おっちゃんです。>>42の(1)だけ高校レベルで考えてみた。
だが、どこに構造を調べる代数の特性を生かす必要性があったのかが分からない。
もしかしたら、>>42の出題意図とは違うかも知れない。
高校数学だから、sin(π/n)∈Q と n＝6 とは同値であることは仮定していいのだろう。
まあ、そのもとで証明。

( cos(2π/n)∈Q(sin(2π/n)) ( cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) ) の証明 )
Q(sin(π/n)) は有理数体Qに sin(π/n) を添加した体だから、三平方の定理から
cos^2(π/n)＝1－sin^2(π/n)∈Q(sin(π/n))。
また、体 Q(sin(π/n)) は有理数の加減乗除について閉じている。故に、cos(π/n) の半倍角の公式から、
cos^2(π/n)＝(1＋cos(2π/n))/2∈Q(sin(π/n)) であって、cos(2π/n)∈Q(sin(π/n))。
ところで、cos(2π/n) に関する2倍角の公式から
cos^2(2π/n)＝(1－2sin^2(π/n))^2＝1－4sin^2(π/n)＋4sin^4(π/n)
だから、三平方の定理から、－sin^4(π/n)＋4sin^2(π/n)＝sin^2(2π/n)∈Q(sin(π/n))。
同時に sin^2(2π/n)∈Q(sin(2π/n)) であるから、sin^2(2π/n)∈Q(sin(2π/n))∩Q(sin(π/n))。
2つの体 Q(sin(2π/n))、Q(sin(π/n)) はどちらも有理数の加減乗除について閉じていて
－2sin^2(2π/n)∈Q(sin(2π/n))∩Q(sin(π/n)) だから、cos(2π/n) に再度倍角公式を適用すると、
cos(2π/n)＝1－2sin^2(π/n)∈Q(sin(2π/n))∩Q(sin(π/n))。
故に、Q(sin(2π/n))∩Q(sin(π/n))⊂Q(sin(2π/n)) から cos(2π/n)∈Q(sin(2π/n))。
上の議論は任意の正の奇数nについて成り立つから、nを2nで置き換えれば、cos(π/n)∈Q(sin(π/n))。