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分からない問題はここに書いてね450

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0030１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 12:15:58.08ID:pKc5cC4D
>>29
この変形は、よく使う変形なので覚えておくと便利。
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 1/2((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)
a=b=cの時に両辺とも0になるから、因数定理じゃないけど直観的におもいつきやすいかも。

a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
の右辺にも出てくる
0031１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 12:24:21.27ID:/kCNEN/H
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 1/2((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)


2 * [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]

[a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca] + [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]

=

[a^2 - 2*a*b + b^2] +[b^2 - 2*b*c + c^2] + [ c^2 - 2*c*a +a^2]

=

(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

∴ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (1/2) * [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]
0034１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 21:35:45.40ID:bylOGYZS
>>33
素数が無限の証明と同じちゃうの？
theorem2 が何か分からんから知らんけど。
Π[f:irr] 1/(1-q^(-deg f)) div.s⇔ Σ [f:irr] q^(-deg f) div.s
を示しておく。
左辺は Σ [f] q^(-deg f) とおなじだから←は明らか。
Σ [f:irr] q^(-deg f が収束するとすれば
-Σ [f:irr] log(1-q^(-deg f))はそれより小さいから収束し、よって Π[f:irr] 1/(1-q^(-deg f)) も収束する。
0035１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 21:39:04.29ID:bylOGYZS
あ、下の方のリンクがTheorem 2 へのリンクなのか。
反転公式使う証明ね。
0036１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 22:08:44.27ID:zweBPVgg
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ラファエルに直接会ってディスる歌「ラファエルクッキング最高」
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0038１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 22:11:12.47ID:zweBPVgg
⊞ ⊟ ⊠ 〼 ⊡ ◆
⊕ ⊖ ⊗ ⊘ ⦿ ●
0040１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 22:57:26.85ID:hB2NEMBr
>>34
うーん、それと同じですかね
定理2(メビウスの反転公式)のやつを使えとあったのでそこが引っかかっています
0041１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 23:05:55.26ID:hB2NEMBr
>>34
定理2というのが誤植な気がしてきました。
解説ありがとうございます。
素数が無限にある証明がどんなやつなのかわかってないので調べてきます。ありがとうございます。
0042１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/01(火) 23:40:22.96ID:XKtNhiWs
位相空間の問題が分からない。解ける人がいたら頼む。

(X,d)をコンパクトな距離空間とする。連続写像f：X→Xがあるとする。いま互いに交わらない空でない閉集合K_1、K_2があって

f(K_1)⊃K_2、f(K_2)⊃K_1∪K_2

が成立しているとする。

(1)集合列M_1、M_2、M_3、・・・、M_m、・・・が２条件
(i)各自然数mに対してM_m=K_1またはM_m=K_2
(ii)もしM_k=K_1ならばM_(k+1)=K_2
を満たすとする。この時、あるx∈K_1∪K_2があってf^n(x)∈M_n(nは自然数)とできることを示せ。

(2)(1)の集合列{M_m}_m=1^∞の取り方の全体の濃度は♯(R)となることを示せ。

f^2(x)=f(f(x))、f^3(x)=f(f(f(x)))のように、f^n(x)は自分自身との合成写像を示しています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90
0043１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 00:26:54.92ID:ozp04/Hn
>>42
まず列が有限の場合には帰納法。
列の長さ1で明らか。
長さ<Nで成立として長さがNのとき
y∈K_1∪K_2があってf^n(y)∈M_(n+1) 2≦n≦N をみたすものがとれる。
(i) M_1 = K_1 のとき
仮定により f(y)∈M_2 = K_2 であるから z∈K_1 を f(z)=y と選べる。
さらに x∈K_1∪K_2 を f(x)=z を満たすようにとれてこれが条件を満たす。
(ii) M_1 = K_2 のとき
仮定により f(y)∈M_2 ⊂ K_1∪K_2 であるから z∈K_2 を f(z)=y と選べる。
さらに x∈K_1∪K_2 を f(x)=z を満たすようにとれてこれが条件を満たす。
以上により長さ有限の場合の証明が終わった。
次にx[N]を
f^n(x[N])∈M_n (1≦n≦N)
を満たすようにとれる。
K_1∪K_2 はコンパクト距離空間だから、必要なら部分列をとってlim x[N]=xが存在するとして良い。
この x が条件を満たす。
0044１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 01:29:14.53ID:kmE/oyRb
ルービック・立方体(キューブ）の組み合わせ数は
1801439850948198で、あってる？　正しい？
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 01:29:39.24ID:nsTEkruF
すいません
方べき定理で出てきた答えって結局なんなんですか？
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 01:34:48.64ID:1XTwIlaG
答えです
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 01:53:56.86ID:nsTEkruF
そういうことじゃ無い
結局その答えはなんの答えなんですか？
問題の答えとか言う回答は待ってません
0048１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 03:02:24.95ID:7wxHl3VN
そういうことじゃないならどういうことなのかはっきり説明してくれ

定理には答えなんて存在しない
そう答えればいいのか？
0049１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 09:26:20.21ID:UKsYtLJs
f_1(x)=x^2 とし、n=1,2,3,...に対して
f_(n+1)(x)=|f_n(x)-1|
と定める。
(1)y=f_2(x), y=f_3(x)の概形を書き,
(2)0≦x≦√(n-1) において 0≦f_n(x)≦1 を,
√(n-1)≦x において f_n(x)=x^2 -(n-1) を示せ。
また,
(3) n≧2 として, y=f_n(x) のグラフとx軸で囲まれた図形の面積をS_nとした時に S_n + S_(n+1) を求めよ。

これを教えてください。
0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 11:15:50.98ID:3rBsZ6cK
∫(1/1+x^2)dx = arctan xですよね？

tany = xとおくとdx/dy=1/cos^2=1+x^2
よってdy/dx=1/1+x^2
この式変形の手順自体は理解できるのですが

でもtanxは周期2πの周期関数だからy=arctan x　はxに対して無限個のyを返す多値関数ですよね？
そうすると例えば定積分は定まらなくないですか？

これはどう解釈したらいいのでしょうか？
2πの周期は積分定数のようなものだから〜という説明も考えたのですがやはり納得いきません。

どなたかスッキリ解決できる方はいらっしゃらないでしょうか？
0051１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 11:31:35.20ID:GvDO1SFm
>>29

１３７
次の等式が成り立つとき、△ABCはどのような形の三角形か
　aa+bb+cc = bc(1/2 + cos(A)) + ca(1/2 + cos(B)) + ab(1/2 + cos(C)),

(略解)
第二余弦定理
　cos(A) = (bb+cc-aa)/(2bc),
　cos(B) = (cc+aa-bb)/(2ca),
　cos(C) = (aa+bb-cc)/(2ab),
を与えられた式の右辺に代入すると

bc(1/2 + cos(A)) + ca(1/2 + cos(B)) + ab(1/2 + cos(C))
　= ････
　= ････
　= (1/2)(bc+bb+cc-aa) + (1/2)(ca+cc+aa-bb) + (1/2)(ab+aa+bb-cc)
　= (1/2)(aa+bb+cc + ab+bc+ca),
よって
　aa+bb+cc = (1/2)(aa+bb+cc + ab+bc+ca),
整理すると　aa+bb+cc -ab -bc -ca = 0,
しかし
　aa+bb+cc -ab -bc -ca = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
であるから
　(1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} = 0,
よって　a-b = b-c = c-a = 0,
すなわち　a = b = c,
ゆえに，△ABC は正三角形。 ････　答
0052１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 11:32:40.25ID:cKCL6IJm
この飛行機までのおよその距離を知りたい
https://i.imgur.com/tHtQSUb.jpg
トリミング無し
レンズ35mm版換算3000mmの水平画角0.687541°
35mm版の横幅を36mmとする
飛行機はB737-800　全長39.5mとする
進行方向への角度やセンサーサイズの誤差は無視でお願いします

計算のしかたと答えを教えて下さい（飛行機の全長から距離を測る計算）
よろしくお願いします
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 11:55:44.76ID:GvDO1SFm
>>33
qが素数の場合は上の画像のとおり。
qが合成数の場合は素因数に分解してTheorem2(メビウス反転公式)を使え、ということか？
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 12:06:24.63ID:3rBsZ6cK
>>53
置換したらそうなるのは理解できるのですが、
最初の逆関数の微分の変形だけでtan-1 xなのは導出できますよね？

そこからなぜ連続した部分に対応するものを選ばなければならないというのが分かるのでしょうか？
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 12:16:09.63ID:1XTwIlaG
>>55
＞∫(1/1+x^2)dx

定積分できないとか言ってますけど、これは定積分ではないですね
これは何を意味しているつもりなんですか？
0057１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 12:46:07.76ID:3rBsZ6cK
>>56
原始関数の導出のつもりでした。
aからbまでの定積分って原始関数(b)-原始関数(a)ですよね？
原始関数が多値関数ってどういうことなんだろうと思ったのです
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 13:10:01.29ID:1XTwIlaG
>>57
原始関数とはなんですか？
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 13:22:47.17ID:5hoS1qxn
>>52
飛行機の長さが画像の水平方向の長さに対してどれだけに
なるか比率を測ればいいだけだろ。中学生でもわかる問題。
tan(水平画角×比率) = 飛行機長÷距離
なんだから、
距離=飛行機長/tan(水平画角×比率）
この写真だと、比率は260px/1200px =0.217なので
距離=39.5m/tan(0.687541° x 0.217)=15200m
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 14:37:44.74ID:dpB9xwpW
>>50
値域を選択すれば(例えば(-π/2,π/2)など)arctan(x)は多価でない関数になります
(一般にarctan(x)を使うときは多価関数と見なすよりもこのようにして普通の関数として扱うことが多いと思います)
値域の選択によって関数は変わりますが、定数しかズレないので、原始関数としては同じものを表しています
多価関数といってもmonodromyがあるわけではないので、それほど複雑な話ではありません
0062１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 14:42:07.13ID:ppDCuzQe
Qの条件の曲線と直線x+y=aで囲まれる図形を直線を軸に回転させた時の回転体の体積を求めよという問題なのですが、
この解答はどこが間違っていますでしょうか？

https://i.imgur.com/UJkw39m.jpg
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 14:45:08.93ID:3rBsZ6cK
>>61
回答ありがとうございます。

最初の原始関数の導出は値域とかについてなんの仮定も置いてないですよね？

なのになぜarctanxのとりうる値はどこか適当な幅πの間であることにすると限定してしまうことができるのでしょうか？
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:09:30.89ID:3j9fwFeq
>>62
最後から5行目の積分の中身
(a - a sin^4θ)^2
の左の定数aって何？
0065１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:13:30.58ID:Tjk3JLSV
>>63
（少なくとも各点の周りの適当な連結開集合上で）引数を連続的に変化させれば値も連続的に変化するから
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:18:16.94ID:ne8HBguh
>>63
原始関数とはなんですかと聞いてますね
なぜ答えないのですか？
0067１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:43:31.88ID:7wxHl3VN
>>63
最後の最後で計算ミスしてるやん…
目が悪いんだからこんな細かい計算チェックやらさんといて…
0069１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 15:57:09.00ID:dpB9xwpW
>>63
「tany = xとおくとdx/dy=1/cos^2=1+x^2
よってdy/dx=1/1+x^2」

2行目でdy/dxとありますが、この時点で暗にx=tan(y)の逆関数の存在を仮定しています
しかし、逆関数が存在する為には単射でないといけません
x=tan(y)は単射ではないので、定義域を(-π/2,π/2)等に制限して単射にしているわけです
0070１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:06:12.66ID:3rBsZ6cK
>>69
なるほど！ありがとうございます。
頭が悪いので怪しいですが理解できたような気がします
>>67
すみません、よくわかりません
0072１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:15:42.37ID:ppDCuzQe
>>67
本当だ、とりあえず最後の積分計算で最後に足している1は1/2の誤りですね…ありがとうございます

ただここを修正してもまだ模範解答と答えが合わないのですが、他どこがおかしいか分かる方いらっしゃらないでしょうか
wolframでは複雑すぎて処理できませんでした……早大の過去問です。
0073１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:18:59.49ID:ppDCuzQe
>>64
上のQの仮定にある正の実数の定数です
x=a*cos^4θ、y=a*sin^4θ、で書く曲線をx+y=aで切り取った部分を軸に回転させています
0074１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 16:33:12.66ID:ppDCuzQe
すいません、誤りに気づきました………
スレ汚しすみません死んできます
0075１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 19:22:56.44ID:ohr+DqS6
座標平面上の原点をOとし、y軸の正の方向をOから見て真北の方向と定める。
時刻0において点Pは原点にある。
nを自然数とし、各時刻nにおいて4つの数1,2,3,4から無作為に一つを選ぶ。
1が選ばれたときは点Pを東に、2が選ばれたときは西に、3が選ばれたときは南に、4が選ばれたときは北に、それぞれ(1/2^n)だけ移動する。
以下の問に答えよ。

（1）点Pのx座標をa、y座標をbとする。n→∞としたときのa,bの期待値を求めよ。

（2）時刻1において選ばれた数が1であったときの、n→∞としたときのa,bの期待値を求めよ。
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/02(水) 23:36:32.22ID:ohr+DqS6
aは0でない複素数、b,cは複素数である。
xについての2次方程式
ax^2+bx+c=0
が以下のような解を持つとき、a,b,cが満たすべき条件を述べよ。

（1）2解（以下、重解も2解とする）がともに実数である。

（2）2解がともに実数でない。

（3）2解の一方が実数で、他方が実数でない。
0080１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 10:18:05.89ID:clk1Joik
多項式について質問です。

(a_0 + a_1*x + … + a_n*x^n) + (b_0 + b_1*x + … + b_m*x^m)

上の式で多項式の項の間にある「+」と多項式と多項式の和の「+」を同じ記号で
表わしていますが、悪い習慣でしょうか？
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 10:35:40.84ID:1clk5DIm
微分方程式の質問です。

以下の問題が分かりません。

Aをd次の正方行列で、g=g(t,ξ)を写像g：R×R^d → R^dでξに関して全微分可能でδg(t,ξ)/δξも連続であるとする。 いま、uをR^d値の未知関数とする方程式
du/dt=Au+g (t,u) (※)
を考える。あるK > 0があって|g(t,ξ)| ≦ K (t ∈ R,ξ ∈ R)が成立するとする。

(１)この時任意のa ∈ Rに対して(※)の−∞ < t < ∞における解でu(0) = aとなるものが存在することを示せ。

(２)さらにAを実対称行列で全ての固有値は負であるとする。このとき、aを適当に選ぶことでu(t)は−∞ < t < ∞で有界になることを示せ。

(1)は解けたけど、(2)がギブアップ。(2)を解ける人、解説お願いします。
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 13:50:02.11ID:clk1Joik
>>81

ありがとうございます。

多項式とは何かということに関して、多くの代数学の本では、説明が全くないですよね。

あまり評判は芳しくないようですが、Serge Lang著『Undergraduate Algebra』という本に
ちゃんとした説明がありました。松坂和夫著『代数系入門』にも書いてありますね。
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 15:19:51.98ID:tKhMtALm
論理学に詳しい方に質問です。

背理法のネストは数学的に正しいのでしょうか？
例えば、「A(偽な命題)を仮定する。……ここで、B(偽)を仮定すると、矛盾が生じる。よって、Bは誤り。つまりnotBが正しい。……すると、矛盾が生じる。よってAは誤り。」という議論は正しいのでしょうか？
Bを誤りだと断定した矛盾が、本当にBによるものなのかそれともAによるものなのかが分からないし、場合によってはAかBの単体を仮定するだけではその矛盾は導かれないが、A,Bを共に仮定した時にのみその矛盾が導かれる、っていうことがありそうな感じがして…
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 15:22:08.65ID:9wtPVJ3r
矛盾というのは、前提が正しいなら何をしても起こらないはずなんです
それが起こったということは前提が間違えだったということで、これが背理法ですね
いいんですよそういうことしても別に
0087１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 15:28:30.29ID:tKhMtALm
>>86
すみません、質問の仕方が悪かったんですが、これでnotAが正しいことを示せたのかってことです
これだとnot(A∧B)しか示せてない気がして

すみません、ここまで書いて自己解決しました…お目汚し失礼しました…
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 16:26:29.04ID:rGbJGMG0
背理法は、A→B と A→¬B がともに成り立つことを示して、そこから ¬A を導く方法なのかと
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/03(木) 18:46:32.32ID:FhdwjoyF
お願いします

aは0でない複素数、b,cは複素数である。
xについての2次方程式
ax^2+bx+c=0
が以下のような解を持つとき、a,b,cが満たすべき条件を述べよ。

（1）2解（以下、重解も2解とする）がともに実数である。

（2）2解がともに実数でない。

（3）2解の一方が実数で、他方が実数でない。
0090１３２人目の素数さん
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2019/01/03(木) 20:33:09.11ID:clk1Joik
松坂和夫著『代数系入門』を読んでいます。

「
整数 a の標準分解を

a = p_1^α_1 * p_2^α_2 * … * p_k^α_k

とする。

…

d を a の約数とし、 a = d * q とすれば、 d および q の素因数はもちろん a の素因数であるから、

d = p_1^β_1 * p_2^β_2 * … * p_k^β_k

ｑ = p_1^γ_1 * p_2^γ_2 * … * p_k^γ_k

と書くことができる。
」

と書かれています。

d, q がそのように書けるということを導くのに素因数分解の一意性が使われているのに、そのことが
書いてありませんね。松坂さんは素因数分解の一意性がここでも使われていることに気づいていま
せんね。

↑の下の行で再び素因数分解の一意性が使われているのですが、そこでは、一意性が使われている
ことが書かれています。
0091１３２人目の素数さん
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2019/01/03(木) 20:40:41.42ID:AYL6n86W
先頭車両から順に1からnまでの番号がついたn両編成の列車がある。ただしnは2以上とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
この問題は漸化式を使わずに解く方法はありますか？
0098１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 01:46:52.79ID:4y9oavEG
>>89
(1) b/a，c/a が実数で、(b/a)^2 - 4(c/a) ≧ 0.

>>91
(n+1)両目に赤を追加すると　→　「赤」「青赤」「黄赤」を並べたものになる。
0102１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 13:45:39.54ID:4y9oavEG
>>98
つまり
x/(1-x-2xx) = x/{(1-2x)(1+x)} = (1/3){1/(1-2x) - 1/(1+x)} = (1/3)納n=1,∞] {2^n - (-1)^n} x^n,

答　{2^n - (-1)^n}/3.
0103１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 13:57:39.89ID:4y9oavEG
>>98
nが2つずれた...orz
{1/(1-x-2xx) - 1}/x = (1+2x)/{(1-2x)(1+x)} = (1/3){4/(1-2x) - 1/(1+x)} = (1/3)Σ[n=1,∞] {2^(n+2) - (-1)^n} x^n,

答　{2^(n+2) - (-1)^(n+2)}/3.
0104１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 17:29:53.61ID:xOMYmhWY
以下の性質を満たす集合 E は存在するか？

(1)
E ⊂ R × {0} ⊂ R × R
E は R × R で閉集合、 R × {0} で閉集合ではない。

(2)
E ⊂ R × {0} ⊂ R × R
E は R × R で閉集合ではない、 R × {0} で閉集合。
0105１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 18:58:57.05ID:s68Y7dWN
リチャード・テイラーっていうイギリスの数学者はどのくらいのレベルの数学者ですか？
現役ではそこそこ上位の方に入るぐらいの学者ですか？
0106１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 23:19:10.56ID:UTaC5hnL
>>105

底辺のものが語るべき話題にあらず
0107１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 23:23:11.55ID:N1T5KklW
3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691

を一つの式で表すとどうなりますか？

末尾で1 1 3 5を繰り返すようです
0109１３２人目の素数さん
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2019/01/04(金) 23:37:47.72ID:H2FFTYS5
>>107
(2^(n+2)-(-1)^n)/3
0110１３２人目の素数さん
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2019/01/05(土) 02:07:58.36ID:vJrRtyuT
{2^(n+2) - (-1)^(n+4)}/3

{2^(n+2) - (-1)^(n+664)}/3でも結果は同じ

実部と虚部の関係がわからない
0111１３２人目の素数さん
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2019/01/05(土) 12:53:50.54ID:k/cacouY
3^30 ≡ 1 + 17*31 (mod 31^2)

を証明せよ。

松坂和夫著『代数系入門』の問題です。

松坂さんの意図として、（直接）計算の練習として出題したのか、何かうまい解法があるのかが判断できません。

うまい解法を思いついた人は解答してください。
0114１３２人目の素数さん
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2019/01/05(土) 14:07:06.33ID:k/cacouY
>>113

Fermatの小定理はこの問題が出題されたセクションよりも後で登場します。

>>111

の問題は合同式の定義が説明されているセクションの問題です。

「松坂さんの意図として、（直接）計算の練習として出題したのか、何かうまい解法があるのかが判断できません。」

と書きましたが、おそらく単なる計算問題ではないと推測します。

なぜそう推測したかというと、

（１）そのセクションには11問の問題があるのですが、その最後の問題であること。
（２）「証明せよ」と書いていること。（単なる計算問題だったら「示せ」が自然。）
0115１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/05(土) 15:55:52.86ID:TXJNULY7
神ですら無には敵いませんか？
0116１３２人目の素数さん
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2019/01/05(土) 16:08:07.36ID:k/cacouY
>>111

松坂和夫さんのことなので、おそらくアメリカの初等数論の教科書かなんかに載っている問題を
コピー＆ペーストしたのではないかと思います。
0117１３２人目の素数さん
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2019/01/05(土) 19:34:30.13ID:wZ3XBthC
冪nの反復合成写像を f^n(x) で表す。
f^({2^(f(x))}+1)(x) ≦ f^(2^x)(x)
f^(2^x) = g(x)
(xは自然数)
のどちらも満たすf(x)を全て求めよ。g(x)は定数でないxの多項式関数とする。
0118１３２人目の素数さん
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2019/01/05(土) 22:55:30.05ID:ujon6Ql+
3^30
= 243^6
= (31×8 - 5)^6
≡ 31×8×(-5)^5×6 + (-5)^6
= -31×40×30×125 + 125^2
≡ -31×9×(-1)×(31×4 + 1) + (31×4 + 1)^2
≡ 31×9 + 31×4×2 + 1
= 31×17 + 1
0119１３２人目の素数さん
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2019/01/06(日) 00:09:32.41ID:2xrPMjAH
>>118

ありがとうございます。

やっぱり試行錯誤するしかないということですね。
0120１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/06(日) 01:24:05.51ID:pYT+uHU8
【1】-a-b+(b*q)-c+(c*r)-d+(d*s)-e+(e*t)-p-q-r-s-t+(a*p)+(a*q)+(a*r)+(a*s)+(a*t)+(b*p)+(b*q)+(b*r)+(b*s)+(b*t)+(c*p)+(c*q)+(c*r)+(c*s)+(c*t)+(d*p)+(d*q)+(d*r)+(d*s)+(d*t)+(e*p)+(e*q)+(e*r)+(e*s)+(e*t)

【2】-b-c+(c*r)-d+(d*s)-e+(e*p)+(e*t)-q-r-s-t+(a*t)+(b*q)+(b*r)+(b*s)+(b*t)+(c*q)+(c*r)+(c*s)+(c*t)+(d*q)+(d*r)+(d*s)+(d*t)+(e*q)+(e*r)+(e*s)+(e*t)

【3】-c-d+(d*p)+(d*s)-e+(e*p)+(e*q)+(e*t)-r-s-t+(a*s)+(a*t)+(b*t)+(c*r)+(c*s)+(c*t)+(d*r)+(d*s)+(d*t)+(e*r)+(e*s)+(e*t)

【4】-(a*r)-(c*p)-d-e+(e*p)+(e*q)+(e*r)+(e*t)-s-t+(a*t)+(b*t)+(c*t)+(d*s)+(d*t)+(e*s)+(e*t)

【5】-(a*q)-(a*r)-(a*s)-(b*p)-(b*r)-(b*s)-(c*p)-(c*q)-(c*s)-(d*p)-(d*q)-(d*r)-e-t+(e*t)

【6】-a+(a*p)-b+(b*q)-c+(c*r)-d+(d*s)-e+(e*t)-1+a+b+c+d+e

【１】＝【２】＝【３】＝【４】＝【５】＝【６】のときa,b,c,d,e,p,q,r,s,tの値をそれぞれ求めよ。

これって答え出ますかね・・・？
mathematicaとか使ってもエラー出てくるんですよね・・・
0122１３２人目の素数さん
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2019/01/06(日) 01:41:05.55ID:RGE3MgWR
微分方程式に詳しい人、これ解説してください。

g = g(ξ) , h = h(ξ)はR上のC1級関数として２階の常微分方程式

d^2w/dt^2 + g(w)(dw/dt) + h(w) = 0

を考える。正定数δ > 0 , κ > 0が存在し

てg , hは次の条件を満たすと仮定する。

g(ξ) ≧ κ , h(0) = 0 , h'(ξ) ≧ δ (ξ ∈ R)

とする。このとき、任意のa,b∈Rに対してw(0) = a , w'(0) = bとなるような解w(t)がt ≧ 0で存在することを示せ。またlim[t→∞]w(t) = 0を示せ。

ヒント：H(ξ) = ∫[0→ξ]h(η)dηとして

(d/dt){(1/2)(dw/dt)^2 + H(w(t))} = (dw/dt)((d^2w/dt^2) + h(w(t)))
0123１３２人目の素数さん
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2019/01/06(日) 03:18:37.21ID:XR08xOo7
Uをd*d次元のユニタリ行列として，U^a = Iである．
ここに，aは2より大きな整数であり，Iはd*d次元単位行列である．
このとき，Uの固有値はそれぞれどのように表されるか？

Uがユニタリであることから，絶対値が1なのは明らかですが，それ以上に具体的に書き表すことができるようですが，どのように書けるのでしょうか？
0125M_SHIRAISHI
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2019/01/06(日) 03:57:50.88ID:tGRzsmjc
>>88
＞背理法は、A→B と A→¬B がともに成り立つことを示して、そこから ¬A を導く方法なのかと

いいや違う。

背理法とは、命題：「Ｐ(x) ならばＱ(x) である」を証明したい場合に、
Ｐ(x) & not-Ｑ(x) から ｘに関しての矛盾を導く方法を言う。

尚、これから論理的に導かれる方法として、命題Ａ(α) を証明したい場合に
not-Ａ(α) から α に関しての矛盾を導く方法もある。
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/06(日) 04:34:36.36ID:Jxai4k6k
ﾌﾞｯ
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/06(日) 16:34:35.86ID:hAkRPfB2
ある一次変換fがある。
どのような整数p,qについても、座標平面上の点(p,q)をfにより移すと、移った先の点のx座標またはy座標が整数であるという。
fとしてあり得るものをすべて、2×2行列の形で表せ。
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/06(日) 17:40:42.16ID:KhHSkFCq
ω>4を定数とする。
u=u(t),v=v(t)を未知関数とする方程式

du/dt=−ωv＋(3−2u^2−v^2)u
dv/dt=ωu+(3−u^2−2v^2)v

を初期条件として(u(0),v(0))=(a,b)≠(0,0)を与える時、t≧0で解が存在することを示せ。また、周期解(U(t),V(t))も存在することを示せ。
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