問題文一行の超難問を出し合うスレ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 17:15:45.50

出来る限り問題文を短くしたシンプルかつ難しい数学の問題を出していってください
分野は何でもok

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/10(日) 18:09:46.88

半径rのπ倍の線分を作図せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/10(日) 23:36:27.62

>>209
無理

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/11(月) 10:36:22.99

集合AとBの冪集合をそれぞれP(A)とP(B)とする。
問1.「A⊂B ⇔ P(A)⊂P(B)」は真か偽か。
問2.「A∈B ⇔ P(A)∈P(B)」は真か偽か。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/11(月) 14:57:37.50

>>211
1は偽
P(A)とP(B)が共に空集合を元とするため真部分集合にならない

2は偽
P(B)はAの部分集合全てを元として持つが、Aの部分集合全ての集合であるP(A)を元として持つ訳ではない

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/11(月) 21:54:10.57

>>211
> 1は偽
「⊂」が真部分集合と部分集合のどちらを意味するかは流儀によるけれども、
> P(A)とP(B)が共に空集合を元とするため真部分集合にならない
の意味が分からない
A⊂Bの時にP(A)がP(B)の真部分集合にならないといっているのか、
P(A)⊂P(B)の時にAがBの真部分集合にならないといっているのか
前者なら、
> P(A)とP(B)が共に空集合を元とするため真部分集合にならない
は、任意の空集合を元に持つ2集合は真部分集合の関係にならない、と言っており明らかに偽
後者も、A=φ、P(A)={φ}、B={φ}、P(B)={{φ},φ}と楽に反例を作れる。もちろん前者の反例にもなる

同値を示すなら例えばこうだろうか
A⊂B
⇔∀x∈P(A) x⊂A⊂B
⇔∀x∈P(A) x⊂B∈P(B) (∧A≠B)
⇔∀x∈P(A) x∈P(B) (∧P(A)≠P(B))
⇔P(A)⊂P(B)

> 2は偽
> P(B)はAの部分集合全てを元として持つが、Aの部分集合全ての集合であるP(A)を元として持つ訳ではない
偽なのはいいけれど、→と←のどちらのことか分からないがA∈BとP(A)∈P(B)のどちら仮定にしろ、
> P(B)はAの部分集合全てを元として持つ
なんてことは言えないだろう

A={{φ}}、B={{{φ}},φ}とすると
P(A)={{{φ}},φ}
P(B)={ {{{φ}},φ} , {{{φ}}} , {φ} , φ}
の通りA∈B、P(A)∈P(B)だが、P(B)はAの部分集合であるA自身{{φ}}を元に持たない

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/11(月) 21:55:02.77

>>213は>>212宛て

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/11(月) 21:55:37.36

実数αが全ての自然数nに対してn^α∈Zを満たすならばαは非負整数である事を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/12(火) 00:33:27.41

>>214
αが非負整数でないとする。
容易にα>1。
[α]=Nとしf(x)=α(α-1)‥(α-N+1)x^(α-N)とおく。
f(x)をx～x+1で積分する事をN回繰り返すと
Σ[k:0～N](-1)^(N-k)C[N,k](x+k)^α
=∫∫‥∫fx)dxdx‥dx
xが自然数のとき左辺は整数値、右辺は十分大きなxに対して(0,1)に属する。
矛盾。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/12(火) 00:51:07.63

>>216
訂正N>[α]ととる。
最近超越数論使うと一撃の問題がいっぱい出てるから、>>215ももしかしたらその手の問題かなと思ったけどwikiに載ってる定理使ってもうまくいかなかったなぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/12(火) 17:04:52.57

長方形の辺上に3点をどのように選んでも、その3点を結んだ三角形の面積は長方形の面積の半分以下であることを証明せよ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/12(火) 19:56:16.92

前>>187
>>218
2点を長方形の頂点にとり、その2点を結ぶ辺をめいいっぱいとったとしても、もう一辺をもっとも遠い頂点にとったとき、3点が作る三角形は長方形の2辺と対角線で作る直角三角形がせいぜい最大で、面積は大きくとも長方形の1/2である。
∴示された。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/13(水) 06:33:10.79

x=0とx=1の2点だけで連続な関数は存在するか

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/13(水) 08:02:54.05

f(x)=x^2-x (x:有理数)
0 (x:無理数)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/14(木) 07:00:23.71

n枚の硬貨を投げたとき、表がk枚出る確率を求めよ。

n枚の硬貨を投げてから、そのうちの任意の2枚をひっくり返したとき、表がk枚になる確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/14(木) 10:02:04.72

C(n,k)/2^n

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/14(木) 14:36:00.80

>>221
ほぉーよくぱっと出てくるねえ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/14(木) 17:02:05.30

半径4の球Sの表面に任意に点A, Bをとり、半径1の球T, Uがそれぞれ球Sの内側で点A, Bに接しているとき、球T, Uが交わっている確率を求めよ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/14(木) 21:42:59.92

前>>219
>>225
半径4の球内に半径1の球を詰めていくと、中心角80°の範囲に2個入る。
∴80°/360°=2/9

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/15(金) 01:13:05.21

∠AOB<2arcsin(1/3)となる確率である。
よって
(∫[7/9,1]π(1-x^2)dx + (1/3)(7/9)(4√2/9)^2π)/(4/3π)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/15(金) 01:26:10.75

>>225
TとUが接するとき
Sの中心,Tの中心,Uの中心が
辺長3,3,2の三角形をなす。
この中心角はarccos(7/9)≒38.9°だが出す必要はない。
相似に拡大して
Sの中心,A,Bが
辺長4,4,8/3の三角形をなす。

Aを固定して直線距離8/3より近い範囲にBがあればよい
Sのうちこの範囲の表面積は π(8/3)^2 で求められる
Sの表面積は 4π4^2
確率はこの比で
π(8/3)^2/(4π4^2)=1/9

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/15(金) 04:46:00.24

前>>226訂正。
自分の答えとほかの方の答えから考察し、
1/9＜(正解)＜2/9
と予想した。
計算過程は整理中。
π{36/(3.25)^2}/4π3^2
=1/10.5625
=8/845
(答え)8/845

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/15(金) 04:55:47.27

前>>229訂正。計算ミス。
1/10.5625
=16/169
=(4/13)^2

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/15(金) 10:06:25.39

2020を2つ以上の連続した自然数の和に分解する方法は何通りあるか

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/15(金) 12:25:15.90

前>>230
>>225
半径1の玉の中心が存在しうる表面積は、
π3^2――①
半径1の球の中心Aを決め、半径1の球の中心Bがこの2つの球が接するように動くとき、中心Bが存在しえない表面積は、コンタクトレンズの前面のような膨らんだ曲面積。
このとき中心Bは円軌道を描くが、その半径は、直角三角形の辺の比が、
1:3:2√2なんで、
2(2√2/3)=4√2/3
中心Bのとりえない表面積は、
球体の表面積の出し方だ、やっぱり。球の半径が3でも4でも。欠球？　欠片？　っていうのかな、の曲面積。
①を分母として分子の出し方。円の周長を積分するのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/15(金) 12:26:25.96

微積できらればすぐ示せるけど積分したら負けだからなwww

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/15(金) 12:27:03.23

>>231
3通りじゃないかな
402+……+406
249+……+256
31+……+70

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/15(金) 19:46:52.94

前>>232
>>233そうだった。積分したら負けだ。俺は負けない。
直角三角形の辺の比が、
1:3:2√2
∵ピタゴラスの定理。
相似だから、
△OABの辺の長さは、
4/3:4:8√2/3
AB=(4/3)･2=8/3
Aを固定したときBのとりうる曲面積2πrhにおいて、
r=(8/3)(2√2/3)=16√2/9
h=(8/3)(1/3)=8/9
よってBのとりうる曲面積は、
2πrh=2π(16√2/9)(8/9)
半径4の球の表面積=4π4^2
半径4の球内面に任意に接着した半径1の2球が重なる確率は、
2π(16√2/9)(8/9)/2π4^2=(2/9)^2
=4/81

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/15(金) 21:53:14.53

前>>235
>>225別解。
>>226より、2/9という比を得た。
元は80°/360°だが、
任意の2球が重なる確率は面積比になるから、
これを2乗すればよい。
∴(2/9)^2=4/81

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/15(金) 23:27:48.93

そんなに小さくない

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/15(金) 23:48:51.95

>>231
負整数を含んでいいならあと4通りある

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 00:05:14.71

切頂二十面体の二種類の面それぞれの立体角を求めよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/16(土) 04:07:42.77

前>>236
>>237たしかに。
2球が重なる曲面積は球面なんだから、1/9より小さいのはおかし。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/16(土) 04:07:52.53

前>>236
>>237たしかに。
2球が重なる曲面積は球面なんだから、1/9より小さいのはおかしい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/16(土) 05:48:08.63

前>>241
>>225
球Sの内面を球Tに接しながら球Tのまわりをまわるように球Uを動かすと、点Bから点Aについて点Bと対称な点B'を経由して一周するあいだに2πrの軌道を描く。
BB'の中点をNとして、
AN=r,NB=h
球Tと球Uが重なる確率は、
2πrh/4π4^2=rh/32
ピタゴラスの定理より、
r^2+(4-h)^2=4^2
r^2+h^2-8h=0
r^2=8h-h^2――①
また球Sの中心をOとすると、球Tと球Uの接点をP、球Uの中心をQとして、△OPQは直角三角形で、辺の比が、
1:3:2√2だから、
△OABにおいて、
AB=8/3
ピタゴラスの定理より、
h^2+r^2=(8/3)^2=64/9――②
①②よりh=8/9
求める確率は、
4√2/81

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 06:31:15.93

n個の自然数がある。このとき、その「一つ」、または「複数個の和」にnで割りきれるものがあることを証明せよ
例、{5,6,7,8}のとき、8は4で割りきれる
例、{2,5,7,9}のとき、5+7は4で割り切れる

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 06:42:13.40

>>225
球TとSが接しているとき∠AOB=θとする
このときsin(θ/2)=1/3
倍角公式からcosθ=1-2(sin(θ/2))^2=7/9

Aを固定したときTとUが重なるようなBの範囲の立体角は公式から2π(1-cosθ)
求める答えはこれを全立体角4πで割って(1-cosθ)/2=1/9

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/16(土) 07:26:11.94

前>>242計算、訂正。
>>225
BB'の中点をNとして、
AN=h
BN=r
2πrh/4π4^2=rh/32――③
ピタゴラスの定理より、
r^2=8h-h^2――①
h^2+r^2=(8/3)^2――②
①を②に代入すると、
h^2+8h-h^2=64/9
h=8/9――④
②に代入し、
r^2=8(8/9)-(8/9)^2
=(64/9-1)(8/9)^2
=(55/9)(8/9)^2
r=8√55/27――⑤
④⑤を③に代入し、
求める確率は、
(8√55/27)(8/9)/32
=2√55/243

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/16(土) 07:42:56.54

前>>245計算ミス、訂正。
>>225
BB'の中点をNとして、
AN=h
BN=r
2πrh/4π4^2=rh/32――③
ピタゴラスの定理より、
r^2=8h-h^2――①
h^2+r^2=(8/3)^2――②
①を②に代入すると、
h^2+8h-h^2=64/9
h=8/9――④
②に代入し、
r^2=8(8/9)-(8/9)^2
=(8-8/9)(8/9)
=(64/9)(8/9)
r=16√2/9――⑤
④⑤を③に代入し、
求める確率は、
(16√2/9)(8/9)/32
=4√2/81

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 09:23:05.45

まだ小さい

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 21:28:13.68

>>227はSの半径を1として体積比に置き換えているのか。
計算すると自分>>228と同じ1/9になる。

自分の π(8/3)^2 という一見怪しげな式の根拠は
http://shochandas.xsrv.jp/area/sphere.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/16(土) 21:42:15.42

なに、htmだと！？
http://shochandas.xsrv.jp/area/sphere.htm

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 00:19:57.72

あえてのガウスボネを使ってみる。
半径Rの球上の点Aからの直線距離がa以下の球面上の点全体のなす部分Mの面積をSとする。
ガウスボネの定理により
∫[M]KdA+∫[∂M]kds=2πχ_M。
Mは円盤と同相なので右辺は2π。
KはSの各点において1/R^2。
よって第一項はS/R^2。
球の中心をO、∂M上の点Bを選び∠AOB=θとおく。
∂Mは半径Rsinθの円である。
∂Mの十分小さい近傍を平面上に展開したとき半径Rtanθの円弧となるからk=1/(Rtanθ)。
よって第二項は2πRsinθ/(Rtanθ)=2πcosθ。
一方でsin(θ/2)=a/(2R)であるから結局第二項は2π-a^2/R^2。
以上によりS=πa^2。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/17(日) 00:41:19.62

前>>246
>>225
半径4の球に内接する半径1の2球が重なる確率は、
2πrh/4π4^2=rh/32――①
(4-h)^2+r^2=4^2――②
r^2+h^2=AB^2――③
AB=8/3――④
④を③に代入すると、
r^2+h^2=64/9――⑤
②より、r^2=8h-h^2――⑥
⑤に代入すると、
8h-h^2+h^2=64/9
h=8/9――⑦
⑥に代入すると、
r^2=8(8/9)-(8/9)^2
=(8-8/9)(8/9)
={(72-8)/9}(8/9)
=(64/9)(8/9)
=8(8/9)^2
r=(8/9)2√2
=16√2/9――⑧
⑦⑧を①に代入すると、
求める確率は、
(8/9)(16√2/9)/32
=4√2/81

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 00:57:32.36

>>251
この問題が半径3の球から見て直線距離が2以下の点のなす領域の割合なのはわかる？
正二十面体の辺と外接球の半径はほぼほぼ同じなので結局一辺の長さが3の正二十面体のある頂点からの直線距離が2以下の点のなす割合にほぼほぼ等しい。
で、ある一頂点含む面のその頂点に近い部分の2/3はその条件満たすでしょ？
そう考えるとその数値は明らかに小さすぎると思わん？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 04:34:26.12

公式 2πrh における r に代入するのは
もとの球の半径 4 であって断面の半径 16√2/9 ではない

つまり>>251は②から文字の置き方がおかしい
こいつの間違いの根源これだろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 04:48:01.02

40°と80°は
平面において作図不可能な角度として有名

空間図形とはいえ適当な断面図が定規とコンパスで書ける状況下で
そんな角度が出てくるわけがない

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/17(日) 06:36:35.16

>>243
n個をa_1,a_2,…,a_nとする。このとき、次のn個の数を考える。
a_1
a_1 + a_2
a_1 + a_2 + a_3
　:
a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n
この中にnの倍数が一つでもあればそれが答え。一つもない場合はnで割ると余りは1～n-1のどれかになるはずだが、上にはn通りの式があるので余りが等しいものがある。それを
a_1 + a_2 + a_3 + … + a_i = nm + r
a_1 + a_2 + a_3 + … + a_j = nm' + r
とする(i＜j)と、下式から上式を引いた
a_(i+1) + … + a_j = n(m'-m)
はnの倍数になりok

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/17(日) 10:11:02.95

前>>251考察。小さいなぞが解けた！
>>225
>>253r=4なの？　つまり曲面積は球冠球欠断面の半径じゃなく、球の半径に比例すると。
r=4だとすると、Bの軌道の半径はrとは別の半径r'を置かないといけない。
半径4の球に内接する半径1の2球が重なる確率は、
2πrh/4π4^2=rh/32
=h/8――① これは正しい。
(4-h)^2+r'^2=4^2――②
r'^2+h^2=AB^2――③
AB=8/3――④
④を③に代入すると、
r'^2+h^2=64/9――⑤
②より、r'^2=8h-h^2――⑥
⑤に代入すると、
8h-h^2+h^2=64/9
h=8/9――⑦ これも正しい。
①に代入すると、
求める確率は、
(8/9)/8
=1/9

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/18(月) 14:43:21.10

n^3 + 3、n^5 + 5、n^7 + 7が全て素数となる自然数はいくつあるか

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/18(月) 14:53:54.25

(n^3+3)(n^5+5)(n^7+7)
≡n(n^2-4)(n+1)
≡n(n+2)(n-2)(n+1)
≡0 (mod 3)
∴ n^3+3,n^5+5,n^7+7 のいずれかは3である必要がある。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/19(火) 16:32:13.52

1からnまでの自然数から異なるm個a_1,a_2,…,a_mを選ぶとき、a_1の期待値を求めよ。ただし、n≧mとする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/19(火) 17:45:53.49

(n+1)/2

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/19(火) 18:02:32.40

>>259

n-1
　Σ 　(k-m+2)・kC(m-1) / nCm
k=m-1

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/19(火) 18:03:55.96

紛らわしいので訂正

n-1
　Σ 　(k-m+2)・kC(m-1)
k=m-1
────────────
　　　　nCm

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/19(火) 18:38:57.81

a_1が最小値なら(n+1)/(m+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/19(火) 23:37:39.30

a[0]=0, a[m+1]=n+1, b[i]=a[i]-a[i-1]とおけば
E(b[i])=E(b[j]), Σb[i]=n+1
により
E(a[1])=E(b[1])=(n+1)/(m+1)。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/20(水) 03:01:26.20

うへぇこんなシンプルな答えになるのか
パスカルの三角形なぞって足すのが近道だと思ってやってみると>>262になるし全然近道じゃなかった

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/20(水) 09:28:24.61

曲線y=x^3上に異なる9個の点a～iがある。5つの組{a,b,c},{d,e,f},{a,d,g},{b,e,h},{c,f,i}の3点がそれぞれ1直線上にあるとき、{g,h,i}も1直線上にあることを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/20(水) 09:48:23.54

g+h+i
=(-a-d)+(-b-e)+(-c-f)
=-(a+b+c)-(d+e+f)
=0

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/21(木) 09:00:36.50

aを整数、bを0でない整数とするとき、分数a/bは「循環しない無限小数」にならないことを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/21(木) 10:06:53.55

筆算を実行すると引き算の過程で出てくるのが必ずb未満0以上
よって少なくともb以下の桁数で循環する
じゃダメなんか

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/21(木) 13:02:16.16

すべての自然数nについてn^4+mが合成数となる自然数mをひとつ示せ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/21(木) 13:37:59.86

x^4+64
=(x^2+4x+8)(x^2-4x+8)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/21(木) 15:59:14.76

難問ってちょっと賢い高校生なら解けるって意味？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/21(木) 18:03:38.61

誰も解けないだろっていうのではそれはそれで嫌らしいから加減が難しいね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/21(木) 19:15:51.45

初出題だったし解けそうなの出したわ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/22(金) 07:38:17.60

nを自然数とし、n^2 +3とn+1の最大公約数をd_nとするとき、Σ[n=1→1010]d_nを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/22(金) 09:22:10.84

>>275
2021

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/22(金) 12:25:00.76

2019でね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/22(金) 13:14:09.08

あれ、奇数の時のパターン逆になってたわ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/22(金) 13:41:50.24

2019ももう終わりか

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 07:59:39.85

方程式8(cos x)^3 - 4(cos x)^2 - 4(cos x) + 1 = 0を解け(0≦x＜π)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 10:21:18.05

π/7, 3π/7, 5π/7

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/23(土) 11:45:51.06

前>>256
>>280
8(cos x)^3 - 4(cos x)^2 - 4(cos x) + 1 = 0
(0≦x＜π)
8cos^3x-4cos^2x-4cosx+1=0
(2cosx-1)(2cosx-√2)^2=-3
cosπ＜cosx≦cos0
-1＜cosx≦1
-2＜2cosx≦2
-2-√2＜2cosx-√2≦2-√2
0≦(2cosx-√2)^2≦6+4√22cosx-1=-3/(2cosx-√2)^2
2cosx-1=-3/(6+4√2)のとき、
2cosx-1=-3(6-4√2)/4
8cosx-4=-18+12√2
8cosx=-14+12√2
4cosx=-7+6√2
cosx=3√2/2-7/4
=1.5√2-1.75
≒0.371320344
難しい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/23(土) 12:39:21.78

前>>282
cosx=0.37132……のとき、
cos(3π/7)=0.22252……
cos(3π/8)=0.38268……
3π/7だったらまだ3π/8のほうが近い。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 12:57:28.57

電卓で
8×0.3713203^3-4×0.3713203^2-4×0.3713203+1
と
8×0.2225209^3-4×0.2225209^2-4×0.2225208+1
を比べてみる事を何故思いつかんのかねぇ？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/23(土) 14:53:19.40

前>>283
>>284
かつてよく使ってた電卓は左下にEがついていて、正しく計算してくれない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 18:45:11.82

イナは荒らし（でなければガチの無能）だから相手にすんな

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 19:22:27.16

荒らしでかつガチの無能

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 19:31:30.07

しかしイナの場合相手にしようがしまいがとっくに正解出てる問題に訳のわからん誤答を延々と被せてくるからなぁ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/11/23(土) 20:09:38.52

前>>285
答えだけ書く難問があろうはずがないだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/23(土) 20:38:52.31

難問じゃないのを載せる出題側にも問題があるな

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/24(日) 02:39:01.69

2以上の自然数nに対して、1+√2+√3+...+√n は無理数であることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/24(日) 08:11:43.31

a=√1+√2+‥+√n、K=Q(√1,√2?‥,√n)、d=[Q(a):Q]、b=(tr[K/Q](a))/dとおけばb=Σ[k:平方数]k<a。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/24(日) 20:01:55.72

a,b,cの3文字から重複を許してn個を選び、横1列に並べる。このとき、文字列ab（aの直後がb）を含まないのは何通りあるか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/24(日) 23:02:05.94

aで終わる文字列の数をxn、b,cで終わる文字列の数をynとすれば
x[n+1]=xn+yn
y[n+1]=xn+2yn。
右辺traceが3でdeterminantが1だからt^-3t+1=0の二解をu,vとして
xn
=(u^n-v^n)/(u-v)x1+(u^(n-1)-v^(n-1))/(1/u-1/v)x0
=3(u^n-v^n)/(u-v)+(u^(n-1)-v^(n-1))/(1/u-1/v)。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/24(日) 23:59:13.95

2^α+3^α=1を満たす実数αがただ一つだけ存在し、無理数であることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/25(月) 01:08:28.29

互いに素である自然数m,nにおいて
3^(-m/n)=1-2^(-m/n)
であるとする。
K=Q(2^(1/n),3^(1/n))とし、Qの2進付値の上にあるKの付値vをとればv(3^(-m/n))=0、v(1-2^(-m/n))<0により矛盾。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/25(月) 06:41:23.08

>>294
x1=1 , y1=2→和=3
x2=3 , y2=5→和=8
x3=8 , y3=13→和=21
つまり、フィボナッチ数列の連続した2項の和になる
(1+√5)/2=p,(1-√5)/2=qとおくと
xn+yn
={p^(2n) + p^(2n+1) - q^(2n) - q^(2n+1)}/√5通り

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/25(月) 09:53:10.47

>>297
>>294の特性多項式はx^2-3x+1。
フィボナッチ数列のそれはx^2-x-1。
たまたま何項かあっただけじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/26(火) 05:38:21.28

数直線上の原点に動点Pがあり、1秒ごとに正か負の方にそれぞれp,1-pの確率で1だけ移動する。n秒後の座標の2乗の期待値を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/26(火) 08:38:59.95

p^nΣc[n,k](q/p)^k k^2
= p^nΣc[n,k](q/p)^k (k(k-1)+k)
= p^n(q/p)^2n(n-1)(q/p-1)^(n-2)
. + p^n(q/p)n(q/p-1)^(n-1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/26(火) 08:43:45.66

>>299
あ、負の方向にも行くから
>>299 ×2 - qn。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/26(火) 09:09:07.64

>>299-300
あ、違う。
逝ってきます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/26(火) 09:14:28.11

>>300

p^nΣc[n,k](q/p)^k (n-2k)^2
= p^nΣc[n,k](q/p)^k (4k(k-1)+4(1-n)k+n^2)
= 4p^n(q/p)^2n(n-1)(q/p-1)^(n-2)
. + 4(1-n)p^n(q/p)n(q/p-1)^(n-1)
. + n^2

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 10:26:16.19

>>299
n秒後の座標をXn、k秒後に正方向に動く場合をYk=1、負方向に動く場合をYk=-1とすると
　Xn = Y1 + Y2 + … + Yn
　Xn^2 = Y1^2 + Y2^2 + … + Yn^2 + 2Y1Y2 + 2Y1Y3 + …←後半はnC2通り
また
　E(Yk)=1×p - 1×(1-p) = 2p-1
なので
　E(Xn^2)
= E(Y1^2 + Y2^2 + … +Yn^2 + 2Y1Y2 + 2Y1Y3 + … )
= (±1)^2 + (±1)^2 + … + (±1)^2 + 2E(Y1)E(Y2) + 2E(Y1)E(Y3) + …←独立なので
= 1 + 1 + … +1 + 2(2p-1)(2p-1)nC2
= n + (2p-1)^2 × n(n-1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/28(木) 06:11:12.56

a,b,cを自然数とするとき、一次不定方程式ax+by=cの自然数解(x,y)の組は[c/ab]組または[c/ab]+1組あることを証明せよ。ただし、[ ]はガウス記号とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/28(木) 13:20:34.69

(a,b,c)=(2,3,6)のとき自然数解なし

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/29(金) 06:10:10.21

a^2 + b^2 = c^2を満たす自然数a,b,cについて、abc≡0(mod 60)であることを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/29(金) 10:17:33.37

abc≡0(mod 3)でなければa^2≡b^2≡c^2≡1(mod3)。
d=2cとおけばa^2+b^2+d^2≡0(mod 5)。
x≡0でないときx^2≡1(mod 5)もしくはx^2≡4mod 5)。
よって必要なら4倍して二つは^2≡1(mod5)として良い。
d^2≡b^2≡1のとき2+a^2≡0(mod 5)。
d^2≡a^2≡1のとき2+b^2≡0(mod 5)。
a^2≡b^2≡1のとき2+d^2≡0(mod 5)。
解なし。

**ID:1lEWVa2s** · 2019/11/29(金) 16:18:30.38

>>307
やめろ。