高3の俺にオイラーの公式を教えるスレ
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教えて
レベルで言うと一ヶ月前にネイピア数を学校で習ったレベル。 >>11
「おいらの贈り物」 〜人類の至宝 e^(π√163) = 640320^3 + 744 を学ぶ〜 >>19
(1) らせん軸 (screw axis) という。
(2)
z方向の平行移動 → zに垂直な平面による鏡映 (2回)
z軸のまわりの回転 → z軸に平行な平面による鏡映 (2回)
(3) ハウスホルダー法という。 オイラーの公式は美しい
何故これほど美しいのか、その理由は解明されているの? 1115
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました!
とても嬉しいです!
https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>20
単位ベクトル <n| = (n1, n2, n3) のまわりにφだけ回転する直交行列を T(φ) とする。
また、 Ω |r> = n × |r> とする。このとき
(dT/dφ) = n×T = Ω T,
T(0) = I,
これを解くと
T(φ) = I + (sinφ)Ω + (1-cosφ)ΩΩ = (cosφ)I + (sinφ)Ω + (1-cosφ)|n> <n|,
ここに
[ 0, -n3, n2 ]
Ω = [ n3, 0, -n1 ]
[ -n2, n1, 0 ]
直交行列T (|T|=1) から回転軸 |n> と回転角φが決まる。 |n> <n| = I + ΩΩ,
tr(ΩΩ) = -2,
tr(|n> <n|) = 1,
から
cosφ = {tr(T) -1}/2,
Ω = (1/2sinφ)(T-T~), >>28
「ミラーマンの唄」
作詞:東京 一
作曲・編曲:冬木 透
歌: 植木浩史、ハニーナイツ x^3 + y^3 + z^3 = w^3 の整数解の例
・オイラーの解
x = -|α|^4 - |β|^2・Re(2αβω),
y = |α|^4 + |β|^2・Re(2αβω~),
z = |β|^4 + |α|^2・Re(2αβω),
w = |β|^4 + |α|^2・Re(2αβω~),
ここに α,β∈Z[√(-3)], ω≠1 は1の3乗根。
(解説)
x = -AA -BC,
y = AA +BD,
z = BB +AC,
w = BB +AD,
とおくと
x^3+y^3+z^3-w^3 = (A^3-B^3)(C-D)(3AB-CC-CD-DD),
そこで 3AB-CC-CD-DD を 0にしよう。まづ
C = Re(2γω), D = Re(2γω~)
とおくと
(2γ) + (2γω) + (2γω~) = 2γ(1+ω+ω~) = 0,
∴ Re(2γ) + C + D = 0, etc.
CC + CD + DD = 3|γ|^2,
そこで
A=|α|^2, B=|β|^2, C=Re(2αβω), D=Re(2αβω~)
とおけば
3AB -CC -CD -DD = 0.
・参考書
北村泰一「数論入門」(改訂版) 槇書店 数学選書 (1989)
北村泰一「南極越冬隊 タロジロの真実」小学館文庫 (2007/Mar) 649円 >>11
オイラの公式 (e')^(iπ’) = -1,
と
和の公式 e' + π' + π' = 3・3,
が成り立つ。 ここに
e' = 2.71940175612508383454746・・・
π' = 3.14029912193745808272627・・・ (e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923 e < e' < 3 < π' < π
(π')^e < π^e < (π')^(e')< π^(e') < e^(π')<(e')^(π')= e^π < (e')^π, γ^2 + γ^16 = 1/3,
(16次の代数的数?) γ^2 + (1/3)^8 = 1/3,
より
γ = √{1/3 - (1/3)^8} 色川高志(葛飾区青戸6−23−21ハイツニュー青戸103)
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子(葛飾区青戸6−26−6)の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!! 糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)
492盗聴盗撮犯罪者色川高志(青戸6−23−21ハイツニュー青戸1032021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
色川高志(盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会&被害者の会会長)住所=東京都葛飾区青戸6−23−21ハイツニュー青戸103
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者/アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所=東京都葛飾区青戸6−26−6
【通報先】亀有警察署=東京都葛飾区新宿4ー22ー19 рO3ー3607ー0110
盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者/アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者/愛人変態メス豚家畜清水婆婆(青戸6−23−19)の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタ オイラの公式の平方根
i = e^{(π/2)i},
より
i^i の主値 = e^(-π/2) = 0.2078795764 … 実数
α。= i^(πi) = e^(-ππ/2) = 0.0071918833558 = 1/139.04563666
(参考)
α = 0.007297352568653853422694733690852932089174790336171742833037519
= 1/137.03599909582970048964740098248246498324725408221072828045342 バーゼル問題
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,
(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k (k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角 ∠AOP_k = (2k-1)/R, (k=1,2,…,n)
弦 AP_k = 2R sin((k-1/2)/R)
その(-2)乗の和は
Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4 … (*)
n→∞ とすれば
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
(終)
(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で APk が次々と求まることを
活用するのがミソ。 (参考動画)
Stardy-河野玄斗
http://www.youtube.com/watch?v=91CDe6bwby8 20:35
タマキ/環耀
http://www.youtube.com/watch?v=4hhyR0-xCtw 33:03
元動画 3Blue1Brown
http://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 19:03
(文献)
"Summing inverse squares by Euclidean geometry"
Johan Waestlund 2010/Dec/08
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf θ = (k-1/2)π/(2n), として
1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,
逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。 おいらの公式
n^φ(m) ≡ 1 (mod m)
φ(m) … totient関数
剰余類 (Z/mZ) = {0,1,・・・, m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。
例)
m=9 のとき 正則元は {1,2,4,5,7,8} の6個, φ(9) = 6
(n,9)=1 のとき
n^6 - 1 ≡ 0 (mod 9) … おいらの公式
(略証)
n ≠ (3の倍数)
n = 3m±1,
∴ n^2 = (3m±1)^2 ≡ 1 (mod 3) (フェルマーの小定理)
∴ n^6 - 1 = (n^2 - 1) (n^4 + n^2 + 1)
= (n^2 - 1) {(n^2 - 1)^2 + 3n^2}
= (3の倍数) (3の倍数)
= (9の倍数) n^9 - n^3 = (n^3)(n^3 +1)(n^3 -1),
(解1)
・n が3の倍数のとき、
n^3 ≡ 0 (mod 9)
・n+1 が3の倍数のとき
n^3 +1 = (n+1)(n^2 -n +1) = (n+1)[(n+1)^2 -3n] ≡ 0 (mod 9)
・n-1 が3の倍数のとき
n^3 -1 = (n-1)(n^2 +n +1) = (n-1)[(n-1)^2 +3n] ≡ 0 (mod 9)
(解2)
n^9 - n^3 = (n^3)(n^6 - 1),
・nが3の倍数のとき、
n^3 ≡ 0 (mod 9)
・nが3と素のとき、おいらの公式より
n^6 - 1 ≡ 0 (mod 9) 〔問題〕
n^2 +n +1 は9の倍数でないことを示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=3X5ktgbphrk 04:59,
鈴木貫太郎
(略解)
4(n^2 +n +1) = (2n+1)^2 + 3,
を3進法で表わす。
2n+1 が3の倍数のとき …10)_3
2n+1 が3と素のとき …X1)_3
いずれにしても 9の倍数 …00)_3 でない。
∴ n^2 +n +1 も 9の倍数でない。 (略解)
n^2 + n + 1 = (n+2)(n-1) + 3,
を3進法で表わす。
n-1 ≡ n+2 が3の倍数のとき …10)_3
n-1 と3が素のとき …X1)_3
いずれにしても 9の倍数 …00)_3 でない。 >>41
おいらのtotient関数φ(m)
{1,2,…,m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。
素数pについて
φ(p^e) = (p-1)・p^(e-1)
m = Πp^e のとき
φ(m) = Πφ(p^e) … 乗法的 aがmと素 ⇒ a^n ≡ 1 (mod m)
を満たす最小の自然数nをλ(m)と書く。
λ(m) は φ(m) の約数。
カーマイケル関数λ(m)
pが奇素数 または e≦2 のとき
λ(p^e) = (p-1)・p^(e-1)
p=2 かつ e≧3 のとき
λ(2^e) = 2^(e-2),
m = Πp^e のとき
λ(m) = LCM{λ(p^e)} まず複素数c1+s1*i、c2+s2*iで、
c1^2+s1^2=1、c2^2+s2^2=1
なら、2数の積
(c1+s1*i)*(c2+s2*i)=(c1*c2-s1*s2)+(c1*s2+c2*s1)i
を計算したとき
(c1*c2-s1*s2)^2+(c1*s2+c2*s1)^2
=(c1*c2)^2-2*(c1*c2*s2*s2)+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+2*(c1*c2*s2*s2)+(c2*s1)^2
=(c1*c2)^2+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+(c2*s1)^2
=c1^2*(c2^2+s2^2)+s1^2*(c2^2+s2^2)
=(c1^2+s1^2)*(c2^2+s2^2)
=1*1
=1
となることを理解しような で、実数xについて(1+xi)/(1-xi)となる複素数c+s*iはc^2+s^2=1となるが
逆にc^2+s^2=1となる複素数c+s*iは
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n
として表すことができて、そのときのxの二倍2xが
c+s*iの偏角なんだな つまり
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n =cos(2x)+sin(2x)*i
となるってこと ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています