まずcを連続体濃度としてR^3＼{O}とcの一対一対応c→R^3＼{O}を選んでi→p(i)としておく。
同じくcでパラメタライズされた直線の族l(i)を
・p(i)∈l(i)、O∈R^3＼l(i)
・l(i)=l(j)でなければl(i)∩l(j)=φ
を満たすように超限帰納法で構成する。
l(1)は好きにする。
全てのj<iに対してl(j)が構成されたとする。
∪[j<i]l(i)にp(i)が入るときはp∈l(j)であるjを選んでl(i)=l(j)とする。
そうでないとき、各j<iに対してp(i)とl(j)を通る平面P(j)が一意に定まるが、それら平面の全体の濃度は連続体濃度より真に小さいためどれともことなる平面Pが選べる。
l(j)とPの交点をあればq(j)、なければ未定義とすると、これら定義されたq(j)の全体と、P∩{O}の全体の濃度はやはりPに含まれp(i)を通る直線の全体の濃度より小さいので、その中からp(i)を通りq(j)、Oを通らないものが取れる。□