>>67 (訂正)
●1.2 にて、lim a[n] = β → lim f(a[n]) = f(β) つまり連続性を使ってしまっている.
さらによく考えてみれば, 連続でないなら α ;= f(q) で α ≠ q の場合もある.

なので、もう少し修正が必要だが、それでも連続性の前提は外せると思う。