↓この証明ってどうですか？

(a_n) がコーシー列 ⇒ (a_n)は有界である。

証明：

(a_n) が仮に、上に有界でないと仮定する。

(a_n) はコーシー列だから、

m, n ≧ N ⇒ |a_m - a_n | < 1 となるような自然数 N が存在する。

(a_n) は上に有界でないから、 a_N + 1 < a_n となる N より大きい n が無数に存在する。

そのような n の一つを M とする。

a_N + 1 < a_M (N < M)

∴ 1 < a_M - a_N

これは矛盾である。