の面積。
∴ 11/36。