高3の俺にオイラーの公式を教えるスレ

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 16:53:00.42

教えて
レベルで言うと一ヶ月前にネイピア数を学校で習ったレベル。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 16:57:53.16

>>1の体は高校生　でも頭脳は小学生！

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 16:59:21.84

最低限でも微分が分からないとなんとも…

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 17:00:54.38

>>1
まず、現代数学概説ⅠⅡを読もう

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 17:01:41.66

数3の微分まではできる、頼むよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 18:20:55.06

まず sin x のマクローリン展開を考える。つまり

sin x = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 * a4 x^4 + …　　…①

と近似することを考える。
①の両辺に x=0 を代入すると a0 = 0 となる
①の両辺を一階微分して x=0 を代入すると cos x = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + …　から a1 = 1 となる
①の両辺を二階微分して x=0 を代入すると -sin x = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + …　から a2 = 0 となる
①の両辺を三階微分して x=0 を代入すると -cos x = 6 a3 + 24 a4 x + …　から a3 = 6 = 3! となる

以下同様に a3=-3! a4=0 a5=5! a6=0 a7=-7! となるから　①は

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - …　となる cos x についても同様に、
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - …　となる exp x についても同様に
exp x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + …　となる

これに x=iθを代入すると…

exi(iθ) = cos(iθ) + i sin(iθ)　が言える

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 18:26:24.60

結局なんなのか視覚的に見えてこない、、
マクローリン展開ってどういうもの？
メリットは何？

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 18:28:39.52

オイラーにまかせろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 20:37:23.53

マクローリン展開は関数を近似できるんだよ
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - …　ってあるだろ

これにたとえば x= 0.1 を代入すると
sin 0.1 = 0.1 - 0..1^3/3! + 0.1^5/5! - 0..1^7/7! + 0..1^9/9! - …　
と具体的な数値を近似できるわけだ。
電卓ででもこれを計算すれば三角関数の値を求めることができる。

これを複素数に適応するのがオイラーの式

視覚的に簡易的に把握したいなら、複素数平面で把握すべきだろうな。
その手のサイトがあるんじゃないか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/11(土) 20:50:43.60

>>9
要するに、もっと自力で調べてから人に聞けと？？
ごめん(´；ω；`)

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/12(日) 20:12:38.25

e^iπ＝-1

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/12(日) 21:48:03.20

生命の呼吸のリズム、
音楽のリズムを機能的に表現する公式です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/12(日) 21:50:03.83

半径1の円上の点の動きを
機能的に表現してますよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/12(日) 22:33:05.68

>>6
三角関数に虚数入れるアホwwwwwwwwww

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/14(火) 08:00:24.27

つ複素関数

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/19(日) 12:00:44.09

まず
　cos(x) ≦ 1
は認めよう。
0～x で平均する。
　sin(x) ≦ ｘ　　(x>0)
　sin(x) ≧ x　　(x<0)
0～x で平均する。
　1-cos(x) ≦ xx/2
　cos(x) ≧ 1 - xx/2,
0～x で平均する。
　sin(x) ≧ x - (1/6)x^3　　(x>0)
　sin(x) ≦ x - (1/6)x^3　　(x<0)
0～x で平均する。
　1-cos(x) ≧ xx/2 - (1/24)x^4
　cos(x) ≦ 1 -xx/2 + (1/24)x^4
以下続けるとマクローリン展開が出てくる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/23(木) 08:34:27.18

〔オイラー公式集〕
　π - e + γ = 1.00052649
　π/γ - γ - e/π = 4.00019535973
　-π + 4e -3γ = 5.99988766554
　3e - π/e = 6.9991181356
　e^e - 3e = 6.9994167561
　3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997
　3e -2γ = 7.000414155574
　e + 2π = 9.0014671356
　3π + γ = 10.00199362567
　e^e - π/e = 13.9985348917
　e^e - 2γ = 13.99983091168
　e^π - π = 19.999099979

(略証)
　π = 223/71,　e = 193/71,　γ = 41/71　だから。

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/23(木) 08:55:49.48

(続き)
　e^π - e + γ = 20.99962646922
　-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522
　e^π + 2e - γ = 28.0000406248
　-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177

(略証)
　π = 223/71,　e = 193/71,　γ = 41/71　だから。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/12(水) 07:55:49.65

空間内の剛体Aを変形せずにBに移した。
次は正しいか。
(1) Aから、「平行移動」と、それに平行な軸の周りの「回転」によってBに達する。
(2) 上記の「平行移動」も「回転」も平面による「鏡映」2回により可能。
(3) Aから、「鏡映」4回によりBに達する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 03:13:03.94

(1)
〔剛体回転におけるオイラーの定理〕
　剛体の固定点まわりの方向転換は、或る軸のまわりの回転により達せられる。

回転軸の向きと回転角φはこれで決まる。平行移動の向きは回転軸と同じとした。（z軸）
平行移動の距離と回転軸の位置は、以下に示すように、剛体の１点P（たとえば重心）がうまく移るようにする。
移動距離は、P→Q のz座標の増分とする。
平行移動P→P' の後、P' Qはz軸に垂直な平面内に有る。　この平面内に ∠P'OQ = φ となる点Oを取る。
回転軸は、点Oを通りz軸の向きの直線とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/21(金) 03:17:34.65

>>11
「おいらの贈り物」　～人類の至宝　e^(π√163) = 640320^3 + 744　を学ぶ～

**１３２人目の素数さん** · 2019/06/29(土) 10:37:43.56

>>19
(1) らせん軸 (screw axis) という。
(2)　
　ｚ方向の平行移動　→　zに垂直な平面による鏡映 (2回)
　z軸のまわりの回転　→　z軸に平行な平面による鏡映 (2回)
(3) ハウスホルダー法という。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 14:03:52.65

オイラーの公式は美しい
何故これほど美しいのか、その理由は解明されているの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 01:55:17.06

>>19
それは鏡、鏡の中からツンツツン････
第一期(1969)
http://www.youtube.com/watch?v=KykhC2-WP7s 01:01
第二期(1988)
http://www.youtube.com/watch?v=ZF_Iynaduoo 01:08
第三期(1998)
http://www.youtube.com/watch?v=nWSAdI7yGlo 01:26

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:11:05.84

1115
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 17:55:55.92

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 03:18:19.39

　|ｎ> <ｎ| = Ｉ + ΩΩ,
　tr(ΩΩ) = -2,
　tr(|ｎ> <ｎ|) = 1,
から
　cosφ = {tr(T) -1}/2,
　Ω = (1/2sinφ)(T-T~),

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/19(月) 15:00:02.10

>>19
ミラーマン
http://www.youtube.com/watch?v=leoRufXKQyc 03:37,
http://www.youtube.com/watch?v=a7LThJMuvHs 04:05,
http://www.youtube.com/watch?v=iFaku5hZe3I 02:08,

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/20(火) 00:42:28.19

>>28
「ミラーマンの唄」
　作詞：東京　一
　作曲・編曲：冬木　透
　歌：　植木浩史、ハニーナイツ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 04:36:44.98

x^3 + y^3 + z^3 = w^3 の整数解の例

・オイラーの解
　x = -|α|^4 - |β|^2･Re(2αβω),
　y = |α|^4 + |β|^2･Re(2αβω~),
　z = |β|^4 + |α|^2･Re(2αβω),
　w = |β|^4 + |α|^2･Re(2αβω~),
ここに　α,β∈Z[√(-3)], ω≠1 は1の3乗根。

(解説)
　x = -AA -BC,
　y = AA +BD,
　z = BB +AC,
　w = BB +AD,
とおくと
　x^3+y^3+z^3-w^3 = (A^3-B^3)(C-D)(3AB-CC-CD-DD),
そこで 3AB-CC-CD-DD を 0にしよう。まづ
　C = Re(2γω),　D = Re(2γω~)
とおくと
　(2γ) + (2γω) + (2γω~) = 2γ(1+ω+ω~) = 0,
∴　Re(2γ) + C + D = 0,　etc.
　CC + CD + DD = 3|γ|^2,
そこで
　A=|α|^2, B=|β|^2, C=Re(2αβω), D=Re(2αβω~)
とおけば
　3AB -CC -CD -DD = 0.

・参考書
北村泰一「数論入門」(改訂版) 槇書店数学選書 (1989)
北村泰一「南極越冬隊タロジロの真実」小学館文庫 (2007/Mar) 649円

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 09:08:59.69

>>11
オイラの公式　(e')^(iπ’) = -1,
と
和の公式　　e' + π' + π' = 3・3,
が成り立つ。　ここに
　e' = 2.71940175612508383454746･･･
　π' = 3.14029912193745808272627･･･

**１３２人目の素数さん** · 2020/03/29(日) 10:42:29.96

　(e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/03(金) 11:18:57.11

e < e' < 3 < π' < π

(π')^e < π^e < (π')^(e'）< π^(e') < ｅ^(π'）<（e')^(π'）= e^π < (e')^π,

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 20:49:46.99

γ^2 + γ^16 = 1/3,
(16次の代数的数?)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 21:03:08.84

γ^2 + (1/3)^8 = 1/3,
より
γ = √{1/3 - (1/3)^8}

2021/03/30(火) 15:54:23.45

色川高志（葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子（葛飾区青戸６－２６－６）の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
色川高志（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－21ハイツニュー青戸103
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　℡０３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタ

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/28(金) 08:41:44.22

オイラの公式の平方根
　i = e^{(π/2)i},
より
　i^i の主値 = e^(-π/2) = 0.2078795764　　… 実数

α。= i^(πi) = e^(-ππ/2) = 0.0071918833558 = 1/139.04563666

(参考)
α = 0.007297352568653853422694733690852932089174790336171742833037519
　 = 1/137.03599909582970048964740098248246498324725408221072828045342

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/26(土) 08:25:42.50

バーゼル問題
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,

(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k　　(k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角　∠AOP_k = (2k-1)/R,　　　(k=1,2,…,n)
弦　　　AP_k = 2R sin((k-1/2)/R)
その(-2)乗の和は
　Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4　　… (*)
n→∞ とすれば
　Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
　(終)

(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で APk が次々と求まることを
活用するのがミソ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/26(土) 08:27:35.69

(参考動画)

Stardy-河野玄斗
http://www.youtube.com/watch?v=91CDe6bwby8 20:35

タマキ/環耀
http://www.youtube.com/watch?v=4hhyR0-xCtw 33:03

元動画　3Blue1Brown
http://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 19:03

(文献)
"Summing inverse squares by Euclidean geometry"
Johan Waestlund 2010/Dec/08
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/27(日) 03:36:59.78

θ = (k-1/2)π/(2n),　として

1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
　= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
　= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,

逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 18:56:04.03

おいらの公式
　n^φ(m) ≡ 1　　　(mod m)

　φ(m)　…　totient関数
　剰余類 (Z/mZ) = {0,1,･･･, m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。

例)
m=9 のとき　正則元は {1,2,4,5,7,8} の6個,　φ(9) = 6
(n,9)=1 のとき
　n^6 - 1 ≡ 0　　(mod 9)　　　　… おいらの公式

(略証)
　n ≠ (3の倍数)
　n = 3m±1,
∴　n^2 = (3m±1)^2 ≡ 1　(mod 3)　　　(フェルマーの小定理)
∴　n^6 - 1 = (n^2 - 1) (n^4 + n^2 + 1)
　　= (n^2 - 1) {(n^2 - 1)^2 + 3n^2}
　　= (3の倍数) (3の倍数)
　　= (9の倍数)

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 20:01:59.40

〔問題3〕
任意の整数nに対し、n^9 - n^3 は9で割れ切れることを示せ。

【2001 京都大】(文系)
http://www.youtube.com/watch?v=nkSKAyHbWLY
http://www.youtube.com/watch?v=yiMQw6gNrSE 10:33,

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 20:18:21.22

　n^9 - n^3 = (n^3)(n^3 +1)(n^3 -1),
(解1)
・n が3の倍数のとき、
　　n^3 ≡ 0　　(mod 9)
・n+1 が3の倍数のとき
　　n^3 +1 = (n+1)(n^2 -n +1) = (n+1)[(n+1)^2 -3n] ≡ 0　(mod 9)
・n-1 が3の倍数のとき
　　n^3 -1 = (n-1)(n^2 +n +1) = (n-1)[(n-1)^2 +3n] ≡ 0　(mod 9)

(解2)
n^9 - n^3 = (n^3)(n^6 - 1),
・nが3の倍数のとき、
　　n^3 ≡ 0　　　(mod 9)
・nが3と素のとき、おいらの公式より
　　n^6 - 1 ≡ 0　　　(mod 9)

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 20:46:33.24

面白くない?

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/14(土) 20:47:40.58

〔問題〕
n^2 +n +1 は9の倍数でないことを示せ。

http://www.youtube.com/watch?v=3X5ktgbphrk 04:59,
鈴木貫太郎

(略解)
　4(n^2 +n +1) = (2n+1)^2 + 3,
を3進法で表わす。
　2n+1 が3の倍数のとき　 …10)_3
　2n+1 が3と素のとき　　 …X1)_3
いずれにしても　9の倍数　…00)_3　でない。
∴　n^2 +n +1 も 9の倍数でない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/15(日) 02:01:18.84

(略解)
　n^2 + n + 1 = (n+2)(n-1) + 3,
を3進法で表わす。
　n-1 ≡ n+2 が3の倍数のとき　 …10)_3
　n-1 と3が素のとき　　　　 …X1)_3
いずれにしても　9の倍数　…00)_3　でない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/20(水) 17:57:07.57

>>41
おいらのtotient関数φ(m)
　{1,2,…,m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。
　素数pについて
　　φ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
　m = Πp^e のとき
　　φ(m) = Πφ(p^e)　… 乗法的

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/20(水) 18:05:15.86

　aがmと素　⇒　a^n ≡ 1　(mod m)
を満たす最小の自然数nをλ(m)と書く。
λ(m) は φ(m) の約数。

カーマイケル関数λ(m)
　pが奇素数または e≦2 のとき
　　λ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
　p=2 かつ e≧3 のとき
　　λ(2^e) = 2^(e-2),
　m = Πp^e のとき
　　λ(m) = LCM{λ(p^e)}

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/02(水) 08:03:48.24

まず複素数c1+s1*i、c2+s2*iで、
c1^2+s1^2=1、c2^2+s2^2=1
なら、２数の積
(c1+s1*i)*(c2+s2*i)=(c1*c2-s1*s2)+(c1*s2+c2*s1)i
を計算したとき
　(c1*c2-s1*s2)^2+(c1*s2+c2*s1)^2
=(c1*c2)^2-2*(c1*c2*s2*s2)+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+2*(c1*c2*s2*s2)+(c2*s1)^2
=(c1*c2)^2+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+(c2*s1)^2
=c1^2*(c2^2+s2^2)+s1^2*(c2^2+s2^2)
=(c1^2+s1^2)*(c2^2+s2^2)
=1*1
=1
となることを理解しような

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/02(水) 08:19:19.43

で、実数xについて(1+xi)/(1-xi)となる複素数c+s*iはc^2+s^2=1となるが
逆にc^2+s^2=1となる複素数c+s*iは
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n
として表すことができて、そのときのxの二倍2xが
c+s*iの偏角なんだな　つまり
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n =cos(2x)+sin(2x)*i
となるってこと