永田雅宜著『集合論入門』を読んでいます。

永田さんの本を初めてまともに読んでいますが、雑ですね。

集合 A から B への写像全体の集合を H(A, B) と書く。

g ∈ H(A, B) を固定する。

写像 g* : H(B, C) ∋ f → f ・ g ∈ H(A, C) を考える。

g が単射ならば、 g* は全射であることを示せ。

h ∈ H(A, C) とする。

写像 f ∈ H(B, C) を以下で定義する：

f(b) := h(g^{-1}(b)) if b ∈ g(A)
f(b) := b if b ∈ B - g(A)

明らかに、 f ・ g = h が成り立つ。

これがまともな解答だと思います。