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分からない問題はここに書いてね450

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0130１３２人目の素数さん
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2019/01/06(日) 18:24:54.36ID:U1uFvPRA
次の不定方程式の整数解(x,y)を1組求めてください:
(2^2019)*x + ((2^10)-1)*y =1

たくさんありそうですけど、どれくらい解き方ありますかね？
0131１３２人目の素数さん
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2019/01/06(日) 18:55:52.26ID:HXfdm1di
(2^10-1)(2^9(2^2010-1)/(2^10-1)x + y) + 2^9 x = 1
の整数解を求めればいい。
すなわち z=2^9(2^2010-1)/(2^10-1)x + y とおいて
1023 z + 512 x = 1
の整数解を求めれば良い。
0132１３２人目の素数さん
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2019/01/06(日) 19:30:06.98ID:hU1YSmaF
２進数で考える。
①2^2019は1の後ろに0が2019個続き、これをa乗すると1の後ろに2019a個の0が続く数を作ることができる。
x=2^2019^(a-1)
②2^10-1は、1が10個続く数である。これにΣ(k=0 to b)(2^(10k))をかけると、1が10(b+1)個続く数を作ることができる。
y=-Σ(k=0 to b)(2^(10k))

そして、1の後ろに0がn個続く数から、1が(n-1)個続く数を引くと1になる。

よって次を満たすa,bを見つける。
2019a=n
10(b+1)=n-1
つまり、2019a-10b=11
a=9,b=1816

x=2^2019^8=2^16152
y=-Σ(k=0 to 1816)(2^(10k))

力技なんだけどね。エレガントな解き方ないの？
0133１３２人目の素数さん
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2019/01/06(日) 20:11:37.45ID:AUBxw3Wu
f(n)をnの各桁の和として
f(n^2)=f(n)-7となるnは分かりますか？
出典が怪しいので解答可能かはわかりません
0139１３２人目の素数さん
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2019/01/07(月) 08:01:11.18ID:LBx6GyyK
>>137 >>138
すみません
言葉足らずでした
形として、そのようになるのはわかるのですが、整数mはどこまで動くのでしょうか？
必ず1からaまで動くのでしょうか？
それとも、形としてexp(2πim/a)とはなりますが、mはどのような値をとるのかは分からず、場合によってはm=1がd個重複するということもあるのでしょうか？
0143１３２人目の素数さん
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2019/01/07(月) 22:38:50.09ID:wWg0R9jm
x,yについての連立方程式
(s-t)x-ty=1
tx+(s-t)y=0
が-1<x<1かつ-1<y<1の範囲に解を持つとき、実数s,tが満たすべき条件を述べよ。
0144１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 02:26:53.87ID:WdFpB4mR
>>143
x + iy = 1/(s-t +it),

x = (s-t)/[(s-t)^2 + t^2],　 y = -t/[(s-t)^2 + t^2],

(s-t)^2 ±(s-t) + t^2 > 0,　(s-t)^2 + t^2 ±t > 0,

(s-t+1/2)^2 + t^2 > 1/4,　
(s-t-1/2)^2 + t^2 > 1/4,
(s-t)^2 + (t+1/2)^2 > 1/4,
(s-t)^2 + (t-1/2)^2 > 1/4,
の共通部分。（4楕円合併領域の外部)
0145１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 04:04:55.17ID:ZNcycGg9
煽りじゃなくて本当に疑問なんだけど、>>144の解法で複素数を引っ張り出してきたのはなぜ？
普通に連立方程式でx,yを求めるよりなにかいいことがあるの？
0148１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 16:44:31.80ID:/70NE4Ur
>>144
ありがとうございます。この問題の形がいかにも行列×ベクトルの形をしているのですが、一次変換に関係ある問題なのでしょうか？
0150１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 18:24:44.92ID:wfVVLLbn
広義積分 ∫ 1/(x(log(1+x^2))^β)dx from 1 to ∞ (β>0)
が収束するための条件はβ>1であることを示せ
をどなたか教えてください
0151１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 19:27:23.97ID:5EJbWTrs
12345→51234のように、十進表記の末尾一桁を先頭にもってくる操作を考える。
ただし末尾は0ではないとし、全桁が同じ数字からなる数も考えないものとする。
ある数Mをこの操作でLへと置き換えた。
MがLで割り切れるMのうち、桁数が最も小さいものを全て求めよ。

という問題なのですが、20点満点で5点しかもらえませんでした。

解答のどのあたりがまずいでしょうか？

https://i.imgur.com/KVfJSEP.jpg
0152１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 19:29:00.02ID:5EJbWTrs
結構自信あったのですが？で全部バツになってしまいました
言葉が足らずケタ数からの議論だということが伝わらなかったということでしょうか？
議論自体に不備がありますか
0153１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 20:54:22.86ID:iVwpyA+C
>>151>>152
t=4のときは互いに素ではないのに除外してるのはなぜ？
結局はt=7と同様の理屈で除外されるけども
どういう意味で同様の議論なのかを明確にすべき
「t=5,6,8,9のとき10-tとt*10^(n-1)-1は互いに素となるので、同様の議論で不適」といった感じに

あとは左端に詰めて書いてないので単純に読みづらい
0154１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 21:56:00.85ID:HcyYoAVi
Q上でd_pをp進距離関数、d_QをEuclid距離の部分距離関数として
距離空間(Q,d_p)と(Q,d_Q)を考えたときにこの2つが同相でないことを示せ

感覚的には分かるのですが証明方法が浮かばないのでお願いします……
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/08(火) 22:23:08.41ID:tzmf51gl
Walter Rudin 著『Principles of Mathematical Analysis』を読んでいます。

https://imgur.com/oT3qaqa.jpg

↑の赤線を引いた条件を満たすような V_(n+1) が存在することの証明ですが、↓であっていますよね？


V1 ∩ P ∋ x1 だから、 V1 ∩ P ≠ φ である。

V_n ∩ P ≠ φ と仮定する。

(A) x_n ∈ V_n の場合

V_n に含まれるような x_n を中心とする開球 B1 が存在する。

x_n ∈ P であり、 P は perfect set だから x_n は P の limit point である。

よって、 B1 は x_n 以外の P の点 x_k を含む。

V_(n+1) を x_k を中心とし、半径が min(B1の半径 - |x_k - x_n|, |x_k - x_n|) よりも小さい開球とすると、

(i) closure(V_(n+1)) ⊂ V_n
(ii) x_n ∈ closure(V_(n+1)) ではない。
(iii) V_(n+1) ∩ P は空ではない。（x_k を含む。）

(B) x_n ∈ V_n ではない場合

V_n ∩ P ≠ φ だから x_k ∈ V_n となるような k が存在する。

V_(n+1) を x_k を中心とし、半径が V_n の半径 - 「V_n の中心から x_k までの距離」 より小さい開球とすると、

(i) closure(V_(n+1)) ⊂ V_n
(ii) x_n ∈ closure(V_(n+1)) ではない。
(iii) V_(n+1) ∩ P は空ではない。（x_k を含む。）
0156１３２人目の素数さん
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2019/01/08(火) 23:34:48.43ID:lM2d1hEM
数論幾何学とブロックチェーン技術ってどっちの方が独学するの難しいですか？
0157１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 00:06:19.10ID:3v0fKymE
>>150
　log(1+xx) = u,　　　(log(2) < u < ∞)
とおく。
　2x/(1+xx) dx = du,
　I[β] = ∫[log(2),∞] {(1+xx)/(2xx)} (1/u)^β du
一方、x≧1 より
　1/2 < (1+xx)/(2xx) ≦ 1,
　(1/2)∫[log(2),∞] (1/u)^β du < I[β] ≦ ∫[log(2),∞] (1/u)^β du,
かな････
0158１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 00:27:00.66ID:h9JOR4rM
fはℝ上で定義された十分滑らかな関数とし,
a_n= {n Σ[k=1,n] f((2k-1)/2n)}-{n^2 ∫[0,1] f(x) dx}
について, lim[n→∞] a_nは収束するか？
その場合は極限値を求めよ。
0160１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 02:38:13.07ID:nRRCVLX/
>>154
(Q,d_p)においては
sup {d(a,x)|d(b,x)≦d(a,b)} = d(a,b) (∀a,b)
だけど(Q,d_Q)においては上は成立しない。
0161１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 03:34:34.38ID:zxxgNHWU
数学板利用したことがないのでここで質問させてください。
ボロノイ図のプログラムを組んでいるのですが、ランダムな点9個ほどからドロネー三角形の三点の座標と外接円の中心座上を求めることはできました。
そこからドロネー三角形からボロノイ図をつくりたいのですが、
ドロネー三角形に隣接している（辺を共有している）ドロネー三角形の外接円の中心を結んでいけばいように思ったのですが、あってますかね？
0162１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 09:29:08.86ID:p03RkPfT
実はこれからお話しすることは
公にはできない秘匿性の高い秘密なので
一度しかお話しできないということを
予めご理解ください・・・
0165１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 11:05:09.80ID:y0UYmX7x
んなわけないやん。
出題ミスかなんかしらんけど明らかに発散してる。
答えとしては発散する例あげておしまいだからf(x) = xで終わり。
0166１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 11:32:42.98ID:Iqt0a3E9
なんでこのスレって上から目線でレスするやつほど数弱なんだろうね
0167１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 12:25:07.86ID:VGWbLLfc
>>165
f(x)=xだと一次きえるのかorz。
ならf(x)=x^2で
n Σ[k=1,n] f((2k-1)/2n)} = 1/3(n+1)(4n^2-4n+1)×n/(4n^2)
n^2 ∫[0,1] f(x) dx} = n^2/3
で２次ローラン多項式。
１次は消えず。
0169１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 13:10:25.97ID:Ydwhnpwq
K_ε(x)平均0、分散εの正規分布の確率密度関数ですにおいて、δ>0とするとき、

∫[|x|≧δ]K_ε(x)dxはε→＋0の時0に収束することを示せ。

ε→0とするとK_ε(x)はディラックのデルタ関数に近づいて感覚的に0になりそうなのは分かりますが、証明の仕方が分かりません。
0170１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 13:43:45.43ID:J7VIp4mr
正規分布でなくても積分が有限なだけで自明やん
分布固定で積分範囲を広げて収束するのと同じ
0172１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 16:19:20.96ID:ENgVnsAP
>>158
「区分求積 中点法 誤差」
で検索すると出てくる
愛知工業大学の講義資料に
誤差の評価計算があって
ほぼそのまま使える

結論だけ書くと
収束して値は －(1/2){f'(1)－f'(0)}
0173１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 16:20:07.97ID:hkMGGmBS
6x2+39x+54の因数分解

(6x+27)(x+2)
(3x+6)(2x+9)

どちらも正解ですか？それとも何か決まりがあってどちらかになる？
0174１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 16:22:47.99ID:oFfp0/ea
>>173
3(x+2)(2x+9)
まで分解しないと不正解とされそう
0175１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 17:58:58.38ID:fz5F2D1Y
>>173
じゃあテメエは3x+6を因数分解せよって言われたら3x+6って答えるのかよウスラハゲが。
0176１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 20:24:17.82ID:32+XtSYy
Y(ω)を求めるためにsinc関数と三角関数の積をフーリエ変換したいのですが解き方が分かりません。畳み込み積分を使うとは思うのですが、解法(出来れば途中式も)お教え頂けないでしょうか？
https://i.imgur.com/m4su9hx.jpg
0177１３２人目の素数さん
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2019/01/09(水) 20:50:09.20ID:tWOuRuZ0
Pをカントール集合とすると、Pは((3*k+1)/3^m, (3*k+2)/3^m))の形の開区間とは交わらないことを証明せよ。
k, mは正の整数とする。
0180１３２人目の素数さん
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2019/01/10(木) 03:23:20.50ID:4mlVGqNc
>>158
x_k = (2k-1)/(2n),　とおく。
テイラーの定理
　f(x) = f(x_k) + f '(x_k)(x-x_k) + (1/2)f "(x_k)(x-x_k)^2 + (1/6)f '''(ξ)(x-x_k)^3,
を使う。ただし　|ξ - x_k| ≦ |x - x_k|,　　|f '''(ξ)| ≦ M,

∫[x_k -1/(2n), x_k +1/(2n)] f(x)dx
= (1/n)f(x_k) + (1/2)f "(x_k)∫[x_k -1/(2n), x_k +1/(2n)] (x-x_k)^2 dx + O(M/n^4)
= (1/n)f(x_k) + (1/nn)f '(x_k)･0 + (1/24n^3) f "(x_k) + O(M/n^4),

∴　nΣ[k=1,n] f(x_k) - nn∫[0,1] f(x)dx
= - (1/24n)Σ[k=1,n] f "(x_k) + O(M/n)
→ - (1/24)∫[0,1] f "(x)dx　　　(n→∞)
= - (1/24){f '(1) - f '(0)}　　　 >>172

>>167
Σ[k=1,n] (2k-1)^2 = (1/3)(4nn -1)
1次の項は消える。
0182１３２人目の素数さん
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2019/01/10(木) 08:37:15.01ID:0TNXVAe/
0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113 -148 -189

を一つの数式にするとどうなりますか？
0183１３２人目の素数さん
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2019/01/10(木) 10:25:06.45ID:2GD8CjST
>>178
こんな問題すら解けないならホモトピーを学ぶ前に位相空間論の勉強をやり直すことをオススメします
0185１３２人目の素数さん
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2019/01/10(木) 11:28:02.02ID:esm1ke7I
Sn=Σ[k=1,n] f((2k-1)/2n)}(2/2n) , S=∫[0,1]f(x)dx
とすると積分の定義から
ε=1/n³ に対して、∃n₀, n>n₀
|S-Sn|<ε=1/n³

a[n]=n²Sn-n²S だから
|a[n]|=n²|S-Sn|<n²ε=1/n
したがって
a[n]→0

>>180
これじゃダメなの？
0186１３２人目の素数さん
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2019/01/10(木) 12:45:13.67ID:ViNWiWfk
ある本に書いてあった問題です。
この問題を解ける人は居ますか？

>大きな数はごく単純な状況でも簡単に生じる。
一例を挙げよう。
今度何かの退屈な委員会に出たときに考えるとよい問題だ。
その会議に出ている人々で構成しうる下部委員会が何通りあるか、すべて数え上げて、下部委員会にありうる対をすべて考える。
対のそれぞれを、二つの集団の一方に割り当てる。
どういう割り当てにしようと、四つの下部委員会について、すべての対が必ず同じ集団にあるという四つ組が必ずあって、全員が必ず偶数の下部委員会に属するようにする、元の委員会の最小の人数はいくらか。
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 13:15:49.10ID:mS1xfsbs
>>182
((-1)^n-1)/16+(13n-n^3)/12+n^2/8
ではどうか
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 15:33:53.59ID:4mlVGqNc
>>185
ε = 1/n^3 に対してある自然数 N が存在して

　|S_N - S| < ε,

| a[N] | = NN |S_N - S| < NNε = NN/n^3,

N ≦ O(n^{3/2})　なら収束するが…
0189１３２人目の素数さん
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2019/01/10(木) 15:38:28.42ID:0aS1RbSq
質問です。

平均μ,分散共分散行列狽ﾌ多変量正規分布をN(μ,)としたとき、狽ﾍ非負定値行列であることを示せ

誰かわかる方お願いします。
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 17:05:21.82ID:aFUafC37
準対角行列ってどんなものですか？
三角行列とは違うものですか？
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 17:15:04.51ID:oQ6VnKQl
>>169
2乗可積分なX1～Xnで分散共分散行列なるもの作ったらいわゆるグラミアンになるからじゃね？
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 17:46:34.49ID:usfuY8n0
>>186
4人で成り立つ
証明は全通りを列挙すると場合の数が爆発するので
問題を言い換えてから論理学で解けばよい
例えば以下の問題と同値になる

問：
2進数でN桁以下の数 1, 2, ..., 2^N-1 を、2つの集合
P, Q のいずれかに振り分けて分割する。
どのような分割に対しても P, Q のどちらかに
4つの数 a, b, c, d が存在し、排他的論理和
XOR(a, b, c, d)＝0となるとき、
Nの最小値を求めよ。
0193１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 17:50:48.61ID:dGlyJUHh
(X,d)を空でないコンパクト距離空間、f:X→Xを連続写像とする。

Ｘの空でないコンパクト部分集合Ｙでf(Ｙ)＝Ｙとなるものが存在することを示せ。

Zornの補題を使いそうな気はするけど、どうすれば解ける？
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 23:29:09.20ID:4mlVGqNc
>>158
（>>180 の改良)
x_k = (2k-1)/(2n),　とおく。
テイラーの定理
　f(x) = f(x_k) + f '(x_k)(x-x_k) + (1/2)f "(ξ)(x-x_k)^2,
を使う。ただし　(k-1)/n < ξ(x) < k/n,

∫[(k-1)/n, k/n] f(x) dx
= (1/n)f(x_k) + (1/2)∫[(k-1)/n, k/n] f "(ξ(x))(x-x_k)^2 dx
= (1/n)f(x_k) + (1/nn)f '(x_k)･0 + (1/2)(1/12n^3) f "(y_k)　　(←平均値の定理)
ここに　(k-1)/n < y_k < k/n,

∴　nΣ[k=1,n] f(x_k) - nn∫[0,1] f(x) dx
= - (1/24n)Σ[k=1,n] f "(y_k)
→ - (1/24)∫[0,1] f "(x) dx　　　(n→∞)
= - (1/24){f '(1) - f '(0)}　　　 >>172
0199１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/10(木) 23:33:36.16ID:2GD8CjST
>>195
それぞれの完備化が同相でないから
(実数体とp進数体、前者は連結空間だが後者は完全不連結)

というのはどうでしょうか
0200１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 00:28:54.65ID:6oXTloqV
lim[n→∞] Σ(k=1～n) [{k^n}/{n^n}]
を求めたいのですが
Σ(k^a) がnについてのa+1次式(で、最高次の係数が正)になることを示せば(帰納法？)、Σ(k^n)がnについてのn+1次式になるから、求める極限は∞で良いですか？
0203１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 04:08:34.04ID:SKsrg5eA
>>200
Σ(k=1～n) k^a ～ {1/(a+1)}(n+1/2)^(a+1)　　　････ Faulhaberの公式
本問では　a=n なので分母が 1/(n+1) となり　nのn次式です。
それを n^n で割るので有限値に収束しそう。

2項公式から
　k^n ≒ {(k+1)^(n+1) - (k-1)^(n+1)}/(2n+2) - (n/12){(k+1)^(n-1) - (k-1)^(n-1)} - ････,

Σ(k=1～n) k^n ≒ {(n+1)^(n+1) + n^(n+1)}/(2n+2) - (n/12)(n+1)^(n-1) - ････
　= {(n+1)^n + n^(n+1)/(n+1)}/2 - (n/12)(n+1)^(n-1) - ････,

Σ(k=1～n) (k/n)^n ≒ {(1+1/n)^n + n/(n+1)}/2 - (1/12)(1+1/n)^(n-1) - ････
　→　(e+1)/2 - (1/12)e - ････　　　(n→∞)
　= e/(e-1)
　= 1.58197670687

∵　(1+1/n)^(n+1/2) → ｅ　　(n→∞)
0204１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/11(金) 04:25:23.08ID:SKsrg5eA
>>203 訂正

Σ(k=1～n) k^n ≒ {(n+1)^(n+1) + n^(n+1)}/(2n+2) - (n/12){(n+1)^(n-1) + n^(n-1)}- ････
　= {(n+1)^n + n^(n+1)/(n+1)}/2 - (1/12){n(n+1)^(n-1) + n^n} - ････,

Σ(k=1～n) (k/n)^n ≒ {(1+1/n)^n + n/(n+1)}/2 - (1/12){(1+1/n)^(n-1) + 1} - ････
　≒ (e+1)/2 - (1/12)(e+1) - ････
　= e/(e-1)
　= 1.58197670687　　　　(n→∞)
0205１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 05:21:48.91ID:SKsrg5eA
>>190
　quasi-diagonal matrix

固有値に重根がある場合、それに対応するブロックは対角化できないことがある。
その場合でも、対角線上に固有値、その１つ上(下)に１が並ぶ形に変換することは可能。
(ジョルダンの標準形)

互いに複素共役な固有値 a±bi がある場合、それらに対応するブロックを
[a+bi, 0]
[0, a-bi]
から実表示
[a, -b]
[b, a]
に変換することがある。
0206１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 06:48:11.97ID:Dq90IXlW
>>201
元の問題の
「全員が偶数の下部委員会に属する」
の偶数は0を含まないのでは、
という指摘と理解しました

自分は0を含むとして解きましたが
これを排除すると
答えが変わるかもしれませんね

投稿者はヤフー知恵袋にも
投稿しているようなので
証明の掲載はいったん控えます
0208１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 11:45:12.82ID:KwypqMKz
二乗可積分な確率変数 X,Y に対して内積 (X,Y) を E(XY) で定めた場合のグラミアンが分散共分散行列。
なので有限次元のヒルベルト空間のグラミアンが任意の基底で固有値正を示せば良い。
0210１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/11(金) 13:22:30.95ID:xPuURV4g
サイコロを振り、1,2,3の目が出たときは文字列AABを書き、4のときは文字Bを、5のときはCを、6のときはDを書く。
このことを繰り返し、既にある文字列の右側につなげて新しい文字列を作る。
例えばサイコロを3回投げ、順に5,1,4の目が出たときは、文字列CAABBが得られる。

（1）nを正整数とし、サイコロをn回投げて文字列を作る。
文字列の一番左からn番目の文字がAとなる確率P_A[n]、文字列の一番左からn番目の文字がBとなる確率P_B[n]をそれぞれ求めよ。

（2）極限　lim[n→∞] P_B[n]/P_A[n]　を求めよ。
0211１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 14:16:14.48ID:1RH5/468
>>193
x(1)=f(X), x(n+1)=f(X(n)) として Y=∩{X(n) | n∈N} にすれば
Y≠φ はコンパクトから言えるからZornの補題は要らんだろ
0212１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 15:55:34.59ID:5J5uogTQ
>>199
よく考えたらユークリッド距離の(0,1)とRが同相でも完備化して同相でなくなる例でしたね
0213１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 16:51:41.30ID:r1mV13ck
n次元アフィン空間の平行でない2つのn-1次元アフィン部分空間の交わりはn-2次元アフィン部分空間になることの証明を教えてください
0216１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 21:59:51.35ID:hiaVndzB
>>214
先頭から 0,1,2 と続くので、この問題の場合は初項を a_0 としたほうが綺麗かなと個人的には思う
まあ、趣味の問題でしかないですが
0218１３２人目の素数さん
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2019/01/11(金) 22:28:08.13ID:XTVF40zW
0
0221１３２人目の素数さん
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2019/01/12(土) 00:11:38.32ID:V06NzB18
>>219

「われは過程をつくらず」 (Hypotheses non fingo)
--- Isaac Newton "Principia Mathematica, Philosophiae Naturalis" 2nd ed.(1713)
0222１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/12(土) 00:14:42.36ID:V06NzB18
>>220
ぢゃあ生姜ねぇ

・解1
sin(x) < x < tan(x) より
0 < 1/sin(x) - 1/x
　< 1/sin(x) - 1/tan(x)
　= {1-cos(x)}/sin(x)
　= sin(x)/{1+cos(x)}
　→ 0　(x→0)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1036757970 (2010/02/15)

・解2
lim (x→0) {1/x - 1/sin(x)}
= lim (x→0) {sin(x)-x}/{x･sin(x)}
= lim (x→0) {cos(x)-1}/{sin(x)+x･cos(x)}　　(← l'Hospital)
= lim (x→0) {-sin(x)}/{2cos(x)-x･sin(x)}　　(← l'Hospital)
= 0
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1363539883 (2011/06/01)
0224１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/12(土) 14:02:35.27ID:2CN4f8o0
>>210
誰かこれ解けませんか？
大学入試問題らしいので特別難しくはないと思います
私は漸化式作ろうとして作れませんでした
0226１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/12(土) 16:07:25.11ID:F/0/MLYr
高校数学のスレで誰も解いてくれないので誰か教えてください。高校数学の問題です。
xyz空間において
C1, x^2+y^2=1,x≧0,y≧0,z=0

C2, x^2+z^2=1,x≧0,y=0,z≧0

C3, z^2+y^2=1,x=0,y≧0,z≧0 を考える。

点Pがx軸の0≦x≦1の部分を動くとき、Pを通りx軸に垂直な平面とC1,C2の交点を順にQ,R として、三角形PQRが通過してできる立体をK1とする。

同様に、点P' がy軸の0≦y≦1 の部分を動くとき、P'を通りy軸に垂直な平面とC1,C3との交点を順にQ',R'として、三角形P'Q'R'が通過してできる立体をK2とする。
このとき、K1とK2の共通部分K の体積を求めよ。
0227１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/12(土) 21:10:07.56ID:ilBN4PEM
>>226
線分QR, Q'R' が削り出す立体は 平面 x=y に関して対称的である。
例えば QR が削り出す側 ( y ≧ x ) の体積を２倍すればよい。
よって
底辺: a(x) = √(1-x^2) - x
高さ: h(x) = √(1-x^2) - x
この三角形面積を積分して２倍すればよい。

V{K} = 2 ∫ [ 0, 1/√2 ] dx a(x) h(x) / 2 = ∫ [ 0, 1/√2 ] dx ( 1 - 2x √(1-x^2) )
= 1/√2 - ∫ [ 0, 1/2 ] dt √(1-t)
= √2 /2 +2/3 ( (1-1/2)^{3/2} - (1-0)^{3/2} )
= √2 /2 +√2 /6 - 2/3 = 2/3 ( √2 - 1 )

てか本当に高校数学か？
0228１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/01/12(土) 23:30:46.84ID:F/0/MLYr
>>227ありがとうございます。この問題は東大の添削問題として学校で出された問題なのですが全然わからなかった問題です。
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