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分からない問題はここに書いてね454

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0650１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 00:18:23.14ID:JSq4ZtF+
>>649
気温に使える数かな？

0度もマイナス7度もあるし

ただ、気温は10.7度とか小数が使えるからな
0651１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 00:42:40.39ID:/LnLCRO5
>>649
1 の+- で表現できる数である
数えられる物質のカウントに使える
-200万の赤字とか
50万の黒字など
0652１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 01:34:42.59ID:xCAdnJNv
>>625 , >>648
{ (x+y+z)/3 }^2 ≦ (xx + yy + zz)/3　(∵ Jensen不等式 (等号成立条件は x=y=z ) )
　= { (x+y+z)^2 - 2 (xy+yz+zx) } / 3
0 ≦ (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)
0 ≦ {(x+y+z)^3 - 3(xy+yz+zx)(x+y+z) + 3xyz } - 3xyz　(∵ 0 < x+y+z )
0 ≦ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
∴ x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3xyz
x<y<z の時に等号が成立することはない。

(2)を使い道は分からん
0653１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 02:02:50.39ID:pz8hzzuL
面白い問題の面白い解法おもいついたぜ！的なやつじゃないの？
ただの相加相乗平均の等号成立条件の話にしかみえんのだが。
0654１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 02:08:42.10ID:rk4XK8I7
頭悪いやつが問題出して喜んでるのをみんな避けてるの、わからないかなぁ………
アスペはこれだから
0656１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 02:48:56.34ID:6+XGsIBj
等号成立条件は x=y=z と仮定する
中略
ゆえに
x<y<z の時に等号が成立することはない

等号成立条件を仮定しているのに
その等号が成立しない条件を示す

これに意味はない
イコールで書けるものがあると仮定しているのにもかかわらず
イコールでない場合を明示してどうする
既にイコールで書けることは仮定している
その条件が外れた場合はイコールを除いた不等号に決まっている
0657１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 07:29:17.57ID:QekS+DF3
すいません
8÷2(2＋2)
のものです。皆さんレスありがとうございます。

「式が曖昧なので答えが確定しない」まで理解できました。

ちょうど息子がその辺を習っているのでネットで見かけた話題を一緒に考えてみました。
結果1と16に答えが割れました。そして
「どちらが正解なんだろう？」との疑問をこちらのスレの皆さんに解いていただこうと書き込みした次第です。

学習塾の先生がおっしゃるには
「÷の記号が本来数学にない」
とのことですが私には難しすぎて理解できませんでした。

ともあれ荒れさせてしまいすみませんでした。
この問題はこの辺で終了たさせてください。
レスを下さった皆さん重ねてありがとうございました。
良い夏休みをおすごしください。
0659１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 09:14:41.17ID:OkprqPHK
>>658
608です
よろしければどのように解くのか教えて頂けませんか？
変数分離の形の波動方程式なら解けるのですが、答えを見るに初めて見るパターンです。
0661１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 10:28:18.77ID:iBloBzZq
n次実正方行列PがP^2=Pを満たしR^nがIm PとIm Pの補空間の直和で表されるときPは対称行列であることを示せ。
という問題の解き方を教えてください。
0664１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 11:08:17.79ID:iBloBzZq
>>661
何度もすみません。問題を読み間違えてました。
正しくは

n次実正方行列PがP^2=Pを満たしIm PとKer Pが直交し、Im P∩Ker P={0}のときPは対称行列であることを示せ。

という問題です。
スレ汚して申しわけないです。
0665１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 11:56:42.28ID:MhbiabIn
>>659 >>660
w(y,t) = sin(ay+b)g(t)
とおく。　与式から
　∂w/∂t = ∂^2 w /(∂y)^2 = -aa･ｗ,
sin(ax+b) で割ると
　g '(t) = -aa･g(t),
これを解いて
　g(t) = exp(-aat),
　w(y,t) = sin(ay+b) exp(-aat),
これを重ね合わせる。
0666１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 11:58:42.84ID:xCAdnJNv
>>664
ImPの任意要素 v には 適当な R^nの要素 x が存在して　v = P.x と書ける.
条件より P.v = PP.x = P.x = 1.v
つまり ImP　は 固有値 1 の固有空間、
そして KerP は 固有値 0 の固有空間である.

条件よりImPとKerPは直交していて、かつ n=dim(ImP)+ dim(KerP) なので
R^n = ImP + KerP
つまり適当な直交基底に対して Pは diag(1,1,...,1, 0,...,0) と書ける. (diagonal matrix: 対角行列)
P = R.diag(1,1,...,1, 0,...,0).R^t　 (Rは回転行列)
よって P^t = P
Pは対称行列である.
0667１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 12:29:24.51ID:xCAdnJNv
(追加)
> つまり適当な直交基底に対して...
この"正規"直交基底を f1, f2, ..., fn として, R := ( f1, f2, ..., fn ) とする.
R^t. R = ( f1, f2, ..., fn )^t . ( f1, f2, ..., fn ) = E {単位行列}
より Rは直交行列である. ( "回転行列" と言うのは det R = 1 の時だけらしい)
R^t. P.R = R^t . ( 1.e_1,1.e_2, ..., 0.e_n ) = diag( 1,1,..., 0 ) ( =: Λ とする )
よって P = R Λ R^t
0668１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 13:29:33.54ID:OkprqPHK
>>665
> w(y,t) = sin(ay+b)g(t)
> とおく。
これは熱伝導方程式を解くときはこうするのがお決まりみたいなものなのですか？それとも初期条件を見て今回はこのように置いたということなのでしょうか？
0669１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 16:12:02.01ID:MhbiabIn
お決まりと言ってもよいでしょう。
初期条件をフーリエ展開して
　w(y,0) = Σ[a] sin(ay+b),
となったら
　w(y,t) = Σ[a] sin(ay+b) exp(-aat),
0670１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 16:15:25.62ID:MhbiabIn
お決まりと言ってもよいでしょう。
初期条件をフーリエ展開して
　w(y,0) = Σ[a] C_a sin(ay+b),
となったら
　w(y,t) = Σ[a] C_a sin(ay+b) exp(-aat),
0671１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 21:15:25.82ID:JCVg1kWI
eを分母が1桁の有理数で近似するとき、最も精度が良いものを求めなさい。
という問題で、解説が一切なく答えのみ書かれていました。このような、無理数を有理数で精度良く近似する時は、何を使うのでしょうか。
道具として、連分数とテイラー展開は何となく思いつきますが、「分母n桁」と「最も精度が良い」をどうクリアしたら良いか分かりません。
ご指導お願いいたします。
0673１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 21:24:46.00ID:JCVg1kWI
>>672
数学検定1級の過去問題集にあった問題で、単に整数と書かれていました。
数値としてはe=2.718281828...のみが与えられています。
1次試験のため計算過程や論述は不要ですが、どうして最小の分数が19/7に決まるのか全く書かれておらず理論が分かりません。
0674１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 21:46:32.22ID:/LnLCRO5
>>673
たった9個なんてローラーでいいよ
en=m | n= 1..9, e=2.718281828
9個大隊計算していくと
n=3のときにm=7.15...と整数から0.15ずれてて有力だけど
n=7のときに19.0...とかなり整数に近いから
0680１３２人目の素数さん
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2019/08/03(土) 23:48:05.99ID:/LnLCRO5
じゃあ絞ればいい
2.7 に整数 3を書けると
大体 8は安産だから
3, 6,7 9,程度の4か所をチェックすればいい

半減
0681１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 00:06:33.11ID:1of8rU+C
皆様レスありがとうございます。
高々9通り試せば良いことがよく分かりました。
実は、システマティックな方法があると思って問の前半のみを書いたのですが、後半として「分母が2桁の場合」もありました。3桁以降は問われていません。
これも10から99までの総当りで何とかなるのでしょうか。
0684１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 00:36:34.55ID:1of8rU+C
>>682
ありがとうございます。
あたりをつけていくことになるんですね。
eの近似値を求めるとあったので、連分数やテイラー展開を使うのかと思いましたが、eに全く関係ない問題だとは思いませんでした。
0686１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 01:01:20.83ID:ohb0XEhv
いや、ダメだ。
いま電卓片手にfarey数列の理論使ってやってみたけど電卓使っても恐ろしい手間かかる。
こんなのパソコンでも持ち込まなきゃ分母二桁の最良近似なんてとても無理だ。
0687１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 03:46:56.84ID:mMVmWw0w
近似表示したい値＝e=2.718281828...
この値は、(2/1,3/1)　にある
分母同士、分子同士を加えてできる　5/2　で　この範囲を二つに分け、範囲(2/1,5/2)　と　範囲(5/2,3/1)　のどちらにeがあるか？　答え　(5/2,3/1)
この範囲を、8/3で二分し、(5/2,8/3)と(8/3,3/1)のどちらにeが有るか？　答え　(8/3,3/1)
11/4を加え、(8/3,11/4)と(11/4,3/1)のどちら？　答え(8/3,11/4)
19/7を加え、(8/3,19/7),(19/7,11/4)のどちら？　答え(19/7,11/4)
次加えるべき分数は、30/11となるが、(19/7,11/4)の範囲に、11より分母の小さい分数は無いから、
分母一桁という条件では、19/7　か　11/4　が候補
0688１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 07:18:16.17ID:nU8H17FN
2<e<3 なので
(e-2)/(3-e) = 2.54965 ≒ 5/2
と近似すれば出る。

分母2桁でもおk
0689１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 08:03:05.15ID:nU8H17FN
>>684
eの連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。

e = 2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 +････)))))

　= 2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]

初めの方は　5/2, 11/4, 19/7, 68/25, 106/39, 193/71, 299/110, 1457/536, 2721/1001, 4178/1537, 25946/9545, 49171/18089, ････

http://oeis.org/A003417

分母1桁　19/7　= 2.7143
分母2桁　193/71　= 2.71831
分母3桁　1457/536　= 2.7182836
0690１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 08:30:44.05ID:ohb0XEhv
>>689
それはeに収束するだけで、分母が××以下の有理数近似で最良のものをを与えてくれるわけじゃないのでは？
正規連分数だからいけるの？
0692１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 10:32:36.37ID:vzU8Q2kc
https://i.imgur.com/MhKf38u.jpg

この(3)で
5つの連続した整数の和は5の倍数になるとあるのですが、

これって－2 －1 0 1 2

だった場合0になってしまうから、5の倍数にならなくないですか？
0694１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 11:15:00.28ID:91fIbE6U
>>689
連分数計算で得られる x/y は分母 y 以下の有理数の中では e の最良近似だけど、
例えば 193/71 が 分母 99 以下の有理数の中で最良近似かどうかは要チェックではないの？

効率考えずにプログラム走らせると
最良近似の数列は
... , [193/71], 685/252, 878/323, 1071/394, [1264/465], [1457/536], [2721/1001], ...
のように続く。(カギ括弧のは連分数展開で現れる有理数)
確かに ?/72,..., ?/99 の間で記録更新は生じないのだけど、それ手計算ですぐ確認できますかね...?
0695１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 11:45:15.27ID:mMVmWw0w
連分数展開を利用した分数は、真の値に振動しながら近づきます。
単に、前回の近似分数より精度がよいものが順に現れるのでは無く、
誤差の正負が逆転するという条件も伴っています。

従って、「分母がこれこれ以下」のような条件を満たすものを、連分数展開で現れる物だけを
チェックしていては、見逃すものが現れ得ますね。
0696１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 11:50:02.71ID:ueI8kLfK
>>694
wikiからの受け売りで未確認だけどfarey数列でできる有理数近似はどうも正則連分数展開で得られる有理数列と同じになるくさい。
ただし問題としてはネイピア数の正則連分数展開というさほどメジャーでない話を知ってないといかんというのが。
レポート提出の課題とかならまだしも数学検定とかの問題としてはちょっとダメな感じが。
0697１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 12:58:10.06ID:E1Hw19rZ
実数αに対して ||α|| = min_[nは整数] |α-n| を、実数αの整数との近さを表すものとして、
つまり ||en|| がわりと小さくなる（厳密には ||en||/n が最も小さくなる）正整数 n≦100 を探せってことだよね？

例えば n≦7 までの値が
||e||~0.282、||2e||~0.437、||3e||~0.155、||4e||~0.127、||5e||~0.409、||6e||~0.310、||7e||~0.028
等と求められれば、n≦6 の時の ||en||≧0.126 がわかるから、
三角不等式を使えば整数s,t について
||(7s+t)e|| ≧ abs(||7se|| - ||te||) ~ abs(||0.028t|| - ||te||)
とか使って探索範囲減らせるし、
次の（局所的に最良な）更新値である ||39e||~0.013 や、
n≦31 の時の ||en||≧0.028 等がわかれば同様に
||(39s+t)e|| ≧ abs(||0.013s|| + ||te||)
から次の最良値の目処も立つだろうし
電卓あれば比較的簡単に出せそうな気が（というか電卓アリだったのか数検…）
0699１３２人目の素数さん
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2019/08/04(日) 14:10:40.93ID:nU8H17FN
〔ディオファントス近似に関するディリクレの定理〕

無理数αに対して
　| x/y - α | < 1/(y^2),
を満たす有理数 x/y が存在する。

x/y を求める方法の一つが連分数計算です^^
0701１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 22:05:14.67ID:mMVmWw0w
e = 2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...] に対し、
2 + [1]
2 + [1, 1] = 5/2
2 + [1, 2] = 8/3
2 + [1, 2, 1] = 11/4
2 + [1, 2, 1, 1] = 19/7
2 + [1, 2, 1, 1, 1] = 30/11
2 + [1, 2, 1, 1, 2] = 49/18
2 + [1, 2, 1, 1, 3] = 68/25
2 + [1, 2, 1, 1, 4] = 87/32
2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1] = 106/39
2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1] = 193/71
2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 1] = 299/110
2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 2] = 492/181
...
2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6] = 1264/465

のように、連分数表現において、最後の数字を一つ大きくするか、“,1”を加えることによって、
分母が大きくなる数列ができます。（前者の場合は、必ず、真の値に近づきます。）
これを使えば、「分母三桁以下」などの条件に当てはまるものを、確実に捕らえることができますね。
0702１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 22:20:25.72ID:ohb0XEhv
>>701

> のように、連分数表現において、最後の数字を一つ大きくするか、“,1”を加えることによって、
> 分母が大きくなる数列ができます。（前者の場合は、必ず、真の値に近づきます。）
そんなの正則でない連分数でも成立するじゃん？
分母が××以下ってのを調べるなら正則なやつじゃないとダメなんじゃないの？
0703１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 22:41:38.45ID:mMVmWw0w
701 の方法は、>>687のファレイ分数の方法を、連分数的な表現に言い直しただけです。
従って、ファレイ分数で知られている事実、
「分数 a/b と c/d　が隣り合っているとき（|ad-bc|=1の時）、区間(a/b,c/d)の中の分数の中で、分母が最小なのは、(a+c)/(b+d)」
が使えます。確実に分母を大きくしつつ、真値に近い分数の探索に使えます。
0704１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 22:51:44.68ID:ohb0XEhv
>>703
そう、だから連分数を打ち切って得られる近似分数が隣接するfarey列の2数で挟んだもので得られるものと同じになれば十分だけどそれは正則な連分数でないと言えない。
しかし>>701で言ってる事は別に正則な連分数でなくても成立してしまってる。
もしかしたら正則でない連分数から作る方法があるかもしれないけど少なくとも>>701の説明で連分数の打ち切り近似で分母がより小さい有理数で近似できないかの説明にはなってないと思う。
0705１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 23:15:05.58ID:mMVmWw0w
>>704
・求めたい値が、区間 (a/b,c/d)　内にある。
・a/b と　c/d　は隣り合っている。つまり、|ad-bc|=1。
→
区間(a/b,c/d)内のすべての有理数の分母は(b+d)以上
→
閉区間[a/b,c/d]　の中で、分母が(b+d)以下の分数で、求めたい値に近いものは、
a/b、(a+c)/(b+d)、c/d　のいずれか

という論理ですが、問題ありますか？


前提条件になっているというか、順次範囲を狭め、成立させ続けている条件とも言えますが、
隣り合う分数で挟まれた区間 (a/b,c/d)　内に真値があるという時点で、
分母が b や d より小さい分数全て、この範囲の外にあるので、真値により近い分数としては、
a/b や c/d に敗北しているのです。
真値に近い候補としては、a/b 、c/d　および、これらから「ファレイ操作（？）」によって作られる分数
に限ってよいのです。
0706１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 23:27:14.64ID:mMVmWw0w
こういった方がいいのかな？

適当に選んだ、二つの分数で定まる区間　(a/b,c/d)　内になら、
分母が、b+d　、あるいは、b や d より小さい分数は存在し得るが、
a/bとc/dが隣り合っているなら、この区間内の分数の分母は、一つの例外を除いて、全て(b+d)より大きい。
0707１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 23:41:56.86ID:ohb0XEhv
いや、隣接するfarey数列で挟めばその間に分母が小さい有理数が存在しないのはいいですよ。
問題は正則ではないかもしれない連分数の打ち切り近似で得られる上下からの挟み討ちは必ずしも隣接farey列の2数とは限らないですよね？
それは正則連分数なら確かに正しいし正則連分数が持ってる打ち切り近似の持っている性質を利用すれば証明できますが、
>>701で抑えている性質は正則ではない連分数でも持っている性質なので、そこから打ち切り近似が隣接farey列の2数とは言えないのではないかという疑問です。
0708１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/04(日) 23:49:23.27ID:91fIbE6U
>>705, >>706
自分あまり理解できていなくてなんなんですけど、

> 最良近似の数列は
> ... , [193/71], 685/252, 878/323, 1071/394, [1264/465], [1457/536], [2721/1001], ...
> のように続く。(カギ括弧のは連分数展開で現れる有理数)

そのファレイ操作で 193/71 の次に来る 685/252 は捕捉できるのですか？
そうでないなら、193/71 の次に来る分母が３桁なのは偶然ラッキーなだけのように見えるのです。
2桁だ３桁だのは単に１０進数に依拠した表示ですから。
0709１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 00:02:03.64ID:mWIRrJL5
>>707
出発時点で使った、2/1　と　3/1は　隣り合っている分数です。
分母同士、分子同士の和で作られる　5/2　は、2/1　とも、3/1とも隣り合っています。
つまり、隣り合った分数　a/b　と　c/d　から作られる　(a+c)/(b+d)は、a/bともc/dとも隣り合っています。

隣り合った分数a/bとc/dで挟まれた閉区間を、(a+c)/(b+d)　で二分し、
[a/b,(a+c)/(b+d)]　あるいは、[(a+c)/(b+d),c/d]に分け、注目する区間をどちらかに限定し、さらに、
同じような操作を繰り返した場合でも、常に注目する区間は、隣り合った分数で挟まれた区間となります。
何も問題はありません。
0712１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 00:35:00.14ID:Vj1uEW7V
>>708
横レスです。
一般に正の項からなる連分数の打ち切り近似からなる有理数列はその無限連分数の収束値を上下から交互に挟んで収束していく。
そしてその連分数が正則であるならその2数は"隣接する"二数になる。
例えば2721/1001<e<1457/536
は分母が1001以下の有理数の最良の上下からの近似を与える。
よって例えば分母が5桁の最良の近似が欲しければ正則連分数があれば打ち切り近似の分母が大きいが6桁を超えるところまで計算して、その中で分母が5桁の一番近いものが答え。
正則連分数が綺麗に並ぶもの(ランバート連分数とか)ならうまくいく。
でも超幾何関数の隣接漸化式から作ったような正則ではない連分数だと多分うまくいかない。
うまくいかない具体的な例は知らないけど。
0714１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 01:32:08.29ID:mWIRrJL5
>>712
その方法は、>>694　さんが計算してくれたところの、カギ括弧付きのもののみを候補とする方法だと思います。
恣意的な設定ですが、「分母が400以下」だと、本当の答えは、1071/394　ですが、
>>712の方法だと、193/71　の次が、1264/465　となるので、193/71と　答えてしまうのではないでしょうか？

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...] に対し、
[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1]=193/71
[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6]=1264/465
だから、193/71とするのでは無く、
[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, k]として、k=1,2,3,4,5　のようなものも候補に加えればよいというのが、私の主張で、
実際、k=5で、1071/394　が得られます。
0715１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 02:36:06.22ID:Vj1uEW7V
あれ？おかしいな？
193/71と1264/465は隣接してるから
193×465-1264×71の間には分母が465より小さい有理数ないはずなんだけど？
0716１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 02:39:41.07ID:Vj1uEW7V
あ、文章ミスった
> 193×465-1264×71=1だからその2数の間には分母が465より小さい有理数ないはずなんだけど？
0717１３２人目の素数さん
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2019/08/05(月) 02:46:58.24ID:Vj1uEW7V
あ、いや、今わかった。
確かにその通り。
正則連分数ですらダメなのか。
じゃ正則連分数表示知ってても結局役に立たず、地道にfarey列で挟んでいくしかないのか。
これはダメだ。
電卓でもなけりゃ絶対無理だwwww
0718１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 12:18:52.72ID:mWIRrJL5
与えられた有理数　n/m　に対し、　|ad-bc|=1,n=a+c,m=b+d　,a/b < c/dを満たす唯一の整数解　(a,b,c,d)　を
[a/b,c/d] のように表記し、>>701の内容の最右辺に添えました。

[2;1,1] = 5/2 : [2/1,3/1]
[2;1,2] = 8/3 : [5/2,3/1]
[2;1,2,1] = 11/4 : [8/3,3/1]
[2;1,2,1,1] = 19/7 : [8/3,11/4]
[2;1,2,1,1,1] = 30/11 : [19/7,11/4]
[2;1,2,1,1,2] = 49/18 : [19/7,30/11]
[2;1,2,1,1,3] = 68/25 : [19/7,49/18]
[2;1,2,1,1,4] = 87/32 : [19/7,68/25]
[2;1,2,1,1,4,1] = 106/39 : [19/7,87/32]
[2;1,2,1,1,4,1,1] = 193/71 : [106/39,87/32]
[2;1,2,1,1,4,1,1,1] = 299/110 : [106/39,193/71]
[2;1,2,1,1,4,1,1,2] = 492/181 : [299/110,193/71]
[2;1,2,1,1,4,1,1,3] = 685/252 : [492/181,193/71]
[2;1,2,1,1,4,1,1,4] = 878/323 : [685/252,193/71]
[2;1,2,1,1,4,1,1,5] = 1071/394 : [878/323,193/71]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6] = 1264/465 : [1071/394,193/71]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1] = 1457/536 : [1264/465,193/71]
0719１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 12:19:26.77ID:mWIRrJL5
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1] = 2721/1001 : [1264/465,1457/536]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,1] = 4178/1537 : [2721/1001,1457/536]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,2] = 6899/2538 : [2721/1001,4178/1537]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,3] = 9620/3539 : [2721/1001,6899/2538]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,4] = 12341/4540 : [2721/1001,9620/3539]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,5] = 15062/5541 : [2721/1001,12341/4540]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,6] = 17783/6542 : [2721/1001,15062/5541]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,7] = 20504/7543 : [2721/1001,17783/6542]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8] = 23225/8544 : [2721/1001,20504/7543]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1] = 25946/9545 : [2721/1001,23225/8544]
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1] = 49171/18089 : [25946/9545,23225/8544]

お気づきだと思いますが、これは、[a/b,c/d]　を閉区間を表示したものと見なし、「ファレイ操作」によって、
区間を狭める一連の操作が行われたものとも見なせます。

>>じゃ正則連分数表示知ってても結局役に立たず、地道にfarey列で挟んでいくしかないのか。
そんな事はありません。連分数表示を途中で打ち切ってしまうのでは無く、「最後の数字を一つ大きくするか、“,1”を加える」操作の
道しるべと見なせば、両操作は、同じ事を行っている事が確認できます。
連分数表示を知っていれば、ファレイ操作において、いちいちどちらの区間に入っているかチェックする必要が無くなるとも言えます。
0720１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 13:47:39.29ID:tw19LQ24
確率論勉強しててスチルチェス積分ってのがでて来て特に詳しい説明もないまま流されたんだけど
これは知っておく必要がある知識なの？
0723１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 14:36:12.57ID:Vj1uEW7V
>>719
だって>>714さんの指摘にはどう答えるの？
打ち切り近似の中に解があるとは限らないから、打ち切り近似の中のたとえば分母400以下の最良表示がわかったとして、実際の分母が400以下の最良近似1071/394を求めるにはどうするの？
0724１３２人目の素数さん
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2019/08/05(月) 15:32:50.97ID:mWIRrJL5
>>723
何を言っているのか、困惑しているのですが、>>714も>>719も私の発言です。
最良近似1071/394は、
>> [2;1,2,1,1,4,1,1,5] = 1071/394 : [878/323,193/71]
として、候補に挙がってます。
このような候補を見逃さないように、最後の数字を一つづつ変化させているのです。
（この操作が、「ファレイ操作」に対応しています。）

普通、e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10, ...] に対し、
[2;1],[2;1,2],[2;1,2,1],[2;1,2,1,1],[2;1,2,1,1,4],[2;1,2,1,1,4,1],[2;1,2,1,1,4,1,1],...
のような形で、打ち切り部分を、伸ばしていきますが、>>718のような形で、伸ばすことにより、
分母をじわじわ大きくしながら、真値に近い候補を探ることになります。

一度遠回しな表現はしたのですが、再度補足しておくと、>>718らに書かれている分数は、
分母は常に大きくはなっていますが、常に真値に近づいているわけではありません。
誤差の正負が反転する辺りで、誤差が大きくなります。
その後、誤差が減っていくのですが、正負が反転する当たりで、再度誤差がふくれます。
この繰り返しで、真値に近づいていきます。
0726１３２人目の素数さん
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2019/08/05(月) 16:30:01.15ID:Vj1uEW7V
>>724
すいません。やはりわかりません。
具体的に>>723のような設問では連分数展開の打ち切り近似を利用した解法の記述ではどうなるんですか？

k=1,2,3,4,5　のようなものも候補に加えればよいというのが、私の主張で、
> 実際、k=5で、1071/394　が得られます。

これはkを上げていったものの中に必ず解があるのは何故ですか？
0727１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 16:32:03.58ID:Vj1uEW7V
あ、間違った。
この中に解があり、しかもk=5で探索が終了するのは何故ですか？
0732１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 19:55:15.71ID:p5oV6jpW
a,bを自然数とする。ax+by=1を満たす整数x,yが存在するとき,
a,bは互いに素であることを証明せよ。

背理法を用いる。
［a,bは互いに素でないとすると
　　a=a'g, b=b'g （a', b'は互いに素, gはa,bの最大公約数で, g＞1）
とおける。
ax+by=1に代入して整理すると　g（a'x+b'y）=1
g, a'x+b'yは整数であるから…①　（g, a'x+b'y）=（1, 1）,（-1, -1）
これは　ｇ＞1に矛盾する。］

①で、あえてg＞1を伏せて、無理やり証明するものなのですか？
0733イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/05(月) 19:57:07.80ID:hcaEFDbJ
前>>730
与式=(x^2-7x+11)^(x^2-13x+42)=1
x^2-7x+11=1のとき、
x=2,5――①
x^2-13x+42=20,12
与式=1^20=1^12=1
x^2-13x+42=0のとき、
x=(13±√169-168)/2
=7,6――②
与式=(7^2-7･7+11)^0=11^0=1
①②より、x=2,5,6,7
0734１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 19:57:33.35ID:mWIRrJL5
>>726
　>>687で示した方法、つまり、ターゲットの範囲を、二つに分け、そのどちらに、目的の値が
存在するかをチェックし、存在する方の範囲を、新たなターゲット範囲として二つに分け、．．．
を繰り返していけば、目的の値を含む範囲をどんどん小さくしていけることは、自明だと思います。

そして、この時、範囲の両端として、「隣り合う有理数」を用い、さらに、範囲を二つに分ける分岐点として、
「中間数」（＝(分子同士の和)/(分母同士の和)）を用いれば、範囲を規定する分数の分母は常に大きくなる
という感じの便利な性質があり、「分母は○○以下」のような条件下での探索には、丁度よいことは、よろしいでしょうか？
そして、この方法で、確実に目的を達せられることもよろしいと思います。

このような方法を「ファレイ操作」を使った方法と勝手に呼んでいました。
これに対し、連分数の途中打ち切りを用いる方法は、「ファレイ操作」の方法の無駄な部分を切り落とした方法と言えます。

ファレイ操作では、ターゲット区間を二つに分け、上位の範囲か下位の範囲か検討しながら、進んでいきますが、
上位、下位、上位、下位、上位、下位、と反転が、立て続けに起こる場合もあれば、
上位、上位、上位、．．．と同じ側が、何度も続くような場合があります。
前者として、代表的なのが、黄金比であり、後者の好例がπです。

πの近似値を求めるべく、ファレイの方法をとると、ある段階で、[333/106,22/7]　となり、次は、[333/106,355/113]
なのですが、この上限 355/113 は、πに近いため、この後、何度も何度も、上位ばかりが選ばれることになります。
0735１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 19:58:15.61ID:mWIRrJL5
πの連分数表記は、[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,...]ですが、
[3;7,15,1]=355/113　で　、[3;7,15,1,292]=103993/33102　と続きます。
下限　333/106　、上限　355/113　、次の近似値　103993/33102　と、連分数表記に現れる　292　には、
103993/33102　=　(333+355*292)/(106+113*292)
という関係があります。数直線上に二点、333/106　と　355/113　を　取れば、この二点を　292:1　に分けた点が、103993/33102と言えます。

つまり、ファレイ操作では[333/106,355/113]の後、292回位連続で、上位範囲を選択して、103993/33102　に到達する事になります。
一方、連分数では、その回数分の数値292は、「値」として使うだけで、計算回数は一度増えるだけです。
これを上部で「無駄な部分を切り落とした方法」と評したのです。

連分数表記が既知なら、値を求める方法としては優秀です。ファレイの方法は、分母の値の評価が秀逸です。
だから、例えば、eの値を「分母5桁以下で、e最良近似を求めよ」という問題に対し、おそらく、最も効率のよい方法は、
それぞれの優秀なところを組み合わる次のような方法と思われます。

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1] = 49171/18089 = e + 2.766*10^(-10)
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10] = 517656/190435 = e -1.364*10^(-11)
を見つけて、この辺に目星をつけ、最後の10を一つづつ減らしながら、条件に当てはまるもの、
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,5] = 271801/99990 = e - 2.7622*10^(-10)　を候補として見つける。
あくまで、候補で、今回はより精度の高いものが見つかりましたが、条件によっては、連分数で計算したものがそのまま、
最良近似値となることもあります。
0738１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 20:40:57.33ID:MJnrEz8V
>>730みたいな問題、初出は98年の学習院大の入試だと思うけど、どういう形式で出たんだろう？
解の数が分かってる穴埋めならともかく、完答制だとしたら入試としては悪問な気がする
0739１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 20:55:08.99ID:Vj1uEW7V
>>734
そのあたりのfarey数列の話は大丈夫です。
問題は例えば、では

> [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, k]として、k=1,2,3,4,5　のようなものも候補に加えればよいというのが、私の主張で、
> 実際、k=5で、1071/394　が得られます。

の部分です。
なぜその形の連分数表示を持つものの中に解があると断じることができるのでしょう？
そしてその探索をk=5で終了できるのは何故ですか？
そこの理屈がわからないのです。
0740１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 21:06:02.32ID:zGiOQCLN
>>730
　(xx-7x+11)^(xx-13x+42) = 1,
あるいは
　(xx-7x+11)^{(x-6)(x-7)} = 1,

>>731 によれば
Case 1：
　xx-7x+11 = 1
　(x-2)(x-5) = 0,

Case 2:
　(x-6)(x-7) = 0　(xx-7x+11≠0)

Case 3:
　xx-7x+11 = -1　((x-6)(x-7) = 偶数)
　(x-3)(x-4) = 0,

∴　x = 2,3,4,5,6,7
0741１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 21:26:16.87ID:mWIRrJL5
>>739
具体例を示して説明を与えました。よく読んでいただきたいのですが、
「この辺に目星をつけ、最後の10を一つづつ減らしながら、」と書いています。
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10]、[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,9]、[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,8]、
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,7]、[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,6]、[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,5]
と最後の数字を減じながら、分母が5桁に収まる[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,5]を見つけたのです。

そしてこれが、「解」だ等とは断じていません。あくまで候補だと。そして、その候補も、精度が、
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1]より悪かったら、捨てることになります。
なお、[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,4]から、[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,1]までは、
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,5]より、精度が低いことが確実なので、チェックする必要はありません。

>> そしてその探索をk=5で終了できるのは何故ですか？
k=5で終了したのではありません。k=6に相当するものより、分母の小さいものを探すので、
真っ先にk=5をチェックしたのです。
条件によっては、k=4,3,...とkの値を減じてチェックしますが、その必要はありませんでした。。

>> なぜその形の連分数表示を持つものの中に解があると断じることができるのでしょう？
繰り返しになりますが、断じて等いません。候補として扱います。理由は、着実に分母を大きくしながら真値を含む
範囲を狭めるファレイの方法を、逆向きに評価していることを指摘すれば、納得して頂けるでしょうか。
0742イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/08/05(月) 21:38:18.87ID:hcaEFDbJ
前>>733追加。
与式=(x^2-7x+11)^(x^2-13x+42)=1
x^2-7x+11=1のとき、
x=2,5――①
x^2-13x+42=20,12
与式=1^20=1^12=1
x^2-13x+42=0のとき、
x=(13±√169-168)/2
=7,6――②
与式=(7^2-7･7+11)^0=11^0=1
x^2-7x+11=-1のとき、
(x-3)(x-4)=0
x=3,4――③
x=3のとき、x^2-13x+42=9-39+42=90(偶数)
(-1)^90=1
x=4のとき、x^2-13x+42=16-52+42=6(偶数)

(-1)^6=1
①②③より、
x=2,3,4,5,6,7
0744１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/05(月) 23:42:37.81ID:OaQOexTD
難しいです
0746 【吉】
垢版 |
2019/08/06(火) 00:44:05.58ID:rNWPzR7y
前>>742俺の嗅覚を甘く見るなよ。
>>743(-.-)ｸﾝｸﾝ...



√(1250^2+125^3)=1875
n=125
0747１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/06(火) 01:37:38.34ID:KO1VR19N
O中心で弧の長さR扇型において、周上を動点PがAからBまで動く時に、弧APの長さがxのときのAQの長さを、xによる関数としてf(x)とします。(AP>AQ)
この時、AQが通る面積(斜線部分)は、f(x)をどのように定積分すれば求められますか？
Integral[0,R] f(x) dx
で良いのでしょうか？
簡単に言えば極座標において、極からの距離が角度で早くこの長さに依存するバージョンです

https://i.imgur.com/4JNGDJS.jpg
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