>>407
実係数2次方程式の2解なので α = r*e^{+iθ}, β = r*e^{-iθ} と置く.
・r = |α| = |β| = 1 である.
そうでないと n→∞ で 発散または 0 に収束する.

2 cos(nθ) = e^{+inθ}+ e^{-inθ} = e^{+i(n+p)θ}+ e^{-i(n+p)θ} = 2 cos((n+p)θ) であり,
一方で cos(nθ)=cos(ξ) となるのは ξ = nθ + 2π N または ξ = -nθ + 2π N (Nは整数)
の場合に限られる. つまり pθ = 2π N または (2n+p)θ = 2π N
いずれにしろ
・θ = π Q (Q: 有理数) の形になっている.
逆にこのとき周期性を持つ事は明らか.

解と係数の関係より
a = -(α+β) = - e^{+iπQ} - e^{-iπQ} = 2 cos(πQ)
b = αβ = e^{+iπQ} e^{-iπQ} = 1

( 勝手に α=β=0 はナシとさせてもらったが
一応は x^2 = 0 の2重根である. 周期１として解に含めたければご自由に )