マクローリン展開は関数を近似できるんだよ
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - …　ってあるだろ

これにたとえば x= 0.1 を代入すると
sin 0.1 = 0.1 - 0..1^3/3! + 0.1^5/5! - 0..1^7/7! + 0..1^9/9! - …　
と具体的な数値を近似できるわけだ。
電卓ででもこれを計算すれば三角関数の値を求めることができる。

これを複素数に適応するのがオイラーの式

視覚的に簡易的に把握したいなら、複素数平面で把握すべきだろうな。
その手のサイトがあるんじゃないか？