面白い問題おしえて～な 29問目
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
iを虚数単位、aを正の数とし
閉曲線 Cを頂点 -a、a、a+i√π、-a+i√πからなる長方形の境界に反時計向きを付けたものとする。
(1) ∫[C] e^(-iz^2)/(1 + e^(2(√π)z)) dz を求めよ。
(2) a→∞の極限から ∫[-∞,∞](cos(x^2) + i sin(x^2))dx を計算せよ。 Σ[n=1,∞] ∫ (t/{aa･sin(x)^2 + bb･cos(x)^2})^n dx
= ∫ t/{aa･sin(x)^2 + bb･cos(x)^2 -t} dx
= ∫ t/{(aa-t)sin(x)^2 + (bb-t)cos(x)^2} dx
= t/√{(bb-t)(aa-t)}∫dy { ← √{(aa-t)/(bb-t)}･tan(x) = tan(y)}
= t/√{(bb-t)(aa-t)} y
= t/√{(bb-t)(aa-t)} arctan(√{(aa-t)/(bb-t)}･tan(x)),
ここで ｘ：0→π/2, >>827
この問題の出典は
ttps://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf
によると1940年代の複数の文献らしい 前>>817
>>828なに言ってるら。
すべての場合分のその場合の数であってるじゃないか。 >>822
a>0, b>0 の時
・ab+1以上
n-a, n-2a, ････, n-ba (b個)のいずれかは bの倍数。
n-b, n-2b, ････, n-ab (a個)のいずれかは aの倍数。
該当なし。
・ab以下
1≦X≦b-1, 1≦Y≦a-1,
aX+bY と a(b-X)+b(a-Y) のペアの和は 2ab.
一方は <ab, 他方は >ab. (=ab はない)
∴ (a-1)(b-1)個の半分が <ab であり、また重複もない。
∴ 該当するのは ab - (a-1)(b-1)/2 = (a+1)(b+1)/2 -1 個。 >>823 >>831
否（笑
１の証明がまったく意味不明だ（笑
イナよ、お前の変な証明を理解でき者はイナい（笑 前>>831
>>817シンプルで美しい俺の解法。もっとも自然で、わからない人々を救う俺のmethod。たとえ出題者や採点者に理解力がなくても、きっとだれかに届くはず。 >>824
生成関数を
G(t) = Σ[n=1,∞] c[n] t^n
とおく。
-{(G^3)/(2tt)}{tt･[1/G(t)^2 - (2/π)^2]} "
= G" - (3/G)(G')^2 + (4/t)G' -(G/tt){1 -(2G/π)^2}
= 0
より
1/G(t)^2 - (2/π)^2 = (tの一次式)/tt,
G(t) = (π/2) t/√{(bb-t)(aa-t)}, C[n,k]=n!/((n-k)!k!)とするとき
Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/(n^2 (2n-1) C[2n,n]) = π^2/6 - 5log^2((1+√5)/2)
を示せ。 一辺2の小五芒星aがあり、その一辺を頂点から交点まで大五芒星が線分を共有するとき、大五芒星の正５角形の面積を求めよ
星形ｂについて
頂点～交点の距離は 2,
正五角形の辺長は 2/φ,
面積は 5cot(π/5) /φ^2
= √(25+10√5) /φ^2
= 6.8819096/φ^2
= 2.62865556
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 (黄金比) 0.9999...が1とは成らないような実数上のハウスドルフ位相空間を定めよ
ただし数列a_nに対して、ハウスドルフ位相空間Xにおけるlim(n→∞)a_n=α∈Xの定義は、
任意のαの開近傍に対して、ある自然数Nが存在して、n≧N ならばその開近傍にa_nが含まれる ということである
さらに
0.999...9(9がn個)=a_nとし、
0.999...:=lim(n→∞)a_nと定義する >>841
写像f:R→Rを
f(x)=x+1 (x∈Z), x(otherwise)
としてTをによる通常位相の引き戻しとすれば
f(lim[T位相](1-1/10^n))
=lim[通常位相]f(1-1/10^n)
=lim[通常位相](1-1/10^n)
=1
より
lim[T位相](1-1/10^n))=0 >>842
素晴らしい そして速い
>としてTをによる通常位相の引き戻しとすれば
は
としてTをfによる通常位相の引き戻しとすれば
ってことだよね？
一応用意してたのはこんな感じ
d(x,y)= |x-y| (x,y∈(0,1) または x,y∈(0,1)^c)
,|1-x-y| (x∈(0,1) かつ y∈(0,1)^c)または (y∈(0,1) かつ x∈(0,1)^c)
とすればdはR上の距離になってその距離位相の上では0.999...=0となる >>831
否という 自由ありけり 夏の果て 田中亜紀子 (津市)
中日新聞 (2017/Oct/02)
否否と 加齢や 雪の日の体温 池田澄子
否否否 百遍の否 鴃(モズ)きしる 井口時男
句集『天來の獨樂』 深夜叢書社 (2015/Oct) 2860円 (0,1)^c (x≦0 と x≧1) はそのままで
(0,1) を逆向きにしたでござるか。 d(x,y) = | g(x)-g(y)|
g(x) = x + (2x-1)[ x(x-1)/(xx-x+1) ]
とか >>838
f(x)=Σ[n=1,∞] x^(2n)/(n^2 C[2n,n]) と置く
y=f(x)は微分方程式 (4-x^2)y''-xy'=√(4-x^2)(√(4-x^2)y')'=4 を満たしこれを解くと
f(x)=2(arcsin(x/2))^2
問題の和Sは
S = ∫[0,1] -f((√-1)x)/x^2 dx
= 2∫[0,1] (arcsinh(x/2))^2/x^2 dx
… x=2sinh(t)と置いて2回部分積分
= 2∫[0,logφ]{log(1+e^(-t))-log(1-e^(-t))}dt - 8(logφ)^2
… log(1±x)を展開して項別積分
= -2{Li2(1/φ)-Li2(-1/φ)} + 2{Li2(1)-Li2(-1)} - 8(logφ)^2
ここにφ=(1+√5)/2, Li2(x)=Σ[n=1,∞] x^n/n^2
Li2(x)は
・Li2(1) = ζ(2) = π^2/6
・Li2(-1) = -(1/2)ζ(2) = -π^2/12
・Li2(x)-Li2(1-1/x) = π^2/6 - log(1-x)log x + (1/2)(log x)^2
を満たす(最後の式はx→1で成り立つことと両辺の微分が等しいことからわかる)
この式にx=1/φを代入し黄金比の関係1-φ=-1/φから
Li2(1/φ)-Li2(-1/φ) = π^2/6 - (3/2)(logφ)^2
よって
S=π^2/6 - 5(logφ)^2 類題: Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/(n^3 C[2n,n]) = (2/5)Σ[n=1,∞] 1/n^3 を示せ。 >>849
アペリーの公式
ζ(3) = Σ[n=1,∞] 1/n^3 = 1.202056903159594284････
どうやって出すんでしょうね。
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.147～
(蛇足)
ζ(3) = Σ[n=1,∞] 1/n^3
= 5/4 - Σ[n=2,∞] 1/{n^3･(n^2 -1)}
= 1 + Σ[n=1,∞] 1/{n^3･(4n^4 +1)}
= 77/64 + Σ[n=2,∞] 4/{n^3･(n^2 -1)(9n^4 + 3n^2 +4)}
= 9/8 + Σ[n=1,∞] 4/{n^3･(9n^8 + 18n^6 + 21n^4 + 4)}
4n^4 +1 = (2nn+1)^2 - (2n)^2,
9n^8 + 18n^6 + 21n^4 + 4 = (3n^4 +9nn +2)^2 - {6n(nn+1)}^2,
>>850
いいえ。(e = 2.718281828459045････ (ネイピア数) ならば) >>848
xy '= Σ[n=1,∞] 2/(n･C[2n,n])・x^(2n),
y " = Σ[n=0,∞] 2(2n+1)/((n+1)･C[2n+2,n+1])・x^(2n)
(4-xx) y " = Σ[n=1,∞] {8(2n+1)/((n+1)･C[2n+2,n+1]) - 2(2n-1)/(n･C[2n,n])}・x^(2n)
= Σ[n=1,∞] {4/C[2n,n] - 2(2n-1)/(n･C[2n,n])}・x^(2n)
= Σ[n=1,∞] 2/(n･C[2n,n])・x^(2n),
よって
(4-xx) y " - xy ' = 0.
x = 2sinθ とおくと
(d/dθ) = √(4-xx)･(d/dx)
題意より
(d/dθ)^2 y = 4,
y = 2θ^2, >>852
1/√(4-xx) = Σ[n=0,∞] 2 C[2n,n] (x/4)^(2n),
arcsin(x/2) = Σ[n=0,∞] 2 C[2n,n]/(2n+1) (x/4)^(2n+1),
2乗すると C[2n,n] が分母に来る。 >>848 より
f(ix) = -2{arcsinh(x/2)}^2 = -2{log[(x+√(xx+4))/2]}^2,
ζ(3) = ∫[0,1] (-5)f(ix)/x dx, 1/√(4+xx) = Σ[n=0,∞] 2(-1)^n C[2n,n] (x/4)^(2n),
をxで積分して
arcsinh(x/2) = Σ[n=0,∞] 2(-1)^n C[2n,n]/(2n+1) (x/4)^(2n+1)
= log[(x + √(xx+4))/2] = -log[(√(xx+4) - x)/4], >>849 >>854
Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1) x^(2n)/(n^2 C[2n,n]) = 2(arcsinh(x/2))^2
より
S = 4∫[0,1] (arcsinh(x/2))^2/x dx
… x=2sinh(t)と置き部分積分
= -8∫[0,logφ] t log(e^t - e^(-t)) dt
= -8∫[0,logφ] t {t - Σ[n=1,∞] e^(-2nt)/n} dt
= -(8/3)(logφ)^3 - 4(logφ)Li2(1/φ^2) - 2Li3(1/φ^2) + 2Li3(1)
ここに
Lik(x)=Σ[n=1,∞] x^n/n^k
・Lik(x)+Lik(-x) = 2Σ[n:even] x^n/n^k
= (1/2^(k-1))Lik(x^2)
・Li3(x)-log(x)Li2(x) + Li3(1-x)-log(1-x)Li2(1-x) + Li3(1-1/x)-log(-1+1/x)Li2(1-1/x)
= -(1/3)(log(x))^3+(log(x))^2log(1-x)+Li3(1)
にx=1/φを代入し関係式1-1/φ=1/φ^2,1-φ=-1/φを用いると
(5/4)Li3(1/φ^2)+(5/2)(logφ)Li2(1/φ^2) = -(5/3)(logφ)^3+Li3(1)
よって
S = -(8/3)(logφ)^3 - (8/5)(-(5/3)(logφ)^3+Li3(1)) + 2Li3(1)
= (2/5)ζ(3) >>851
ζ(5)=Σ[n=1,∞](-1)^n R(n)/C[2n,n] を満たす整数係数の有理関数R(x)が見つかれば
ζ(5)が無理数であることを証明できる可能性があるが、この具体的なRは存在するか？ たしかに面白い問題でござる。簡単に解けそうもないけど。 半径1の球面上に周の長さ1の閉曲線を描く
閉曲線で囲まれる球面上の領域の面積の最大値を求めよ >>859
少し修正します
球面上での閉曲線で囲まれる領域は二つ出来るけど
面積はその二つの内小さい方とします >>859
とりあえず周長1の小円で切ってみる
小さい方の面積は2π-√(4π^2-1)
大きい方の面積は2π+√(4π^2-1)
そしてあまり意味はないけどこれらの積は1 もしかしてこの手の問題の解は必ず定曲率の曲線になったりするのかな？ 前>>835
>>859-860
最大の閉曲面は円周だから、球の表面から地下t{0≦t≦1-√(1-1/4π^2)}まで中心に向かって掘り、その地点を通る水平な円盤の円周をt=0から1-√(1-1/4π^2)まで足し集めると、
2π∫{0～1-√(1-1/4π^2)}√(2t-t^2)dt
=2π――(積分関数不明)
=2π-√(4π^2-1)
こういうことか。 >>863
関数不明ていわはりますけど、
その円周の付近の地面が軸に対してどれだけ傾いてはるか
よう考えはったらイナはんなら解けるはずどすえ 部分積分により
I = ∫√{t(2-t)} dt
= (t-1)√{t(2-t)} + ∫(1-t)^2 /√{t(2-t)} dt
= (t-1)√{t(2-t)} + ∫1/√{1-(t-1)^2} dt - I
= (t-1)√{t(2-t)} + arcsin(t-1) - I,
∴
I = (1/2)(t-1)√{t(2-t)} + (1/2)arcsin(t-1), 半径 1/(2π) = 0.1591549431 の小円で単位球を切ってみる。
球の中心から小円に垂線を下ろし、その向きをz軸とすると
(表面積) = 2π|⊿z|
= 2π{1 - √[1 - 1/(4π^2)] }
= 2π - √(4π^2 - 1)
= 0.080087887
また
arcsin(1/(2π)) = 0.1598346264 じつは球の表面の領域Dについて
Dの面積=3×(Dと中心の凸包の体積)÷半径
を使うと高校生でも解けたりする。 >>861
>>863
>>866
結論から言えば円で正解ですが 最大性の証明もお願いします
ヒントはガウス・ボネの定理です >>859-860
表面積=2π(2t-t^2)^(3/2)/(3/2)(2-2t)
=2π(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)――①
図を描くと、
t=1-√(1-1/4π^2)
1-t=√(1-1/4π^2)
=(1-1/4π^2)^(1/2)――②
t^2=1-2√(1-1/4π^2)+1-1/4π^2
=2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2
2t-t^2=2-2√(1-1/4π^2)-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=1/4π^2――③
①に②③を代入すると、
表面積=2π(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)
=2π(1/4π^2)^(3/2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=2π(1/4π^2)^(3/2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=2π(1/4π^2)√(1/4π^2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=(1/4π^2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=1/2π√(4π^2-1)
=0.0256573341……
前>>863あってんのかな？ 合ってる。
球面のうち平行な平面の間にある部分の
(表面積) = 2πr･|⊿z|
⊿z：平面の間隔
r：球面の半径 前>>869
半径1の球から断面の周長が1の欠球だかを切りとったら、切り口の面積は、
π(1/2π)^2=1/4π
表面積はこれより少し大きくないといけない。
前>>869
表面積=[(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)](t=0～1-√{1-√(1-1/4π^2)}――①
t=1-√(1-1/4π^2)
t^2=1-2√(1-4π^2)+1-1/4π^2
=2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2
2t-t^2=2{1-√(1-1/4π^2)}-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=2-2√(1-1/4π^2)-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=1/4π^2――②
1-t=√(1-1/4π^2)――③
①に②③を代入すると、
表面積=(1/4π^2)^(3/2)/3√(1-1/4π^2)
=(1/4π^2)√(1/4π^2)/3√(1-1/4π^2)
=1/3･8π^3√(1-1/4π^2)
=1/12π^2√(4π^2-1)
(＞1/4πであってんのかな？) 合ってる。
(表面積) = 2π|⊿z|
= 2π{1 - √[1 - 1/(4π^2)] }
> 2π{1 - [1 - 1/(8π^2)] }
= 2π/(8π^2)
= 1/(4π)
= 0.079577471546 前>>871
>>859-860
表面積＞1/4π=0.0795774715……
膨らみのぶんだけ表面積は断面積より大きい。
0.08ぐらいになるんじゃないかな？ もしかしたら0.08超えるかも。 前>>873
どうやって0.08超えたんだ？
>>859-860 前>>875
円周を0から1まで足し集めるやり方であってんじゃないの？ 長さを積分して面積になる
は平面までの話。
空間図形でやるにはそれだけではダメ。 前>>875
>>876球体の表面積って土器みたいに積み重ねてバウムクーヘン法できないの？ 前>>878前々>>876
>>877じゃあどうやって0.08超える計算をしたんだ？ バウムクーヘン法だとばっかり思ってた。どおりで式が⊿とか意味わからんわけだ。
>>859-860 >>878
補正すればできるやつもあるができないものもある。
球面の場合は補正すればできる。
高さhで切ってできる弧の長さをl、球の半径をRとして
∫l R/ √(R^2-h^2) dh
を計算すれば出る。
例 球面全体の場合はl=2π√(R^2-h^2)だから
∫[-R,R]l R/ √(R^2-h^2) dh
=∫ [-R,R] 2πR dh
=4πR^2
しかし特例。
普通は ‘長さを積分’ ではでない。
補正する因子が同じ高さで共通してないと無理。 >>879
イナ氏にはこういう説明が分かりやすいはずだ
球体のスイカを皮がついたまま同じ厚さで輪切りにすることを考える
すると、スライスした実の厚さは同じはずなのに、緑色の皮の幅は端のほうほど広いはずだ
さてそれは何故でしょう？
そして緑色の皮の幅は実の厚みの何倍くらいあるでしょうか？ 前>>879
周長1の切り口の半径は、
1/2π
ピタゴラスの定理より、
半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離は、
√(1-1/4π^2)
(ここが飛躍してんだよ)
表面積は周長を足し集めたのか、
表面積=2π{1-√(1-1/4π^2)}
ここはなんで
半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離
に2πを掛けて周長1の内側部分の球体の表面積が出るんだ？ >>882
> ピタゴラスの定理より、
> 半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離は、
> √(1-1/4π^2)
> (ここが飛躍してんだよ)
どこが？
> 表面積は周長を足し集めたのか、
> 表面積=2π{1-√(1-1/4π^2)}
表面積=∫[√(1-1/4π^2),1] 2π√(1-h^2)/√(1-h^2)dh
どの緯度の点を含むかだけで決まっちゃうのか。
意外にオモロイw 前>>882
>>883
√(1-h^2)/√(1-h^2)dh
これは2πと、球を高さhの地点で水平に切った半径を、掛けあわせて出した周長を√(1-1/4π^2)から1まで足し集めてると思うんですが、なぜ分子と分母が同じなんでしょう？
(うんこ/うんこ)dhにしか見えない。
約分して
表面積=2π∫[√(1-1/4π^2),1]dh
=2π{1-√(1-1/4π^2)}
でいいですよね？ 前>>884つづき。
2πと、球を高さhの地点で水平に切った半径を、掛けあわせて出した周長を、
√(1-1/4π^2)から1まで足し集めると、
表面積=2π∫[√(1-1/4π^2),1]dh
=2π{1-√(1-1/4π^2)}
=2π-√(4π^2-1)
drじゃなくてdhだ。足し集める方向にうすく切ったのをdhにするんだ。わかった。 ＞>その前にまず、自然数x､y､zとは別の実数 X､Y､Zをx:y:z=X:Y:Zが成り立つように仮定して、そのX､Y､Zの上で Z=X+r とおいてから議論するのならば良い。
＞すみません。この方法で、うまく説明できるかが、わかりません。
その方法で説明できなければ証明と認めません。 >>868
閉曲線の内部に極軸をとる。
閉曲線を極座標で表わした式(*)を
θ = f(φ) ≧0,
f(0) = f(2π),
とする。
周長Lと面積Sは
L[f] ≧ ∫[0,2π] sin(f(φ)) dφ,
S[f] = ∫[0,2π] {1-cos(f(φ))} dφ,
と表わせる。
束縛条件 L[f]=1 の下で汎関数
I[f;λ] = S[f] - λ･(L[f]-1),
をfで変分すると
δI = ∫[0,2π] {sin(f(φ)) -λcos(f(φ))} δf dφ,
任意の δf に対して I[f;λ] が停留値となることから
sin(f(φ)) -λcos(f(φ)) = 0,
f(φ) = arctan(λ) = arcsin(1/(2π)),
*) もしヒダヒダがあれば、それを伸ばして広げることが可能。 前>>885
>>866は答えはあってると思ったけど、途中がぶっとんでた。
せめて>>885これぐらいは書いてほしかった。どうやって0.08を超えたか途中が必要だと思う。
2π-√(4π^2-1)=0.080087887……＞0.08
インテグラル、積分区間、積分関数のネット上での書き方は再認識できた。
∫[積分区間](積分関数)dh >>888
解答ありがとうございます
閉曲線をxy平面に射影したときに円と同相になるとして、
極座標θ=f(φ)のθはxy平面における偏角だと思うのですがφはなんの量でしょうか xy平面に射影したときの動径ですか？ それともxz方向の偏角でしょうか
それと周長が不当式になってますがそのまま変分して扱えるのでしょうか >>890
たぶん三次元極座標の取り方は決まっていて(x,y,z)=(r sinθcosφ,r sinθsinφ,r cosθ)だと思う
このとき
L = ∫[0,2π] √(sin^2(f(φ))+(f'(φ))^2) dφ
S = ∫[0,2π]∫[0,f(φ)] sinθ dθdφ
= ∫[0,2π] {1-cos(f(φ))} dφ
は合ってる 論理クイズ
４部屋あるアパートとその家主、そして７人の学生で実験をする。
学生は作戦会議の後、アパートの前でトランプ(ジョーカー抜き)から１枚引いて、自分のカードは見ずにお互いのカードを確認する。
その後アパートに入り、自分が入る部屋を４つから１つ選んで一斉に移動する。
家主は全ての部屋の学生のカードのマーク（ハート、スペードなど）を確認し、マークが２種類以上存在する部屋があった場合、各学生に同じ部屋にいる学生のカードをお互い確認させた上で、また一斉に部屋を移動させる(このとき移動しなくてもよい)。
これを、異なるマークが存在する部屋がなくなるまで繰り替えす。
ある作戦によって、カードの配役にかかわらずn回移動すれば実験を終了させられるとき、nの最小値とその時の作戦を考えてください。ただし作戦会議後は、相手のマークをしゃべったり、目などで合図を送ることはだめ。 >>892
なるほど ありがとうございます たしかにそのパラメータ(θ,φ)ならそうなりますね
なので問題は不等式で変分を扱えるのかどうかですね >>893
n=0
作戦
(1) 事前にマークごとに0～3を割り当てておく
(2) 自分以外の人のマークの総和を4で割った余り+1号室に入る
(全員のマークの総和)-(自分のマーク) mod 4 は、マークが同じ人なら同じだから、
すべての部屋にマークが同じ人が振り分けられる。 >>894
どゆこと？
最小値をとるとこで変分が0になるとは限らない？
それとも最小値をとることも示さないとダメと言う事？ >>896
すみません 自己解決しました
最初は
長さ汎関数を
L[f] ≧ ∫[0,2π] sin(f(φ)) dφ
として不等式で小さくしてラグランジュ乗数法で変分してますが、その変分=0ともとの汎関数の変分=0で一致する理由はなんだろうかと思ったのですが
λが正でかつ最大問題を求めるのでそれで下からの汎関数で考えれば十分なんですね １から９までの整数が書かれたカードが一枚ずつ、合計九枚ある。A,B,Cの三人で数あてゲームをする。
ゲームの進行者であるAはまず、自分がどんなカードの組を引いた時にどんな宣言をするかについてのアルゴリズムを【BとC両方に】伝えた後、九枚の中から無作為に六枚を引く。
その後Bが残りの中から無作為に二枚を引き、Cが残りの一枚を引く。三人とも、カードの中身は他人に見せない。
Aは先程自分が伝えたアルゴリズムに従って宣言をする。
このような進行でゲームをする時、全員が引いたカードの組み合わせがどんな場合であっても次の条件が全て満たされるようなアルゴリズムは存在するか：
(1)BはCのカードを確定できる
(2)Cは、自分が持っていないどのカードについても、Bがそれを持っているかどうか確定できない
※Aは、Bだけに情報を伝えられるような伝達手段は持たないものとする。
※宣言の内容はアルゴリズムのみによって決まるのであって、例えば
「自分が引いたカードの組に関する事実を宣言する」
等のような、カードの組に対して宣言が一意に定まらないものは不可。 >>900
意味が分からん。
例えば許される宣言で惜しくも条件を満たさない宣言はどんなのがあるの？ 例えば
自分の持ってるカードの合計を9で割った余りはxxである
みたいなのはありなん？ >>902
除数として 9, 10, 11 のいずれかを使った場合は条件を満たせるらしい
8以下ではBがCを特定できない場合があり
12以上ではCがBを特定できる場合がある >>901
例えば >>902 のアルゴリズムとか、あとは『自分が持ってない最小のカードの数字は○○である』とかはアルゴリズムとして許される例。
これらの場合は、どちらも惜しくも条件は満たさないのだけれども…
>>902 の場合について考えると、例えばCに1が、Bに3,5が配られたとすると、
CはAの宣言から、Bのカードの組み合わせとして(2,6),(3,5),(8,9)のどれかであることがわかる。
しかしこれではBが4も7も持っていないことがCにわかってしてしまうため、解としては不適となる。 そもそもアルゴリズムとして許されないのは、例えば
「自分が持っていないカードの数字をどれか一つ言う」
みたいなもの。
つまりこの問題でのアルゴリズムというのは、Aに配られるカードの組全体の集合（有限集合）から、日本語の文字列全体の集合への写像、のように認識をしていただけたらと。
もちろん値域が日本語の文字列でなく自然数全体の集合とかであっても良い。
『Aがどんなカードの組を持った時にどんな宣言をするか』が、BやCにも確定できるということが肝。 何でわざわざこんな回りくどい問題設定にしたのかというと、例えば
【１から７までのカードをA,B,C三人にそれぞれ3,3,1の枚数でランダムに配り、
AとBが『自分の手札に関する事実』を宣言することでAとBだけに三人のカードの内訳を確定させるにはどうすれば良いか】
という問題における
【AもBも、自分が持っているカードの組xyzについて『AまたはBのどちらかはxyzという手札である』と宣言すれば良い】
という別解、みたいなのを排除するためということになるかな
自分の手札がxyzの時にする宣言が『自分の手札がpqrである』という可能性も含んでいるならば、その宣言は手札がpqrだった時にする宣言と同じ、ということを担保したかった >>905
>日本語の文字列全体の集合への写
数学にならないかもね >>907
もし日本語（で使う文字）の定式化とかを経由したくなければ、その後に書いた通り『自然数全体の集合』への写像でも良いし、実数全体だっていい
実際のところ >>902 のアルゴリズムは、カードの六枚組全体の集合から{0,1,…,8}への写像になっている >>908
ならばそう定義しておくべき
数学ならね >>909
文字集合さえ決めればその値域としての文字列全体の構造は問うてないから、より実態に合った定式化というかをしたつもりだったけど
ちょっと言葉足らずで不親切だったかも知れない、すまぬ >>910
でもまぁ言いたい事はわかった。
なかなかにムズイ。 でけたかも
補題
X={1,‥,9}の任意の三元{i,j,k}に対し、Xの三元部分集合からなる集合Sで以下の性質を持つものが存在する。
(1) {i,j,k}∈S
(2) 任意のXの二元x,yに対し{x,y,z}∈SとなるXの元zがちょうどひとつ存在する。
(∵) L/Kを体の単純Galois拡大でガロア群が3次循環拡大の二つの直積となるものにとる。
L=K(α)とし、α1,‥α9をαの共役元でαi,αj,αkが
[K(αi,αj,αk):K]=3
を満たすように添字をつけておく。
具体的にはガロア群の位数3の元σをとりαi=α、αj=σα、αk=σσαとすれば良い。
S={{x,y,z}| [K(αx,αy,αz):K]=3}
が求める性質を満たす□
AがB,Cに与える情報としてB,Cに渡った三元i,j,kに対して補題の条件を満たすSをとりこれを二人に伝える。
Bは3数のうち2数をしってるから残り一個を確定することができる。
仮にCに渡った数がiとしてi以外のlを取るとき少なくとも一個mをとって{i,l,m}∈SとなるのでCはlが含まれないと結論付ける事は出来ない。
もしiを含むSの元が必ずlを含むとするとi,l以外の異なるp,qをとるとき条件から{i,p,l},{i,q,l}がともにSの元となり条件に反する。
よってSはiを含みlを含まない元を持つのでCはlが含まれると結論付ける事は出来ない。□ >>912
構成してる集合とかすごくいいセンいってる回答なんだけど、
少し確認すべきことが…
各組{i,j,k}に対して補題の条件を満たすSの存在は言えるけれど、
そのようなSは一つだけではないから、アルゴリズムとして許されるためには
「各組{i,j,k}と、それに応じてB,Cに伝える集合Sの対応関係」をあらかじめ決めて共有する必要がある。
（そしてこの時注意しなければならないのが、
例えばもし仮に{1,2,3}に対して宣言されるS_0が、{1,2,3}のみに対して宣言されるものだったならば、
AがS_0を宣言した瞬間、BだけでなくCも全員の内訳が確定できてしまうことになる、ということ。）
また、宣言したSを、BCに渡った手札の組としてあり得る可能性一覧表として捉えさせたいのであれば、
Sの任意の元P={p,q,r}について、BCに渡った手札がPだった場合の宣言はSである必要がある。
（∵もし二つの組PとP'で宣言される集合SとS'が異なったものであるならば、
Sという宣言をすることでP'の可能性が排除されてしまう） >>913
なるほど。
Sの選択も一つのアルゴリズムなのでそこでB,Cに情報がいかないようにしないとダメってことね。
ムズイ‥‥ >>900
こうかな
イ 123 145 167 189 246 258 279 349 357 368 478 569
ロ 124 135 168 179 238 259 267 347 369 456 489 578
ハ 125 134 169 178 236 247 289 358 379 459 468 567
ニ 126 137 148 159 235 249 278 346 389 457 568 679
ホ 127 136 149 158 239 248 256 345 378 467 579 689
ヘ 128 139 146 157 237 245 269 348 356 479 589 678
ト 129 138 147 156 234 257 268 359 367 458 469 789
Aは、自分の持っていない3枚が、この数表のどの行に書かれているかを宣言する
・Bは、この数表の宣言された行と自分のカードから、Cのカードを確定できる
・Cは、この数表の宣言された行と自分のカードからでは、自分が持っていないどのカードについてもBがそれを持っているかどうか確定できない >>915
例)Bが2と4、Cが7を引いた場合
Aは自分のカードに2と4と7がないことがわかるので「ハ」を宣言する(BとCがどのカードを持っているかは知らない)
Bは、ハの行に2と4を含む組み合わせが247しかないので、Cが7を持っていることを特定できる
Cは、ハの行に7を含む組み合わせが178、247、379、567の4通りあるため、これだけの情報からでは7以外のどのカードについても、それを持っているかどうか特定できない >>916
まず最初に123から129をそれぞれの行に振り分けておいて、行内に含まれるどのペアも被らないように他の組み合わせを配置していったらこうなった感じ
あと、前提として宣言の種類は7通り。これより多くても少なくてもいけない >>915
大正解、すばらしい…！
{1,2,x}の割り振りだけからよくここまで完成させられたね…
実は自分も最初に見つけた時は力わざで、
誰かが綺麗な構成見つけてくれたらラッキー程度のことは考えてたんだけど、やはり難しいのかな…
以下は余談
組み合わせ数学の中で BIBD (Balanced Incomplete Block Design) という研究対象があるけど、
この問題は『９元集合に含まれる三つ組全体からなる集合の、七つの(9,3,1)-デザインによる分割』を求める問題と言い換えられたりする
ちなみにこれが１から７までのカードの場合、(7,3,1)-デザインは存在するけれど（最小の有限射影平面）、
(7,3,1)-デザインによる同じような分割は存在しないことがわかる（これも一応手計算で確かめられる） 余談続き
nを3以上の整数とする時、そもそも(n,3,1)-デザインが存在するための必要十分条件は n≡1,3 (mod 6) であることがわかっている
http://mathworld.wolfram.com/SteinerTripleSystem.html
n元集合に含まれる三つ組全体からなる集合の(n,3,1)-デザインによる分割が可能なnは、
n=3（自明な分割）とn=9（今回の問題）しか自分には確かめられてないんだけれども、こういう研究って既にされてたりするんだろうか… >>921
そそ
>>923
を見ると一般化されてるらしいから
アドホックではないしらみつぶしではない
具体的な求め方があるんだと思うよ >>924
「デザイン」と呼ばれているものと「分割」と呼ばれているものではすこし事情が異なるかなと思う
(n,3,1)-デザインというのは、n角形の辺と対角線のすべてを三辺形で過不足なく覆い尽くす問題と同型で、
その必要条件は、nが3以上の奇数かつnC2が3の倍数ということになるから、n≡1,3 (mod 6)であることは理解できるし、構成も難しくはないのだろうけど、
分割については、(n,3,1)-デザインだけですべての三辺形のパターンを過不足なく覆い尽くす問題になるので難易度が高くて、その存在や構成方法は一筋縄ではいかないんじゃないかな。
むしろ計算機向きの問題かと。
拡張を考えるなら、とりあえずn=13の解は存在するのかどうか？ レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
