面白い問題おしえて～な 29問目
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
久々に投稿。（個人的に）未解決なので注意
～～～～～～～～～～～～～～～～
次の主張は成り立つか：球面S^2（⊂R^3）を
・S^2 = ∪_(n=1～5) f_n(D)
(ただし D は S^2 のルベーグ可測な部分集合、f_i は直行群の元で表される１次変換)
・n≠m の時 f_n(D)∩f_m(D) は（可微分多様体としてのS^2の）零集合
を満たすように合同な５つのパーツ f_n(D) (n=1,…,5) に"分割"する時、
f_n○(f_m)^(-1) (n≠m)
と表される全ての合成変換に共通する実固有ベクトルが存在する。
～～～～～～～～～～～～～～～～
５分割でなく、例えば4,6,8,12,20であれば正多面体を利用して自明でない合同分割が得られ、
少し工夫すると60や全ての８の倍数も可能。
（合同分割が自明であるとは、上のような状況設定で共通する実固有ベクトルが「存在する」ことをいう。
つまり上の主張は「球面の5-合同分割は全て自明である」と言い換えられる） >>119 の補足
つまるところ、球面の中で「基本領域」なるものを定めて
それと合同な図形何枚かを球面にモレなくダブリなく貼り合わせるのが合同分割。
nがどんな正の整数でも左の図みたいにすればうまいことn-合同分割ができるんだけど、
これはどの領域から別のどの領域に移すにもある共通の直線を"軸"にして動かせば良いことから、
これらはそれほど面白みのない合同分割として「自明」なものと定めた。
真ん中の6-合同分割は共通の"軸"にあたるものが存在しないため非自明。
右は非自明な32-合同分割。点線が軸になりそうだけど、
矢印で示したあたりの部分のせいで共通の軸とならない。他の８の倍数も同様。
（線がぐにゃぐにゃですまん。マウスで絵描くのむずい…）
>>120
連結でなくとも構わない。でかルベーグ可測な集合であれば何でもＯＫ
（ルベーグ可測性は、どうしても生じるレベルのもれやだぶりを零集合でごまかせるように、という意図） > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2～5個 短軸有利
宝：6～13個 長軸有利
宝：14～20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(11,k-1)+choose(10,k-1)+choose(8,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(12,k-1)+choose(8,k-1)+choose(7,k-1)+choose(6,k-1)+choose(3,k-1)+choose(2,k-1),{k,1,20}]
同等☆
Table[choose(19,k-1)+choose(17,k-2)+choose(15,k-2)+choose(13,k-2)+choose(8,k-2)+choose(1,k),{k,1,20}] >>119 が肯定的に解決したので報告。ヒントを言うと、やはり正20面体を利用するものでした。
ちなみに全ての偶数や３でも可能。７以上の奇数はまだ目途が立っていないのでよければそちらも… 連投失礼。
>>124 この場合肯定的にというのは、主張の反例が見つかったということです
（自明でない5-合同分割があればいいなと期待しながら調べていたものでつい…） 自分も5の場合の(連結なDによる)非自明分割はみつけた
2nの場合は、自明n分割からさらに赤道による分割を考えればいけるね (1)次の条件を満たす 有理数 s,t を見つけよ
・0 ≦ t ≦ 1/√2
・61/80 ≦ s
・s^2 = 2t^2-2t+1
(2)次の条件を満たす 凸多角形 を見つけよ。
・すべての頂点は、単位円の周上または内部にあり、両座標は有理数
・すべての辺長は、有理数
・周長は 31/5 以上 >>126
おお、連結なの見つけたのか すごい
2nの場合、もし左の図のことを言ってるのなら残念。これはどう変換しても軸は不変だから非自明じゃないんだ
（共通の固有ベクトルを持つだけで良いから、固有値まで一緒じゃなくても良い。例えば、
①から②への変換では軸は固有値1の固有ベクトル、①から③への変換では軸は固有値-1の固有ベクトルとなる）
一応非自明な5-合同分割のひとつの例を右図に挙げておきます。
わかりにくいですが正二十面体を立体射影で平面に落としたみたいなノリで描いてます。
外円の円周は本来は一点を表し、各同じ色の領域全体が一つのパーツになってます。
本来曲線で描かれるべきところもありますが、辺を共有してる、点だけ共有してる等の位置関係は保ってるので
そこから本来の形状を想像していただけたらとorz
>>128
②→③の変換を、２つの領域の共有する1点の方向に軸をとって回転させる、とすればよいのでは？ >>129
実際それは固有ベクトルの１つなんだけど、絵に描かれてる直線も固有ベクトルであることに変わりはないよね
それで、自明の定義が「～～共通する実固有ベクトルが存在する」だから、他の固有ベクトルの存在に関わらずこれは自明になるんだ
"軸"と表現すると各変換で一つしかないように思えるけど（これはこちらの言葉選びが良くなかったと思う、すまない）
その図の場合、言及してもらった方向にx軸をとれば、②から③への変換は f(x,y,z)=(x,-y,-z) と表せるから
(1,0,0) の他に (0,cosθ,sinθ) という無数の"軸"を持つことがわかる（そして図の直線の方向もその中に含まれる） >>130
そういや元の定義は固有ベクトルを共有しないって話でしたね
考えてるうちに失念してました、失敬 >>127 (1)
与式は
s^2 = t^2 + (1-t)^2
ピタゴラス数だから、自然数 a, b により
s = (aa+bb)/N,
t = (aa-bb)/N,
1-t = 2ab/N,
と表わせる。
N = aa+2ab-bb,
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 -1 < a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764 または 4.90947499 = (61+√1042)/19 < a/b,
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1) = 5.02733952
これらより
1 ≦ a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764
ならば十分。
例) a=b, s=1, t=0, >>132
訂正ｽﾏｿ
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 - 1 < a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < 1 + √2 + √(4+2√2) = 5.02733949
これらの共通部分は
1 ≦ a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117 >>127 の出題者です。
まず最初に (1) の第一条件 「0 ≦ t ≦ 1/√2」 を「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」に変更させてください。
これは、(2)における、「凸多角形」を「多角形」としてしまうような重大なミスでした。申し訳ありません。
にもかかわらず、132さんには、「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」と変更されたとしても、対応可能なほど、
丁寧に解いていただき、感謝いたします。
s,tの表現や、4.90947499=(61+√1042)/19 < a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1)=5.02733952
などから、十分過ぎる内容です。
a:b=5:1を採用すると、自然と、(s,t)=(13/17,12/17) が導けますから。
すでにお気づきだとは思いますが、この問題作成のきっかけは、有名な入試問題「π>3.05を証明せよ」です。
61/80という数字は、そこから持ってきたものです。 >>127
しょうがねぇから (2) も解くか････
A (1, 0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C (c, c)
とおく。
ただし c = {21(n^4-6nn+1) + 80n(nn-1)}/{41(nn+1)^2} < 1/√2,
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8）となる。
AB は 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC は 横20：縦21 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC = (29/41){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=7,8,9 の場合。
n=6, L = 8 (0.64864865 + 0.12451674) = 6.185323095
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21615610) = 6.20924878
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28409872) = 6.21125126
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33619651) = 6.20176724
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.37726813) = 6.18646187 お疲れ様でした。この問題は整数問題ととらえて平方根を外すことを主眼に解こうとするとドツボにはまると思います。
特定の角度をもつ、ピタゴラス三角形をあらかじめ探し出し、目的の多角形の一辺に合うように
縮小し、座標に当てはめていけば見つけられます。以下、用意しておいた解答です。
11sin(π/11)=3.099...、12sin(π/12)=3.105なので、辺の数が12以上でなければ6.2を超えないことが判ります。
そこで、第一象限内に、A(a,a)、B(b,c)、C(c,b) を考え、残りは対称コピーしてできあがる12角形を考えます。
丁度、時計を15度傾けたとき、数字のある位置を頂点とする様な配置の仕方です。
この場合、必要とするピタゴラス三角形は、斜辺の角度が60度のものです。1:√3:2の比の三角形ですが、
これに近いものとして、120:209:241 を採用することとします。A(a,a)が、上のような配置の正十二角形の
一頂点だとしたら、一辺の長さは(√3-1)aとなります。√3-1=0.7320...に近い値として11/15=0.7333...を採用すると、
b=a+(11a/15)*(120/241)=329a/241、 c=a-(11a/15)*(209/241)=1316a/3615
この場合全周は、8*(11a/15+1316a/3615)=31736a/3615 で、(√2)aで割ると6.207673となり、
12角形を用いたのですが、ぎりぎり満足できそうなことが判ります。
aとして、241*3615/Floor[241*3615*sqrt(2)+1]=58081/82139 を使うと
A(58081/82139,58081/82139)、B(79289/82139,317156/1232085)、C(317156/1232085,79289/82139)
ほかにも、三種類のピタゴラス三角形を用いて、
X0=(1,0)、X1=X0+(3/7)*(-9/41,40/41)、X2=X1+(9/20)*(-204/325,253/325)、X3=X2+(18/37)*(-1161/1289,560/1289)
で定まる14角形などもあります。 >>135 をﾁｮﾄ変えてみた。
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C' (c', c')
とおく。
ただし c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2},
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8)となる。
c' < 1/√2 = 0.70710678 より n≧8.
ABは 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC'は 横3：縦4 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC' = (5/7){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=8,9,10,11 の場合。
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21828571) = 6.22628571, c' = 0.71222857 (失格)
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28689772) = 6.23364328, c' = 0.70667794
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33950880) = 6.22826549, c' = 0.69992352
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.38098506) = 6.21619729, c' = 0.69298528
n=11, L = 8 (0.36065574 + 0.41444312) = 6.20079088, c' = 0.68629785
n=12, L = 8 (0.33103448 + 0.44195685) = 6.18393070, c' = 0.68003397 >>136
なるほど。
(1,0) (0,1) を通さなければ 12角形で可能でござるな。
(1,0) (b,c) (c,b) (0,1) の12角形は、中央の辺長が |b-c|√2 なので即アウトでござる。
また
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
D (4m(mm-1)/(mm+1)^2, 1 - 8mm/(mm+1)^2)
E (0,1)
の12角形も
BD = {(mn-m-n-1)^2 - 2(m+n)^2}/[(mm+1)(nn+1)]・√2
でアウトでござる。 >>136
BA = AC = 638891/1232085 = 0.51854458
B~B = CC~ = 2･(317156/1232085) = 0.51482812
L = 4 (BA+AC+CC~) = 7648376/1232085 = 6.20766911
確かに可能でござる。 >>137
ある頂点から、有理数条件(x座標変位、y座標変位、距離すべてが有理数)を満たす点を探すだけなら、
簡単です。どんなものでもいいので、ピタゴラス三角形を持ってくればいいのです。しかも縮尺も
有理数倍でさえあれば自由です。いわば自由端問題で >>136 で記した二つは両方ともこの方針によるものです。
しかし、(t,t)型の頂点からも同時に有理数条件を満たさなければならないとなれば、大変です。
一定方向にのみ動かせますが、いわば固定端問題です。私はこの方針は面倒そうだと思い、端からあきらめて
いましたが、>>137 等では、それを行っています。よく見つけられたと、感歎してます。
実際にプロットしてみましたが、ｎの変化によって、頂点の分布が結構変化しますね。
凸条件を満たさないものや、単位円の外に出るものもありましたが、一定の範囲内のnに対し、
条件を満たします。
nは整数に限りません。有理数でokですね。すばらしい解答だと思います。 >>127
問題の趣旨に添う回答じゃないかもだけど一応。自然数 n に対して
a = 4n^4+8n^3-4n-1 = (2n^2-1)(2n^2+4n+1),
b = 8n^3+12n^2+4n = 4n(n+1)(2n+1),
c = 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 = (2n^2+2n+1)^2,
d = 8n^3+12n^2+8n+2 = 2(2n+1)(2n^2+2n+1)
と定めて α=(a+bi)/c とおけば、|α|=1, |1-α|=d/c と有理数になってくれるから、
うまいこと自然数 m を定めて複素平面上の点集合 {a^n}_(n=-m,…,m) を順に結べば周長以外の条件を全て満たす。
点集合を順に結んで（α^m と α^(-m) も結んで）凸多角形ができるために m が満たすべき条件はというと、
α^1 から α^m までが全て上半平面にあることのみ。（このため m の大きさはだいたい πn/2 程度に制限される）
n を十分大きくとればそれだけ辺が円に近づくから、周長が 31/5(<π) を超えるように n をとることは可能。
…そして実際にとれれば解決なんだけど、計算が煩雑になるため計算機に頼るしかないのが難点。一応理論だけ以上の通り > nは整数に限りません。有理数でokですね。
そうであったか。しからばチト修正････
>>135
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c = (21/41){1 + (8/21)n(2n-5)(5n+2)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {881 + (29√2)[29+√(2･29･29+881√2)]}/(17･47) = 5.36862925
・L が 31/5 以上となるのは
6.45963968 < n < 9.13156611
>>137
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {31 + (5√2)[5+√(50+31√2)]}/17 = 7.93257298
・L が 31/5 以上となるのは
6.10446338 < n < 11.04823360
これらの共通部分は
7.93257298 < n < 11.04823360
でござるか。 >>141
c+a = 2{2n(n+1)}^2,
c-a = 2{(n+1)^2 - n^2}^2,
c = {(n+1)^2 + n^2}^2
cc - aa = bb,
b = 2{2n(n+1)}{(n+1)^2 + n^2},
dd - (c-a)^2 = bb,
d = 2{(n+1)^2 - n^2}{(n+1)^2 + n^2} = 2{(n+1)^4 - n^4} >>141
θ = arcsin(b/c),
とおくと
m = [ π/θ ]
L = 2m(d/c) + 2sin(mθ),
n=3
a=527, b=336, c=25^2, d=14･25, θ=0.56758821841666, m=5,
sin(5θ) = 28515500892816/(c^5) = 0.29900669864185 ∈ Q
L = 2･5･(14/25) + 2sin(5θ) = 6.1980133972837
n=4
a=1519, b=720, c=41^2, d=18･41, θ=0.44262888469558, m=7,
sin(7θ) = 1637671530080839800240/(c^7) = 0.043177033944429 ∈ Q
L = 2･7･(18/41) + 2sin(7θ) = 6.2326955313035
・L が 31/5 以上 ････ n≧4
n=17
a=373319, b=42840, c=613^2, d=70･613, θ=0.1142546313550, m=27,
sin(27θ) = 0.056687202872879 ∈ Q
L = 2･27･(70/613) + 2sin(27θ) = 6.2797691855174
n=18
a=466487, b=50616, c=685^2, d=74･685, θ=0.10808179674906, m=29,
sin(29θ) = 0.00722048512511925 ∈ Q
L = 2･29･(74/685) + 2sin(29θ) = 6.2801344009072
・L が 6.28 以上 ････ n≧18 >>144
どうもありがとう。n=3 の時点でもう10ケタ超えてたのね…
そして n=4 と意外と早いタイミングで条件が満たされてやや驚き 底円の中心Oの半球を底円と平行な平面αで体積が半分になるように切断した
さらに、底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面βで半球を切断する
βによる断面の中心をO'、周上の点をPとするとき、
∠OPO'を求めよ 前>>42
>>146
半径1の半球を底円から高さωまで足し集めたとき、体積が球(体積4π/3)の1/4とすると、
π/3=π∫0～ω(1-t^2)dt
1/3=[t-t^3/3]0～ω
1/3=ω-ω^3/3
ω^3-3ω+1=0――①
ω=sin∠OPO'
①を微分すると、
3ω^2-3=0
y=f(ω)=ω^3-3ω+1のグラフの形より、
ω=-1のとき極大、
ω=1のとき極小値-1をとる。
①の値が0となるωは、
0＜ω＜1のうちやや0寄りのとき。
∠OPO'≒18° 前>>147訂正。
{sin(20°)}^3-3sin(20°)+1=0.0139483266≒0
20°よりわずかに大きいが、整数値では20°がもっとも近い。 π∫[0,a](1-x^2)dx = 1/2・2π/3より
a-a^3/3 = 1/3 。
∴ (2b) - (2b)^3/3 = 1/3。
∴ 3b - 4b^3 = 1/2。
∴ 3(sinθ) - 4(sinθ)^3 = 1/2。
∴ sin3θ = sin(π/6)。
∴ θ=π/18。 >>149-150え？ 10°はうすいよ。そんなうすっぺらの円盤が半球の1/3になるの？ 前>>148そうかなぁ？ 10°で1/3か。
￣]/＼＿＿＿＿＿＿＿
＿/＼/ ,,､､∩∩/|
￣＼/ 彡`o`ﾐっ))|
￣|＼＿＿＿U,~⌒ヾ､ |_
］| ∥￣￣￣￣U~~U / /
＿| ∥ □ □ ∥ |/ /
_ `∥＿＿＿＿∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 白玉18個と黒玉2個の計20個の玉が袋に入っている。
「無作為に袋から玉を1つ取り出しその玉は戻さない」ということを繰り返す。
初めて黒玉が出るまでに白玉が出た個数として、最も確率の高いのを0, 6, 9, 18のうちから答えよ。 たぶん春休みの宿題を丸投げしたんだろう。レベル的にも納得いく。 >>152白玉1個食べて戻さない確率は18/20=9/10。白玉2個食べて戻さない確率は(9/10)(17/19)=63/190。白玉3個食べてｫｴｯ戻さない確率は(63/190)(16/18)=28/95。白玉4個食べてﾌｰｯ戻さない確率は(28/95)(15/17)=84/323。
白玉5個食べてｱｰ!! (84/323)(14/16)=72/323。白玉6個――(72/323)(13/15)=312/1615。9個かな？ 前>>151
￣]/＼_＿＿＿＿＿＿
＿/＼/ ∩∩ /|
￣＼/ ((`-`)/ |
￣|＼＿＿＿,U⌒U､| |__
］| ∥￣￣￣~U~U | / /
＿| ∥ □ □ ∥ |/ /
_ `∥＿＿＿＿∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ V(θ) = π∫[0～2sinθ] (1-xx) dx
= (2π/3) [(3/2)x - (1/2)x^3](x=0,2sinθ)
= (2π/3) {3sinθ - 4(sinθ)^3}
= V(π/6) sin(3θ),
面白い。 よくあるキャッチコピー「2人に1人ががんになる」
実は、これには数字のカラクリがあるのだ
実際には、日本人が50歳までに罹る確率は、統計上では、なんと2％
60歳でも7％以下に過ぎない
80歳でも37％以下
90歳や100歳まで生きる人すべてを合わせて、ようやく「2人に1人」となる
（国立がん研究センターがん対策情報センター「最新がん統計」より） >>157
何いってんだ
死ぬ前までにガンにかかる確率、という言葉通りの当たり前の定義だぞ なんで式いっしょなのに答え違うんだろ？ 計算間違えたかな？ 10°かな？ 前>>155
￣]/＼＿＿＿＿＿＿＿
＿/＼/ ,,､､∩∩/|
￣＼/ 彡`_`ﾐっ))|
￣|＼＿＿＿U,~⌒ヽ' |_
］| ∥￣￣￣￣U~U~ / /
＿| ∥ □ □ ∥ |/ /
_ `∥＿＿＿＿∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 前>>160
底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面β
ここが難しい。
底円と平面αに平行な平面βという意味ではないのか？ 中央は点だ、点に平行ってのはおかいしな。 >>155
不正解です
20回続けて取り出した時、黒が出るタイミングはC(20,2)=190通りあります
これらは全て同様に確からしいです
うち初めに黒が出るのは19通り。6回白が出て黒が出るのは13通り。同様に選択肢順に10通り、1通り。
よって0が最も確率が高いと結論されます 前>>161
平面βは底円と平面αのちょうど中央にあるとして、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)
=π/3
[t-t^3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3/3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1――①
先の解答で、半球を平面αで切ったときの∠OPO'より上にある∠OP'O"はほとんど20°だったから、
∠OPO'=10°と予想される。 に①入し、、
s(in10°)な8(sin10°O^3=1
示された。
(文字化けの可能性あり) 前>>163修正。
平面βは底円と平面αのちょうど中央にあるとして、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)
=π/3
[t-t^3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3/3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1――①
先の解答で、半球を平面αで切ったときの∠OPO'より上にある∠OP'O"はほとんど20°だったから、
∠OPO'=10°と予想される。①に代入し、
6(sin10°)-8(sin10°)^3
=6(0.173648178)-8(0.173648178)^3
=6(0.173648178)-8(0.00523613325)
=1
∴示された。 >>164
sin10°≒0.173648178
はあくまで近似値であって真の値でないためそれは数学的な証明でもなんでもありません
すなわち示されてません 前>>164
>>165
しかしだな、
6(sin10°)-8(sin10°)^3の値がぴったり=1となったんだよ。≒1じゃない。近似じゃないんだ。信じてほしい。びっくりしたし、おもしろいと思う。が、なんでそうなるかはまだこれから考えたいところ。
20°だと微妙に値がズレるのに、10°だとなぜかぴったりだった。 >>166
近似値ではなくぴったり1になることはすでに>>149で示されてます
そういうことを言いたいのではなくて>>164が全く数学の証明になっていないということを言いたいだけです >>167
3倍角以前にイナとかいう奴は「証明」という概念を知らないんだろうな 中心がOにある半球を、その底面と平行な平面αで切断したところ、
下側の体積が半球の sin(3θ) 倍になった。
さらに、底面と平面αから等距離な平面βをとる。
βと半球との交円をCとし、C上の一点をPとするとき、
OPと底面のなす角を求めよ。 前>>166
>>171
平面βの中心をO'とし、半球を水平面で切って(底面～平面β～平面αまで)足しあつめる(高さ0～2sin∠OPO'で積分する)と、
π∫0～2sin∠OPO'(1-t^2)dt=(4π/3)(1/2)(1/2)=π/3
[t-t^3/3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-(8/3)(sin∠OPO')^3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1
前問同様、∠OPO'=10゜
平面βと半球の底円が平行だから題意の角は∠OPO'の錯角で、10° 前>>172
>>171つづき。
(4π/3)(1/2)(sin3θ)=π/3
2sin3θ=π
sin3θ=π/3
3θ=30°
θ=10°
∴題意の角はθ 前>>173訂正。
(4π/3)(1/2)(sin3θ)=π/3
2sin3θ=π/3
sin3θ=π/6
3θ=30°
θ=10°
∴題意の角はθ 10桁の近似値を入れて10桁電卓で計算したら1になるかもしれないけど
10桁の近似値を入れて50桁電卓で計算したら1にはならんよね 我輩の電卓は八桁である。前>>174シナコンで受賞して映画化するのを楽しみにしている。
￣￣]/＼＿＿＿_∩∩
＿＿/＼/ ,,､､(___))
￣￣＼/ 彡`-`ﾐっц|~
￣￣|＼___U,~⌒ヽ/ |__
□ | ∥￣￣~U~U~| / /
＿＿| ∥ □ ∥ |/ /
_____`∥＿＿＿∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣したらば板みつけた。書きこめないけど。もっとおもしろい問題を出してほしい。 とりあえず確信になった事が一つある。
絶対に東大ではない。 6sin10°-8(sin10°)^3=1
だれかこの不思議を紐解いてくれないか。なんでぴったり10°なんだ。できれば図に描いて。脳でわかるような図を。
前>>176もう眠たい。雨降ってきそうなぐらい気圧下がってきてる。
￣￣]/＼＿＿＿_∩∩
＿＿/＼/ ,,､､(___))
￣￣＼/ 彡~-~ﾐっ /|
￣￣|＼___U,~⌒ヽ/ |
□ | ∥￣￣~U~U~| /
＿＿| ∥ □ ∥ |/
_____`∥＿＿＿∥／
￣￣￣￣￣∥￣/
□ □ ∥ /
＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣ 永瀬隼介
深町秋生
ヒトモドキゴキブリネトウヨ猿障害者くそ食って自殺しろ >>179面白い問題 ∩∩
出してよ｡前>>178(^o^))
[￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ヾU/
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ/
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 直線l上の異なる2点A,Bは線分ABをなしている。このABを三等分せよ。ただし次の条件で作図すること:
･ものさしとコンパスだけ
･ものさしは直線を引くためだけ
･コンパスは1回のみ使う >>183なんでコテが∩∩
要るの？ 前>>182(^o^))
[￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ (γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ヾU/
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ/
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣クジが引ける日時はコテが外れるんだよ。>>184
コンパスをただ一度どこで使うか。AB上の三等分地点をとおらなならんと思うがどうか。てことはABに対する垂直二等分線上に針を置けばいい。垂直二等分線はコンパスがなくても引ける。
ものさしを直線ABに対しやや斜めに置き、片側にAをとおる直線を、もう片側にBをとおる直線を同時に引く。これを逆の斜めで同様に行えばABを対角線としたひし形が描ける。そのもう一つの対角線がABの垂直二等分線だ。
さて問題はABの垂直二等分線上のどこにコンパスの針を置くかじゃない。ABの三等分地点のどちらか一方にコンパスの鉛筆を置かなならん。
コンパスの長さをABとするとABの中点からコンパスの針を置く位置までの長さは、三平方の定理より、
√{AB^2-(AB/6)^2}=(√35)AB/6
これは描けなさそう。
コンパスの長さを(1/2)ABとするとABの中点からコンパスの針を置く位置までの長さは同様に、
√{(AB/2)^2-(AB/6)^2}=(2√2)AB/6
=(√2)AB/3
これは描ける可能性がある。早ければあした。 >>187目分量はだ[≒](Y)
めだろ。前>>185(~e~( )
[￣] ｸﾝｸﾝ…… U⌒~ﾉ
￣￣]/＼__∩∩ノ (γ）
＿＿/＼/,(`.`))⌒ヾU /
￣￣＼/彡`-υﾐ`υυ /
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□ | ∥￣~U~U~￣∥ |
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_________∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣画像が貼れなくてあれだけど、この[≒]みたいな感じで、ものさしをABに対し斜めに置けば、最後にコンパスで三等分できると思う。 >>178
-8x^3+6x-1=0の解がsin10°になる理由を考えろってこと？ >>184
直線AB上にない１点Zをとる。
コンパスでZを中心とし直線ABと交わる大きさの円周Cを曳く。
直線ABとCの交点をD, Eとする。
ものさしで直線DZを曳き、円周Cとの交点をD~とする。
ものさしで直線EZを曳き、円周Cとの交点をE~とする。
ものさしで直線D~E~を曳く。これは直線ABと平行である。
AB、D~E~の平行線をもう1本曳きたいが････
DED~E~ が長方形であることを使おう。
ものさしで長方形の各辺を2等分できれば、2直線AB、D~E~から等距離の直線を曳ける。 長方形DED~E~の一辺を3等分せよ。ただし、次の条件で作図すること：
･ものさしだけ
･ものさしは線分を引くためだけ（長方形の中だけ） ￣]/＼_＿＿＿＿＿>>190
＿/＼/ ∩∩ /|ちょ
￣＼/ ((`-`)/ |っと
￣|＼＿＿,U⌒U､| |__違
］| ∥￣￣~U~U | / /う
＿| ∥ □ ∥ |/ /か
_ `∥＿＿＿∥／_/な。
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣xだとsinになるとも10°になるとも思う前>>188に、0＜x＜1の範囲で0寄りにあるある値に決まってしまう。知りたいのは値じゃない。
sin10°の10°のほう。
なぜぴったり10°なのか。
ただこれには自分なりの答えが出たからもうどっちでもいい。開運!! >>192
もっと標準的なレベルの問題でしょ
3倍角の公式使うだけだし >>196
約1名東大農学部卒で解けないとのたまう御仁がいる。 >>194
>>194
対角線DD~，EE~の交点を Z(0,0) とする。
辺の長さを DE = D~E~ = 2p, DE~ = D~E = 2q とする。
D (-p,-q) E (p,-q) D~(p,q) E~(-p,q)
辺DE上に点S (-ps,-q) 辺D~E~上に点T (-pt,q) を任意とる。(0<s<t<1 とする)
SZの延長と辺D~E~の交点はS~(ps,q)
TZの延長と辺DEの交点はT~ (pt,-q)
S~T~ // ST
線分STと対角線DD~の交点はU (-(s+t)p/(2-s+t), -(s+t)q/(2-s+t))
線分STと対角線DD~の交点はV (-(s+t)p/(2+s-t), (s+t)q/(2+s-t))
線分S~T~ と対角線DD~，EE~の交点は U~，V~
UV~の延長と辺DE~，ED~の交点は W (-p,-qs)，X~(p,-qt)
VU~の延長と辺DE~，ED~の交点は X (-p,qt)，W~(p,qs)
したがって
SW~ // S~W // TX // T~X~ // DD~ (傾き q/p)
SW // S~W~ // TX~ // T~X // EE~ (傾き -q/p)
5本組の平行線が2つ得られた。 原理的に、定規とコンパスによる作図で描き出せる「2線の交点」（線は直線でも円弧でも可）は、すべて定規のみで描けるという定理があるから、
究極はコンパス0回にできるはずなんだ >>198 (続き)
SW，T~Xと対角線DD~の交点をF，Gとする。
FT~とGSの交点をH，FXとGWの交点をIとする。
DHの延長とED~の交点は J (p, -q/3) EJ = (2q)/3
DIの延長とD~E~の交点は K (-p/3, q) E~K = (2p)/3
となる。
なお、各辺が3等分されたので、直線ABの平行線は無数に曳ける。
(注) アフィン幾何では、縦横に伸縮して考えてもよい。
たとえば正方形(p=q)にして考えると、両対角線の傾角は45°となる。
底辺に対する両対角線の傾角が等しいことが重要。 >>199
たぶん、できないと思うよ。（有限回では） nが有理数のとき、線分ABの1/nの長さの線分を取れることも示せそう
コンパスを使う回数を2回にすると、これまた少し違って楽しくなるね >>190その式なら
x=cos80°=1.73648178でも成り立つ。そうじゃなくて、半球を体積が半分になるように水平に切った球台をさらに高さ半分で水平に切るという一連の動作で、そのうすい球台の∠OPO'が、なぜぴったり10°になるのか、その不思議を言ってます。
￣]/＼＿＿＿＿前>>195
＿/＼/ ∩∩ /|
￣＼/ ((`-`)っ/ |
￣|＼＿_U,~⌒ヾ､ |__
］| ∥￣￣~U~~U| / /|
＿| ∥ □ ∥ |/ / |
_ `∥＿＿＿∥／_/ |
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ､∩レイザービームの如
`_')っ､くぴったり10°
￣]/＼_＼________で切
＿/＼/ с＼.~っ /|らせ
￣＼/ ((`-＼っ/ |ると
￣|＼＿_U,~⌒＼| |__こ
］| ∥￣￣~U~~U＼/ /|
＿| ∥ □ ∥ |/＼ |
___`∥＿＿＿∥／_/ ＼
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /`
□ □ □ ∥ /が
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/面
￣￣￣￣￣￣￣￣￣白かった。前>>204ていうか、ぴったり10°かな？――見当つけて当たったとこが面白かった。 >>204訂正。cos10°=0.173648178前>>205
､∩
`_')っ､ﾋﾟｯ
￣]/＼_＼________
＿/＼/ с＼.~っ /|
￣＼/ (`e'＼っ/ |
￣|＼＿_U,~⌒＼| |__
］| ∥￣￣~U~~U＼/ /|
＿| ∥ □ ∥ |/＼ |
___`∥＿＿＿∥／_/ ＼
￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /*
□ □ □ ∥ /
＿＿＿＿＿＿＿＿∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣ >>200
D (0,0) S (2a,0) T~ (2b,0) X (0,2mb) W (0,2ma)
とすると
対角線DD~： y = mx (m=q/p)
SW： y = m(2a-x)
T~X： y = m(2b-x)
SWとDD~の交点 F (a,ma)
T~XとDD~の交点 G (b,mb)
FT~： y = {ma/(2b-a)}(2b-x),
GS： y = {mb/(2a-b)}(2a-x),
これらの交点 H (3ab/(a+b),mab/(a+b))
DH： y = (m/3)x, 実数上のC^1級関数f(x)についてlim(x→∞)f(x)は収束するとしたとき、以下の問に答えよ
(1)f'が単調増加の場合、lim(x→∞)f'(x)=0となることを証明せよ
(2)fが単調増加でかつ
lim(x→∞)f'(x)は0とはならない例を挙げよ >>184
直線l上に点Bを中心として点Aを通る円Cを作図する。円Cと直線lの交点でAでない方をA'とする。
直線l上にない点Pを円Cの内部にとり、線分OP上の点Qを任意にとる。
APとA'Qの交点をR、A'PとAQの交点をR'、RR'とPBの交点をSとおく。
RBとSAの交点をT、PTとlの交点をUおけば、Uは線分ABの中点になる。
直線RR'と円Cの２つの交点をそれぞれV,Wとおく。
直線VBと円Cの交点でVでない方をV'、直線WBと円Cの交点でWでない方をW'とおけば、
直線VW、直線l、直線V'W'は全て平行であり、この順で等間隔である。
直線V'W'上から任意に点Oをとり、OAとVWの交点をD、OUとVWの交点をE、OBとVWの交点をFとおく。
点Oを原点として二点A,Bの位置ベクトルがそれぞれ(1,0),(1,1)となるように座標系を定めると、
現在 O(0,0), A(1,0), B(1,1), A'(1,2), D(2,0), E(2,1), F(2,2) 等が作図されていることになるので、
あとは例えばAEとA'Fの交点G(3,2)、ADとA'Eの交点H(3,0)、GHとBEの交点I(3,1)等のように作図をすれば、
OGとABの交点(1,2/3)、OHとABの交点(1,1/3)という求める二点が得られる。 >>209 訂正
１段落２行目
誤：線分OP上の点Qを任意にとる。
正：線分BP上に点Qを任意にとる。
３段落５行目
誤：OHとABの交点(1,1/3)
正：OIとABの交点(1,1/3) >>208
(1)
もしも f '(a) >0 となるaが存在したならば
x≧a ⇒ f '(x) ≧ f '(a) = b,
f(x) ≧ f(a) + b(x-a) → ∞ (x→∞)
となって矛盾する。
∴ f '(x) ≦ 0
∴ 単調増加で上に有界だから収束する。
lim[x→∞] f '(x) = L ≦ 0,
L < 0 ならば、ε=(-L)/2 に対して 或る N があって
x > N ⇒ |f '(x) -L| < ε = (-L)/2,
f(x) < f(N) +(-L)/2・(x-N) → -∞ (x→∞)
となって矛盾する。
∴ L=0
(2)
たとえば
f '(x) = sin(nnx) ( 2nπ < x < (2n+1/nn)π )
= 0 (その他)
f(x) → 2ζ(2) = ππ/3 (x→∞)
・有名な例
f '(x) = x/{1+ x^6･sin(x)^2},
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.141
第3章 積分法 練習問題(3)-(9) f(x)=1-x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
とするときf(x)は[0,1)で連続だが
片側極限lim(x→1-)f(x)は存在しないことを示せ。 >>214
x ～ 1 - (√2)(1/4)^n の辺りで極大 ～ 0.5027
x ～ 1 - (1/√2)(1/4)^n の辺りで極小 ～ 0.4973
x ～ 1 - (1/2)^n の辺りでは ≒ 1/2
ですかねぇ >>213
n＝0 のとき (-1)^n・x^(2^n)＝x^(2^0)＝x^1なので、
f(x)=1-x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
ではなく
f(x)= x -x^2+x^4-x^8+x^16-x^32+…+(-1)^n・x^(2^n)+…
だよね？ >>213
a＝lim(x→1-)f(x)∈R が存在するとする。
f(x)＝Σ[n＝0～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) なので、0＜x＜1とm≧1を任意に取るとき、
f(x^{1/4^m})
＝Σ[n＝0～∞]x^{4^{n－m}}(1－x^{4^{n－m}})
＝Σ[n＝－m～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})
となる。m→＋∞とすると、x^{1/4^m}↑1 なので、
a＝Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n})
となる。これが任意の0＜x＜1で言えることになる。 しかし、x＝1/2, 1/3 のときの Σ[n＝－∞～∞]x^{4^n}(1－x^{4^n}) の値を
数値計算すると、同じ値にはならないことが予想される。
厳密に違う値になることを示すには、適当な有限項までは厳密に計算し、
残りの剰余項は雑に上下から評価するだけでよい。
この級数は収束のスピードが極めて速いので、それでも何とかなる。
ただし、手計算では追いつかない分量ではある (＾o＾) ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
