X
トップページ⇒数学
1002コメント421KB

分からない問題はここに書いてね454

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0744１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 23:42:37.81ID:OaQOexTD
難しいです
0746 【吉】
垢版 |
2019/08/06(火) 00:44:05.58ID:rNWPzR7y
前>>742俺の嗅覚を甘く見るなよ。
>>743(-.-)ｸﾝｸﾝ...



√(1250^2+125^3)=1875
n=125
0747１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 01:37:38.34ID:KO1VR19N
O中心で弧の長さR扇型において、周上を動点PがAからBまで動く時に、弧APの長さがxのときのAQの長さを、xによる関数としてf(x)とします。(AP>AQ)
この時、AQが通る面積(斜線部分)は、f(x)をどのように定積分すれば求められますか？
Integral[0,R] f(x) dx
で良いのでしょうか？
簡単に言えば極座標において、極からの距離が角度で早くこの長さに依存するバージョンです

https://i.imgur.com/4JNGDJS.jpg
0750イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/06(火) 10:04:08.34ID:rNWPzR7y
前>>746
>>747違うかもやけど、
扇形を三角形と見て、
長さxの弧を細かく刻んだΔxを0からRまで足し集めたものを底辺、
弧の長さxに対する斜線部分の径f(x)を高さとすると、
三角形=(1/2)×底辺×高さ
f(x)の積分関数をF(x)+Cとすると、
斜線部分の面積
=(1/2)∫[x=0→R]f(x)dx
={F(R)-F(0)}/2
0751１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 15:14:37.74ID:E3F8Wrnc
0<x<∞で定義された関数f(x)で、
(C1)恒等的にf(x)>0
(C2)lim[x to 0]f(x)=+∞
(C3)lim[x to ∞]f(x)=0
(C4)いたる所微分可能
を満たすものを考える。
y=f(x)のグラフをxy平面に描き、各xにおいてf(x)の接線を引く。そのx軸との交点をA、y軸との交点をBとし、線分ABの長さをL(x)とする。

質問ですが、L(x)の最小値はf(x)が上記(C1)～(C4)を満たすならば必ず存在しますか？
最大値が存在しない場合もあることは確認しました。よろしくお願いします。
0753１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 15:51:55.22ID:OX0mJe6w
>>725
725です
P(k1T_n <θ<k2T_n)=P(θ/k2<T_n<θ/k1)=P(T_n<θ/k1)-P(T_n<θ/k2)=1/(k1)^n - 1/(k2)^nと変形し
1/(k1)^n - 1/(k2)^n=1-αの条件のもとk2-k1が最小になるようにk1,k2を決定すればよい
ここまではできたのですがここで詰まってしまいました。それとも方針が間違っているのでしょうか？どなたかご教授願いたいです。
0754１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 16:04:38.31ID:SonbT+8g
そりゃl(x)は0にはならないけど
下限が0になるようなfは作れるだろ
0755１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 16:17:31.25ID:Q/NX+4C9
「恒等的にf(x)>0」って、ポエムのニューウェーブか何か？
0758１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 19:22:29.26ID:E3F8Wrnc
>>755
正しい言い方を教えて下さい。
あと下限でなくて最小値が存在するようにできませんか
0764１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 23:48:08.50ID:GwDuEPZI
恒等的にf(x)>0って言い方、違和感覚える人は確かにいるだろうね
(x+1)^2-x^2-2x>0は「恒等的に成立」って感じするけど、x^2+1>0は「全てのxに対して」って感じがするわ
前者は恒等式っぽさが、後者は方程式っぽさが否めない
0766 【大吉】
垢版 |
2019/08/07(水) 00:41:16.79ID:J+Sbr8E0
前>>750
>>760
0≦x≦y≦2をxy平面に図示すると、2辺が2の直角二等辺三角形が描ける。
頂点は(0,0),(0,2),(2,2)
z=3x^2-xy-2x+y+1
=(3x^2-2x+1)-(x-1)y
=(3x-1)(x-1)-(x-1)y
=(x-1)(3x-1-y)
xy平面にx=1とy=3x-1のグラフを描き、この2本の直線上の点(x,y)はz=0だ。
直角二等辺三角形内のいくつかの点をにらみながら、zの値を調べると、
(x,y)→z=(x-1)(3x-1-y)
(0,0)→z=1
(0,1)→z=2
(0,2)→z=3
(2,2)→z=3
(1,2)→z=0
(1,1)→z=0
(1/2,1/2)→z=0
(2/3,2/3)→z=-1/9
(3/4,3/4)→z=-1/8
(4/5,4/5)→z=-3/25
現在の暫定最小値z=-1/8
0767１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 02:52:35.43ID:GSn/o782
>>751
g(x) = -(1-cosx)/(x^3) - 1/(x^100)
G(x) = -∫_(x,∞)g(t)dt
f(x) = xG(x)
とおけば、fは4つの性質を全て満たすし、Lの最小値も存在しない。
（ただし、接線とx軸の交点が存在しない場合はL=∞と定める）

(C1)(C4)は明らか。オーダーを調べることで(C2)(C3)もわかる。
点(a, f(a)) における接線の方程式は
y = (ag(a)+G(a))(x-a) + f(a)
= (ag(a)+G(a))x - (a^2)g(a)
であるから、点Aのy座標は常に正であり、更に a→+∞ の時 0 に収束することがわかる。
また、a=2πn （nは正の整数）の時、点Bのx座標は
(a^2)g(a)/(ag(a)+G(a))
= (a^(-98))/(a^(-99)+G(a))
= O(1/(n^96))
となるから、n→+∞の時 0 に収束する。
以上から L(x) は常に正であり liminf(x→+∞)L(x)=0 であるから、L(x)の最小値は存在しない。
0768１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 03:06:45.67ID:oo9D9QmR
>>760
2・3　x,y が 0≦x≦y≦2 を満たして変化するとき、
　z = 3xx -xy -2x +y +1 の最小値を求めよ。

>>762
z = 3xx-2x+1 + (1-x)y,

(i) 0≦x≦1 なら、
　関数zはyに関して単調増加。
　よって　z ≧ 2xx -x +1 = 2(x -1/4)^2 + 7/8 ≧ 7/8,

(ii) 1≦x≦2 なら、
　関数zはyに関して単調減少。
　よって　z ≧ 3xx -4x +3 = (x-1)(3x-1) +2 ≧ 2,

よって、　(x,y) = (1/4,1/4) としたときの z=7/8 が最小値。
0769１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 10:18:32.95ID:0OdoHy4h
n次正方行列Aは、i+j=kのときa_ij=kである(1≤i≤n,1≤j≤n)。
ただし、Aのi行j列成分をa_ijと書く。
Aが正則行列かどうか判定せよ。
0771イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/07(水) 10:35:58.05ID:J+Sbr8E0
前>>766未確認。
>>760
0≦x≦y≦2をxy平面に図示すると、2辺が2の直角二等辺三角形が描ける。
頂点は(0,0),(0,2),(2,2)
z=3x^2-xy-2x+y+1
=(3x^2-2x+1)-(x-1)y
=(3x-1)(x-1)-(x-1)y
=(x-1)(3x-1-y)
xy平面にx=1とy=3x-1のグラフを描き、この2本の直線上の点(x,y)はz=0だ。
直角二等辺三角形内のいくつかの点をにらみながら、zの値を調べた。
(x,y)→z=(x-1)(3x-1-y)
(0,0)→z=1
(0,1)→z=2
(0,2)→z=3
(2,2)→z=3
(1,2)→z=0
(1,1)→z=0
(1/2,1/2)→z=0
(2/3,2/3)→z=-1/9
(3/4,3/4)→z=(-1/4)(9/4-1-3/4)
=(-9+4+3)/16
=-1/8
(4/5,4/5)→z=-3/25＞-1/8
最小値の候補z=-1/8だが、
x=y=3/4を
z=3x^2-xy-2x+y+1
に代入すると、
z=3(3/4)^2-(3/4)^2-3/4+1
=2(9/16)+1/4
=11/8＞0あわない。
計算間違いの可能性がある。
微分=0のような決定力がほしい。
0772１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 10:56:35.52ID:baxjFqiL
問題として面白いかどうかとか、質問スレに問題出題してどうなんとかもあるけど、そもそも問題の文章すらホントに数学真面目に勉強した事あるのか問い詰めたくなるよな。>>769のkもどう束縛されてるのかわけわからん。
流石に任意のkについてだろうけど、それならa_ij=i+jと書けばいいだけなのに。
0773１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 12:26:45.79ID:8Lm802uC
>>767
> 以上から L(x) は常に正であり liminf(x→+∞)L(x)=0 であるから、L(x)の最小値は存在しない。

L(x) って AB の長さなんだから、常に x < L(x) になるのと違うの？
そんなんで liminf(x→+∞)L(x)=0 になる？
0774１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 12:30:58.08ID:8Lm802uC
今のは取り消す。
勘違いしてた。正の傾きなら原点O近傍に2交点がありえるね。
0775１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 13:09:50.85ID:rMaz3Ehs
n次正方行列Aのi行j列成分a_ijは、a_ij=i+jを満たす(1≤i≤n,1≤j≤n)。
Aが正則行列かどうか判定せよ。
0776１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 13:35:03.05ID:8Lm802uC
>>775
n=1, 2 だと正則行列 (簡単に確かめられる)

n≧3 では 非正則行列
a_{i}{j} -2 a_{i+1}{j} + a_{i+2}{j} = (i+j) - 2.(i+j+1) + (i+j+2) = 0
よって連続した３行は必ず線型従属になるから。
0781イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/07(水) 17:04:04.93ID:J+Sbr8E0
前>>771
0≦x≦y≦2――①
をxy平面に図示すると、2辺が2の直角二等辺三角形が描ける。
頂点は(0,0),(0,2),(2,2)
z=3x^2-xy-2x+y+1
=(3x^2-2x+1)-(x-1)y
3x^2-2x+1の因数分解がまちごうてた。
z=3x^2-xy-2x+y+1
=3x^2-(y+2)x+y+1
z=3{x^2-(y+2)x/3}+y+1
=3{x-(y+2)/6}^2+y+1-{(y+2)/6)}^2
放物線の軸x=(y+2)/6が①のどの範囲にあるかで場合分けする。
(y+2)/6≦0のとき、
zの最小値はx=0のとき、
z=y+1
y=0のとき、
z=1――②
0≦(y+2)/6≦xのとき、
-2≦y≦6x-2
zの最小値はx=(y+2)/6のとき、
z=6x-2+1-3{(6x-2+2)/6}^2
=-y^2/12+2y/3+4/3
=-(1/12)(y-4)^2+4/3+4/3
=-(1/12)(y-4)^2+8/3
y=2のとき、
z=-(1/12)(2-4)^2+8/3
=-1/3+8/3
=7/3――③
x≦(y+2)/6≦yのとき、
6x-2≦y,2/5≦y
zの最小値はx=(y+2)/6のとき、
z=y+1-(1/12)(y+2)^2
=-(1/12)(y^2+4y+4-12y-12)
=-(1/12)(y^2-8y)+2/3
=-(1/12)(y-4)^2+2/3+16/12
=-(1/12)(y-4)^2+2
y=2/5のとき、
z=-(1/12)(2/5-4)^2+2
=-(1/12)(-18/5)^2+2
なんかさっきと違う。

y≦(y+2)/6≦2のとき、
と2≦(y+2)/6のとき、
まだあと2範囲あるけど計算が怪しいんで、ここはzの値の分布状況を勘案し、候補として①の範囲を突っ切る直線、
x-(y+2)/6=0すなわちy=6x-2の線上の点を求める。
zの最小値は、
x=y=2/5のとき、
z=3(2/5)^2-(2/5)(2/5)-2(2/5)-2(2/5)+(2/5)+1
=3(4/25)-(4/25)-2/5+1
=8/25-10/25+1
=23/25――④
①②③④より、
zの最小値=23/25
0783イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/07(水) 17:58:35.26ID:J+Sbr8E0
前>>781
(x,y)=(2,2)のとき、
z=7でおそらく最大だと思う。
(x,y)=(0,0),(1/2,1/2)がともにz=1だから、
(x,y)=(1/4,1/4)がたしかに怪しい。
(x,y)=(1/2,1)は、z=5/4
(x,y)=(0,1),(1,1)はともに、z=2
(x,y)=(1,2)のとき、z=4
0784イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/07(水) 18:11:54.59ID:J+Sbr8E0
前>>783
23/25は惜しかった。
7/8のほうがたしかにちょっとだけ小さい。
(x,y)=(1/4,1/4)で来るとはな。
0785１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/07(水) 21:48:01.02ID:wVATmZYn
重積分について
√(9-x^2-y^2)をD:x^2+y^2<=3x
を計算する時、極座標変換を用いて0<=r<=3cosθ,-π/2<=θ<=π/2とし計算していくと答えは9πになりました。
しかし、対称性を用いて0<=θ<=2/πとして計算すると答えは9π-12となります。wolframを使って検算するとこちらの方が正しいようです。何故このような差異が生まれるのでしょうか？ただの計算ミスなのでしょうか？
0789イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/07(水) 23:49:24.98ID:J+Sbr8E0
前>>784
そうだ、上に凸か下に凹かで場合分けするとか言ってたな。

ぜんぶ無視してすみませんでした。
0791１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/08(木) 00:41:36.97ID:wb6dvUO+
>>788
(1)
これは a[1]=1, a[2]=2, .., a[n]=n 以降は任意の並べ方: 2^n * (2n-n)!
　 = (2^n) n! 通り
( 2^n は n枚の色選択肢 )

(2)
(条件なし)全ての並べ方: (2n)! 通り

「a[1]=k, a[2]={k以下}」を満たす並べ方: (2 + 4(k-1) ) * (2n-2)! 通り
(同じ数字2枚並びは異色2通り, 異なる数字2枚は4通り に注意)
よって X=1 となる並べ方: Σ[k=1,n] ... = 2n(n-1)(2n-2)! 通り

「a[1]={k未満}, a[2]=k, a[3]={k以下} 」を満たす並べ方:
　　( 2^2* (k-1) + 2^2 * (k-1) + 2^3 * {(k-1)^2 - (k-1)} ) * (2n-3)! = 8(k-1)^2 (2n-3)! 通り
よって X=2 となる並べ方: Σ[k=1,n] ...　= (4/3) n(n-1)(2n-1)(2n-3)! 通り

以上より X≧3 となる並べ方:
(2n)! - 2n(n-1)(2n-2)! - (4/3) n(n-1)(2n-1)(2n-3)!
　= (4/3)n(nn-1)(2n-3)! 通り

もうちょっとマシな解法ありそう
0793１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/08(木) 02:10:21.90ID:wb6dvUO+
>>792
そうですね。Σ{k=3,n} (2^3) C{k-1,2}*(2*n-3)! = ... = (4/3)n(n-1)(n-2)(2n-3)!
( n=3 で (1) と一致します )
>>791 の後半は忘れてください...
0794１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/08(木) 17:15:44.81ID:tXG8ZJrb
(C1)恒等的にf(x)>0
0795１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/08(木) 23:23:06.22ID:+3npddFa
奇数の完全数が存在するかしないか教えてけろ
0796１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 00:02:46.44ID:3F4yBL2M
奇数の完全数が存在するかどうかまだ分かってないって凄いよね。なんかすぐわかりそうなもんだけど
0797 【大吉】
垢版 |
2019/08/09(金) 00:47:34.30ID:USDKoaPD
奇数の完全数なんてないだろ。前>>789ないな～ぃ。そんなのあるわけな～ぃ!!　あはははは……
￣￣]/＼＿＿＿＿＿＿
＿＿/＼/ ∩∩∩∩　/|
￣￣＼/ ((^o`^o^))/ |
￣￣￣　っцυ⌒υ　|
￣￣￣￣~UU~υυ|　/|
□　□　□　□　| /|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|
0799１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 09:19:55.92ID:7q6wi2Y+
「y＝f(x) と y＝f⁻¹(x) が異なる2点で交わる」と「y＝f⁻¹(x)とy＝x が異なる２点で交わる」が同値であるという記述を見かけたのですが、
･連続関数である
･y＝x 上に異なる複数(2つ以上)の共有点をもつ
場合に限って同値でしょうか？
0800１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 10:06:51.57ID:FHE2hgaT
A=Bを示す時に
A=Z(0), B=Z(n) になるような関数 Z(n) を定めてZ(n)=Z(n+1) を示すのって、なんで良いのでしょうか？
0801１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 10:25:15.84ID:i8gyLeAY
>>799
P=(fとf⁻¹が異なる2つ以上の点で交わる)
Q=(f⁻¹とy＝x が異なる2つ以上の点で交わる)
R=(fは連続)
S=(fとf⁻¹がy＝x 上に異なる2つ以上の共有点をもつ)
として、主張は「任意のfについて(P⇔Q)⇒(SかつR)」と読めるんですが合ってますか？
0802１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 14:12:51.36ID:FH4W9/Is
>>768
762です
書き取り助かる、ありがとう
0803１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 15:03:35.29ID:xtFjtHJo
∫[0 to a] exp(-x^2) dx =I[a]とし、
lim[a to infty] I[a] = Iとおく。
tをI[t] = (π/4)*Iなる実数とするとき、n<t<n+1を満たす自然数nがただ1つ存在する（この事実は示さずともよい）。
nを求めよ。
0806１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 23:40:41.86ID:ZLWTEHzz
>>803

部分積分により
∫exp(-xx) dx = -(1/2x)exp(-xx) - ∫(1/2xx)exp(-xx) dx
　= -(1/2x)exp(-xx) + {1/(4x^3)}exp(-xx) + ∫{3/(4x^4)}exp(-xx) dx
　= ････

∴　I[a] = I - [1/(2a) - 1/(4a^3) + 3/(8a^5) - ････] exp(-aa)}

t = 0.87752700406522
n = 0,
0807１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/10(土) 09:59:40.38ID:sxGno790
数列a[n]=1/nの各項に対して以下の操作(T)を行い、新たな数列b[n]を作る。
Σ[k=1 to n] a[k] = A[n]
Σ[k=1 to n] b[k] = B[n]
とおくとき、極限
lim[n to infty] A[n]/B[n]
が収束することを示せ。

(T)
a[n]=1/nの小数点以下に並ぶ数字のうち、奇数であるものを全て0に置き換えてできる実数をb[n]とする。例えば
a[1]=1=1.00..., b[1]=1
a[2]=1/2=0.500..., b[2]=0.00...=0
a[3]=1/3=0.333..., b[3]=0.00...=0
a[7]=1/7=0.142857..., b[7]=0.042800...
0810１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/10(土) 11:32:27.74ID:/OEEP8qd
>>807
b[n] の小数点第m位以外の位を全て0にした数を b_m[n] とおけば、
lim_(m→∞) Σ_(n=1,∞) b_m[n]
= lim_(m→∞) Σ_(n=1,10^m) b_m[n]
= lim_(m→∞) (10^(-m))*Σ_(k=1,(10^m)/2) Σ_( 1/(2k+1)≦n/(10^m)<1/(2k) ) ((2k)mod10)
= Σ_(k=1,∞) ((2k)mod10)/(2k(2k+1))
= ∫_(0,1) (2x^2+4x^4+6x^6+8x^8)(1-x)/(1-x^10) dx
≒ 0.652562.
この値を α とおけば α_m := Σ_(n=1,10^m) b_m[n] は lim_(m→∞) α_m = α を満たすので
lim_(m→∞) Σ_(n=1,m) (α_n)/m = α.
これらから、正の整数 n に対して 10^m≦n<10^(m+1) を満たす整数kをとれば
Σ_(k=1,n) b[k]
= 1 + Σ_(k=1,n) Σ_(j=1,∞) b_j[k]
= 1 + (Σ_(j=1,m-1) α_j) + Σ_(j=m,∞) Σ_(k=1,n) b_j[k]
= 1 + (1+o(1))mα + Σ_(j=m,∞) (θ_j)*8n/(10^j)
(ただし各 j に対して θ_j は 0 以上 1 以下の実数)
= 1 + (1+o(1))mα + 72θn/(10^(m+1))
(θ は 0 以上 1 以下の実数)
= (1+o(1))αlogn.
よって、極限値は存在。ついでにその極限値はα.
0811１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/10(土) 12:04:49.63ID:oX3OQU5P
>>803

(π/4)I = 0.7854・I < 0.8427・I = erf(1)・I = I(1) =∫[0,1] exp(-xx) dx,

左辺を ∫[0,t] exp(-xx) dx とすると、
t < 1,
n = 0.
0812１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/10(土) 12:06:44.88ID:/OEEP8qd
>>810
二つ訂正
誤
> = ∫_(0,1) (2x^2+4x^4+6x^6+8x^8)(1-x)/(1-x^10) dx
> ≒ 0.652562.
正
= ∫_(0,1) (2x+4x^3+6x^5+8x^7)(1-x)/(1-x^10) dx
≒ 0.956876.

誤
> = (1+o(1))αlogn.
> よって、極限値は存在。ついでにその極限値はα.
正
= (1+o(1))αlog_10(n).
よって、極限値は存在。ついでにその極限値はα/ln10. ただしlnは自然対数。
0815１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/10(土) 17:24:28.51ID:oX3OQU5P
>>807
nが１桁のとき
　b[1] = 1,　　　　A[1] = 1,　　　B[1] = 1,
　b[2] = 0,　　　　A[2] = 1.5 　　B[2] = 1,
　b[3] = 0,　　　　A[3] = 11/6, 　B[3] = 1,
　b[4] = 0.2 　　　A[4] = 25/12,　B[4] = 1.2
　b[5] = 0.2 　　　A[5] = 137/60, B[5] = 1.4
　b[6] = 0.066667　A[6] = 2.45　　B[6] = 1.46667
　b[7] = 0.042800　A[7] = 2.5929　B[7] = 1.50947
　b[8] = 0.02　　　A[8] = 2.7179　B[8] = 1.52947
　b[9] = 0,　　　　A[9] = 2.8290　B[9] = 1.52947

nがｋ桁のとき
　(1/9)10^k < n ≦ (1/8)10^k　　8 10^(-k) ≦ b[n] < 9 10^(-k)
　(1/7)10^k < n < (1/6)10^k　　6 10^(-k) ≦ b[n] < 7 10^(-k)
　(1/5)10^k < n ≦ (1/4)10^k　　4 10^(-k) ≦ b[n] < 5 10^(-k)
　(1/3)10^k < n ≦ (1/2)10^k　　2 10^(-k) ≦ b[n] < 3 10^(-k)
　その他　　　　　　　　　　　　0 ≦ b[n] < 10^(-k)

10^(k-1) ≦ n < 10^k　の範囲で見ると
　⊿A ～ log(10) = 2.302585
　248/315 = 0.78727 < ⊿B < 1.68727
0816１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/10(土) 21:38:49.55ID:oX3OQU5P
>>812 (上)

(1-x^10)/(1-x) = 1+x+x^2+････+x^9
　= (1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8)
　= (1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4),
より
(2x+4x^3+6x^5+8x^7)(1-x)/(1-x^10)
= (2x+4x^3+6x^5+8x^7)/{(1+x^2+x^4+x^6+x^8)(1+x)}
= (4-2x+6x^2-2x^3+6x^4+4x^6+4x^7)/(1+x^2+x^4+x^6+x^8) - 4/(1+x)
= (4-3x+6x^2-4x^3+6x^4-3x^5+4x^6)/(1+x^2+x^4+x-6+x-8)
　+ (x+2x^3+3x^5+4x^7)/(1+x^2+x^4+x^6+x^8) + F(x)
= (3xx-4x+3)/2(1-x+x^2-x^3+x^4) + 5(1+xx)/(1+x+x^2+x^3+x^4) + E(x) + F(x)
= (φφ/2)/(xx-φx+1) + {1/(2φφ)}/(xx+x/φ+1) + (1+φ/2)/(xx+φx+1)
+ {(3-φ)/2}/(xx-x/φ+1) + E(x) + F(x)
= A(x) + B(x) + C(x)+ D(x) + E(x) + F(x),

∫ A(x) dx = {(φφ-2)/φ√(4-φφ)}arctan{(2x-φ)/√(4-φφ)},
∫ B(x) dx = {(2+√5)/√(5+2√5)}arctan{(2φx+1)/√(4φφ-1)},
∫ C(x) dx = (φ/2)√{2(5+√5)}arctan{(2x+φ)/√(4-φφ)},
∫ D(x) dx = {(2+φ)/φ√(4φφ-1)}arctan{(2φx-1)/√(4φφ-1)},
∫ E(x) dx = (1/2)log(1+x^2+x^4+x^6+x^8) = (1/2)log{(1-x+x^2-x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4)},
∫ F(x) dx = -∫4/(1+x) dx = -4log(1+x),
0817１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 02:47:16.52ID:GctloD3X
↑の訂正

= (3-4x+3xx)/2(1-x+x^2-x^3+x^4) + 5(1+xx)/2(1+x+x^2+x^3+x^4) + E(x) + F(x)
= (1-φ/2)/(1-φx+xx) + (φφ/2)/(1+x/φ+xx) + (1+φ/2)/(1+φx+xx)
+ {(3-φ)/2}/(1-x/φ+xx) + E(x) + F(x)
= A(x) + B(x) + C(x)+ D(x) + E(x) + F(x),

A = (π/5)2√(1-2/√5) = 0.408306132277
B = (π/5)√(1+2/√5) = 0.864806265977
C = (π/5)(1/2)√(5+2√5) = 0.966882799046
D = (π/5)(3/2)√(5-2√5) = 0.684750200550
E = (1/2)log(5) = 0.804718956217
F = -4log(2) =-2.772588722240

合計　0.956875631828
0818１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 03:08:58.57ID:GctloD3X
↑　つまり
A(x) = (1-φ/2)/(1-φx+xx),
B(x) = (φφ/2)/(1+x/φ+xx),
C(x) = (1+φ/2)/(1+φx+xx),
D(x) = {(3-φ)/2}/(1-x/φ+xx),
E(x) = (x+2x^3+3x^5+4x^7)/(1+x^2+x^4+x^6+x^8),
F(x) = -4/(1+x),
φ = (1+√5)/2 = 1.618034････
0819１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 06:54:43.95ID:3IN5mwD+
>>807
よく見たら A[n]/B[n] の極限かこれ…
>>812 で求めたのは逆数 B[n]/A[n] の極限値であることに注意。

>>817 明示的に表したんか…すごい根気
0821１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 19:47:44.31ID:24szNkNg
順序で反対称律が成り立てばサイクルが無いって本に書いてあるんだけど
a≦b , b≦aのときa→b→aのサイクルあるよね
おかしくない？
0822１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 19:52:59.38ID:F9EOH79e
その本は見たことないけど、真に異なる2元についての話じゃないの？
0823１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 19:54:26.20ID:24szNkNg
0<1<2<...<n-1と順序付け蹴られた{1,...n-1}がn要素の全順序と同型とか
かいてあるんだけど
0<2<3=4<...<n-1と順序づけられた{1,...,n-1}はn要素の全順序だけど同型じゃないよね
この本捨てたほうが良い？
0824１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 21:51:37.00ID:24Hn+lSJ
辺の長さがa,b,c(0<a<b<c、a^2+b^2+c^2=1)の直方体を、対角線を軸として回転させたときに通過する部分の体積を求めよ。

が分かりません。
0827１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:04:48.03ID:5kZNsF+W
失礼致します。
V : 0次元K-vector空間
T : Vの線形変換 とするとき、
Vの基底∅に関するTの表現行列は
0×0の零行列になるべきだと思うのですが、
これは表現行列のどのように定義すれば正当化できますでしょうか。
0828１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:18:04.17ID:FbwepJo+
Kが1の原始n乗根ζを含むとき、巡回拡大L/Kは冪根拡大である。と、ガロア理論の本に、書いてあるんですが、これってヒルベルトの第12問題の特殊な場合ですか？
0830１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:24:49.82ID:FbwepJo+
すみません。分からない問題スレに書くことではなかったですね。質問スレ行ってきます。
0831１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:28:27.21ID:nJJxU8Jr
>>827
0次元ベクトル空間の基底はφとか言うわけわからないものじゃないはずですよ
もっと身近なものなはずですね
0832１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:39:16.63ID:RSK9lVUi
n,p,q,rは整数でp+q+r=nを満たす
このとき
n!/(p!q!r!)が必ず整数になる理由を教えてください。
0833１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:39:51.08ID:5kZNsF+W
>>831
いえ、0次元vector空間の基底は空集合∅です。
というか、ただ1点からなる基底なので
0836１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:46:41.85ID:5kZNsF+W
>>831
すみません。途中で送信してしまいました。
ただ1点からなるK-vector空間V={0}の基底は空集合∅しかありませんので、
dim(V)=|∅|=0 というのが正しいです。

なお、質問の内容については、
自己解決しました。

ご回答頂きありがとうございました。
0838１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/11(日) 23:58:24.46ID:5kZNsF+W
>>835
推敲している途中に送信してしまいましたので、
「ただ1点からなる基底」という意図しない文章を送ってしまいました。
失礼致しました。
0839 【大凶】
垢版 |
2019/08/12(月) 00:39:37.45ID:R6APndVz
前>>797
>>824
xyz空間に点(a,b,c)をa＜b＜cとなるようにとり、点(0,0,0)と結んだ直線を対角線とする直方体をこの直線を軸に一回転させると、直方体の通過部分は、
円錐と円錐台をてれこにして円錐台のちっさい側の底面で張りあわせた鼓のような形。
点(0,0,0)も点(a,b,c)もわりと鈍角にとがった頂点。
オリオン座を天地対称にした形。
直方体をz軸に平行に二等分した断面を、縦c横√(a^2+b^2)の長方形で描くと、対角線の長さは題意より、
√(a^2+b^2+c^2)=1
直角三角形の合同とピタゴラスの定理より、円錐および円錐台の半径と高さを特定する。3辺の比はおっきいほうから、
1:c:√(a^2+b^2)
=1:c:√(1-c^2)
円錐=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}(1-c^2)
=πc^2/3
鼓形物体の最大半径
=c/√(1-c^2)
対角線中央の底面積(鼓形物体のくびれてる部分の最小断面)
=(1/2){c/√(1-c^2)}(1/c^2)
=1/2c√(1-c^2)
円錐台=(1/3)π{c^2/(1-c^2)}-(1/3)π{1/4c^2(1-c^2)}(1/2)
∴直方体の通過部分の体積
=2(円錐+円錐台)
=2πc^2/3
+2(1/3)π{c^2/(1-c^2)}-2(1/3)π{1/4c^2(1-c^2)}(1/2)
=2πc^2/(1-c^2)-π/12c^2(1-c^2)
=(8c^2-1)π/12c^2(1-c^2)
0842イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/12(月) 01:53:22.78ID:R6APndVz
前>>839
>>840
a＜b＜cだから、
c=1/√3と仮定したら、aもbも存在しないだろう。
a^2+b^2=1-c^2=1-1/3=2/3
aもbもcより短い。つまりcは、
1/√3＜c
1/√3よりおっきいはずで、その仮定に矛盾する。
0843１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/12(月) 02:23:34.08ID:yp85yo3k
コレも円錐とかの組み合わせにはならないやつで積分しないと無理だろ？
よってイナには無理です。
0844１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/12(月) 02:40:19.08ID:Nl95aGGH
>>842
<ではなく<=でした申し訳ないです泣
a=b=cのときはπ/9になるはずなんです

>>843
そうですね、円柱2つと回転一葉双曲面とあと2つの物体になるはずです
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニューススポーツなんでも実況