cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

は (-∞, +∞) で絶対収束する。

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。

>>703

の命題により、

x ∈ (-R, R) のとき、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …

は絶対収束して、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1

が成り立つ。

x = 0 を代入すると、

a_0 = 1

両辺を2回微分すると、

2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0

x = 0 を代入すると、

a_1 = 1/2

…

というように、 a_0, a_1, … を決定できる。