巨大数探索スレッド15
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数論・論理・意味論 その原型と展開: 知の巨人たちの軌跡をたどる
736ページ東京大学出版会 ￥15,984
数学の本スレで挙がってた本だが、
目次を読む限り計算不可能巨大数の勉強に良さそうだからここでオススメしておく 無駄に高いな
巨大数関連だけ知りたいって人には重すぎる1冊っぽい？ 計算不可能巨大数だけ知ろうと思っても結局重い道を進むことになる
理解するだけで大変だからな
値段の高さは数学の本スレでも話題になってたが むしろ一冊読めばラヨ数が(目次を見る限りおそらく)理解できるだけで敷居が大分下がる
大学図書館に縁のある人とかは借りて読んでみては ラヨ数は定義をどう解釈するかで変わってくるからなあ
platonist universeで解釈するのが多数派みたいだけど 囲碁やオセロみたいななんたらゲームでお互い最善を尽くしたときの一局とか、
定義は簡単だけど変化が複雑で証明が難しい一例だな。これでもせいぜい指数関数レベルだけど ランダム実数選出ゲームで基礎論って言いかえられるんじゃなかったっけ？ >>432
アッカーマン関数の定義丸暗記するより楽やろ TYの定義考えるなら(強さ的に)Yの定義を考えたほうがいいだろうし、みんなYの定義を探してる 先に展開の計算結果があって、後から定義を考える逆グーゴロジー 展開の計算結果があるならそれがそのまま定義に採用できるのでは？
外延的定義というか？ 本当は計算結果が無限にあるはずだけど実際には有限個しか示すことができないから、
有限個からほかの計算結果を推理して内包的な定義を研究するという作業 3915
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) Sierpinskiの“Cardinal and Ordinal Numbers”について質問です。
第１版と第２版とで内容はどの様に違っているのでしょうか？
（ページ数に関しては487pp.と491pp.なので４ページしか増えていないようなのですが）
御存知でしたら教えて頂けると助かります。宜しくお願い致します。 ωを拡張して大きな順序数をωと括弧と数字だけで表現できるようにしてみた
ω[]=1+1+1+1+...
ω[]×2=ω[]+(1+1+1+1+...)=ω[]+ω[]
ω[]^2=ω[]×(1+1+1+1+...)=ω[]+ω[]+ω[]+ω[]+...=ω[]×ω[]
ω[]^ω[]=ω[]^(1+1+1+1+...)=ω[]×ω[]×ω[]×ω[]×...
ω[0]=ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...
ω[1]=ω[0]^ω[0]^ω[0]^ω[0]^...
ω[ω[]]=ω[1+1+1+1+...]
ω[ω[0]]=ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]
ω[ω[1]]=ω[ω[0]^ω[0]^ω[0]^ω[0]^...]
ω[ω[ω[]]]=ω[ω[1+1+1+1+...]]
ω[ω[ω[0]]]=ω[ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]]
ω[0,0]=ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]]
ω[0,1]=ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^...
ω[0,ω[]]=ω[0,1+1+1+1+...]
ω[0,ω[0]]=ω[0,ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]
ω[0,ω[0,0]]=ω[0,ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]]]
ω[0,ω[0,1]]=ω[0,ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^...]
ω[0,ω[0,ω[]]]=ω[0,ω[0,1+1+1+1+...]]
ω[0,ω[0,ω[0]]]=ω[0,ω[0,ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]]
ω[0,ω[0,ω[0,0]]]=ω[0,ω[0,ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]]]]]
ω[1,0]=ω[0,ω[0,ω[0,ω[0,...ω[0,0]...]]]]
ω[ω[],0]=ω[1+1+1+1+...,0]
ω[ω[0],0]=ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...,0]
ω[ω[0,0],0]=ω[ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]],0]
ω[ω[1,0],0]=ω[ω[0,ω[0,ω[0,ω[0,...ω[0,0]...]]]],0]
ω[ω[ω[],0],0]=ω[ω[1+1+1+1+...,0],0]
ω[ω[ω[0],0],0]=ω[ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...,0],0]
ω[ω[ω[0,0],0],0]=ω[ω[ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]],0],0]
ω[0,0,0]=ω[ω[ω[ω[...ω[0,0]...,0],0],0],0]
ω[][]=ω[0,0,0,0,...] ちなみに括弧はブーフホルツのヒドラを使っている
ω[][0]=ω[][]^ω[][]^ω[][]^ω[][]^...
ω[][0,0]=ω[][ω[][ω[][ω[][...ω[][0]...]]]]
ω[][0,0,0]=ω[][ω[][ω[][ω[][...ω[][0,0]...,0],0],0],0]
ω[0][]=ω[][0,0,0,0,...]
ω[0,0][]=ω[ω[ω[ω[...ω[0][]...][]][]][]][]
ω[0,0,0][]=ω[ω[ω[ω[...ω[0,0][]...,0][],0][],0][],0][]
ω[][][]=ω[0,0,0,0,...][]
ω[[]]=ω[][][][]...
ω[[0]]=ω[[]]^ω[[]]^ω[[]]^ω[[]]^...
ω[[0,0]]=ω[[ω[[ω[[ω[[...ω[[0]]...]]]]]]]]
ω[[]][]=ω[[0,0,0,0,...]]
ω[[]][[]]=ω[[]][][][][]...
ω[[][]]=ω[[]][[]][[]][[]]...
ω[[][][]]=ω[[][]][[][]][[][]][[][]]...
ω[[[]]]=ω[[][][][]...]
ω[[[]][]]=ω[[[]]][][][][]...
ω[[[]][[]]]=ω[[[]][][][][]...]
ω[[[][]]]=ω[[[]][[]][[]][[]]...]
ω[[[[]]]]=ω[[[][][][]...]]
ω[{}]=ω[[[[...[]...]]]]
ω[{}][{}]=ω[{}][[[[...[]...]]]]
ω[{}[]]=ω[{}][{}][{}][{}]...
ω[{}[[]]]=ω[{}[][][][]...]
ω[{}[{}]]=ω[{}[[[[...[]...]]]]]
ω[{}[{}[]]]=ω[{}[{}][{}][{}][{}]...]
ω[{}[{}[[]]]]=ω[{}[{}[][][][]...]]
ω[{}[{}[{}]]]=ω[{}[{}[[[[...[]...]]]]]]
ω[{}{}]=ω[{}[{}[{}[{}...[{}]...]]]]
ω[{[]}]=ω[{}{}{}{}...] ブーフホルツのヒドラのカッコの構造って感覚的には理解できるけど、やさしい言葉で説明しようとすると難しすぎる ノーマルのヒドラは理解できたけどブーフホルツはまだ理解できてない。
ベクレミシェフも理解できてない。
ブーフホルツの前にベクレミシェフを理解するのが先かもしれない。 数字を一切使わないところが最高にクール
まじ憧れる >>441
ω[0,0,...]=ω[][]=φ(ω,0)
ω[][][]...=ω[[]]=φ(ω^2,0)
までは解析できた
そこから
ω[[]][]=ω[[0,0,0,0,...]]
ここら辺の動きが分からず頓挫 >>443
ベクレミシェフは大きさもε_0だしとっかかりやすいかも
手を動かすと割と分かると思う 無印ヒドラって、わかりやすさにおいては最強なんじゃね？
しかもとっかかりを聞いただけじゃ全然大したことなさそうなのに(4)からの爆発力だけでも素人目からはもう十分途方もないし。 ヒドラの構造をそのままハイパー演算に組み込めば、クヌースの矢印表記から自然にヒドラに移行できる
そしてその大きさな恐れおののく ブーフホルツのヒドラの括弧１種類パターンは無印ヒドラだよね
[]=1
[][]=2
[[]]=ω
[[]][]=ω+1
[[]][][]=ω+2
[[]][[]]=ω×2
[[]][[]][]=ω×2+1
[[]][[]][][]=ω×2+2
[[][]]=ω^2
[[][]][[][]]=ω^2×2
[[[]]]=ω^ω
[[[]]][]=ω^ω+1
[[[]]][[]]=ω^ω+ω
[[[]]][[[]]]=ω^ω×2
[[[]][]]=ω^(ω+1)
[[[]][[]]]=ω^(ω×2)
[[[][]]]=ω^ω^2
[[[[]]]]=ω^ω^ω
[[[[]]]][]=ω^ω^ω+1
[[[[]]]][[]]=ω^ω^ω+ω
[[[[]]]][[[]]]=ω^ω^ω+ω^ω
[[[[]]]][[[[]]]]=ω^ω^ω×2
[[[[]]][]]=ω^(ω^ω+1)
[[[[]]][[]]]=ω^(ω^ω+ω)
[[[[]]][[[]]]]=ω^(ω^ω×2)
[[[[]][]]]=ω^ω^(ω+1)
[[[[]][[]]]]=ω^ω^(ω×2)
[[[[][]]]]=ω^ω^ω^2
[[[[[]]]]]=ω^ω^ω^ω
[[[[[...]]]]]=ε_0 ハイパー原始数列はブーフホルツのヒドラと同じものだな
ハイパー原始数列の(0,n)はn種類の括弧を使ったブーフホルツのヒドラと同じになる Y数列を演算子にしてみた
a[Y数列]0=1
a[](b+1)=a^(a[]b)
a[1](b+1)=a[](a[1]b)
a[1,1](b+1)=a[1](a[1,1]b)
a[1,2](b+1)=a[1,1,1,...{a[1,2]b個}...,1](a[1,2]b)
a[1,2,1](b+1)=a[1,2](a[1,2,1]b)
a[1,2,1,1](b+1)=a[1,2,1](a[1,2,1,1]b)
a[1,2,1,2](b+1)=a[1,2,1,1,...{a[1,2,1,2]b個}...,1](a[1,2,1,2]b)
a[1,2,2](b+1)=a[1,2,1,2,...{a[1,2,2]b個}...,1,2](a[1,2,2]b)
a[1,2,3](b+1)=a[1,2,2,...{a[1,2,3]b個}...,2](a[1,2,3]b)
a[1,2,4](b+1)=a[1,2,3,...,(a[1,2,4]b)-1,a[1,2,4]b](a[1,2,4]b)
a[1,3](b+1)=a[1,2,4,8,16,32,...,2^((a[1,3]b)-1),2^(a[1,3]b)](a[1,3]b) 今更感すごいですが
https://scratch.mit.edu/projects/338237643/
ふぃっしゅ数バージョン1のScratchプログラム書きました。バグってそうですが… なんだこの言語？
子供向けにとっつきやすくしようとして、かえってとっつきにくくなってる感じか？ 取っつきやすいんですけど、ある程度高度なところだとかなり面倒臭いです。 レベル構造とやらでΩ_ω以上へ行く方法がわからん
おそらく
(Ω)=((Ω_2))=(((Ω_3)))=...
となっていくような構造なんだろうけど、Ω_ωからは無限に深い入れ子が必要になって記述できないんだな 1変数ウェブレン関数でもε_0を表すのに無限に深い入れ子を必要としてしまう。それを2変数にすることで解決できる。
同様に解決できるか テンプレにあるたろう氏のC言語のやつってベクレミシェフとかブーフホルツみたいな感じのアルゴリズムなの？
以前はさっぱりわからなかったけど、今見たらそんな感じに見える。 ε0を現すのに無限の入れ子を使った後にさらに上にいくために
無限の入れ子を2つ使って更に上に行くために配列にして、、、
てやっていくとブーフホルツに行き着く？ 入れ子の種類を2種類の記号として分けるなら、ε_nぐらいかも？試してないからわからんけど 府中(n)を以下のように定義する
府中(n)=府中(n-1)×京王(n+1,n)
府中(0)=1
但し京王は、
京王(n,m)=n^(京王(n-1,m+1)^m)
京王(0,m)=m^m
天橋立(a,b....c,d)=天橋立(京王(d,b),b+1..(間の全てに1を足す)..c+1,d-1)
天橋立(a,b....c,0)=天橋立(a,b....c)
讃岐府中(n)=天橋立(n,n..(n個のn)..n,n)
讃岐府中^100(100)=府中数
定義に不備があったら教えてくれ、俺がすぐ直す 天橋立(a,b)=天橋立(京王(b,b),b-1)
と解釈すると、
0^0=1を採用すれば
府中数=1 (a+1[0]b+1[0]X[×])=((a[0]b+1[0]X[×])+1[0]b[0]X[×])
(0[0]b+1[0]X[×])=1
(a[0]0[0]0[×])=a+1
(a+1[0]0[×]b+1[c+1]X[×])=(a+1[0]0[×](a[0]0[×]b+1[c+1]X[×])+1[c]b[c+1]X[×])
(a+1[0]0[×]0[c]b+1[0]X[×])=(a+1[0]0[×](a[0]0[×]0[c]b+1[0]X[×])+1[c+1]b[0]X[×])
二重リストと配列表記の多次元の強いとこだけ煮詰めてみた あ、間違えた
A…左辺をコピペしてa+1をaに変えたものが入る場所
(0[0],b+1[0],X[×],)=1
(a+1[0],b+1[0],X[×],)=(A+1[0],b[0],X[×],)
(a[0],0[0],0[×],)=a+1
(a+1[0],0[0],0[×],0[0]0[X]b+1[c+1]X[X],X[×],)=(a+1[0],0[0],0[×],0[0]0[X]A+1[c]b[c+1]X[X],0[0]0[X]b[c+1]X[X],X[×],)
(a+1[0],0[0],0[×],0[X]b+1[0]c+1[0]X[X],X[×],)=(a+1[0],0[0],0[×],0[X]A+1[0]c[0]X[X],0[X]b[0]c+1[0]X[X],X[×],)
(a+1[0],0[0],0[×],0[X]0[c]b+1[0]X[X],X[×],)=(a+1[0],0[0],0[X]A+1[c]b[0]X[X],0[X]0[c]b[0]X[X],0[×],)
(a+1[0],0[×],0[0]X[X],b+1[0]0[X],X[×],)=(a+1[0],0[×],A+1[×],b[0]0[X],X[×],)
こっちだこっち 指数関数なら利子の増え方とか生物の繁殖とかに見出せるけど、テトレーション以降は厳しいな。
複素数や4元数でも量子力学だかなんだかでみかけるのに テトレーション的に膨張されたら宇宙に収まらんだろｗ a^b^xという形の関数ならどっかで見かけた気がするけど気のせいかもしれない 定数記号0と後者関数を表す関数記号、等号記号、あとは適当な論理記号でペアノ算術を実装するとして、
1の存在は、0の存在とその後者の存在から導き出すことができる。
2の存在は、1の存在とその後者の存在から導き出すことができる
・・・とやって、任意の自然数につき存在の証明が存在することは適当なメタ理論の帰納法で証明できるけど、
現実的には証明できない巨大数の存在を無条件で受け入れられるというのは、チョコボの不思議なダンジョン 学校教育の効果で、数の比較と言えば桁になってるな(科学的記法も結局は巨大桁の視覚的略記だし) それですね
数を出力するシステムの強さで数を比較する考え方に慣れるのってすごく時間がかかります BIG FOOTのコメント欄でV_[0]がフォン・ノイマン宇宙とか言ってた気がするけど、
誤解されてるか、記号の濫用じゃないかな 今後の拡張性があると思う
a,b,n={0以上の整数}
X={0個以上の0以上の整数}
a:n={n個のa}
a:n+b=a:(n+b)
f()=1
f(0)=f()+f()
f(a+1)=f(a)+f(a)
f(0:n+2)=f(1:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(X,b+1,0:n+1)=f(X,b,1:n+1)
f(X,b+1,0:n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[]()=f(1)
f[](0)=f(f[]():f[]())
f[](a+1)=f(f[](a):f[](a))
f[](0:n+2)=f[](1:n+1)
f[](0:n+1,a+1)=f[](f[](0:n+1,a):n+1)
f[](X,b+1,0:n+1)=f[](X,b,1:n+1)
f[](X,b+1,0:n,a+1)=f[](X,b,f[](X,b+1,0:n,a):n+1)
f[0]()=f[](1)
f[0](0)=f[](f[0]():f[0]())
f[0](a+1)=f[](f[0](a):f[0](a))
f[c+1]()=f[c](1)
f[c+1](0)=f[c](f[c+1]():f[c+1]())
f[c+1](a+1)=f[c](f[c+1](a):f[c+1](a))
f[c](0:n+2)=f[c](1:n+1)
f[c](0:n+1,a+1)=f[c](f[c](0:n+1,a):n+1)
f[c](X,b+1,0:n+1)=f[c](X,b,1:n+1)
f[c](X,b+1,0:n,a+1)=f[c](X,b,f[c](X,b+1,0:n,a):n+1)
f[0,0]()=f[1](1)
f[0,0](0)=f[f[0,0]()](f[0,0]():f[0,0]())
f[0,0](a+1)=f[f[0,0](a)](f[0,0](a):f[0,0](a))
f[0,0](0:n+2)=f[0,0](1:n+1)
f[0,0](0:n+1,a+1)=f[0,0](f[0,0](0:n+1,a):n+1)
f[0,0](X,b+1,0:n+1)=f[0,0](X,b,1:n+1)
f[0,0](X,b+1,0:n,a+1)=f[0,0](X,b,f[0,0](X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=f[0,0](a:a) 拡張してみた
a,b,m,n={0以上の整数}
X,Y={0個以上の0以上の整数}
a:n={n個のa}
a:n+b=a:(n+b)
f()=1
f(0)=f()+f()
f(a+1)=f(a)+f(a)
f(0:n+2)=f(1:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(X,b+1,0:n+1)=f(X,b,1:n+1)
f(X,b+1,0:n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[]()=f(1)
f[](0)=f(f[]():f[]())
f[](a+1)=f(f[](a):f[](a))
f[0:m+1]()=f[1:m](1)
f[0:m+1](0)=f[f[0:m+1]():m](f[0:m+1]():f[0:m+1]())
f[0:m+1](a+1)=f[f[0:m+1](a):m](f[0:m+1](a):f[0:m+1](a))
f[Y,d+1,0:m]()=f[Y,d,1:m](1)
f[Y,d+1,0:m](0)=f[Y,d,f[Y,d+1,0:m]():m](f[Y,d+1,0:m]():f[Y,d+1,0:m]())
f[Y,d+1,0:m](a+1)=f[d,f[Y,d+1,0:m](a)](f[Y,d+1,0:m](a):f[Y,d+1,0:m](a))
f[Y](0:n+2)=f[Y](1:n+1)
f[Y](0:n+1,a+1)=f[Y](f[Y](0:n+1,a):n+1)
f[Y](X,b+1,0:n+1)=f[Y](X,b,1:n+1)
f[Y](X,b+1,0:n,a+1)=f[Y](X,b,f[Y](X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=f[a:a](a:a) >>483
下から8行目訂正
x f[Y,d+1,0:m](a+1)=f[d,f[Y,d+1,0:m](a)](f[Y,d+1,0:m](a):f[Y,d+1,0:m](a))
o f[Y,d+1,0:m](a+1)=f[Y,d,f[Y,d+1,0:m](a):m](f[Y,d+1,0:m](a):f[Y,d+1,0:m](a)) []をヒドラにすればもっと大きく拡張できる
f()=1
f(0)=f()+f()
f(a+1)=f(a)+f(a)
f(0:n+2)=f(1:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(X,b+1,0:n+1)=f(X,b,1:n+1)
f(X,b+1,0:n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[]{m+1}()=f[]{m}(1)
f[]{m+1}(0)=f[]{m}(f[]{m+1}():f[]{m+1}())
f[]{m+1}(a+1)=f[]{m}(f[]{m+1}(a):f[]{m+1}(a))
f[]{m+1}(0:n+2)=f[]{m+1}(1:n+1)
f[]{m+1}(0:n+1,a+1)=f[]{m+1}(f[]{m+1}(0:n+1,a):n+1)
f[]{m+1}(X,b+1,0:n+1)=f[]{m+1}(X,b,1:n+1)
f[]{m+1}(X,b+1,0:n,a+1)=f[]{m+1}(X,b,f[]{m+1}(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[[]]()=f[](1)
f[[]](0)=f[]{f[[]]()}(f[[]]():f[[]]())
f[[]](a+1)=f[]{f[[]](a)}(f[[]](a):f[[]](a))
f[[]](0:n+2)=f[[]](1:n+1)
f[[]](0:n+1,a+1)=f[[]](f[[]](0:n+1,a):n+1)
f[[]](X,b+1,0:n+1)=f[[]](X,b,1:n+1)
f[[]](X,b+1,0:n,a+1)=f[[]](X,b,f[[]](X,b+1,0:n,a):n+1)
f[[]][]{m+1}()=f[[]][]{m}(1)
f[[]][]{m+1}(0)=f[[]][]{m}(f[[]][]{m+1}():f[[]][]{m+1}())
f[[]][]{m+1}(a+1)=f[[]][]{m}(f[[]][]{m+1}(a):f[[]][]{m+1}(a))
f[[]][]{m+1}(0:n+2)=f[[]][]{m+1}(1:n+1)
f[[]][]{m+1}(0:n+1,a+1)=f[[]][]{m+1}(f[[]][]{m+1}(0:n+1,a):n+1)
f[[]][]{m+1}(X,b+1,0:n+1)=f[[]][]{m+1}(X,b,1:n+1)
f[[]][]{m+1}(X,b+1,0:n,a+1)=f[[]][]{m+1}(X,b,f[[]][]{m+1}(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[[]][[]]()=f[[]][](1)
f[[]][[]](0)=f[[]][]{f[[]][[]]()}(f[[]][[]]():f[[]][[]]())
f[[]][[]](a+1)=f[[]][]{f[[]][[]](a)}(f[[]][[]](a):f[[]][[]](a))
f[[]][[]](0:n+2)=f[[]][[]](1:n+1)
f[[]][[]](0:n+1,a+1)=f[[]][[]](f[[]][[]](0:n+1,a):n+1)
f[[]][[]](X,b+1,0:n+1)=f[[]][[]](X,b,1:n+1)
f[[]][[]](X,b+1,0:n,a+1)=f[[]][[]](X,b,f[[]][[]](X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=f[[]][[]](a:a) ハイパー原始数列を入れ子にすれば更に強い順序数が生成できるよね
[]=()=0
[[]]=(0)=1
[[],[]]=(0,0)=2
[[],[],[]]=(0,0,0)=3
[[],[[]]]=(0,1)=ω
[[],[[]],[]]=(0,1,0)=ω+1
[[],[[]],[],[]]=(0,1,0,0)=ω+2
[[],[[]],[],[[]]]=(0,1,0,1)=ω×2
[[],[[]],[[]]]=(0,1,1)=ω^2
[[],[[]],[[],[]]]=(0,1,2)=ω^ω
[[],[[]],[[],[]],[[],[],[]]]=(0,1,2,3)=ω^ω^ω
[[],[[],[]]]=(0,2)=ε_0
[[],[[],[],[]]]=(0,3)=ψ(ε_(Ω+1))
[[],[[],[],[],[]]]=(0,4)
[[],[[],[[]]]]=(0,(0,1))
[[],[[],[[]]],[]]=(0,(0,1),0)
[[],[[],[[]]],[],[]]=(0,(0,1),0,0)
[[],[[],[[]]],[],[[]]]=(0,(0,1),0,1)
[[],[[],[[]]],[],[[]],[[],[]]]=(0,(0,1),0,1,2)
[[],[[],[[]]],[],[[],[]]]=(0,(0,1),0,2)
[[],[[],[[]]],[],[[],[],[]]]=(0,(0,1),0,3)
[[],[[],[[]]],[],[[],[[]]]]]]=(0,(0,1),0,(0,1))
[[],[[],[[]]],[[],[[]]]]=(0,(0,1),(0,1))
[[],[[],[[]]],[[],[[]]],[[],[[]]]]=(0,(0,1),(0,1),(0,1))
[[],[[],[[]]],[[],[[]],[]]]=(0,(0,1),(0,1,0))
[[],[[],[[]]],[[],[[]],[]],[[],[[]],[],[]]]=(0,(0,1),(0,1,0),(0,1,0,0))
[[],[[],[[]],[]]]=(0,(0,1,0))
[[],[[],[[]],[],[]]]=(0,(0,1,0,0))
[[],[[],[[]],[],[],[]]]=(0,(0,1,0,0,0))
[[],[[],[[]],[],[[]]]]=(0,(0,1,0,1))
[[],[[],[[]],[[]]]]=(0,(0,1,1))
[[],[[],[[]],[[]],[[]]]]=(0,(0,1,1,1))
[[],[[],[[]],[[],[]]]]=(0,(0,1,2))
[[],[[],[[]],[[],[]],[[],[],[]]]]=(0,(0,1,2,3))
[[],[[],[[],[]]]=(0,(0,2))
[[],[[],[[],[],[]]]=(0,(0,3))
[[],[[],[[],[[]]]]]=(0,(0,(0,1)))
[[],[[],[[],[[],[[]]]]]]=(0,(0,(0,(0,1)))) バシク行列系は入れ子を使わない気持ちがあったそうだ 入れ子を平らな構造にしさらにそれを入れ子に拡張しと繰り返していくとどうなるか 入れ子を平らな構造にしの所がめちゃめちゃ難しいけど出来たらものすごく大きい数にはなると思う ウェブレン関数って思ったより複雑で、ブーフホルツのΨとの擦り合わせが大変なんだが （全域）計算可能の定義というのが少々厄介で、ZFCで停止性/非停止性を証明可能なら、
とるあえずZFCの無矛盾性と健全性を信じて一部の計算可能性を定義することができるけど、
より一般的な定義となると帰納的公理化可能な理論では無理で、帰納的公理化不可能な理論
はふわふわしていてつかみどころがない。
帰納的公理化可能なメタ理論で言語Lを定義して、そういう帰納的公理化不可能なL-理論が
存在するとして寝る 計算不可能関数でも再帰理論で全域関数として定義することはできる、決定できない値が無数に存在するだけで。
定義もできない最初の関数がラヨ関数ということかな。
たぶんBIG FOOT系列もこの流れの拡張として考えられてるのだろう、フォン・ノイマン宇宙をなにか勘違いしてるっぽいけど。
自分がなにか勘違いしてる可能性は否定しない 足し算を
x+0=x
x+s(y)=s(x+y)
で定義すると1+ωはωに等しいではなく定義不能だな
0除算も割り算の実装の仕方によっては例外処理するまでもなく定義不能という話があったような 数学的知識が比較的浅めでも理解できるφ(2,0)以上のものって出てこないのかな
とりあえず考えてみよう TREE(3)面白いな
でもデカさを実感するには自分で手を動かしてみるしかない？ 積み木遊びみたいに手を動かす巨大数はやっぱりグラフ関連か あるアルゴリズムが停止することが示せる⇔大きさを見積もれる
は正しい？ 少なくとも<=は成り立たないと思う。
<=は、例えば、ビジービーバー関数の計算結果に適当な演算を加えて、
それにビジービーバー関数の逆関数を作用させた場合。
ほとんど恒等関数になるけど、計算可能ではないだろう。
⇒は、大きさを見積もるという言葉の定義次第？
極論、自分自身(に自明な操作をしたもの)をものさしにしてしまえば、何でも見積もれるだろう。
どんなものさしで見積もるか、その使うものさしの限界以内なら可能って感じだと思う。
一応、どんなものさしでも限界はあるだろうけど。 停止するのを示すのにその物差しがひつようになるって可能性が無きにしも非ず。 ZFから停止性を証明できないアルゴリズムA,B
ZF＋ACからAの停止性、Bの非停止性を証明可能
ZF＋￢ACからAの非停止性、Bの停止性を証明可能
ZFは無矛盾としておく >>504
> ZFから停止性を証明できないアルゴリズムA,B
> ZF＋ACからAの停止性、Bの非停止性を証明可能
> ZF＋￢ACからAの非停止性、Bの停止性を証明可能
そういう事態になったとすれば、ZFが矛盾していることになる
何故ならば、停止性の証明に用いる体系とは無関係に（全てを見通せる神の立場では）
アルゴリズムA（Bでも同様）は停止性を有するか有しないかの何れか一方でしかない
今、例えばアルゴリズムAは実は停止性を満たさないとする
するとZF＋ACは偽の命題を証明してしまったことになるので体系ZF＋ACは矛盾していることになる
しかしながら、ACのZFに対する相対的無矛盾性（ZFが無矛盾ならばZF＋ACも無矛盾）より
ZF＋ACが矛盾しているということはZFが矛盾していることになる
Aが停止性を満たす場合も同様にしてZFが矛盾しているという結論になる
（この場合の論証はACのZFに対する独立性を用いる）
従って、
> ZFは無矛盾としておく
限り、最初に引用した３行のような事態は起こり得ない >>505
>今、例えばアルゴリズムAは実は停止性を満たさないとする
>するとZF＋ACは偽の命題を証明してしまったことになるので体系ZF＋ACは矛盾していることになる
実際には停止しないけど、形式的には超準的な時間をかけて停止する、とすれば矛盾にはならない。ω矛盾にはなるけど
A,Bの停止性に関係なくZF＋ACが矛盾していたらあきらめる ω矛盾ってつまるところ矛盾を導く計算に超限的な時間がかかるってイメージだけど、
ここでかかる時間は可算か非可算かとかで、さらに分類できそうな気がする。
可算回では停止せず、非可算回の操作の果てに停止するとか。
そういう感じの停止性を元に定義された計算不能巨大数ってある？
この前、非可算回の計算の概念を少し考えてみたら、
計算機の時間や空間や状態を非可算濃度で扱い、
それぞれの連続性や整礎性を超準的な意味で適切に定義すれば扱えそうではあった。
まぁ、計算可能で途中なのがあるから今は深入りするつもりはないけど。
有限文字で定義された特定の言語を用いて
N文字で記述できる最大の自然数の代わりに
有限文字で記述できる限界の順序数を考える代わりに
可算文字で記述できる限界の非可算順序数もどきを考える代わりに
連続体濃度文字で記述できる限界の…
みたいな系譜を対角化したアプローチがあったら強そうだけど既出かな？ ω矛盾があるならΩ矛盾や I 矛盾 M 矛盾もあるのかなと思ったことはある 自然数nによって定まる論理式って所がどうなるのかだな、、 素数を拡張してみる
αが素数⇔¬∃β∃γ[α＝βγ∧β≠1∧β≠α]
すると、ωは素数、ω+ｋも素数、ω2+1は素数、ω2+2k+1は素数、・・・
ω^ωは素数、ω^ω^ωは素数、・・・、ε_0は素数、・・・。 α番目の素数をP_αとおいてみる
O((P_α_n)^a_n・…・(P_α_0)^a_0) = ω^α_n・a_n + … + ω^α_0・a_0
O(2) = O(P_0) = 1
O(4) = O(P_0^2) = 2
O(3) = O(P_1) = ω
O(ω) = ω^ω
O(ω^ω) = ω^ω^ω ハーディー階層を使ってなんかいいのできないかと思ったけど、
強さはf_ε_0(n)くらいだし、出てきた数をまたかけてもω^ωくらいにしかならないし、だめなのでした fghより強い階層無いのかな
fghでf_ε₀(n)=F_ω(n)
になるような関数F(n) SGH: g_α+1(n) = g_α(n)+1
Hardy: H_α+1(n) = H_α(n+1)
FGH: f_α+1(n) = f_α^n(n)
SGHはどちらも捨てている
Hardyは順序数の強さを取り込んでいる
FGHは順序数の強さと、そこからできる関数の強さを両方取り込んでいる F: 順序数×数→数
この構成でFGH越そうとしたら小細工しかない感ある
構成を変える必要がある
F: 順序数×何か→何か
何かは数、順序数、関数、・・・なんだろう
関数は順序数から作れるし、数は順序数から作った関数から作れるので、順序数を強くできればおｋ ZFが矛盾してなかった場合それはZFでは証明できないけど、矛盾してる場合はそれはZFで証明できるんだよね？ 矛盾してる場合にはどんな命題も証明できる
だからZFが矛盾していればZFが矛盾してることも証明できる 順序数ってでかくなるほど矛盾に近づいていくんだっけ？確か 自然数を全て一列に並べて、適当に順番を入れ替えたものを考える（すなわち自然数全体の順列）。
辞書順に順序を付け、順序数の小さいものから一対一の対応をつける。
このとき、自然数を降順に並べたものと対応する順序数はどのようなものになるか？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
