0530現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
2019/08/11(日) 23:29:04.60ID:D5VJA43k>自然数論・整数論・有理数論には無限集合は必要ない
1)素数が無限にあるのに、自然数は有限集合だと?w
2)整数 代数構造 ”Z は 1 の生成する無限巡回群”らしいけど、有限集合なん?(^^
3)有理数は、”体”らしいけど、有限集合なん?(^^
4)有理数は、稠密順序集合で二つの有理数の間には(それがいくら近い値だとしても)少なくとも一つ(従って無数の)有理数が存在するらしいけど、有限集合なん?(^^
「無限集合は必要ない」か、常識ないんか?
(参考)
https://mathtrain.jp/prime
素数が無限にあることの美しい証明 | 高校数学の美しい物語 2016/10/05
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0
整数
(抜粋)
代数構造
整数の全体 Z が加法に対してアーベル群となる
Z は 1 の生成する無限巡回群 ?1? になる。特に Z は同型の違いを除いて唯一の無限巡回群である。
零因子の非存在以外の全ての性質を合わせれば、整数の全体 Z は単位的可換環であることがわかる。
整数全体の成す環は整数環と呼ばれる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数
(抜粋)
基本性質
有理数体と呼ばれる体を成す。また、有理整数環 Z の商体である。加えて、有理数体 Q は標数 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の素体と呼ばれる(すなわち、標数が 0 であるような任意の体は、必ず Q に同型な部分体を含む)。
Q は可算無限集合である(これはたとえば、分母と分子の組を二次元平面上の格子点と考え、うずまき状に辿って自然数と対応付ければよい)。
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。
すなわち、二つの有理数の間には(それがいくら近い値だとしても)少なくとも一つ(従って無数の)有理数が存在する。
オストロフスキーの定理によれば、Q 上の非自明な絶対値は同値の違いを除いて通常の絶対値か p-進絶対値で尽くされる。