実際の計算ミスは

＞－2sin^2(2θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ)) だから、cos(2θ) に再度倍角公式を適用すると、
＞cos(2θ)＝1－2sin^2(θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ))。

この部分。－2sin^2(2θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ)) しか言えてないのに、
いつの間にか －2sin^2(θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ)) が言えたことになっていて、
それを使って cos(2θ)＝1－2sin^2(θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ)) としている。そこが間違い。