>>56
1/a=A, 1/b=B, 1/c=C, 1/d=D, 1/e=E
とおく。　与式は
　(A+B+C+D+E)^4 ≧ 125(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC),
となる。　　左辺を展開すると、いろいろなパターンの4次項が現れる。
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
　(4,1)　(3,1,1)　(2,2)　(2,1,1)　(1,1,1,1)
の5パターンがある。
　(4,1)　A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4,
　(3,1)　4(A^3)(B+C+D+E) + …
　(2,2)　6(AABB+AACC+AADD+AAEE+BBCC+BBDD+BBEE+CCDD+CCEE+DDEE),
　(2,1,1)　12AA(BC+BD+BE+CD+CE+DE) + …
　(1,1,1,1)　24(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC) = 24v,

AM-GM より　(A^4 + B^4 + C^4 + D^4)/4 ≧ ABCD,
　(4,1) ≧ v,
同様にして（ﾁｮﾄ怪しい…)
　(3,1) ≧ 16v,
　(2,2) ≧ 12v,
　(2,1,1) ≧ 72v,
　(1,1,1,1) = 24v,
となるので、
　(左辺) = (A+B+C+D+E)^4 ≧ (1+16+12+72+24)v = 125v = (右辺),