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高校数学の質問スレPart400

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0001１３２人目の素数さん
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2019/06/05(水) 23:06:36.89ID:c3mxohQI
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart399
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548693213/
0646１３２人目の素数さん
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2019/08/09(金) 15:39:18.49ID:h1wi35iZ
入試なら文系は10，理系はeでいいはず。まあ大体は問題に明記されてるはず。
0647１３２人目の素数さん
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2019/08/09(金) 23:19:15.23ID:wSz8elTw
定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
∫[1,n]log(x) dx＜log1＋log2＋…＋logn＜logn＋∫[1,n]log(x) dx を証明せよ。（大阪大学 改）

という問題なのですが、この問題って中辺はn-1個の長方形の面積の和で

ｙ＝log(x)とｙ＝log(x+1)のグラフを書けば図より明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できず、正確性に欠けると思います。

もっと良い証明方法が分かる方おられましたら、何卒ご教授いただけないでしょうか？よろしくお願いします。
0650１３２人目の素数さん
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2019/08/09(金) 23:34:40.45ID:XhzJ+PC2
>>649
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ
0655１３２人目の素数さん
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2019/08/10(土) 08:41:38.42ID:5BkXXT5/
>>647
チャートとか教科書見れば載ってると思うけど…

k∈Nとして、k≦x≦k+1の範囲で常に
logk≦logx≦log(k+1)
だから、各辺をx=kからx=k+1までで定積分して
logk<∫[k,k+1]logxdx<log(k+1)
この不等式にk=1,2,…,n-1を代入したものを全て足し合わせると
log1+log2+…+log(n-1)<∫[1,n]logxdx<log2+log3+…+logn
これを、log1=0に注意して変形すると
∫[1,n]logxdx<log1+log2+…+logn<∫[1,n]logxdx+logn
を得る。//
0656１３２人目の素数さん
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2019/08/10(土) 10:55:59.16ID:mxSlQvj0
そういや、日本の高校数学の教科書では底なしlogは自然対数だけど、近頃の海外のweb siteとか見ると底なしlogは常用対数で自然対数はlnで書いてるのが多いな。
こっちが主流になるのかな？
0657１３２人目の素数さん
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2019/08/10(土) 12:58:12.10ID:CI10WAVR
>>656
自然対数をlnで表すのは簿記とかの分野
自然科学や工学では自然対数はlog
0659１３２人目の素数さん
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2019/08/10(土) 13:22:59.68ID:+mMvjhiz
海外のweb siteでは自然科学系のものでもよくln見るよ。
主流かどうかは知らないけど。
0660１３２人目の素数さん
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2019/08/10(土) 14:18:17.25ID:CI10WAVR
>>659
wikipediaだと

Base b Name for logbx ISO notation Other notations Used in
2 binary logarithm lb x[16] ld x, log x, lg x,[17] log2x computer science, information theory, music theory, photography
e natural logarithm ln x[nb 2] log x
(in mathematics [1][21] and many programming languages[nb 3]) mathematics, physics, chemistry,
statistics, economics, information theory, and engineering
10 common logarithm lg x log x, log10x
(in engineering, biology, astronomy) various engineering fields (see decibel and see below),
logarithm tables, handheld calculators, spectroscopy

となっていてISOではlb(=log[2]), ln(=log[e]), lg(=log[10])で
logをlbの意味で使うのは情報・音楽・写真
lnの意味で使うのは数学およびプログラム言語
lgの意味で使うのは技術・生物・天文
みたいね
0662１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 08:57:22.55ID:KZ+BCA8F
周囲19.5センチの円の
直径はなんセンチですか？
0663１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 09:03:36.84ID:azPj6c7j
普通の解答
19.5÷π≒19.5÷3.14=6.21…
約6.2センチ

ゆとり解答
19.5÷3=6.5
ちょうど6.5センチ
0664１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 09:40:55.86ID:KZ+BCA8F
ありがとうございます
0665１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 10:46:33.88ID:ZCo5px8c
文字a,b,cとかでおくところをい,ろ,は
とかでおいても問題ありませんか？
0666１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 11:30:17.89ID:jyZ3wNTm
全く問題ありません
ただ、採点者は「厨二死ね」と思いながら採点することになるので、覚悟のうえで
0668１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 17:23:57.70ID:ucZXZbKy
記述で式変形をするとき
①x^2+2xy+y^2=0⇄(x+y)^2=0 と
②x^2+2xy+y^2=0, (x+y)^2=0 と
③x^2+2xy+y^2=0
(x+y)^2=0 で
矢印を使う、コンマを使う 改行をする
3つ どれも使えますか？使える場合どれが一番綺麗だと思いますか？
式変形でおすすめ表し方あったら教えて下さい
0669１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 18:04:52.73ID:j58XCtJG
>>668
俺は「∴」をよく使います
x²︎+2xy+y²︎=0
∴ (x+y)²︎=0
という具合です
これは便利で、もし同値でない式変形に対して「⇔」を使って減点されるような事態を回避できます
0670１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/12(月) 18:08:42.48ID:j58XCtJG
ちなみに①②③はどれも使えますが、②は微妙です
x²︎+2xy+y²︎=0,(x+y)²︎=0
と書いた場合、「x²︎+2xy+y²︎=0 かつ (x+y)²︎=0」と言っているようにも見えなくはないためです
③は「∴」や「⇔」を使って書く場合よりもやや不親切です
0671１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 18:31:17.36ID:EoczAqEO
明確に同値であることを示す場合でないなら⇔は使わず⇒を使うかな
0672１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 19:27:52.23ID:ucZXZbKy
>>669 >>671
∴は そうですね最後の答えに使おうと思います
ありがとうございます
コンマの使用は式変形で使わないようにします
√(x+2)=yを二乗したりする場合⇄とか使うと減点くらったりしますね そういえば
なるべく⇒を使っていこうと思います

しかし、やはり計算力鍛えて暗算ですぐ出来るようにした方が良いですね。どれも多用は綺麗では無いですし、スペースを空けるやり方も良くないですし

回答ありがとうございました
0673１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 19:28:09.21ID:C/w/ec/S
証明の中に⇒とかあったら問答無用に×になり
0674１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 19:42:10.81ID:wtGOUh+w
(問)
三角形ABCにおいて、sin2A+sin2B=2sinCが成り立つときこの三角形はどんな三角形か

上の等式をまとめてsinC{cos(A-B)-1}=0まで変形しましたが、
0<C<πで、sinC=0のときC=0またはπとなり三角形ができないのでsinC≠0だから
cos(A-B)-1=0 すなわちcos(A-B)=1
-π<A-B<πより ………★
A-B=0
よってA=Bの二等辺三角形である

この★の部分の意味を教えていただきたいです
お時間のある方よろしくお願いします
0675１３２人目の素数さん
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2019/08/12(月) 19:46:04.06ID:yp85yo3k
cos(A-B)=1 のみから帰結できる結論は
A=B+2nπ (n:整数)
まで。
A,Bの取りうる値の範囲まで調べないとA=Bまでは言えない。
0677１３２人目の素数さん
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2019/08/14(水) 21:03:45.67ID:YbBZhBzt
>>673
理由も一緒に具体的に教えてくれませんか？
記述の書き方で減点とかされたらもうやってられないので今のうちに良い癖をつけといたくて
0678１３２人目の素数さん
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2019/08/14(水) 21:08:42.33ID:Kv+zJkw3
論証は文章で書くものだから
0679１３２人目の素数さん
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2019/08/14(水) 21:11:35.93ID:BzCZFXzX
たかが式変形に同値記号使うのはバカ
0680１３２人目の素数さん
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2019/08/14(水) 21:16:52.08ID:Kv+zJkw3
あと
P⇒Q
は論証ではなくただの命題
論証にしたいのならいちいち
PおよびP⇒Qは真であるからQが成り立つ
みたいな書き方をせねば×
0681１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/14(水) 21:21:22.69ID:YbBZhBzt
>>678->>670
回答ありがとうございます

式変形も例えば
y^2+2y+1=0を因数分解して(y+1)^2=0で無く
y^2+2y+1=0⇒(y+1)^2=0
を使うと答案減点されるということですか…
同値記号は⇄これですよね？
式変形や式を簡単にするの時に普遍的に使える
便利な記号は無いんですか？
簡単な式変形でも文章で過程を説明しないと減点を食らってしまうんですかね
0682１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/14(水) 21:29:49.76ID:BzCZFXzX
予備校の解答速報や有名な問題集の解答を見ろ
ただの因数分解等の式変形にわざわざ説明加えてるか？
式羅列するだけでもいいし、つまらん計算ならわざわざ過程書くまでもなく"整理すると"で済ませればいい
求値問題なら厳密な論理は重視されないし証明問題ならくどいくらい丁寧に書くのは当たり前
とにかく空気を読むことが大事
0683１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/14(水) 21:31:54.00ID:9LQ+jaRM
まあ⇒は命題を表すけど「P⇒Qであるから~」と書くのは間違いではないよ
普通の人間が読めば「P⇒Qであるから~」は「P⇒Qは真であるから~」と言っているものと見なされるからね
実際には「真偽の分からない命題」「ただの式変形」を区別するために記号「→」「⇒」を使い分ける人もいる(ただしこの記号は一般的でないので、答案などで使う場合は断り書きを書くこと)
ちなみに「全ての~に対して」とか「ある~が存在して」とか書くのが面倒な場合「∀x∈ℝ︎,x²︎≧0であるから~」のように書くのも同様
0684１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/14(水) 21:46:15.02ID:9LQ+jaRM
>>681
減点されない
個人的にはx²︎+2x+1=0と(x+1)²︎=0が同値なのは明らかなので、
x²︎+2x+1=0⇒(x+1)²︎=0と書くよりx²︎+2x+1=0⇔(x+1)²︎=0と書く方が好ましいけど
俺は昔は「⇔」を使って何でも変形する派だった
その方が問題で問われている事に対して自分の答えが「必要十分」であるとよく分かり、ミスや見落としが減るから
でも今は、>>669で薦めたように、「∴」の方を圧倒的によく使う
>>683でも言ったけど、「⇔」や「⇒」は命題を表すから、式変形で使う場合、自分の答案を読む人に「この⇔は命題としての意味ではなく式変形の意味で用いているんだな」と理解してもらう必要がある
いくら間違いでは無いと言えど、それは気にかかるので、∴の方が良い
0685１３２人目の素数さん
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2019/08/14(水) 21:58:32.88ID:/xAyRkwn
>>682 >>683 >>684
丁寧に本当ありがとうございます
式変形を表す記号は無いですよねそりゃ

羅列 整理すると ∴ この三つは減点されないみたいなので使うようにします。ですが、なるべく式変形少なくして多用を避けるようにします

回答ありがとうございました
0687１３２人目の素数さん
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2019/08/14(水) 23:14:40.89ID:Kv+zJkw3
>>681
>y^2+2y+1=0⇒(y+1)^2=0
何で横に⇒で書くん？

y^2+2y+1=0
(y+1)^=0
∴y=-1

とか

y^2+2y+1=(y+1)^2=0
∴y=-1

でイイやン
0690１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/14(水) 23:29:00.91ID:Kv+zJkw3
y^2+2y+1=0
∴ｙ=-1

でもええやン
0691１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/14(水) 23:30:33.03ID:Kv+zJkw3
y=-1
（∵y^2+2y+1=0）

は好まれない
0692１３２人目の素数さん
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2019/08/15(木) 10:42:37.36ID:3vzelR8R
>>657
pHのところは常用対数だけどな。
底を書かないのは「書かなくても明らか」な時に書かないだけであり
紛らわしいときはちゃんと書かなければいけない。

あまりこのことは高校で教えられておらず、
底を書かないとき、数学ではeで化学では10などという認識しかないんじゃないか？
0693１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/15(木) 11:19:54.76ID:Fy0P+UNL
質問させてください。a、b、c、dの4チームがクジを引いてトーナメントで試合をする場合、aとBが1回戦で対戦する確率は3分の1？2分の1？どっちですか？
0694１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/15(木) 11:48:39.06ID:yziFIpkJ
>>693
１／３
0695１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/15(木) 11:57:54.07ID:Fy0P+UNL
>>694
ありがとうございます
0697１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/15(木) 12:45:10.20ID:Fy0P+UNL
>>696
じゃかましいんじゃいダボ！ガッタガタにイワしてまうどコラ小僧
0699１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/15(木) 14:05:59.60ID:unhsV+Jv
つか何で専用スレ立てないの？
0700１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/16(金) 18:51:29.90ID:gRAPs2YW
>>697-698
なんだこのゴミは
0701１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/16(金) 19:56:49.49ID:vu990QbY
ただのアホだよ
0702１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/17(土) 21:29:06.76ID:XdYLpCTc
>>697
>>698
死ね
0703１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/17(土) 21:33:39.03ID:Rb0nvImk
>>698
分かったようなこと言って欠片も空気読めないキッズがなんか言ってる
0704１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/18(日) 03:45:21.68ID:QPtjg65q
日本国内である病気（X）になっている人の割合は、0.1%だとします。Xを発見する検査方法について、次のことがわかっています。
・その病気の人がその検査を受けると99%の人が陽性反応（病気であることを示す反応）を示します。
・その病気でない人がその検査を受けると3%の人が陽性反応を示します。（誤診）
日本に住んでいるある人がこの検査を受けたら陽性反応を示しました。この人が病気Xである確率は何%でしょうか？（これは手計算でも大丈夫です。）

これの答えを知りたいです
条件付き確率で、陽性と出た事象かつ陽性である事象/陽性と出た事象だと思うのですが、
陽性と出た事象の計算方法は、0.99*0.001+0.03*0.999であってますか？
0705１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/18(日) 10:40:56.39ID:QPtjg65q
すなわち、
0.99*0.001+0.03*0.999 * 0.001 / 0.99*0.001+0.03*0.999
なのか？と思っています、、
0707１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/18(日) 11:17:21.62ID:3HaRFHkm
>>705
分母は合ってるけど分子は
P(病気にかかってる ∧ 陽性反応が出た)
だから
0.001 * 0.99
なのでは
0708１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/18(日) 12:23:16.51ID:59AGiupi
>>704
100万人で考える。
罹患者は1000人で、検査陽性は990人。
健常者は99万9000人で、検査陽性は29970人。

陽性者のうち実際に罹患している割合は
990/(990+29970)=3.2%
0709１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/18(日) 13:51:57.54ID:lQWQmMV6
俺も混乱したときは具体的な人数で確率通りの現象が起きていたらどうなのかを考えるわ
モンティホールなんかもそうやって考えると間違えにくい
0713１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/19(月) 16:38:01.68ID:gw8ncY4z
単調増加性を用いればいい
0715１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/19(月) 20:10:37.43ID:xt9a9iFA
何を証明に使っていいんだろ
高校数学の範囲でrが実数ならまず実数で累乗することの意味が明示されてないし
0716１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/19(月) 20:24:16.98ID:92asV1X9
>>715
>実数で累乗することの意味が明示されてない
？
exp(x)
0717１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/19(月) 20:26:01.35ID:Fgz9t/cx
√2乗って具体的にどういう数字か、そもそも計算可能な実数なのかも高校範囲では証明されてないしな
所詮算数
0718１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/19(月) 20:45:51.05ID:T+V1Zam9
あの子の全てを微分したい
0719１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/19(月) 20:53:20.78ID:jbfxQcgU
>>716
どうぞ高校レベルでのご説明を
0720１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 03:40:34.27ID:Er+L+qvw
>>719
高校の教科書読んでね
0723１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 07:46:21.91ID:gITXh2CM
伺いたいことがあります．
Com(n，s)は二項係数です．
（１）n→∞のとき，((1/2)^(2n))×(Σ（s=0→n）Com(2n，s))→1/2
（２）n→∞のとき，((1/2)^(3n))×(Σ（s=0→n）Com(3n，s))→0
（１）は証明できていますが，
（２）は正しいのかどうかもわかりません．
どなたがアドバイスをいただけませんか？
お願いします．
0724１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 08:09:16.24ID:Er+L+qvw
p=1/2の2項分布の平均はn/2で分散はn/4すなわち標準偏差は(√n)/2だから
xを規準化したt=2(x-n/2)/√nであり
P{x<n/3}=P{t<2(n/3-n/2)/√n}=P{t<-(√n)/3}→0
0725１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 08:56:35.09ID:gITXh2CM
>>724さん，ありがとうございます．
この考え方では，
k＞2の定数kに対しては，
（３）n→∞のとき，((1/2)^n))×(Σ（s=0→[n/k]）Com(n，s))→0
もいえることになりますね．
ありがとうございました．
0727１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 18:08:59.42ID:PYeexkQP
いや、横だが高校数学で極限の存在が保証されてるのははさみうちの原理が使える場合のみ。
完備性とか、縮小区間の原理とかは範囲外。
log xなら定積分値の存在を利用して逃げるてがないではないが。
正直目くじら立てるほどの問題でもないけどね。
0728１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 18:31:04.91ID:JM3iPRZu
y=x^rのグラフは認められてるし>>713で十分
0729１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 18:33:28.46ID:jf2AcpaV
>>706-709
亀ですが回答ありがとうございます！
おっしゃるとおり、具体的な人数に直して表で整理したところ皆さんの通りの答えになりました
最初、ベン図で表してたら「あれ、国民全員が検査受けてないよな？検査受けてない人はどこに？」とか
余計なことを考え出して混乱してました、、orz
0730１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/21(水) 08:51:08.42ID:w1KJWzs/
>>728
もはや
「0<a<b 0<r
のとき
a^r<b^r」
と認めたから
「0<a<b 0<r
のとき
a^r<b^r」
なんだよ
って言ってるだけで証明って感じじゃないけどな
0732１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/21(水) 13:35:20.77ID:zmgDkfRR
方程式4x+6y+9z=25……(*) の整数解に対し次の6種類の「操作」を考えます：
　a1 「xの値を3増やし, yの値を2減らす」
　a2 「xの値を3減らし, yの値を2増やす」
　b1 「yの値を3増やし, zの値を2減らす」
　b2 「yの値を3減らし, zの値を2増やす」
　c1 「zの値を4増やし, xの値を9減らす」
　c2 「zの値を4減らし, xの値を9増やす」

例えば(*)の解(1,2,1)と(7,1,-1)について、
　前者にa1を2回,b1を1回施すと後者になります。

一般に、(*)の任意の2つの整数解は、
この6種類の操作を繰り返すことによって移り合うといえますか？
0734１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/21(水) 14:30:37.00ID:dqdgSJ4B
>>733
有理数乗から実数乗への展開はさすがに高校レベルでは無理っしょ
むしろどうやるんだ
0735１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/21(水) 15:51:44.38ID:EPgBlYXF
>>732
言える。
x1,y1,z1とx2,y2,z2を解とする。
操作aとbを何回かするとy1→y2とできる。
よって最初からy1=y2としてもよく、その場合には操作cで解が移り合うのは受験数学の頻出テーマ。
0737１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/21(水) 16:17:50.81ID:8jY9CPO7
実数で定義されたxの関数 a^x (a>0) が連続なことを前提とすれば、その”説明”とやらから自明なはずですが、
それでは循環論法ですよね
0738１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/21(水) 16:18:57.87ID:a5HjfwZ7
だから証明になっていないという意味で、”説明”と書きましたよね
0739１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/21(水) 21:36:36.92ID:pbNHvwLd
a>1でa^n：整数乗でa,nどちらについても単調増加だからいいんだよ
0741１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/22(木) 17:55:27.28ID:wIiDOFbI
>操作aとbを何回かするとy1→y2とできる。

これはとっても明らかですか？
0743１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/22(木) 18:48:47.66ID:wIiDOFbI
あなるほど
そっですね
0744１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/23(金) 04:11:28.49ID:g7Hk14U4
>>732
>4x+6y+9z=25
4・4+6・0+9・1=25
4(x-4)+6y+9(z-1)=0
3{2y+3(z-1)}=-4(x-4)=12s
x-4=-3s
2y+3(z-1)=4s
2・2s+3・0=4s
2(y-2s)+3(z-1)=0
3(z-1)=-2(y-2s)=6t
z-1=2t
y-2s=-3t
(x,y,z)=(-3s+4,2s-3t,2t+1)=(4,0,1)+s(-3,2,0)+t(0,-3,2)
Need a*b* no c*
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