面白い問題おしえて～な 29問目
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イナさん、イナさん、
>>767
＞挑戦者が箱を変える場合、
＞一発目で当てる確率は、
＞1/3――②
箱を変えるんだから、一発目に選んだこの箱は開けないことにしたんだけど、
この②の確率を加算してるのはどうしてなの？ 答えの数値だけがあってる式などなんの意味もないというのが何故わからんのかねぇ？
まぁ答えの数値合わすのが目的で数式いじりして一人悦に至るのが目的ならそれでもいいが。 >>789
これで数学の解答をしたらバツだよ。
論理的に誤っている解答をしてるから皆が指摘しているんだよ。
こんなレスしちゃってさ、一番悔しがってるのは君自身じゃないか。 前>>789
>>786AからBに変えて1の確率で当たったんなら、Cに変えてたら0じゃねえか。
つまり二発目は1/2なんだよ。
>>790一発目で当てた場合と、一発目外れて二発目を当てた場合を足しただけだ。 >>793
Cは開封されてるから変えられないぞ？？
変えられるのは当たりであるBだけだよ。 前>>793
>>794もしもCが開封されてたら、中を見ればいい。
当たりなら選べ。
はずれならBだ。 まぁ無理だろうな。
イナの数学はいいとこ中学レベルで止まってる。
三角比とかはどっかのサイトかなんか見て独習したみたいだけど、論理と集合の単元が出来てないと確率は答え出せるようにはならない。
イナはロジックボロボロだからな。 いまどきモンティ・ホール、しかもアレンジもない原型で間違ってごねる所が見られるとは。
問題文に誤りはないので
あと考えられるのはイナ氏が問題文を正確に読んでいなかったということ。
途中では必ず外れが公開されるんだよ。>>764読め
閉廷！ 前>>795
Pが順列でCが組み合わせだろ？ 少しは知ってるさ。！マークが階乗さ。
>>764別解。
読んだ感じ、率直に言って変えたほうが得。せやて親が、胴元が勝手に外れの箱を捨ててくれるんやし、当たる確率は上がるわなぁ。
2倍かな。
1/3の2倍。
変えない場合、1/3――①
変える場合、変えるまでは1/3の確率で当たるところを、
2/3は外れを選んでて、変えたら当たったラッキーってなる。――②
1/3は残り2個両方空箱の覚悟で外れを引きにいくことになる。
①②より、
1/3＜2/3
∴示された。 イナさんは箱を変えます！と宣言した後に、
最初に選んだ箱を真っ先に開けちゃうルール無用星人らしい
こういう人を番組に呼んではいけないな 最初からつけておけばよい機能を制限して商売する点が一番の問題だろうと進言してみる 前>>798
どう解くにしたって2/3になることはわかった。
けどなにが面白い？
たいして面白ないな。
名前つけるような凄いからくりがあるでもなし。 前>>802
>>799なんだ、番組って？
なにに呼ぶんだ？ 数学の番組なら喜んで行かせていただきますよ。
覚えたことを数時間程度の短時間で吐きだすペーパー試験とは違う、面白い数学ならね。 >>802
直感だと「変える必要はない」と感じるのが数学的センスのある人で。だけど、直感と現実解に乖離が発生するというのが、この問題が有名となった所以。
あと>>793のような誤解をする人も一定する現れるのも特徴。
数学的には珍しい問題だよ。 ったく2chはアホばかりだな（笑
モンティ・ホール問題の正解は、
「どちらを選んでも確率は1/2で同じ」である（笑
今、下記のスレでこの問題を論じているから、
興味があれば下記のスレへ（笑
但しチンピラ、ごろつき、与太者はお断り（笑
現代数学はインチキだらけ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567930973/l50 一応こちらにも書いておくと、
誰が考えても正解はこうである（笑
空箱を開ける前は、
三つの箱のどれか一つに景品が入っているのだから
どれを選んでも当たる確率は1/3である。
空箱を開けた後は、
二つの箱のうちどちらか一つに景品が入っているのだから
どちらを選んでも当たる確率は1/2である（笑 >>805>>806
この人は自費出版のトンデモ本を宣伝しまわっている真性のキチガイです
とにかく論理的・数学的な話が通じません
他のスレで現れた際に邪魔すぎた為に単独スレへと追い出した経緯がありますので、ここでのレスバも控えるよう願います
このレスに対し何か反応がある可能性もありますが、私もこれ以降は彼には触れません
どうしても反論したい人は貼られているスレに行くことをオススメします スレ汚したお詫びに問題
S^2の接束から得られるS^1束の整数係数(コ)ホモロジーを計算せよ 1845
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>807
>>807
>とにかく論理的・数学的な話が通じません
それがお前ら（笑
>単独スレへと追い出した経緯がありますので
お前に追い出された経緯はないし、
そもそも追い出されたこともない（笑
お前はサル石か（笑 100枚の宝くじを売り出すとし、
そのうち１枚だけが当たりくじだとする。
但し、そのうち99枚をＡの売り場で売り出すとし、
残りの１枚をＢの売り場で売り出すとする。
１ Ａの売り場に宝くじが入っている確率と、
Ｂの売り場に宝くじが入っている確率は、それぞれいくらか。
２ ＡとＢのどちらで買った方が当たる確率が高いか。
これが正答できるなら、>>805-806が正しいと分る（笑 僕もこのスレで論じる気はないのである（笑
だからモンティ・ホール問題について論じたければ下記スレへ
現代数学はインチキだらけ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567930973/l50
ちなみに>>812の問題についての回答者は
今のところ一人だけで、不正解である（笑 君は別のスレで主張しなさい。わざわざこのスレまで顔を出す必要もないでしょうに。
君が来ると荒れるから、色んなスレに顔を出す行為はスレ荒らしに他ならないよ。 前>>803
>>812
１
100枚の宝くじのうち１枚が当たりくじだから、
Ａの売り場の99枚のうち、
1･(99/100)枚が当たりくじだから、
Ａの売り場に宝くじが入っている確率は、
1･(99/100)÷99×100=1(％)――①
Ｂの売り場の1枚のうち、
1･(1/100)枚が当たりくじだから、
Ｂの売り場に宝くじが入っている確率は、
1･(1/100)÷1×100=1(％)――②
２
①②より、
ＡとＢは同じ確率。 イナ氏に質問
{{}}∈{{{}}}、{}∈{{}}であるが、さて{}∈{{{}}}か？
然り、もしくは、否、で答えられたし >>816
まあそれだけ勘違いが起こりやすい面白い問題って事でw a,bを互いに素な整数とする
この時自然数X、Yを用いて
aX＋bYの形で表せない自然数の個数はいくつか 題意より ab≠0
・ab <0 なら 0
aX+bY=1 を満たす X,Y∈N がある。(互除法、中国剰余定理)
・a<0, b<0 なら ～N
すべての自然数。個数というより濃度(Cardinality)？ 正の定数a,bに対して
c[n]=∫[0,π/2](a^2 sin^2(x) + b^2 cos^2(x))^(-n)dx
とおく。
|t|が十分小さいとき、Σ[n=0,♾] c[n]t^n を求めよ。 >>824
Σ[n=0,∞] c[n]t^n
= Σ[n=0,∞]∫[0,π/2] (t/(a^2 sin^2(x) + b^2 cos^2(x)))^n dx
|t|<min(a^2,b^2)と仮定して積分と和を入れ替える
= ∫[0,π/2] 1/(1-t/(a^2 sin^2(x) + b^2 cos^2(x))) dx
= π/2+∫[0,π/2] t/((a^2-t)sin^2(x)+(b^2-t)cos^2(x)) dx
√(a^2-t) tan(x) = √(b^2-t) tan(y) と置く
= π/2+∫[0,π/2] t/√((b^2-t)(a^2-t)) dy
= (π/2)(1 + t/√((b^2-t)(a^2-t))) iを虚数単位、aを正の数とし
閉曲線 Cを頂点 -a、a、a+i√π、-a+i√πからなる長方形の境界に反時計向きを付けたものとする。
(1) ∫[C] e^(-iz^2)/(1 + e^(2(√π)z)) dz を求めよ。
(2) a→∞の極限から ∫[-∞,∞](cos(x^2) + i sin(x^2))dx を計算せよ。 Σ[n=1,∞] ∫ (t/{aa･sin(x)^2 + bb･cos(x)^2})^n dx
= ∫ t/{aa･sin(x)^2 + bb･cos(x)^2 -t} dx
= ∫ t/{(aa-t)sin(x)^2 + (bb-t)cos(x)^2} dx
= t/√{(bb-t)(aa-t)}∫dy { ← √{(aa-t)/(bb-t)}･tan(x) = tan(y)}
= t/√{(bb-t)(aa-t)} y
= t/√{(bb-t)(aa-t)} arctan(√{(aa-t)/(bb-t)}･tan(x)),
ここで ｘ：0→π/2, >>827
この問題の出典は
ttps://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf
によると1940年代の複数の文献らしい 前>>817
>>828なに言ってるら。
すべての場合分のその場合の数であってるじゃないか。 >>822
a>0, b>0 の時
・ab+1以上
n-a, n-2a, ････, n-ba (b個)のいずれかは bの倍数。
n-b, n-2b, ････, n-ab (a個)のいずれかは aの倍数。
該当なし。
・ab以下
1≦X≦b-1, 1≦Y≦a-1,
aX+bY と a(b-X)+b(a-Y) のペアの和は 2ab.
一方は <ab, 他方は >ab. (=ab はない)
∴ (a-1)(b-1)個の半分が <ab であり、また重複もない。
∴ 該当するのは ab - (a-1)(b-1)/2 = (a+1)(b+1)/2 -1 個。 >>823 >>831
否（笑
１の証明がまったく意味不明だ（笑
イナよ、お前の変な証明を理解でき者はイナい（笑 前>>831
>>817シンプルで美しい俺の解法。もっとも自然で、わからない人々を救う俺のmethod。たとえ出題者や採点者に理解力がなくても、きっとだれかに届くはず。 >>824
生成関数を
G(t) = Σ[n=1,∞] c[n] t^n
とおく。
-{(G^3)/(2tt)}{tt･[1/G(t)^2 - (2/π)^2]} "
= G" - (3/G)(G')^2 + (4/t)G' -(G/tt){1 -(2G/π)^2}
= 0
より
1/G(t)^2 - (2/π)^2 = (tの一次式)/tt,
G(t) = (π/2) t/√{(bb-t)(aa-t)}, C[n,k]=n!/((n-k)!k!)とするとき
Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/(n^2 (2n-1) C[2n,n]) = π^2/6 - 5log^2((1+√5)/2)
を示せ。 一辺2の小五芒星aがあり、その一辺を頂点から交点まで大五芒星が線分を共有するとき、大五芒星の正５角形の面積を求めよ
星形ｂについて
頂点～交点の距離は 2,
正五角形の辺長は 2/φ,
面積は 5cot(π/5) /φ^2
= √(25+10√5) /φ^2
= 6.8819096/φ^2
= 2.62865556
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 (黄金比) 0.9999...が1とは成らないような実数上のハウスドルフ位相空間を定めよ
ただし数列a_nに対して、ハウスドルフ位相空間Xにおけるlim(n→∞)a_n=α∈Xの定義は、
任意のαの開近傍に対して、ある自然数Nが存在して、n≧N ならばその開近傍にa_nが含まれる ということである
さらに
0.999...9(9がn個)=a_nとし、
0.999...:=lim(n→∞)a_nと定義する >>841
写像f:R→Rを
f(x)=x+1 (x∈Z), x(otherwise)
としてTをによる通常位相の引き戻しとすれば
f(lim[T位相](1-1/10^n))
=lim[通常位相]f(1-1/10^n)
=lim[通常位相](1-1/10^n)
=1
より
lim[T位相](1-1/10^n))=0 >>842
素晴らしい そして速い
>としてTをによる通常位相の引き戻しとすれば
は
としてTをfによる通常位相の引き戻しとすれば
ってことだよね？
一応用意してたのはこんな感じ
d(x,y)= |x-y| (x,y∈(0,1) または x,y∈(0,1)^c)
,|1-x-y| (x∈(0,1) かつ y∈(0,1)^c)または (y∈(0,1) かつ x∈(0,1)^c)
とすればdはR上の距離になってその距離位相の上では0.999...=0となる >>831
否という 自由ありけり 夏の果て 田中亜紀子 (津市)
中日新聞 (2017/Oct/02)
否否と 加齢や 雪の日の体温 池田澄子
否否否 百遍の否 鴃(モズ)きしる 井口時男
句集『天來の獨樂』 深夜叢書社 (2015/Oct) 2860円 (0,1)^c (x≦0 と x≧1) はそのままで
(0,1) を逆向きにしたでござるか。 d(x,y) = | g(x)-g(y)|
g(x) = x + (2x-1)[ x(x-1)/(xx-x+1) ]
とか >>838
f(x)=Σ[n=1,∞] x^(2n)/(n^2 C[2n,n]) と置く
y=f(x)は微分方程式 (4-x^2)y''-xy'=√(4-x^2)(√(4-x^2)y')'=4 を満たしこれを解くと
f(x)=2(arcsin(x/2))^2
問題の和Sは
S = ∫[0,1] -f((√-1)x)/x^2 dx
= 2∫[0,1] (arcsinh(x/2))^2/x^2 dx
… x=2sinh(t)と置いて2回部分積分
= 2∫[0,logφ]{log(1+e^(-t))-log(1-e^(-t))}dt - 8(logφ)^2
… log(1±x)を展開して項別積分
= -2{Li2(1/φ)-Li2(-1/φ)} + 2{Li2(1)-Li2(-1)} - 8(logφ)^2
ここにφ=(1+√5)/2, Li2(x)=Σ[n=1,∞] x^n/n^2
Li2(x)は
・Li2(1) = ζ(2) = π^2/6
・Li2(-1) = -(1/2)ζ(2) = -π^2/12
・Li2(x)-Li2(1-1/x) = π^2/6 - log(1-x)log x + (1/2)(log x)^2
を満たす(最後の式はx→1で成り立つことと両辺の微分が等しいことからわかる)
この式にx=1/φを代入し黄金比の関係1-φ=-1/φから
Li2(1/φ)-Li2(-1/φ) = π^2/6 - (3/2)(logφ)^2
よって
S=π^2/6 - 5(logφ)^2 類題: Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/(n^3 C[2n,n]) = (2/5)Σ[n=1,∞] 1/n^3 を示せ。 >>849
アペリーの公式
ζ(3) = Σ[n=1,∞] 1/n^3 = 1.202056903159594284････
どうやって出すんでしょうね。
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.147～
(蛇足)
ζ(3) = Σ[n=1,∞] 1/n^3
= 5/4 - Σ[n=2,∞] 1/{n^3･(n^2 -1)}
= 1 + Σ[n=1,∞] 1/{n^3･(4n^4 +1)}
= 77/64 + Σ[n=2,∞] 4/{n^3･(n^2 -1)(9n^4 + 3n^2 +4)}
= 9/8 + Σ[n=1,∞] 4/{n^3･(9n^8 + 18n^6 + 21n^4 + 4)}
4n^4 +1 = (2nn+1)^2 - (2n)^2,
9n^8 + 18n^6 + 21n^4 + 4 = (3n^4 +9nn +2)^2 - {6n(nn+1)}^2,
>>850
いいえ。(e = 2.718281828459045････ (ネイピア数) ならば) >>848
xy '= Σ[n=1,∞] 2/(n･C[2n,n])・x^(2n),
y " = Σ[n=0,∞] 2(2n+1)/((n+1)･C[2n+2,n+1])・x^(2n)
(4-xx) y " = Σ[n=1,∞] {8(2n+1)/((n+1)･C[2n+2,n+1]) - 2(2n-1)/(n･C[2n,n])}・x^(2n)
= Σ[n=1,∞] {4/C[2n,n] - 2(2n-1)/(n･C[2n,n])}・x^(2n)
= Σ[n=1,∞] 2/(n･C[2n,n])・x^(2n),
よって
(4-xx) y " - xy ' = 0.
x = 2sinθ とおくと
(d/dθ) = √(4-xx)･(d/dx)
題意より
(d/dθ)^2 y = 4,
y = 2θ^2, >>852
1/√(4-xx) = Σ[n=0,∞] 2 C[2n,n] (x/4)^(2n),
arcsin(x/2) = Σ[n=0,∞] 2 C[2n,n]/(2n+1) (x/4)^(2n+1),
2乗すると C[2n,n] が分母に来る。 >>848 より
f(ix) = -2{arcsinh(x/2)}^2 = -2{log[(x+√(xx+4))/2]}^2,
ζ(3) = ∫[0,1] (-5)f(ix)/x dx, 1/√(4+xx) = Σ[n=0,∞] 2(-1)^n C[2n,n] (x/4)^(2n),
をxで積分して
arcsinh(x/2) = Σ[n=0,∞] 2(-1)^n C[2n,n]/(2n+1) (x/4)^(2n+1)
= log[(x + √(xx+4))/2] = -log[(√(xx+4) - x)/4], >>849 >>854
Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1) x^(2n)/(n^2 C[2n,n]) = 2(arcsinh(x/2))^2
より
S = 4∫[0,1] (arcsinh(x/2))^2/x dx
… x=2sinh(t)と置き部分積分
= -8∫[0,logφ] t log(e^t - e^(-t)) dt
= -8∫[0,logφ] t {t - Σ[n=1,∞] e^(-2nt)/n} dt
= -(8/3)(logφ)^3 - 4(logφ)Li2(1/φ^2) - 2Li3(1/φ^2) + 2Li3(1)
ここに
Lik(x)=Σ[n=1,∞] x^n/n^k
・Lik(x)+Lik(-x) = 2Σ[n:even] x^n/n^k
= (1/2^(k-1))Lik(x^2)
・Li3(x)-log(x)Li2(x) + Li3(1-x)-log(1-x)Li2(1-x) + Li3(1-1/x)-log(-1+1/x)Li2(1-1/x)
= -(1/3)(log(x))^3+(log(x))^2log(1-x)+Li3(1)
にx=1/φを代入し関係式1-1/φ=1/φ^2,1-φ=-1/φを用いると
(5/4)Li3(1/φ^2)+(5/2)(logφ)Li2(1/φ^2) = -(5/3)(logφ)^3+Li3(1)
よって
S = -(8/3)(logφ)^3 - (8/5)(-(5/3)(logφ)^3+Li3(1)) + 2Li3(1)
= (2/5)ζ(3) >>851
ζ(5)=Σ[n=1,∞](-1)^n R(n)/C[2n,n] を満たす整数係数の有理関数R(x)が見つかれば
ζ(5)が無理数であることを証明できる可能性があるが、この具体的なRは存在するか？ たしかに面白い問題でござる。簡単に解けそうもないけど。 半径1の球面上に周の長さ1の閉曲線を描く
閉曲線で囲まれる球面上の領域の面積の最大値を求めよ >>859
少し修正します
球面上での閉曲線で囲まれる領域は二つ出来るけど
面積はその二つの内小さい方とします >>859
とりあえず周長1の小円で切ってみる
小さい方の面積は2π-√(4π^2-1)
大きい方の面積は2π+√(4π^2-1)
そしてあまり意味はないけどこれらの積は1 もしかしてこの手の問題の解は必ず定曲率の曲線になったりするのかな？ 前>>835
>>859-860
最大の閉曲面は円周だから、球の表面から地下t{0≦t≦1-√(1-1/4π^2)}まで中心に向かって掘り、その地点を通る水平な円盤の円周をt=0から1-√(1-1/4π^2)まで足し集めると、
2π∫{0～1-√(1-1/4π^2)}√(2t-t^2)dt
=2π――(積分関数不明)
=2π-√(4π^2-1)
こういうことか。 >>863
関数不明ていわはりますけど、
その円周の付近の地面が軸に対してどれだけ傾いてはるか
よう考えはったらイナはんなら解けるはずどすえ 部分積分により
I = ∫√{t(2-t)} dt
= (t-1)√{t(2-t)} + ∫(1-t)^2 /√{t(2-t)} dt
= (t-1)√{t(2-t)} + ∫1/√{1-(t-1)^2} dt - I
= (t-1)√{t(2-t)} + arcsin(t-1) - I,
∴
I = (1/2)(t-1)√{t(2-t)} + (1/2)arcsin(t-1), 半径 1/(2π) = 0.1591549431 の小円で単位球を切ってみる。
球の中心から小円に垂線を下ろし、その向きをz軸とすると
(表面積) = 2π|⊿z|
= 2π{1 - √[1 - 1/(4π^2)] }
= 2π - √(4π^2 - 1)
= 0.080087887
また
arcsin(1/(2π)) = 0.1598346264 じつは球の表面の領域Dについて
Dの面積=3×(Dと中心の凸包の体積)÷半径
を使うと高校生でも解けたりする。 >>861
>>863
>>866
結論から言えば円で正解ですが 最大性の証明もお願いします
ヒントはガウス・ボネの定理です >>859-860
表面積=2π(2t-t^2)^(3/2)/(3/2)(2-2t)
=2π(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)――①
図を描くと、
t=1-√(1-1/4π^2)
1-t=√(1-1/4π^2)
=(1-1/4π^2)^(1/2)――②
t^2=1-2√(1-1/4π^2)+1-1/4π^2
=2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2
2t-t^2=2-2√(1-1/4π^2)-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=1/4π^2――③
①に②③を代入すると、
表面積=2π(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)
=2π(1/4π^2)^(3/2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=2π(1/4π^2)^(3/2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=2π(1/4π^2)√(1/4π^2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=(1/4π^2)/(1-1/4π^2)^(1/2)
=1/2π√(4π^2-1)
=0.0256573341……
前>>863あってんのかな？ 合ってる。
球面のうち平行な平面の間にある部分の
(表面積) = 2πr･|⊿z|
⊿z：平面の間隔
r：球面の半径 前>>869
半径1の球から断面の周長が1の欠球だかを切りとったら、切り口の面積は、
π(1/2π)^2=1/4π
表面積はこれより少し大きくないといけない。
前>>869
表面積=[(2t-t^2)^(3/2)/3(1-t)](t=0～1-√{1-√(1-1/4π^2)}――①
t=1-√(1-1/4π^2)
t^2=1-2√(1-4π^2)+1-1/4π^2
=2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2
2t-t^2=2{1-√(1-1/4π^2)}-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=2-2√(1-1/4π^2)-{2-2√(1-1/4π^2)-1/4π^2}
=1/4π^2――②
1-t=√(1-1/4π^2)――③
①に②③を代入すると、
表面積=(1/4π^2)^(3/2)/3√(1-1/4π^2)
=(1/4π^2)√(1/4π^2)/3√(1-1/4π^2)
=1/3･8π^3√(1-1/4π^2)
=1/12π^2√(4π^2-1)
(＞1/4πであってんのかな？) 合ってる。
(表面積) = 2π|⊿z|
= 2π{1 - √[1 - 1/(4π^2)] }
> 2π{1 - [1 - 1/(8π^2)] }
= 2π/(8π^2)
= 1/(4π)
= 0.079577471546 前>>871
>>859-860
表面積＞1/4π=0.0795774715……
膨らみのぶんだけ表面積は断面積より大きい。
0.08ぐらいになるんじゃないかな？ もしかしたら0.08超えるかも。 前>>873
どうやって0.08超えたんだ？
>>859-860 前>>875
円周を0から1まで足し集めるやり方であってんじゃないの？ 長さを積分して面積になる
は平面までの話。
空間図形でやるにはそれだけではダメ。 前>>875
>>876球体の表面積って土器みたいに積み重ねてバウムクーヘン法できないの？ 前>>878前々>>876
>>877じゃあどうやって0.08超える計算をしたんだ？ バウムクーヘン法だとばっかり思ってた。どおりで式が⊿とか意味わからんわけだ。
>>859-860 >>878
補正すればできるやつもあるができないものもある。
球面の場合は補正すればできる。
高さhで切ってできる弧の長さをl、球の半径をRとして
∫l R/ √(R^2-h^2) dh
を計算すれば出る。
例 球面全体の場合はl=2π√(R^2-h^2)だから
∫[-R,R]l R/ √(R^2-h^2) dh
=∫ [-R,R] 2πR dh
=4πR^2
しかし特例。
普通は ‘長さを積分’ ではでない。
補正する因子が同じ高さで共通してないと無理。 >>879
イナ氏にはこういう説明が分かりやすいはずだ
球体のスイカを皮がついたまま同じ厚さで輪切りにすることを考える
すると、スライスした実の厚さは同じはずなのに、緑色の皮の幅は端のほうほど広いはずだ
さてそれは何故でしょう？
そして緑色の皮の幅は実の厚みの何倍くらいあるでしょうか？ 前>>879
周長1の切り口の半径は、
1/2π
ピタゴラスの定理より、
半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離は、
√(1-1/4π^2)
(ここが飛躍してんだよ)
表面積は周長を足し集めたのか、
表面積=2π{1-√(1-1/4π^2)}
ここはなんで
半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離
に2πを掛けて周長1の内側部分の球体の表面積が出るんだ？ >>882
> ピタゴラスの定理より、
> 半径1/2πの円の中心から、半径1の球の中心までの距離は、
> √(1-1/4π^2)
> (ここが飛躍してんだよ)
どこが？
> 表面積は周長を足し集めたのか、
> 表面積=2π{1-√(1-1/4π^2)}
表面積=∫[√(1-1/4π^2),1] 2π√(1-h^2)/√(1-h^2)dh
どの緯度の点を含むかだけで決まっちゃうのか。
意外にオモロイw 前>>882
>>883
√(1-h^2)/√(1-h^2)dh
これは2πと、球を高さhの地点で水平に切った半径を、掛けあわせて出した周長を√(1-1/4π^2)から1まで足し集めてると思うんですが、なぜ分子と分母が同じなんでしょう？
(うんこ/うんこ)dhにしか見えない。
約分して
表面積=2π∫[√(1-1/4π^2),1]dh
=2π{1-√(1-1/4π^2)}
でいいですよね？ 前>>884つづき。
2πと、球を高さhの地点で水平に切った半径を、掛けあわせて出した周長を、
√(1-1/4π^2)から1まで足し集めると、
表面積=2π∫[√(1-1/4π^2),1]dh
=2π{1-√(1-1/4π^2)}
=2π-√(4π^2-1)
drじゃなくてdhだ。足し集める方向にうすく切ったのをdhにするんだ。わかった。 ＞>その前にまず、自然数x､y､zとは別の実数 X､Y､Zをx:y:z=X:Y:Zが成り立つように仮定して、そのX､Y､Zの上で Z=X+r とおいてから議論するのならば良い。
＞すみません。この方法で、うまく説明できるかが、わかりません。
その方法で説明できなければ証明と認めません。 >>868
閉曲線の内部に極軸をとる。
閉曲線を極座標で表わした式(*)を
θ = f(φ) ≧0,
f(0) = f(2π),
とする。
周長Lと面積Sは
L[f] ≧ ∫[0,2π] sin(f(φ)) dφ,
S[f] = ∫[0,2π] {1-cos(f(φ))} dφ,
と表わせる。
束縛条件 L[f]=1 の下で汎関数
I[f;λ] = S[f] - λ･(L[f]-1),
をfで変分すると
δI = ∫[0,2π] {sin(f(φ)) -λcos(f(φ))} δf dφ,
任意の δf に対して I[f;λ] が停留値となることから
sin(f(φ)) -λcos(f(φ)) = 0,
f(φ) = arctan(λ) = arcsin(1/(2π)),
*) もしヒダヒダがあれば、それを伸ばして広げることが可能。 前>>885
>>866は答えはあってると思ったけど、途中がぶっとんでた。
せめて>>885これぐらいは書いてほしかった。どうやって0.08を超えたか途中が必要だと思う。
2π-√(4π^2-1)=0.080087887……＞0.08
インテグラル、積分区間、積分関数のネット上での書き方は再認識できた。
∫[積分区間](積分関数)dh ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
