何回でも微分可能である関数 f(x) と

そのTaylor級数 f(0) + f'(0) * x + (f''(0)/2) * x^2 + … + (f^(n)(0)/n!) * x^n + …

が一致しないことがあるんですね。

R_n(x) := f(x) - [f(0) + f'(0) * x + (f''(0)/2) * x^2 + … + (f^(n)(0)/n!) * x^n]

lim_{n → ∞} R_n(x) = 0 ならば、 f(x) = f(0) + f'(0) * x + (f''(0)/2) * x^2 + … + (f^(n)(0)/n!) * x^n + …

ですが、

lim_{n → ∞} R_n(x) ≠ 0 でも、 f(0) + f'(0) * x + (f''(0)/2) * x^2 + … + (f^(n)(0)/n!) * x^n + … が収束することが
あるんですね。