現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

2019/09/09(月) 19:52:11.23

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾；）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾；）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

2019/10/09(水) 22:48:16.24

あと、正規部分群と商群の話もあるんだな（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/09(水) 22:52:01.24

>>768
まだ答えに達してないな
>>769
答えは即書いたほうがいいな

2019/10/09(水) 23:35:16.26

群Ｇの元g,g’、Nを正規部分群として
gN＝Ng、g’N＝Ng’、g・g’N＝Ng・g’

1)gN・g’N＝Ng・g’N＝g・g’N・N＝g・g’N
（N・N＝Nとして）
2)g・g’の逆元（g・g’）^-1＝g’^-1・g^-1
（g・g’・g’^-1・g^-1＝e）
3)単位元eだけは、Nと共通
　eN＝Ne で、gN・eN＝gN・N＝gN

なので、群Ｇを、正規部分群Nで類別した
eN、g1N、g2N・・・たちは、演算”・”に対して、群を成す
これを、商群G/Nとか書きます
（ここで、上記1)などで、gN＝Ngを使っている。なので、gN＝Ngが成立たないと、まずいのです）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/10(木) 06:40:12.35

>>770
それじゃ答えとしては半分程度だな

G/Nが商群となるのに、Nが正規部分群である必要がある、というのはいいよ

肝心なのは、なぜG/Nが群にならないといかんのか？　答えられるかな？

2019/10/10(木) 10:32:57.70

>>772
まあ、そう慌てないで

種本でもないけど、お薦めは、下記「矢ヶ部　巌：数Ⅲ方式　ガロアの理論」
これ分かり易かった。大学教程のガロア理論を学んだ人なら、一日で読めるでしょう

あと、PDFでネットに落ちているのが、下記「ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部一己著」PDF
ここから、引用させてもらおうと思います

紙の本は、書棚に沢山あるけど、マウス選択からコピペができないんだな
ネットに上がっている文書がコピペには楽です

本なら、アルティンとか、Coxとかもあるけどね（＾＾

http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/suusan.html.ja
矢ヶ部　巌：数Ⅲ方式　ガロアの理論まりんきょ学問所数学の部屋 MARUYAMA Satosi 最終更新日：2019-08-23

概要
３人の対話により、ガロアの理論を紹介している。副題は「アイデアの変遷を追って」

感想
初版は 1976 年、第 9 刷は 2002 年に出ている。その後入手困難となっていたが、 2016 年に新装版が出た。
(引用終り)

https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む渡部一己著（2018.1.28）

https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf
ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部一己著（2018.1.28）

紹　介
　ガロア（1811-1832）の「第一論文」とは方程式が累乗根で解けるための条件を求めたもので，ガロアが残した論文の中でも一番まとまりのある論文である．
　５次以上の一般方程式が代数的に解けないということは，1826年にアーベルが証明した．一旦このことが明らかにされると，解ける方程式と解けない方程式の違いは一体何なのか，それが気になってくる．
それを明らかにしたのが，ガロアの「第一論文」である．
ガロアは二十歳という若さで早世した大数学者だが，彼がどのようにしてそれを発見したのか．
もちろん方程式が解ける理由は知りたいが，やはりガロアがどのようにして彼の理論を発見したのか，それが知りたかった．

2019/10/10(木) 10:38:01.22

>>773

追加
http://（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
はてなブログ
女の人のところへ来たドラえもん
数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学（その３）
渡辺麻友数Ⅲ方式ガロアの理論現代論理学 2018-07-09
(抜粋)
それでは、早速なんだけどね。今回は、矢ヶ部巌（やかべ　いわお）『数Ⅲ方式ガロアの理論』（現代数学社）という本を中心として、数学の冒険をしたいんだ。

結弦「『数Ⅲ』って、なんですか？」

「あっ、そうよ。結弦は、小学校６年生なのよ」

　そうだったね。この本の書かれた時代の高校では、１年生、２年生、３年生、と上がるにつれて、数Ⅰ、数Ⅱ、数Ⅲと、名前が付いていた。

『数Ⅲ方式』

とは、高校３年生の教科書レヴェルで書いてある。という意味なんだよ。

結弦「じゃあ、僕は、６年分、飛び級ですね」

若菜「私も、４年分飛び級。すごい冒険に、なりそうですね」

「太郎さんが言うには、ゼミとかゼミナールという形式で、議論したら良いということなの」

2019/10/10(木) 10:41:41.17

>>774

矢ヶ部巌先生、お亡くなりになられていたんだ
ご冥福をお祈り申し上げます
合掌
https://www.nippyo.co.jp/blogsusemi/keijiban/fuhou/
日本評論社
訃報

矢ヶ部巌(やがべ・いわお)氏(九州大学名誉教授)が2017年12月19日に逝去された．享年87歳．専門は代数学．
著書に『数学での証明法』(共立出版)，『数III方式ガロアの理論』(現代数学社)などがある．
小誌では，1970年代からご登場いただき，特に「エレガントな解答をもとむ」で長年ご出題いただいた．

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/10(木) 19:15:38.86

おまえみたいな詐欺師に冥福祈られても迷惑なだけ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/10(木) 19:57:28.80

>>773
>まあ、そう慌てないで

まさか今から泥縄で勉強するつもりじゃないだろうね？ｗ

2019/10/10(木) 21:00:11.20

>>777
>まさか今から泥縄で勉強するつもりじゃないだろうね？ｗ

ふっ、ガロア理論を「泥縄で勉強する」？　一夜漬け？
ガロア理論を理解していない人の言葉だなｗ

「泥縄で勉強」、「一夜漬け」、できる人は、相当優秀だろうな（＾＾；
昔を思い出すと、矢ヶ部なども、易しく書かれているんだけど、それでも難しかったな

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/10(木) 21:20:36.00

>>778
＞ガロア理論を理解していない人

正規部分群も誤解した君のことかと思ったよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/10(木) 21:22:27.41

>>778
＞易しく書かれているんだけど、それでも難しかったな

正規部分群を誤解するようじゃ全然理解できないでしょ

2019/10/11(金) 07:51:06.61

>>778

ああ、これ、分り易いな（＾＾
いつも、コピペでお世話になっている再帰の反復さん

https://lemniscus（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
再帰の反復blog (はてなブログ)
2012-05-27
方程式からガロア理論
(抜粋)
方程式の解法の話からガロア理論にたどり着くまでの要点のようなもの。

ガロア以前
ガロアが論文を書くより以前にラグランジュ、ガウス、ルフィニ、アーベルらの研究により、次のような結果が得られていた。

2次3次4次の方程式について: 提案されてきた方程式の解法はどれも解の置換の性質と密接に関係している。(ラグランジュ)
5次以上の方程式について: 解の置換の性質を調べることにより、5次以上の方程式が一般的にはべき根で解けないことが証明される。(ルフィニ、アーベル)
円周等分方程式などについて: 解の置換の性質を調べることにより、5次以上でもいくつかのタイプの方程式がべき根で解けることが証明される。(ガウス、アーベル)
ここからさらに進んで、任意の方程式についての解の置換(=ガロア群)の性質を考察したのがガロアだった、という流れになる。

1.対称性(シンメトリー)
2,方程式の対称性: 2次方程式の場合
3.3次、4次方程式の場合
4.5次以上の方程式の非可解性(ルフィニ、アーベル)
5.円周等分方程式(ガウス)
6.間奏: アーベルの方程式論について
7.解の置換(ガロア群)
8.原始元の最小多項式と基本定理の証明
9.方程式の可解性
10.追記: 方程式の可解性の概要

つづく

2019/10/11(金) 07:51:30.84

>>781
つづき

対称性と群の関係

方程式の解法と対称性

さらにまとめると次のようになる。
2次方程式を解くとき、ルートを取ることで対称性を崩している。
3. 3次、4次方程式の場合
3次と4次の方程式の場合についても
方程式を解くとき、べき乗根を取ることで対称性を崩している。

4. 5次以上の方程式の非可解性(ルフィニ、アーベル)
2,3,4次方程式の解法のポイントは
方程式を解くとき、べき乗根を取ることで対称性を崩している。
ということだった。
一方、5次以上の方程式が一般的には代数的に解けない理由を一言で言うと、

5次以上の方程式は、べき乗根を取ることでは崩せない対称性を持っている。
となる(これは5次以上の方程式が強い対称性を持っているというよりも、べき乗根の対称性を崩す力はそれほど強くないということだと思う)。
前に書いた「5次以上の方程式が代数的に解けないことについて」では対称性を下げていく過程を段階的に追っていき非可解性を示したけど、証明の要点となっているのは次のこと。
a^p = Aの関係があり、Aが3次循環置換(x1 x2 x3)と5次循環置換(x1 x2 x3 x4 x5)の両方で不変ならば、aもこれらの置換で不変である。

つづく

2019/10/11(金) 07:51:47.75

>>782
つづき

7. 解の置換(ガロア群)
「5次方程式に解の公式がないこと」と「円周等分方程式がべき根で解けること」の証明はどちらも、方程式がどんな解の置換を持っているかということが重要だった。
そこでより一般的にどんな方程式にも通用する形で解の置換を定義したい。歴史的には次の2つのやり方がある。
・単拡大(単純拡大)性にうったえて、原始元とその最小多項式を使って定義する(ガロア)。
・体の自己同型写像として定義(デデキント)。
このうちデデキントのものの方が簡潔だしたぶん判りやすい。ただし「方程式が解けるかどうか」という視点から見ると、解が判らない状態でどうやってその写像を求めていいのかサッパリ判らないところが気持ち悪いかもしれない。

8. 原始元の最小多項式と基本定理の証明

さらに、もしも次の2つの性質

1)g(x)は重解を持たない。
2)vをどの解vkに置換することも可能である(別に言い方をすると、全てのvkがvの有理式で書ける。体の言葉でいうと、どのvkももとの体に入っている)。ガロアの定義ではこれが成り立っている場合だけを扱っている。
が成り立っている場合は
群について: 解の置換の総数(群の位数) = g(x)の次数
となる。

おおざっぱに言えば、1が成り立つのを分離拡大、2が成り立つのを正規拡大、1+2をガロア拡大と呼ぶ。なのでガロア拡大の場合は、
・体の拡大次数 = 群の位数
が成り立つ。
ガロア理論の基本定理は一言で言えば
ガロア拡大では、体(拡大体の中間体)と群(ガロア群の部分群)が1対1に対応する
というもので、それはこの「ガロア拡大では、体の拡大次数=群の位数」を使って証明される。ちゃんと証明するにはいろいろ細かな補足が必要になるけど。
(基本定理における体と群の対応というのは、もう少し詳しくは
・体 → 体のどの元(数)も動かさない置換の集まり(群)
・群 → 群のどの元(置換)でも動かない数の集まり(体)
がちょうど逆の関係になるというもの。
またアルティンの線形代数的な証明では、拡大次数と写像の個数の関係を、単拡大性や多項式の話を使わずに導く)

つづく

2019/10/11(金) 07:52:07.45

>>783
つづき

9. 方程式の可解性
ガロア理論の基本定理が証明されると、
・べき乗根の添付と四則演算でどんな数が書けるか(=べき乗根を使ってどんな体の拡大が可能か)
という問題が
・どんな部分群が存在するか
ということに帰着するので、あとは群の性質を考察することで方程式の可解性の条件が判ることになる。
ただし実際にそれをやるのはけっこう面倒だし、そこまでたどり着く頃にはたぶんへろへろになっている。

追記: 方程式の可解性の概要
以下、方程式の可解性についての概要を追加して書いておく。
(引用終り)
以上

2019/10/11(金) 08:17:28.47

>>781
下記、8.4 有理式と置換の
”系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．”
が基本になるのだが、詳しく説明されない場合が多い
矢ヶ部本や倉田本には、詳しい（＾＾

（参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/
数学第4研究室 N. Yamauchi, Dept. of Math. 岐阜聖徳学園大学
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap8add.pdf
8.4 有理式と置換
(抜粋)
8.4.3 有理式の有理式
定理 8.20. 2 個の有理式 f(x1, . . . , xn), φ(x1, . . . , xn) について，f を変えない Sn の置
換は φ も変えないとする．
(σf) = f ⇒ σφ = φ.
このとき，φ は f の有理式に表わされる．

系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．

（追加参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig08.pdf
第 8 章置換の群
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap9.pdf
第 9 章根の有理式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig05.pdf
第 5 章数体
5.3 方程式と体
5.3.5 べき根による解法
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig04.pdf
第 4 章 4 次方程式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig0-2.pdf
代数学 III 2017
目次
(抜粋)
5 次方程式には「解の公式」が存在しないことが証明され，次いでガロア. （Evariste Galois, 1811-1832）が一般次数の方程式について解の公式が存在するための条. 件を求めることに成功した．
(引用終り)
以上

2019/10/11(金) 08:34:56.44

>>785

追加
不変式なども関係しています（＾＾
正20 面体群というのは、５次方程式の解法で出てきます

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H16-mukai.pdf
平成16年度(第26回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成16年8月2日～8月5日開催)
不変式の話
?対称式と方程式から第14 問題の反例へ?
向井茂
(抜粋)
計算例（拡大正20 面体群）

§7 方程式の不変式

§8 第14問題に対する永田の反例

2019/10/12(土) 10:38:55.78

>>786
追加正二十面体関連

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
正二十面体
https://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry
Icosahedral symmetry

http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
物理のかぎしっぽ著者 : Joh , 初版 : 2006-04-23, 最終更新 : 2006-04-23
正多面体群２
正十二面体と正二十面体
補
正十二面体が 5 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します．

https://kiu.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&;item_id=334&item_no=1&attribute_id=18&file_no=1
[PDF] 正20面体群の構造(石田秀美教授退職記念号) 北川正一著九州国際大学雑誌名教養研究 2010-03

https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/
Yuji Tachikawa Professor, Kavli IPMU, University of Tokyo.
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/japanese-articles.html
日本語による解説記事
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/transp/nadanotes.pdf
群と対称性の話立川裕二 2014 年 10 月 18 日
（出身高校で選択制土曜講座で話せと言われたので準備した。）
1 正多面体の対称性
まず、おしまいのページの展開図を切り取って、正四面体、正八面体、正二十面体をつくっておくこと。

https://glim-re.repo.nii.ac.jp/
GLIM-IR 学習院学術成果リポジトリ
https://glim-re.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&;item_id=1279&file_id=22&file_no=1
解の公式と正多面体群益子雅文学習院高等科紀要,(5),35-47 (2007-07-20)
(抜粋)
四次以下の方程式は，係数から出発し，それらに四則演算とべキ根をとる算法（n√）
とを行って，解をすべて表わすことができる（解の公式）．この小論では，まず方程式の
ガロア群である対称群Snを正多面体群によって視覚化し，それを用いて四次以下の方程
式の解をベキ根で表わす過程を示し，さらに五次方程式の解の公式が一般には存在しないことをみてみようと思う．

つづく

2019/10/12(土) 10:39:23.91

>>787

つづき

http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ewm51.pdf
Encounter with Matematics 第51回 2009年10月
正20面体にまつわる数学～その2～
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi1.pdf
正面体群からの旅たち東京農工大学関口次郎
(抜粋)
この講演の内容は年の「数学史研究会」（津田塾大学）と数学セミナー 2009年4月号の記事がもとになっている
2.クラインの「正20面体と5次方程式」

https://books.rakuten.co.jp/rb/9570192/
楽天ブックス
発売日： 1997年04月
著者／編集：フェリックス・クライン, 関口次郎
レーベル：シュプリンガー数学クラシックス
出版社：シュプリンガー・ジャパン
発行形態：単行本
ページ数： 317p
以上

**第六天魔王** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/12(土) 19:23:49.24

馬鹿は、いまごろこんな寝ぼけたこといってるんじゃ、
ガロア理論が全然分かってないな

もうこのスレはAIスレに改題しろよ
ま、今度はAI関係者に猛ツッコミ食らうんだろうけどｗ

**第六天魔王** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/12(土) 19:30:36.79

ま、自然無能（NI　Natural Innocence)の馬鹿の得意技は
shallow learningだからなｗｗｗ

**第六天魔王** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/12(土) 20:00:08.86

今日の一曲
https://www.youtube.com/watch?v=-N44fsZtBls

10/11のLAライブから

今回のアルバムで一番スゲェ曲

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 02:22:36.75

東大TVみたいな有名大学の教授の講義を聴ける動画サイトを他に何かご存じでしたら教えてください！

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 15:42:36.79

>>792
どうも、スレ主です
以前、youtubeで、慶応の数学の講義が、アップされていましたね。
youtube 数学講義
で検索しては、如何でしょうか(^_^)

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/13(日) 16:24:11.39

>>793
はい、わかりました
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 07:42:20.12

>>794
どうもスレ主です(^_^)
今、自分で検索すると沢山ありますね
なので、ガロアとか、キーワードを、追加するのが、良いと思います

2019/10/14(月) 09:17:07.27

age

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 10:18:00.55

馬鹿へ

ガロア理論を理解せず説明もできないのに上げても意味ないだろｗ

貴様にはガロア理論は無理だから、次から
「現代数学の系譜 AI雑談」
に改題しろｗｗｗ

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 10:22:17.77

数学板における馬鹿の立ち位置ｗ

https://www.youtube.com/watch?v=H76wAc0jepU

まあ、まなったんの場合、分かっててやってますけどねｗｗｗ

2019/10/14(月) 11:04:41.61

>>793 （>>797ｗ（＾＾）

キーワード： youtube 数学講義ガロア
で検索すると、下記ガロア理論（慶応の講義）があるね

https://www.youtube.com/playlist?list=PLhfQ_BXdiRzNOhYtBcLDSEH034b25nM0T
ガロア理論（慶応の講義）
15 本の動画4,938 回視聴最終更新日: 2014/08/28

【ガロア理論・第1回】代数の基本概念の復習
132,428 回視聴?2013/10/01
慶應義塾大学理工学部・数理科学科３年生科目・代数学第２ Kenichi Bannai
以下
【ガロア理論・第2回】代数拡大と最小分解体
【ガロア理論・第３回】自己同型群とガロア拡大
【ガロア理論・第４回】ガロアの基本定理
【ガロア理論・第５回】作図可能性
【ガロア理論・第７回】方程式の解の公式
【ガロア理論・第８回】基本群と被覆空間
【ガロア理論】課題解説（2013.10.04出題分）
【ガロア理論】課題解説（2013.10.11出題分）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.10.11）
【ガロア理論】課題解説（2013.11.08出題分）
【ガロア理論】課題解説（2013.09.27出題分）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.10.18）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.10.25）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.11.15）

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 11:07:16.92

>>799
馬鹿はガロア拡大もガロア理論の基本定理も理解できてないなｗ

2019/10/14(月) 11:12:48.63

>>799 補足

あれ？
ガロア理論・第6回が抜けているね
下記のサイトでも抜けているから、きっと元から抜けているみたい(゜ロ゜;
なお、対応する講義ノートPDFには、リンクがあるので、必要な人は下記URLから飛んでください（＾＾

https://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140406/p1
勉強メモ（大学の講義動画や，資格試験の対策）
慶応大の「ガロア理論講義」の動画と，講義ノートPDF

動画の一覧
1. 【ガロア理論・第1回】代数の基本概念の復習

2. 【ガロア理論・第2回】代数拡大と最小分解体

3. 【ガロア理論・第３回】自己同型群とガロア拡大

4. 【ガロア理論・第４回】ガロアの基本定理

5. 【ガロア理論・第５回】作図可能性

6. 【ガロア理論・第７回】方程式の解の公式

7. 【ガロア理論・第８回】基本群と被覆空間

対応する講義ノート
講義ノートのPDF：

2013年度・代数学第２代数学第２ 2013年度・秋学期
alg2-S01.pdf 代数学第２
alg2-02.pdf 体の拡大・代数拡大
alg2-03.pdf 分解体・代数閉体
alg2-04.pdf 分離拡大
alg2-05.pdf 分離拡大
alg2-06.pdf ガロア拡大
alg2-07.pdf ガロアの基本定理
名称未設定 - Galois2013.pdf ガロア理論の圏論的定式化

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 11:23:22.71

>>801
貴様のような馬鹿にはガロア理論は到底無理だから諦めろ

馬鹿はただ
「５次以上の代数方程式の根はよっぽど幸運でもない限り
　四則演算とべき根だけでは表せないんだってさ」
と覚えとけばいい　どうせ理由なんかわかんないんだからｗ

2019/10/14(月) 11:23:39.75

>>800
まあ、そうあせるなｗ（＾＾

小島寛之　が、
主な加筆は次の3点です。
ベクトル空間を導入したガロアの基本定理の完全証明
四則計算とべき根で解ける方程式，解けない方程式についても具体的に解説
補足章として，本書で扱った補助定理（アーベルの定理，コーシーの定理，デデキントの定理など）の証明を収録
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。
というから
急ぎなら、下記よめ

https://gihyo.jp/book/2019/978-4-297-10627-0
知の扉シリーズ
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
2019年7月6日発売
小島寛之　著
四六判／292ページ

この本の概要
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
主な加筆は次の3点です。
ベクトル空間を導入したガロアの基本定理の完全証明
四則計算とべき根で解ける方程式，解けない方程式についても具体的に解説
補足章として，本書で扱った補助定理（アーベルの定理，コーシーの定理，デデキントの定理など）の証明を収録
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。

こんな方におすすめ
ガロア，ガロア理論に関心がある人
群，体について学びたい人
方程式が解けるなぞを知りたい人
有名定理の証明に興味がある人

本書のサンプル
本書の紙面イメージは次のとおりです。画像をクリックすることで拡大して確認することができます。

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 11:25:26.14

>>803
ガロア理論理解してないことが露見して
あせってるのは馬鹿の貴様だけｗ

今まで理解できてないのに
これから泥縄で理解しようとか
貴様、数学なめとんのか？ｗ

2019/10/14(月) 12:02:11.79

>>802
> ５次以上の代数方程式の根はよっぽど幸運でもない限り

いやね
５次の代数方程式のガロア群が、正20面体群になるんだけど（下記）
正20面体群がいまいち、すっきりしたイメージが湧かないので
（証明では、位数60の単純群までしか分解できないのは、長さ3と5の置換の組合わせで位数60になるというのだけれど・・）
下記の「正20面体と5次方程式　（シュプリンガー数学クラシックス）」も、買って読みましたよ
あとまあ、いろいろ調べたりして、なんとなく分かった気になったよ（＾＾

なお、５次の代数方程式が代数的に解けるのは、方程式のガロア群が
彌永先生の本や倉田本では、線形群と書いていたけど、位数20の群になるとき
まあ、下記の「PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学大迎規宏著 -修士論文 ?2003」に詳しい

（参考）
https://books.rakuten.co.jp/rb/9570192/
楽天ブックス
正20面体と5次方程式　（シュプリンガー数学クラシックス）
フェリックス・クライン
発売日： 1997年04月
著者／編集：フェリックス・クライン, 関口次郎
出版社：シュプリンガー・ジャパン
発行形態：単行本
ページ数： 317p

http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学大迎規宏著 -修士論文 ?2003

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
正二十面体
(抜粋)
正二十面体の回転対称群（英語版）は5文字の交代群 A_{5} に同型である。位数は60。
この非可換単純群は5文字の対称群 S_{5} の唯一の非自明な正規部分群である。
一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。
アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。
そしてフェリックス・クラインは正二十面体的対称性（英語版）の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた (Klein 1888)。
詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。

2019/10/14(月) 12:03:38.12

>>804
まあ、そうあせるな
あせっているのは、おまえだよ
どうも、ガロア理論が理解できていないのは、おまえじゃね？ｗｗ（＾＾

2019/10/14(月) 12:09:43.04

>>805
>詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。

下記（”Klein's investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries”）だね
https://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#related_geometries
Icosahedral symmetry
(抜粋)
A regular icosahedron has 60 rotational (or orientation-preserving) symmetries, and a symmetry order of 120 including transformations that combine a reflection and a rotation.
A regular dodecahedron has the same set of symmetries, since it is the dual of the icosahedron.

The set of orientation-preserving symmetries forms a group referred to as A5 (the alternating group on 5 letters), and the full symmetry group (including reflections) is the product A5 × Z2.
The latter group is also known as the Coxeter group H3, and is also represented by Coxeter notation, [5,3] and Coxeter diagram CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Related geometries

Klein's investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries in (Klein & 1878/79b) and (Klein 1879) (and associated coverings of degree 7 and 11)
and dessins d'enfants, the first yielding the Klein quartic, whose associated geometry has a tiling by 24 heptagons (with a cusp at the center of each).

Similar geometries occur for PSL(2,n) and more general groups for other modular curves.

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 12:50:16.55

>>805
>正20面体群がいまいち、すっきりしたイメージが湧かないので

馬鹿はイメージで分かると思ってる
考えずに見ようとするのは動物のやり方

>５次の代数方程式が代数的に解けるのは
>方程式のガロア群が、線形群と書いていたけど、
>位数20の群になるとき

見るだけで分かると思ってる馬鹿の貴様には
死んでも理解できねぇから諦めろ

>>806
あせってるのは馬鹿の貴様一匹だけ
狂え狂え　人間失格の畜生めｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 13:51:45.22

>>805

なお、５次の代数方程式が代数的に解けるのは、方程式のガロア群が
彌永先生の本や倉田本では、線形群と書いていたけど、位数20の群になるとき

え？こんなの成立しないよ？
Q上5次のGalois拡大あるけど？

2019/10/14(月) 15:57:12.15

メモ（数学と関係ない雑談な（＾＾）
カーラジオから流れてきたカーペンターズ I Need To Be In Love (青春の輝き)
https://www.youtube.com/watch?v=a5NE1BzPq2g
I Need To Be In Love (青春の輝き) ／ CARPENTERS
3,583,040 回視聴?2014/03/11
sagittarius1954Ⅳ

touma hayami
3 年前
中学生の頃から、辛いときこの曲が元気をくれました。５０を越えた今でも・・そりゃ辛いことはあって、助けてもらってます。カレンが生きていたら何歳だろうな・・。あと多分何回お世話になるんだろう。ありがとう。

https://www2.nhk.or.jp/hensei/program/p.cgi?area=001&;date=2019-10-14&ch=05&eid=74689&f=etc
チャンネル[ラジオ第１]
2019年10月14日(月) 午後0:30～午後0:55(25分)
忘れじの洋楽スター・ファイル　▽カーペンターズ
番組内容矢口清治

楽曲「シング」
カーペンターズ
（３分１５秒）
＜Ａ＆Ｍ　ＲＥＣＯＲＤＳ　ＵＩＣＹ－１４４１／２＞

「遥かなる影」
カーペンターズ
（３分３５秒）
＜Ａ＆Ｍ　ＲＥＣＯＲＤＳ　ＵＩＣＹ－１４４１／２＞

「トップ・オブ・ザ・ワールド」
カーペンターズ
（２分５６秒）
＜Ａ＆Ｍ　ＲＥＣＯＲＤＳ　ＵＩＣＹ－１４４１／２＞

「青春の輝き」
カーペンターズ
（３分４６秒）
＜Ａ＆Ｍ　ＲＥＣＯＲＤＳ　ＵＩＣＹ－１４４１／２＞

「イエスタデイ・ワンス・モア」
カーペンターズ
（３分５３秒）
＜Ａ＆Ｍ　ＲＥＣＯＲＤＳ　ＵＩＣＹ－１４４１／２＞

2019/10/14(月) 16:13:28.62

>>809
ほいよ（＾＾；
彌永先生の本にもあるよ

（>>773より）
https（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
ガロアの第一論文を読む渡部一己著（2018.1.28）
https（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部一己著（2018.1.28）
(抜粋)

P130
問題累乗根で解ける素数 n 次の既約方程式の群は何であるか？
【問題Ⅶ】累乗根で解ける k上の素数 n 次の既約方程式 f=0 のガロア群を求めよ．
１°（f のガロア群は線形置換群）

P155
命題Ⅶで見たように，５次方程式が代数的に解けるときには，そのガロア
群は上に示されているような高々位数が20の置換群（線形置換群）でなければならない．
ところが，一般の５次方程式ではガロア群は５個の根のすべての順列の間の置換であるから，
群の位数は 5!=120 である．つまり代数的に解ける５次方程式のガロア群の位数よりも大きい．
このことからも一般の５次方程式が代数的に解けないことがわかる．

2019/10/14(月) 16:15:26.82

>>811
URLだけなら通るかな？(゜ロ゜;

https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む渡部一己著（2018.1.28）

https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf
ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部一己著（2018.1.28）

2019/10/14(月) 16:16:28.61

よくわからんな、２ｃｈ（いま５ｃｈ）の規制はｗｗ(゜ロ゜;

2019/10/14(月) 16:25:12.77

>>810

青春の輝き
ドラマの主題歌になったと、ラジオで言っていたね
おれは、ドラマを見ないし、知らなかったけど
しかし、青春の輝きは、BGMとしてあちこちで聞くね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%92%E6%98%A5%E3%81%AE%E8%BC%9D%E3%81%8D
青春の輝き
(抜粋)
「青春の輝き」（I Need to Be in Love）は、1976年にカーペンターズが発表した楽曲、及びシングル。『見つめあう恋』（A Kind of Hush）収録。作詞・作曲はリチャード・カーペンターとジョン・ベティス、アルバート・ハモンドによる。

解説
リチャード・カーペンターによれば、生前のカレン・カーペンターが最も気に入っていた曲だったという[1]。
オリジナル・シングルは、同じく『見つめあう恋』収録曲である「サンディー」をB面として発売されたが、全米チャート最高25位、日本のオリコンで最高62位と振るわなかった[2]。
しかし、1995年に日本のテレヴィドラマ『未成年』でエンディングテーマに取り上げられ、カレン（1983年2月4日死去）を知らない世代にも大好評を博した。
これを受け日本独自で編集発売されたベスト・アルバム『青春の輝き?ベスト・オブ・カーペンターズ』は、350万枚以上を売り上げた。
この曲も、『未成年』のオープニングテーマとなった「トップ・オブ・ザ・ワールド」をカップリング曲としたCDシングルとして発売され、大ヒットを記録した。

1976年当時のシングル盤では、ピアノのイントロが編集でカットされていたが、1995年のシングルCDではアルバム『見つめあう恋』のヴァージョンと同じくピアノのイントロを収録しており、その後はこのイントロのヴァージョンが定番となっている。

カヴァー
竹仲絵里 - 『my duty』 (2002年)
伊藤一義 - 『Blue Sky Blue』 (2004年)
溝口肇 - 『yours』（2005年）
鬼束ちひろ - トリビュート・アルバム『イエスタデイ・ワンス・モア?TRIBUTE TO THE CARPENTERS?』（2009年）
鬼束ちひろ - カヴァー・アルバム『FAMOUS MICROPHONE』（2012年）
平原綾香 - 『Winter Songbook』（2014年）

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 16:51:08.23

感傷に浸ってる耄碌爺に質問だｗ

1.　Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
　　このときのガロア群G(E/Q)は？

2.　Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし
　　Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする
　　このときのガロア群G(L/K)は？

2019/10/14(月) 17:01:44.56

>>814

これも雑談だが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AA%E6%88%90%E5%B9%B4_(%E3%83%86%E3%83%AC%E3%83%93%E3%83%89%E3%83%A9%E3%83%9E)
未成年 (テレビドラマ)
(抜粋)
『未成年』（みせいねん）は、TBS系列の金曜ドラマ枠（毎週金曜日22:00 - 22:54、JST）で1995年10月13日から12月22日まで放送された日本のテレビドラマ。主演はいしだ壱成。

同年代の若者5人を中心に、青春の過程で起こる様々な苦悩と葛藤を生々しく描いたこの作品は、出演芸能人の出世作としても知られている。後年歌手として大ブレイクした浜崎あゆみの数少ない女優出演作のひとつでもある。全11回。

若者の青春群像劇として放映当時に大ブームを巻き起こし、平均視聴率は20.0%、第8回は最高視聴率23.2%（関東地区ビデオリサーチ調べ）を記録した。

後年、SMAPのメンバーである中居正広は本作を「慎吾が出てたドラマの中で一番好き」と絶賛している[2]。

主題歌にはカーペンターズが使用され、ベスト盤の売り上げも好調で、再びスポットが当たるきっかけとなった。

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 17:03:00.42

感傷に浸ってる耄碌爺に質問だｗ

1.　Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
　　このときのガロア群G(E/Q)は？

2.　Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし
　　Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする
　　このときのガロア群G(L/K)は？

2019/10/14(月) 17:41:02.29

>>815
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾

Q1.　Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
　　このときのガロア群G(E/Q)は？
A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ
　（こう仮定してもガロア理論には十分だから）
　位数p-1の巡回群
　因みに、１のｎ乗根 ωp=ｎ√1 (1の原始根)として
　Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい）
（なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい）

Q2.　Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし
　　Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする
　　このときのガロア群G(L/K)は？
A2. 同様にn=p(素数)とするよ。そして、ｎ乗根 n√a は無理数とする
　　このとき、ガロア群G(L/K)は位数pの巡回群になる
　　因みに、LはKummer拡大と呼ばれる

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論
(抜粋)
クンマー拡大

一般的に、K が n 個の異なる単元の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K と結合すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大を生成する。
多項式 X^n ? a の分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回的となる。
n√a を通してガロア作用を追いかけることは容易である。

2019/10/14(月) 17:57:01.08

>>818
ガウス、アーベル、ガロアについては、下記の高瀬正仁先生ご参照
http（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
日々のつれづれ
（ガウス32）アーベル方程式とガロアの第一論文 Author:オイラー研究所の所長高瀬正仁 2008-04-26
(抜粋)
　代数的可解性を左右する根源的な要因は「諸根の相互依存関係」にあります。この認識はガロアもまた共有し、代数方程式の代数的可解性をテーマにした第一論文
　「方程式が冪根を用いて解けるための条件について」
において、
《冪根を用いて解ける方程式のどれもが満たし、しかも逆に、その可解性を保証するひとつの一般条件》
をみいだすことに成功しました。この条件は「方程式の根の配列の群」の言葉で記述されています（ただし、この「群」という言葉は「ものの集まり」というほどの意味にすぎず、今日の群の概念とは無関係です）。
第一論文からここまでの部分を抽出して精密に展開すれば、今日のいわゆるガロア理論が手に入ります。
他方、ガウスが円周等分方程式を解いていく道筋を忠実に再現すれば、そのままガロア理論が出現するという事実もまた注目に値します。

つづく

2019/10/14(月) 17:57:20.44

>>819
つづき

アーベルはガウスの理論の根幹をなす数学的思想の泉から直接、アーベル方程式の概念を取り出しましたが、ガロアはガロアでガウスの理論の「証明の構造」を学び、ガウスの理論をその雛形と見ることを可能にする大きな理論を構想したのでした。
　ガロアの第一論文はガロアが書いた一番はじめの論文というわけではありませんが、「第一論文」と呼ぶ習わしになっています。
　1832年５月30日早朝の決闘の前夜、友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた有名な遺書において、ガロアは冒頭で「（これまでの研究を元手にして）三篇の論文を作成することができると思う」と述べ、続いて各論文の素描を試みました。
「第一論文はもう書いた」と言われているが、これは上記の代数方程式論に関する論文を指しています。
　ガロア理論により、素次数既約方程式の代数的可解性の判定条件が手に入ります。

《通約可能な因子をもたない（註。「既約」という意味です）素次数の方程式が冪根を用いて解けるためには、そのすべての根が、それらのうちのどれかふたつの根の有理関数になっていなければならず、しかもそれで十分である。》

　ガウスに端を発し、アーベルが洞察した代数的可解性の基本原理は、ガロアに継承されてひとつの完結した姿形を獲得したのでした。
　ガロアが言及しているもうひとつの応用例は、楕円関数論におけるアーベルの予想の証明である。アーベルは論文「楕円関数研究」において、モジュラー方程式は一般に代数的には解けないであろうと予想しましたが、ガロアはこれを受けて次のように述べています。

《代数方程式論のさまざまな応用のうち、一部分は楕円関数の理論のモジュラー方程式に関係がある。モジュラー方程式を冪根を用いて解くのは不可能であることが証明されるであろう。》

　楕円関数論と代数方程式論の関係は密接かつ不可分であり、しかもアーベルの予想の証明こそ、ガロアの理論の眼目なのでした。ガロアの言葉にはガウス、ルジャンドル、アーベル、ヤコビなどの手になる浩瀚な楕円関数論の全史が凝縮されていて、印象は深遠です。さながら数学の神秘の淵をのぞき見るような感慨があります。
(引用終り)
以上

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 18:01:20.56

>>818
ん、なんかおかしなこといってるね

＞面倒なのでn=p(素数)とするよ

そんな仮定するほうが面倒だろｗ

＞位数p-1の巡回群

巡回群だといいたいためにｐの条件を持ち出したんなら馬鹿

正しい答えは
乗法群(Z/nZ)×　(位数n-1)

覚えとけ

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 18:17:56.65

>>811
cos(2π/11)のガロア群は位数5の巡回群だけど？

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 18:47:31.64

>>822
馬鹿の1は、最大の可解群しか頭にない
その正規部分群の場合もあることを想定してない
相変わらずヌケサクｗｗｗ

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 18:51:56.20

>>818

じゃ>>815の続きだ

Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする

このときのガロア群G(K/Q)は?

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 19:03:44.53

どんな文章をどう引用したのかわからんけど、Qに1の冪根全部加えた体を考えてその上の5次拡大に話を限定した時のQ上のGalois群とかなのかもしれん。
方程式の可解性論じるとき1の冪根入ってないとまた話違ってくるからな。
引用するのはいいがその文章読むのに必要な部分がわかってないから、その部分だけ読むとトンチンカンな話になってしまう。
文章の意味が日本語として読めてるだけで数学の文章として意味がとれてないんだろう。

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/14(月) 20:36:01.80

>>825
1の冪根による拡大（円分拡大）の後、
aの冪根による拡大（クンマー拡大）を行うのは
それぞれアーベル拡大として実現できるからだろう
もちろん全体としては一般的にガロア群は非可換になる

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 21:04:18.19

>>826
まぁ多分それなんだとは思うんだけどね。
証明なんか読んでないだろうからその話の意味が通じるために必要な情報が何と何なのかわからんのだろう。

2019/10/14(月) 23:31:33.60

>>822
＞cos(2π/11)のガロア群は位数5の巡回群だけど？

ああ、そうですね
コンテキスト（文脈）で、Q係数の一般5次代数方程式で、方程式の群が可解群になる最大の群が>>811に書いてある「高々位数が20の置換群（線形置換群）でなければならない」という話です（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 23:38:56.41

>>821
>正しい答えは
>乗法群(Z/nZ)×　(位数n-1)

乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
一般的にはオイラーのφ函数を使ってφ(n)とあらわされる数になる。

2019/10/14(月) 23:42:34.01

>>825
(引用開始)
どんな文章をどう引用したのかわからんけど、Qに1の冪根全部加えた体を考えてその上の5次拡大に話を限定した時のQ上のGalois群とかなのかもしれん。
方程式の可解性論じるとき1の冪根入ってないとまた話違ってくるからな。
引用するのはいいがその文章読むのに必要な部分がわかってないから、その部分だけ読むとトンチンカンな話になってしまう。
文章の意味が日本語として読めてるだけで数学の文章として意味がとれてないんだろう。
(引用終り)

レスありがとう
ご指摘の通りです。正しい（＾＾
当然、Qに1の冪根全部を加えた体で考えています
方程式のガロア理論では、デフォルトと思います
ガロアの原論文も、そうです

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 23:47:33.15

>方程式の可解性論じるとき1の冪根入ってないとまた話違ってくるからな。

1の冪根の方程式が代数的に可解であることはガウスの先行研究で分かっていたので、ガロアは1の冪根を予め添加しておいてよいとしてるのですね。

ちなみにガウスの研究は当然ながらガロア理論の雛型にもなっている。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 23:51:47.04

1のべき根の方程式が解けるといっても、勿論1のn乗根=1^{1/n} とするのはなしねｗ
1のn乗根を代数的に解いたとき、冪根指数としてあらわれるのは
φ(n)の約数のみ。根号の中身は1ではない複雑な数になる。
（整数論的に言うと、分岐する素数と関係がある。）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 23:57:01.17

方程式考えるとき下の体が1の冪根全部含む時しか考えないわけないだろ？
なんでガロア理論の本まだ一冊ロクによめてすらいないのにそんないい加減な思い込みしてるんだよ？
俺が読んだ教科書の中だけに限定したってそんなデフォルト設定してる本なんかほとんどないわ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/14(月) 23:59:50.95

正17角形の作図が定木とコンパスのみで可能⇔
1の17乗根の方程式が、平方根を繰り返し開いていくことのみによって解ける。
ガウスも正17角形の作図は自慢だったらしい。
ベッドの中で思いついたとのこと。
実質的にやってることはガロア理論の原型のようなこと。
頭の中だけで理論構成するのもガロアと共通している。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 00:07:55.67

>方程式考えるとき下の体が1の冪根全部含む時しか考えないわけないだろ？

それだと円分体のガロア理論がナンセンスになるのでないですね。
整数論的にも大きな違いが生じる。
ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため
そう設定してるってだけです。

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 05:25:30.48

>>829
>乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。

そうでした。大失敗

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 06:22:16.83

>>835
要するに円分拡大とクンマー拡大に分けて考えてるってことだな

2019/10/15(火) 07:18:50.26

>>829 (>>836)
ID:ceRjWFfMさん、レスありがとう

(引用開始)
>正しい答えは
>乗法群(Z/nZ)×　(位数n-1)
乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
(引用終り)

ご指摘の通りです
（>>818の訂正版）
Q1.　Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
　　このときのガロア群G(E/Q)は？
A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ
　（こう仮定してもガロア理論には十分だから）
　位数pの巡回群
　因みに、１のｎ乗根 ωp=p√1 (1の原始根)として
　Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい）
（なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい）
(終り)

なお、1のn乗根を添加した拡大体の解説は、下記に詳しい
因みに、最小多項式を考えると、x^n-1=0の”x^n-1”は可約で、因子x-1を持つので、因数分解できて、一般に次数が必ず１下がる
n=p(素数)のとき、最小多項式の次数はp-1です
（おれも、あんまり分かってないね（＾＾；）
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8
ガロア理論入門物理のがきしっぽ
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根（Joh著）物理のがきしっぽ
(抜粋)
1 の原始 n 乗根はφ(n) 個あります．

ここに出てきたφをオイラーのファイ関数と呼びます．ファイ関数を使うと， |G(E/Q)|=[Q(ζ):Q] <=φ(n) と書くことが出来ます．また，次の定理も重要です．

x^n-1=0 の解 ζ の最小多項式は (x-ζ)(x-ζ^k1)・・・(x-ζ^ks) の形に書けることが要請されます．
添字の ki は， (n,ki)=1 を満たす 1 < k < n だけを取るものとします．
この最小多項式を円周等分方程式と呼びます．
円周等分方程式の解は，複素平面上で単位円の円周を等分点に当たりますから，この名前の意味は非常に明快だと思います．

2019/10/15(火) 07:48:37.67

>>824
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾

Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
　↓
１の5乗根の原始根をζ5と書く
あと、5√a(aの5乗根の実根)な
　↓
１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
5√a(aの5乗根の実根) を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
　↓
全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
位数25の群は、巡回群ではないみたいだね（＾＾
（∵下記”二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである”）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(抜粋)
性質
・二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである[6]。
従って例えば Z/12Z は Z/3Z と Z/4Z との直積に分解されるが Z/6Z と Z/2Z との直積とはならない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
群 (数学)
(抜粋)
群の直積と半直積

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 08:06:54.17

おっちゃんです。
>>773
>本なら、アルティンとか、Coxとかもあるけどね（＾＾
実代数幾何でよく行われるという議論の原形になった実体の理論に興味があって、永田可換体論を買ってしまった。
読んで理解するのは長い道になりそうだ。まあ、他のことにも関心はあるので、気長に読み進めて行く。
ガロア理論を理解するだけなら群論に取り組んだ方がいいとは思うけど。
或いは啓蒙書でも足りていると思うけど。
最近知ったことだけど、アペリーはむしろ計算機を援用する形でζ(3)の無理性を証明した可能性があるようですな
(一松著　講談社　ブルーバックス　2016再発行の「四色問題」　254ページ参照)。
もしかしたら、意外に啓蒙書も馬鹿にすることは出来ないのかも知れませんな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 08:21:04.85

>>773
>>840の下から2行目の訂正：
>(一松著　講談社　ブルーバックス　2016再発行の「四色問題」　254ページ参照)。
→
>(一松信著　講談社　2016年再発行　ブルーバックス「四色問題」　254ページ参照)。
以前発行されたという初版もあるので注意。
いや～、今まで全く知りませんでした。

2019/10/15(火) 10:06:11.79

>>840
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>最近知ったことだけど、アペリーはむしろ計算機を援用する形でζ(3)の無理性を証明した可能性があるようですな
>(一松著　講談社　ブルーバックス　2016再発行の「四色問題」　254ページ参照)。

ああ、そうなん
一松信先生ね。懐かしいね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%9D%BE%E4%BF%A1
一松信（ひとつまつしん、1926年（大正15年）3月6日 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。日本数学検定協会名誉会長。
人物
「すでに学生時代に多変数関数論の最高峰をきわめられた」[1]と紹介される。
(引用終り)

>もしかしたら、意外に啓蒙書も馬鹿にすることは出来ないのかも知れませんな。

そりゃそうだ
いまどき、数学の範囲の広がりとレベルの高さを考えると、
そういう入門書とか啓蒙書をバカにしてはいけないと思うな

>永田可換体論

古すぎないか？
サイドリーダーとして読むには良いかもしれないが
おれなら、現代本を読んで、サイドリーダーとして必要なら永田を参照するけどね

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 10:26:56.67

>>842
＞>永田可換体論
＞
＞古すぎないか？
Hilbertの第17問題を解くためにArtinが構築したという順序体や実閉体
などの理論が詳細に書かれているのは、和書では永田可換体論だけらしい。

2019/10/15(火) 10:40:11.58

>>839
補足

いま議論している部分は、”べき根拡大”というやつね
下記が、参考になるだろう

はてなblog（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
ガロア理論のメモ（その６）：べき根拡大と可解群めもめも ※ 2017/09/27
(抜粋)
本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。
これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。

補題6.2
略
この補題を基にして、べき根拡大と可解群の関係が得られる。多項式の解がべき根を用いて表現できるかどうかを判定する、ガロア理論の根幹の1つとなる。

定理6.1
――――――――――
多項式 f(X)=X^n?a∈F[X] の分解体を E とする時、Aut(E/F) は可解群となる。このような拡大をべき根拡大とよぶ。
略
補題6.2より、Aut(F(ω)/F) はアーベル群なので、これで定理が証明された。
――――――――――
文献によっては、X^n?a の根の1つのみを加えた拡大をべき根拡大と定義している場合もあるが、ここではすべての根を加えた分解体として定義している点に注意。
これにより、以降の各種定理の証明が少し簡単になる。
（根の1つのみを加えた定義の場合は、証明の中で、すべての根を加えた体まで拡張して議論する必要がある。）

例
――――――――――
定理6.1で存在が保証される α は、一意ではない点に注意する。
たとえば、f(X)=X^3?2∈Q[X] の根は、ω を1の原始3乗根として、{3√2,3√2ω,3√2ω^2} であり、α=3√2 とすると、分解体は、E=Q(3√2,ω) となる。
一方、α=3√2ω として、E=Q(3√2ω,ω) としても結果は同じである。

2019/10/15(火) 10:53:06.74

>>843

『可換体論』か『可換環論』か忘れたが、永田雅宜先生の本、見たことあるな
（内容は覚えていないが）
”数学セミナー　2019年11月号特集＝すごい反例ヒルベルトの第14問題……黒田茂”
が、永田雅宜先生の話だね

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー　2019年11月号
特集＝すごい反例

ヒルベルトの第14問題……黒田茂　22

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%B8%E7%94%B0%E9%9B%85%E5%AE%9C
永田雅宜（ながたまさよし、1927年2月9日 - 2008年8月27日）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。

業績
1960年代、1970年代に可換環論と代数幾何学の基礎付けにおいて大きな業績を残した。不変式論（英語版）を用いてヒルベルトの第14問題（英語版）の反例を構成し否定的に解決した。他にも代数多様体のコンパクト化、ネーター環における業績がある。
ヒルベルト第14問題を否定的に解決した論文は僅か7ページだった[4]。

著作
『可換体論』裳華房、1967年。
『可換環論』紀伊國屋書店、1974年。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 11:21:44.16

>>842
＞>最近知ったことだけど、アペリーはむしろ計算機を援用する形でζ(3)の無理性を証明した可能性があるようですな
＞>(一松著　講談社　ブルーバックス　2016再発行の「四色問題」　254ページ参照)。
＞
＞ああ、そうなん
まあ、私は有理性の判定や証明に計算機(家にあるのはパソコン)は全く使わずに、
はじめは得られた奇妙な論理とそれに基づく手計算でたまたまγの有理性を証明出来ただけだが、
実数の有理性或いは無理性の証明に計算機を援用出来ることもあるということは分かった。

2019/10/15(火) 13:24:46.16

>>833-835
>ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため
>そう設定してるってだけです。

ID:yDLeEzQX さん、ID:ceRjWFfMさん、ID:OSBV4wpgさん
みなさんレベル高いね

全く、ご指摘の通り
”ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため”です
ガロアの論文に書いてある通りです
（ガロア理論のあらすじは、>>844辺りに書いてありますね）

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/15(火) 17:36:10.71

それじゃ、おっちゃんもう寝る。

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 19:38:52.32

>>839
>そうあせるな（＾＾

といいつつあせって地雷を踏んだ馬鹿ｗ

>Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
>　↓
>１の5乗根の原始根をζ5と書く
>あと、5√a(aの5乗根の実根)な
>　↓
>１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
>5√a(aの5乗根の実根) を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る

誤　１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
正　１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数4の巡回群が出る

φ(5)=4だよ

だいたい一般的にφ(n)=nにはならない
pが素数のときφ(p)=p-1

ということで

>　↓
>全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群

全体では、位数20の群ね

だいたい、25が120(5次の対称群S5の位数)の約数でない
時点でおかしいって気づけよｗ

あと、勝手に直積とかいってるけど、
アーベル群の直積だったらアーベル群だよ？
そう言い切っちゃっていいのかい？(￣ー￣)

まさか可解群はアーベル群だ！とか馬鹿なこといわんよなｗ
(３次の対称群S3は可解群だがアーベル群じゃないぞｗ）

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 19:43:35.29

　　　　　　　＿＿＿_　　　
　　　　　　／＼　　／＼　ｷﾘｯ
.　　　　　／　（ー）　（ー）＼　　　　　　
　　　　／　　 ⌒（__人__）⌒ ＼　　　　＜１の5乗根の原始根ζ5を添加する拡大から、
　　　　|　　　　　|r┬-|　　　　| 　　　　　位数”5”の巡回群が出る
　　　　＼　　　　 `ー'´　　／　　　　
　　　　ノ　　　　　　　　　　　＼
　／´　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　　　　　　
　|　　　　ｌ　　　　　　　　　　　　　　＼
　ヽ　　　 -一''''''"～～｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､. 　　
　　ヽ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))
　
　　　　　　　　＿＿＿_
　　　　　　　／_ノ　ヽ､_＼　　　　　　　　　　　　＜.だっておｗｗｗ
　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo　　　　　　ﾐ　ﾐ　ﾐ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼　　　/⌒)⌒)⌒)
|　/　/　/　　　　　|r┬-|　　　　|　(⌒)/　/ / /／　　
|　:::::::::::(⌒)　　　　|　|　 |　　／　ゝ　　:::::::::::/
|　　　　　ノ　　　　|　|　 |　　＼　　/　　）　　/ 　
ヽ　　　　/　　　　　　`ー'´ 　　　ヽ /　　　　／　　　　　
　|　　　　|　　 l||l　从人 l||l 　　　　 l||l 从人 l||l　　　バ　　　
　ヽ　　　 -一''''''"～～｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､　ン
　　ヽ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒)) バ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ン

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 19:52:45.56

>>849
>一般的にφ(n)=nにはならない

φ(1)=1だったな

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 19:59:41.23

＞ID:yDLeEzQX さん、ID:ceRjWFfMさん、ID:OSBV4wpgさん
＞みなさんレベル高いね

円分体Q(ζn)のガロア群が乗法群(Z/nZ)×になることの説明は
きっとハイレベル数学人の彼らがしてくれるだろう

馬鹿はもちろん分かってないｗ
分かってたら
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて馬鹿な間違いするわけがないｗ

2019/10/15(火) 20:56:37.22

>>829 補足
(引用開始)
乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
一般的にはオイラーのφ函数を使ってφ(n)とあらわされる数になる。
(引用終り)

ID:ceRjWFfMさん、レベル高いね
そうそう、そうでした。
なんか、正確に書くのが面倒になって、n＝p（素数）として逃げたけど、
「位数n-1」のところ間違っていたら、”しゃれにならんな”（これ関西では常套句ですが（＾＾）
（大体自分で書くと、タイポや誤記もあるから、コピペベースにしている意味もあるのだが、根本的に自分の理解不十分だったよね、巡回群のこと（＾＾）

つづき

2019/10/15(火) 20:57:55.93

>>853
訂正：つづき→つづく

つづき

ところで
>>838
>http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
> １のｎ乗根（Joh著）物理のがきしっぽ
> 1 の原始 n 乗根はφ(n) 個あります．
>ここに出てきたφをオイラーのファイ関数と呼びます．

これ、下記の「巡回群」の”n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい”と一致しているが
しかし、英文 Cyclic group の
”If p is a prime number, then any group with p elements is isomorphic to the simple group Z/pZ. A number n is called a cyclic number if Z/nZ is the only group of order n, which is true exactly when gcd(n,φ(n)) = 1.”
の記述と不一致？(゜ロ゜;
巡回群とCyclic groupの記述が
いや、調べるとオイラーのφ(n)は、一般に偶数で、素数ｐがφ(n)には出現しないので、「巡回群」の記述へんだよね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(抜粋)
性質
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい。ここで φ はオイラーのトーシェント函数である[4]。
・もっと一般に、d が n の約数ならば Z/nZ の位数 d の元の個数は φ(d) である。また、m の属する剰余類の位数は n/gcd(n,m) で与えられる。
・p が素数ならば、位数 p の群は（同型の違いを除き）巡回群 Cp（あるいは加法的に書くならば Z/pZ）しかない[5]。

つづく

2019/10/15(火) 20:59:10.46

>>854
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group
Cyclic group
(抜粋)
Additional properties
If p is a prime number, then any group with p elements is isomorphic to the simple group Z/pZ. A number n is called a cyclic number if Z/nZ is the only group of order n, which is true exactly when gcd(n,φ(n)) = 1.[13]
The cyclic numbers include all primes, but some are composite such as 15. However, all cyclic numbers are odd except 2. The cyclic numbers are:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (sequence A003277 in the OEIS)

https://oeis.org/A003277
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
AUTHOR N. J. A. Sloane and Richard Stanley Last modified October 15 04:33 EDT 2019.
EXTENSIONS More terms from Christian G. Bower

A003277
Cyclic numbers: n such that n and phi(n) are relatively prime; also n such that there is just one group of order n, i.e., A000001(n) = 1.
(Formerly M0650) 65
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, ・・
(list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
(引用終り)
以上

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 21:13:41.04

>>854
馬鹿は乗法群 (Z/6Z)×を全然知らんようだｗｗｗ

つまり
「円分体Q(ζn)のガロア群が乗法群(Z/nZ)×になる」
とはどういうことか、全然分かってないｗｗｗ

そんな馬鹿が知ったかぶってガロア理論語るなよ
みっともないｗｗｗｗｗｗｗ

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 21:26:46.92

>>853
＞＞たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
＞そうそう、そうでした。

相槌打ってるけど全然分かってないな

なんで0はともかく、2や3や4は入ってないのか

それは
2×3=3×2=0
4×3=3×4=0
だから

そもそも、馬鹿は
「なぜ円分体Q(ζn)のガロア群が
　加法群(Z/nZ)でなく乗法群(Z/nZ)×なのか」
分かってないｗ

分かってたら
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて馬鹿な間違いするわけがないｗ

2019/10/15(火) 21:51:54.40

>>849
>φ(5)=4だよ
>だいたい一般的にφ(n)=nにはならない
>pが素数のときφ(p)=p-1

そうそう、そうでした
昔読んだんだがね、十分理解できていないんだね（＾＾；
下記の”拡大体の基底に関する注意”ですね
「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．」だな
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根（Joh著）物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．

拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．

http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/Joh-SolvExample1.gif
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り)

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 22:06:56.82

>>858
見当違いなことばかり書く馬鹿に質問だ

円分体の同型写像を具体的に構成せよ

◆QZaw55cn4c · 2019/10/15(火) 22:07:22.84

>>854
＞オイラーのファイ関数
φ関数とは書きますけれども…普通、トーシェント関数ではないでしょうか

2019/10/15(火) 22:34:59.55

>>838
そうか
（>>818の訂正版）
と訂正書いたけど、
最初の>>818で合っていたんだね
1のn乗根を添加の話
理解不十分で、記憶だけで書くから、だめなんだな
しっかり理解しておかないとね

**Mara Papiyas** ◆y7fKJ8VsjM · 2019/10/15(火) 23:18:23.39

>>859に答えられない馬鹿はガロア理論が全然理解できてないｗｗｗ

2019/10/15(火) 23:51:26.41

>>860
C++さん、どうも。スレ主です。

＞＞オイラーのファイ関数
＞φ関数とは書きますけれども…普通、トーシェント関数ではないでしょうか

最近は、トーシェント関数が普通かもしれませんが
以前は、”φ関数”だけで、”トーシェント関数”という呼び方は、あまり使われていなかったと思います
まあ、カナで”ファイ関数”という表記は珍しいですが、”物理のがきしっぽ”の記事なので、読者レベルを考えての表記でしょう
因みに、totientの命名は、Sylvester先生で、「Totidem」が由来とか
（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12145210392
ame********さん2015/5/611:07:42 Yahoo
オイラーのtotient関数のtotientの意味はなんですか。
(抜粋)
totientの語源となるtotiensを調べてみたら、so oftenと書かれていました。
「とてもよくある関数」という訳であってますか？

ベストアンサーに選ばれた回答
bud********さん 2015/5/612:48:10
オイラーのtotient関数
のもとの問題
ｎのｎより小さい互いに素な自然数の個数（Quot? How many )は
の答えが tot (so many) (totidem)
だから Joseph Sylvesterが造語で totient にした
しいて訳せば個数関数程度
(引用終り)

https://ejje.webli（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
weblio
Wiktionary英語版での「Totidem」の意味
totidem
語源
From tot (“so many”) + -dem (“same”).
数詞
totidem (indeclinable)
1.just as many
2.just the same
3.all the same

つづく

2019/10/15(火) 23:55:08.76

>>863
つづき

Joseph Sylvester先生は、下記で行列を発明したことで有名です
https://en.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester
James Joseph Sylvester
(抜粋)
Legacy
Sylvester invented a great number of mathematical terms such as "matrix" (in 1850),[9] "graph" (combinatorics)[10] and "discriminant".[11] He coined the term "totient" for Euler's totient function φ(n).[12]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BB%E3%83%95%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%99%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC
ジェームス・ジョセフ・シルベスター（James Joseph Sylvester, 1814年9月3日 - 1897年3月15日）は、イギリスの数学者。
1838年からユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドン教授、1877年に渡米してジョンズ・ホプキンス大学教授、1883年からオックスフォード大学の幾何学の Savillian 教授を歴任した。1839年王立協会フェロー選出。
w:American Journal of Mathematicsを創刊。行列や組合せ数学の研究を中心に功績を残しシルベスター行列やシルベスターの慣性法則などに名を残している。
受賞歴
1861年ロイヤル・メダル
1880年コプリ・メダル
1887年ド・モルガン・メダル
(引用終り)
以上

2019/10/16(水) 00:02:14.57

>>863

オイラーのφ関数は、最初に１が出たあとは、全部偶数なんですね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%CF%86%E9%96%A2%E6%95%B0
オイラーのφ関数
(抜粋)
オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function）とは、正の整数 n に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数 φ(n) を与える数論的関数 φ である。

1 から 20 までの値は以下の通りである。

1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…(オンライン整数列大辞典の数列 A000010)
1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。

https://oeis.org/A000010
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!)
A000010 Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n. AUTHOR N. J. A. Sloane Last modified October 15 07:56 EDT 2019.
(抜粋)
(Formerly M0299 N0111) 2846
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/16(水) 00:25:26.36

オイラーのトーシェント関数

1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8

をスレ主は筆算で確認できますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/16(水) 00:33:45.99

n=21のときのオイラーのトーシェント関数は

3,6,9,12,15,18,21

と

7,14,21

以外なので21-7-3+1=12

になります

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/16(水) 01:05:22.15

オイラーのトーシェント関数とは

nに対し1からnまでの整数でnと互いに素であるような数の個数

です

n=21なら、1,2,4,5,8,10,11,13,15,17,19,21の12個になります

互いに素とは、二つの数の最大公約数が1であるということです

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77