川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。


∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、

∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))

を示せ。


この問題を自力で解けました。

結構すごいですか？


第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。

が、↓が閃きました。


f(z) := exp(z^2)

とおくと、

f(i*t) = exp(-t^2)

f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)


なかなか冴えていますか？


この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。

しかも、☆印つきの問題です。

「はじめに」には、

「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」

などと書かれています。

気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。