なぜeやπは様々な性質を持つのか?
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無理数なんて他にも沢山あるのになぜこの二つだけ登場回数が多いのか? すごいよね
πもすごいけど、
微分されてもい積分されても全く動じないeはマジですごいと思う 最初は図形で出てきたのに、統計学で出てくるπも凄いね 使われる頻度が多いから。人間は三角関数とか指数関数をよく使うだろ?だからeとかπとかの性質が多く発見されてる。 実はπやe以外にもそういう存在があるのか?
あるいは人間がそのように数学を作ったからそういう存在が見いだされてるだけなのか
今の数学体系はこの世界の仕組みから導かれる必然なのか人間がたまたま作った偶然の結果なのか
人間ではない他の知的生命体が数学のようなものを作ったら全く別のものが出来上がる可能性はあるのか気になった 数学って幾何から生まれた部分と、ものの個数とかを数えるところから発展してきたはずだから、
この世界の仕組みが変わらなければ誰がやっても大体同じような数学体系になるのかな eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。
解析的にも幾何学的にもか。 >eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。
何言ってんの e+πが無理数かどうかすらわかってないのにな
(e+π, e*πのいずれかは無理数) ちょっと脇道にそれるけど、無理数と有理数の個数(?)の比ってわかってるんだっけ eとπの超対称性不等式
(e + π+π)/3 > 3 > (eππ)^(1/3), eとπの超対称性不等式
13(e+π+π)/3 + (eππ)^(1/3) = (13+1)・3 = 42, >>13 >>14
(e+π+π)/3 = 3.000489045212877
(eππ)^(1/3) = 2.993629678783071
e^π -π = 19.999099979189475767
e^6 -π^5 -π^4 = 0.0000176734512321 >>18
e ≒ 19/7 = 3 - 2/7 = 2.7142857…
π ≒ 22/7 = 3 + 1/7 = 3.142857…
らしいです。 >>19
π - e = 69/163
>>10
(e+π) + e^π = 29.00056711482810748
円周率について語り合おう【π】 - 202, 216, 217, 218
にもあるyo. 個数の比って∞じゃないの?
有理数の存在確率?は0でしょ f(x)=x+e のような写像を使って無理数の部分集合と有理数の全体とを1対1対応させることはできる。その逆はできない
よって無理数の個数のほうが有理数の個数より大きいと言える
比がどうかという話はまだ別かも >>13 >>14
G = (eππ)^{1/3} = 1/(50π), >>13 >>14
訂正スマソ
G = (eππ)^{1/3} = 3 − 1/(50π), 実数でルベーグ測度を考えると有理数全体の集合だけでなく
代数的数全体の集合も測度ゼロ
代数的整数論はメジャーゼロのナンセンスな研究w
これからは超越数の時代 >>24
例えば数直線上の実数を0から一個ずつ数えながら比を計算していけば、その無限遠までの比は
ある値に収束する可能性が微レ存じゃないの >>32
自分が何を言ってるか数学の言葉で書いてみ >>33
伝わるかわからないけど、
有理数なら1、無理数なら0を返す関数yuri(x)
無理数なら1、有理数なら0を返す関数muri(x)
を定義できたとして、
lim[a→∞] {∫[-a〜+a] yuri(x)dx / ∫[-a〜+a] muri(x)dx }
を求める的なイメージ
muri(x) = 1 - yuri(x) で定義してもいいけど その関数yuriは一般的にディリクレ関数と呼ばれています
リーマン積分不可能(かつルベーグ積分可能)な関数の典型例としてよく知られています >>35
ディリクレ関数というのがあるのか〜
ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと??
だとしたら有理数は存在しているのに存在してないみたいな変な話になるな
謎すぎる
https://mathtrain.jp/dirifunction おれが思いつくことなんてやっぱり先代の方々がすでに同じようなこと考えてすでに検討済みなんだな
失礼しました e^π と π^e はどちらが大きいか…
電卓なら直ぐ計算できるが、大学入試問題での証明例を見たが、取って付けた様な証明でなんとも。 π^eとe^πの対数とって
→e log πとπ log e のどっちが大きいか
→log π/πとlog e/e のどっちが大きいか
→ f(x)=log x/x の増減を見よう
自然な考え方だね f(x)=x^(eπ/x)の増減を見よう
としても同じことか 実数はほとんどすべて無理数なのに、代表的な無理数がeやπくらいしかないのはどうしてなの? >>41
log 2とかΓ(1/3)とか楕円積分とか他にも色々あるが
君が知らないだけ >>17
e^6 - π^5 - π^4 = 0.0000176734512321092
π^9 / e^8 = 9.9998387978
P.Stanbury: Math. Gazette, 68, p.222 (1984) >>36
>ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと??
「ルベーグ測度ゼロの集合」と「空集合」は同じものではない。
有理数は存在する。ただ測度がゼロになるだけ。 ぐらふぃ@grafi_tt
胡散臭いけどやばい論文です https://ieeexplore.ieee.org/document/8350369 …
Learning From Pseudo-Randomness With an Artificial Neural Network?Does God Play Pseudo-Dice?
- IEEE Journals & Magazine ニューラルネットに π や eといった数学定数とか Mersenne Twister の次の桁を予測させると統計的に優位に当たってる
3:08 - 2018年11月25日 >>41
むしろ有理数か無理数かすらわからない数が多い。オイラーの定数γとか。
ひとつでも解決したら画期的だよ。 >>17 >>44
e^6 - π^5 - π^4 - {π^(-4) - π^(-5)} e^(-6) = 0.000000326601615742
(π +2 +1/π) / e^4 = 0.100001603286 >>51
e^6 - π^5 - π^4 - {1/(π^4 + π^3 +π^2 +π^0 +1)} e^(-6) = 0.000000004044885 [eとπの微妙な関係]
(e^{10π} + 744) / (2927 + 1323√5)^3 = 216 - 2.1935×10^{-20},
(e^{20π} + 744) / (2 + 9[1201 + 537√5 + (1/2)・5^{1/4}・(1607 + 719√5)]^2)^3
= 216 - 1.131384×10^{-47},
円周率について語り合おう-238 >>53
e^{(√163)π/3} - 640320 = 6.04863735049×10^{-10},
e^{(√163)π} - 640320^3 - 744 = -7.499274028×10^{-13},
640320 = (2^6) 3・5・23・29, 1/((1π)^2+1)+1/((2π)^2+1)+1/((3π)^2+1)+……=1/(e^2-1) (e^(4π√58)+744)/(2+9*(1+√2)^3*(5+√29)^7*(-47+340√2+98√29)^2/128)^3
= 216 - 3.17*10^(-76)
(e^(π√1435)-744)/(-2+18*(2+√5)^10*(79*(121+28√5)+5*(263+85√5)√41)^2)^3
= 216 - 1.81*10^(-96)
(e^(40π)+744)*64*(-2+√5)^39/(869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)*(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10))^3
= 216 - 3.00*10^(-102) 1/(e^(1π)+1)+3/(e^(3π)+1)+5/(e^(5π)+1)+7/(e^(7π)+1)+…=1/24 >>55
オイラー乗積表示
sinh(x) = zΠ[k=1,∞] {1 + (x/kπ)^2},
の対数微分より
coth(x) = Σ[k=-∞,∞] x/{(kπ)^2 + xx}, >>57
1/(x + 1) = Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/x)^m,
Σ[k=1,∞] (2k-1)・r^{2k-1} = (1/2){r/(1+r)^2 + r/(1-r)^2},
(左辺) = Σ[k=1,∞] (2k-1) Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (e^{-(2k-1)π})^m
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} Σ[k=1,∞] (2k-1) (e^{-mπ})^{2k-1}
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/2)cosh(mπ)/(sinh(mπ)^2)
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/2)cosh(mπ)/(cosh(mπ)^2 - 1)
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/4){1/(cosh(mπ)+1) + 1/(cosh(mπ)-1)}
= 1/24, πが円由来なのではなくて、本質は円とは関係ない説を推したい >>54
「163の不思議」の近似式の精度を高くしてみた
(e^(2π√163)+744)/(12+27*(41074+((2/3)*(103971293867397+2306706115√(163/3)))^(1/3)+((2/3)*(103971293867397-2306706115√(163/3)))^(1/3))^2)^3
= 1 - 4.14*10^(-64)
根号が付くが一致する桁数はおよそ倍(30桁から64桁)になります
さらにe^(2π√N)という形で根号を許す場合は"163"よりも"190"のほうが上で
(e^(2π√190)+744)/(12+108*(1+√2)^12*(154+210√2+144√5+41√10)^2)^3
= 1 - 1.16*10^(-70)
で、その先はN=193,232,253と続くようです >>57
一般化すると k=1, 5, 9, 13, 17, … (≡1 mod 4) に関して
Σ[n=0,∞] (2n+1)^k / (e^(π(2n+1)) + 1)
= ∫[0,∞] (2x)^k / (e^(2πx) + 1) dx
= (2^k - 1) k! ζ(k+1) / (2π)^(k+1)
が成り立つ (ζ(s)はリーマンゼータ関数) P = ln(640320^3 + 744)/√163
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。
[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n・e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数 200100 と一致するが、整数ではない。
M >>1 とすると、
Q = ln(10)・((1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと(πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。
「円周率について語り合おう【π】」- 017 >>53
>>53
[eとπの微妙な関係]
e^{10π/3} /(2927+1323√5) = 6 - 3.37940×10^{-11}
(e^{10π/3} + 248/[6(2927+1323√5)]^2 ) /(2927+1323√5) = 6 - 3.9344×10^{-22}
(e^{10π/3} + 248・e^{-20π/3}) /(2927+1323√5) = 6 - 1.27627×10^{-23}
円周率について語り合おう - 244 >>61
なるほど。
(e^{2π√190} + 744) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)^3
= 1 - 1.168664×10^{-70}
(e^{(2π√190)/3} + 248 e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)
= 1 - 2.447924×10^{-72} >>54
e^{(π√163)/3) - 248/(640320^2) = 640320 - 1.1810534×10^{-24},
e^{(π√163)/3} - 248 e^{-2(π√163)/3} = 640320 - 3.83118675×10^{-26}, >>63
>P = ln(640320^3 + 744)/√163
それを手持ちの関数電卓(fx-JP900)で計算したら"π"って表示された。。。 exp(iπ)=1
のほうがキレイじゃないですか? >>53 >>64
(e^{10π/3} + 248・e^{-20π/3}) / (2927+1323√5) = 6 - 1.2762708×10^{-23},
(e^{20π/3} + 248・e^{-40π/3}) / (2+9[1201+537√5 + 5^{1/4}・(1607+719√5)/2]^2)
= 6 - 6.5828772×10^{-51},
>>56
(e^{40π/3} + 248・e^{-80π/3})・4・(√5 -2)^13 / (869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)・(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10))
= 6 - 1.7513042421×10^{-105},
>>54
e^{(√163)π/3} -248・e^{-2(√163)π/3} = 640320 - 3.8311867×10^{-26},
>>61
(e^{(2√190)π/3} +248・e^{-2(2√190)π/3}) / (12+108(1+√2)^12・[154+210√2+144√5+41√10]^2 )
= 1 - 1.168664×10^{-70},
>>56
(e^{(4√58)π/3} +248・e^{-2(4√58)π/3}) / (2+9(1+√2)^3・(5+√29)^7・[-47+340√2+98√29]^2 /128)
= 6 - 1.850222×10^{-79},
(e^{(√1435)π/3} -248・e^{-2(√1435)π/3}) / (-2 +18(2+√5)^10・[79(121+28√5)+5*(263+85√5)√41]^2 )
= 6 - 1.0580687×10^{-99}, >>72
まちがえた。
(e^{(2π√190)/3} + 248・e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12・[154+210√2+144√5+41√10]^2)
= 1 - 2.447924×10^{-72} 10!/((10!)!)^(1/10!) = 2.7182754...
((10!)!*2^(10!))^4/(10!*((2*10!)!)^2) = 3.141592870... 関数列f_nを次のように定める
f_1(x)=x^x
f_(n+1)=(x^x)^f_n(x))
このとき極限lim[n→∞]f_n(x)はe^(-1/e)<x<1の範囲で収束する。
また、
lim[n→∞]∫[1,0]f_n (x)dx=π^2/12
が成立する >>75
a>0とするとき「a^a^a^a^…が収束 ⇔ e^(-e)≦a≦e^(1/e)」が成り立つ(L.Euler)
収束するときの収束値はW(-ln a)/(-ln a)ここでW(z)はLambertのW関数
0<x<1のとき1/e<x^x<1でありf_n(x)はW(-ln(x^x))/(-ln(x^x))に収束し
lim[n→∞]∫[0,1] f_n(x) dx
= ∫[0,1] W(-ln(x^x))/(-ln(x^x)) dx
= ∫[0,∞] W(te^(-t))/t dt
= ∫[0,∞]Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)(te^(-t))^n/t dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)∫[0,∞] t^(n-1)e^(-nt) dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)Γ(n)/n^n
= Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/n^2
= (1-2/2^2)ζ(2)
= (π^2)/12 1+1/(3+1/(5+1/(7+1/(9+…)))) = (e^2+1)/(e^2-1)
1+1^2/(3+2^2/(5+3^2/(7+4^2/(9+…)))) = 4/π >>70
e^iπ+1=0
この形式が最も美しい
今の円周率の決め方で良かったわ ほんと汚い式だな
単位元とかゼロ元とか、後付けもいいとこ >>79
おれもこの式が美しいと思う
何が美しいかは主観なので争ってもしかたないが なにこのとってつけたような+1は・・・
というのが大抵の反応
美しくもなんともない 演算的にも和・積・累乗と揃う
数学で5つの最も重要な数が揃う
まあ数学を知ってる人ほど>>79の表し方が美しいと感じるんじゃないかな e,πに比べると極端に出てくる場面が少ないから仕方ない >>79
それが最高だよな
〜の方がきれいなら理解できるが、汚いとか美しくもなんともないとか、どういう感性をしているんだ? ∫(-∞,∞) log(x^2) e^(-x^2/4) dx = -2γ√π
∫(-∞,∞) log^2(x^2) e^(-x^2/4) dx = (2γ^2+π^2)√π 〔問題202〕
次の□の中に +, -, ×, ÷, ^ のどれかを入れて完成させよ。
(1) e□π□π = 9.001・・・・
(2) e□π□π = 19.9990999・・・・
(3) e□π□π□e = 29.0005・・・・
(4) e□e□π□e = 13.998・・・・
(あと4, 5問あった)
円周率について語り合おう【π】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/202, 218, 235 >>89
e□e□e□e□e = 6.9994…
e□π□e□π□e = 48.9996…
e□e□γ□γ = 13.9998…
e□π□e□γ = 20.9996…
e□e□e□π□γ = 15.0003…
e□e□e□π□γ = 28.00004…
e□π□π□π□e□γ = 71.999996…
π□π□γ□π□γ□e = 9.000001… >>90
e^π + e^π + e = 48.999667094 >>46
日本人女性が、πを31兆桁まで計算?
【祝】Google社員の日本人女性、岩尾エマはるかさんが円周率計算で世界新記録達成!
http://hayabusa9.2ch.net/test/read.cgi/news/1552576769/ >>61
高橋秀俊:「”163”の不思議」
数学セミナー,Vol.14,No.10、日本評論社(1975/Oct)
数セミ増刊「数の世界」日本評論社,p.157-161 (1982/Sep) >>91
TAN(3π/11) + 4SIN(2π/11) = ?
sin(2θ) = sinθ U_1(cosθ) = sinθ{2cosθ},
sin(3θ) = sinθ U_2(cosθ) = sinθ{1+2cos(2θ)},
cos(3θ) = T_3(cosθ) = cosθ{2cos(2θ)-1},
I = tan(3θ) + 4sin(2θ)
= {sin(3θ) + 4sin(2θ)cos(3θ)}/cos(3θ)
= (sinθ){8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}/cos(3θ),
(I^2 - 11){cos(3θ)}^2 = (sinθ)^2・{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - 11{cos(3θ)}^2
= (1/2){1-cos(2θ)}{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - (11/2){1+cos(2θ)}{2cos(2θ) -1}^2
= - U_10(cosθ)
= - sin(11θ)/sinθ,
http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/ >>8 >>9
π中間子の電荷がeであることを主張するのが例のオイラーの公式。 まとめ
eの性質
 ̄ ̄ ̄ ̄
種 類 レプトン
スピン 1/2 (フェルミオン)
電 荷 -e -1.602176621×10^(-19) [C]
質 量 m 9.10938356×10^(-31) [kg] = 510998.946 [eV]
寿 命 ∞ (安定)
磁気モーメント -9.28476462×10^(-24) [J/T] = -1.0011596521809 μB (自由電子)
g因子 -2.0023193043618 (自由電子)
ESR周波数 2.802495164×10^10 [Hz/T] (自由電子)
(参考)
ボーア磁子 μB = eh/(4πm) = 9.2740100×10^(-24) [J/T]
πの性質
 ̄ ̄ ̄ ̄
種 類 ゲージボゾン(強い相互作用)
π± π゚
---------------------------------------------------------------
電 荷 ±e 0
クォーク組成 π+ = ud~, π- = u~d, π゚ = (uu~-dd~)/√2,
質 量 139.5700×10^6 [eV] 134.9764×10^6 [eV]
寿 命 2.603×10^(-8) [s] 8.4×10^(-17) [s]
スピン 0 0 (ボゾン)
アイソスピン 1 1 >>89
(1) e+π+π = 9.0014671356386
(2) e^π−π = 19.9990999791895
(3) e^π+π+e = 29.0005671148281 = (1)+(2)
(4) e^e−π/e = 13.9985348916883
* 円周率について語り合おう【π】−202,218,235
>>90
(5) e^e−e−e−e = 6.9994167561021
(6) e^π+e^π+e = 48.9996670940176 >>92
なお、 e^π = 23.140692632779269… をゲルフォントの定数とか云うらしい。 x^x -3x -7 = 0 の根 e' = 2.71830318548264 はたぶん超越数・・・・ e^x -x -20 = 0 の正根 π' = -W_(-1/(e^20)) -20 = 3.1416333028・・・・ もたぶん超越数・・・・
W_( ) はLambertのW関数の(-)分枝 >>90
(5) e^e - e - e - e = 6.9994167561021
(6) e^π + e^π + e = 48.9996670940176 >>92
(7) e^e - γ - γ = 13.99983091167620
(8) e^π - e + γ = 20.99962646922175
(9) e^e - e + π - γ = 15.00035740170848
(10) e + e + e^π - γ = 28.00004062479582
(11)
(12)
(13) π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255 >>90
>>90
(11) e/π + π * (π^e) + γ = 71.999996538151361
(12) π + (π^γ) * π - (γ^e) = 9.00000187503
π * (π^γ) + π - (γ^e) = 9.00000187503
・追加
(13) π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255
(14) π - (π^γ) + (π/γ) * e = 16.000039835677
(15) π * (π^π) * (γ^e) - e = 23.000001617056
(π^π) * π * (γ^e) - e = 23.000001617056 e ≒ 19/7, π ≒ 22/7, γ ≒ 4/7
らしいです。 >>19
∴ 1次の関係式
e + π + π = 9.0014671356 = (1)
3e - 2γ = 7.000414156
3π + γ = 10.00199363
π - e + γ = 1.00052649 e + e + e - π/e = 6.999118135586 = (4) - (5)
3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997 = 5・(5) - 2・(4)
3γγ = 0.999533771 >>104
e + π + π = 9.0014671356 = (1)
3e -γ -γ = 7.00041415557407 = 2・(7) - 2・(9) + (1)
3π + γ = 10.001993625671 = (9) - (7) + (1)
π - e + γ = 1.00052649 = (9) - (7) >>100
9{exp(1/e) - (1/e)exp(-ee)} = 12.999964673
9{exp(1/x) - (1/x)exp(-xx)} = 13 の正根は e" = 2.718261616 >>104 >>106
・応用例
平面グラフの頂点の数をγ、辺の数をe、面の数をπとすると、
γ - e + π = 1 (Euler) >>104 >>106
-π + 4e - 3γ = 5.999887665542 = 3[(7)-(9)] + (1)
-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522 = 11[(7)-(9)] + 4・(1)
-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177 = 14[(7)-(9)] + 5・(1) 1/α
= ππ{(π+e)/(π-e) + (π-e)/(π+e)} - 1/{(π+e)(π-e)} + 1/(ππ)
= ππ{2(ππ+ee)/(ππ-ee)} - 1/(ππ-ee) + 1/(ππ)
= 137.0356848322791
アティヤ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537516085/134 >>98
πは(芳香族)有機化合物中の電子軌道です。
・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。
・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。(エチレン)
∵ 電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりSが小さい。
・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため(超高圧でない場合)エネルギー的に有利。
例:グラフェン、グラファイト
・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
クーロン積分・交換積分など低次の積分は0である。
また、内殻軌道(1s,2s)とのエネルギー差もかなり大きい。
このため孤立しており、π電子だけを考慮する近似が可能。(ヒュッケル法)
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/181 >>104
e ≒ 193/71, π ≒ 223/71,γ ≒ 41/71
らしいです。 π/3 - 1 + 4/π ≒ 1/tanh(1) = (ee+1)/(ee-1),
不等式スレ10 109-112 >>98
電子スピンのg因子
-2.0023193043618 ≒ -π/(eγ) >>98
質量比
m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ・・・・ = exp(α) - 1,
m(e-) / m(π゚) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ・・・・ = {exp(4α) -1}/4, >>98
質量比
2m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ・・・・ = exp(α) - 1,
2m(e-) / m(π゚) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ・・・・ = {exp(4α) -1}/4, π - e = 69/163
円周率スレ【π】 - 326 exp(i*pi) +1 = 0
eとπと虚数単位と実数全てが入った式かつ見た目がシンプルだから
人はそれを美しいと感じていると思われるが、同時に、で?っていう
思いも生まれるのもまた事実 >>104
e = 19/7, π = 22/7
とすると
π+e = 41/7, π-e = 3/7,
>>112
e = 193/71, π = 223/71
とすると
π+e = 416/71 π-e = 30/71, ππ = 701/71,
>>118
e = 443/163, π = 512/163
とすると
π+e = 955/163, π-e = 69/163, ππ = 1609/163, オイラの公式 (e')^(iπ’) = -1,
和の公式 e' + π' + π' = 3・3,
ここに
e' = 2.71940175612508383454746・・・
π' = 3.14029912193745808272627・・・ e < e' < 3 < π' < π,
(e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923
(π')^e < π^e < (π')^(e')< π^(e') < e^(π')<(e')^(π')= e^π < (e')^π, >>99
(4) e^e−π/e = 4(150)^(1/4),
>>102
(7) e^e - γ - γ = (3803000/99)^(1/4) 黄金比 φ = √(π/1.2) = 1.6180215938
φ + 1/φ = 2.23606031703
富士山麓オウムは災難さ e = Σ[k=0,10] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/5! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/60 + 1/6! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 - 1/(11・6!) + 1/7! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 4/(11・7!) + 1/8! + ・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 43/(11・8!) + 1/9! + 1/10!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 398/(11・9!) + 1/10!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3991/11! (11!=39916800)
≒ 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3991/39906009
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
エジプト分数表示 e = Σ[k=0,11] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ・・・・
= ・・・・・
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 398/(11・9!) + 1/10! + 1/11!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + (3980+11+1)/11!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3992/11! (11!=39916800)
≒ 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3992/39916008
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
エジプト分数表示 e = Σ[k=0,12] 1/k!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/5! + …… + 1/12!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/60 + 1/6! + …… + 1/12!
= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + ,
= -1/660 + 1/6! + 1/7! + …… + 1/12!
= -1/(11・6!) + 1/7! + 1/8! + …… + 1/12!
= 4/(11・7!) + 1/8! + 1/9! + …… + 1/12!
= 43/(11・8!) + 1/9! + 1/10! + 1/11! + 1/12!
= 398/(11・9!) + 1/10! + 1/11! + 1/12!
= 3991/11! + 1/11! + 1/12!
= 3992/11! + 1/12!
= 47905/12! (12!=479001600)
≒ 47905/479002095
= 1/9999
エジプト分数表示 >>57
x = e^{-π} とおくと
(左辺) = x/(1+x) + 3(x^3)/(1+x^3) + 5(x^5)/(1+x^5) + ・・・・・
= x {1/(1+x) + (3x^2)/(1+x^3) + (5x^4)/(1+x^5) + ・・・・・ }
= x (d/dx) log[(1+x)(1+x^3)(1+x^5)・・・・]
= x (d/dx){ log[(1+x)(1-x^2)(1+x^3)(1-x^4)(1+x^5)・・・・]
- log[(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)・・・・] }
= x (d/dx){ -log(G(-x)) + log(G(x^2)) },
ここに
G(x) = Σ[n=0,∞] p(n)・x^n,
は分割数p(n)の生成関数。
1/G(x) = (1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・
= Σ[m=-∞,∞] (-1)^m x^{m(3m-1)/2}, >>17, 89(2), 99(2)
e^π - π = 19.99909997919
e^π - π + e/π^7 = 19.999999985
e^π - π + e/π^7 + 1/(eπ^7)^2 = 19.999999999960 |r|<1 とする。
k = 1, 5, 9 について
Σ[n=0,∞] (2n+1)・r^{2n+1} = r(1+r^2)/(1-rr)^2,
Σ[n=0,∞] (2n+1)^5・r^{2n+1} = r{(1+r^10) + 237(r^2+r^8) + 1682(r^4+r^6)}/(1-rr)^10,
Σ[n=0,∞] (2n+1)^9・r^{2n+1} = r{(1+r^18) + 19673(r^2+r^16) + 1756340(r^4+r^14) + 21707972(r^6+r^12) + 69413294(r^8+r^10)}/(1-rr)^18, x>0 のとき
x^{1/x} ≦ e^{1/e},
log(x) / x ≦ 1/e,
等号成立は x=e,
e' = π / log(π) = 2.74439646630
e" = (8/3) e / e' = 2.641291676176
とおくと
e" < 8/3 < e < e',
(e")^{1/e"} = 13/9 = 1.444444… 訂正…
Σ[n=0,∞] (2n+1)^5・r^{2n+1} = r{(1+r^10) + 237(r^2+r^8) + 1682(r^4+r^6)}/(1-rr)^6,
Σ[n=0,∞] (2n+1)^9・r^{2n+1} = r{(1+r^18) + 19673(r^2+r^16) + 1756340(r^4+r^14) + 21707972(r^6+r^12) + 69413294(r^8+r^10)}/(1-rr)^10, π = 10.1010020200 0211112002 0101120001 0102020001 0210111200 0101200011 0011111020 1000001101 111 (e進法)
e = 2.2021201002 1111220011 0120100020 1002021112 0111211200 0101222201 0210212200 2220012010 203 (π進法)
小数点下 83, 89, 95, 104, 143, 162, … 桁目に「3」 [eとπの微妙な関係どこまでも]
(e^(10π)+744)/(2927+1323√5)^3
= 216 - 2.1*10^(-20)
(e^(20π)+744)/(2+9*(1201+537√5+5^(1/4)*(1607+719√5)/2)^2)^3
= 216 - 1.1*10^(-47)
(e^(40π)+744)/(2+(9/(4√2))*((1+√5)/2)^38*(7485+762√2+1479√5+3072√10+5^(1/4)*(178+2221√2+3148√5+1289√10))^2)^3
= 216 - 3.0*10^(-102)
(e^(80π)+744)/(2+(9/8)*2^(1/4)*(1+√2)^41*(530935136+314649157√2+190007592√5+174256156√10+2^(1/4)*(325653723+350011313√2+198603775√5+119076491√10)+5^(1/4)*(299448042+249740557√2+165588382√5+89292490√10)+10^(1/4)*(218798503+233344905√2+120016115√5+88680967√10))^2)^3
= 216 - 2.1*10^(-211)
… >>140 の続き(j-invariantの値)をもう少し計算してみた
(e^(π√6307)-744)/(-12+27*(4+√17)^16*(1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2)^3
= 1 - 3.85*10^(-212)
(e^(8π√253)+744)/(12+(27/7744)*(1+√23)*(24+5√23)^15*(6+√(18+4√23))*(2613958503994042+1847473729040467√2+837790178036772√11+598717160351847√22+576161649364756√23+407590062365343√46+163366108645406√253+114201548059645√506+(434941809989079+320542233994301√2+130489158670679√11+97268953915700√22+93179143624603√23+63178599498586√46+28230255730793√253+18919403141609√506)√(18+4√23))^2)^3
= 1 - 1.16*10^(-342)
(e^(π√16555)-744)/(-12+(27/4)*((1+√5)/2)^118*((9+√77)/2)^2*(320894813655339+61569131404011√5+35639907052399√77+17940001062501√301+7432116783367√385+14837611163117√473+3797467132539√1505+2793899176811√2365+(11140446493226+12450127844626√5+1468410957272√77+685802367263√301+1329900128960√385+563707277735√473+698080174717√1505+549439850645√2365)√(69+4√301))^2)^3
= 1 - 1.56*10^(-346)
最後の2式の分母は16次方程式の解なのですが、
予想ではガロア理論の壁を乗り越えてこの先ずっと計算できると思われる πに他の無理数が濃縮されてるから。
オイラーの公式と
一般相対性理論の測地線式を
ジッと見比べると
空間を表す部分は対数の加法。
時間を表す部分は対数を取って
-1がふと思い浮かぶ。
幾ら頑張って時間空間を一点に縮めようとしても
考えてる点がπなら
時空間に無限小の広がりを持つ。
時空間が何次元持つかは知らんけど
π^?が現れるだろう。
私は素人なのでこの手の話は色々面白く本を読ませてもらってる。
玄人は苦労して貰って
ナンボな世界の住人。
気張ってくださいね。 なぜ0や1や2やマイナス1は様々な性質を持つのか?他にも整数はたくさんあるのに
と言ってるのと同じ。くだらない >>134
>>62 の割と初等的な導出:
f(z) = (2z)^k πtan(πz)tanh(πz),
C1:(1+i)N→(-1+i)N, C2:(-1+i)N→(-1-i)N, C3:(-1-i)N→(1-i)N, C4:(1-i)N→(1+i)N
と置くと、留数定理より
(1/(2πi))∫[C1+C2+C3+C4]f(z)dz = -4Σ[n=1,N](2n-1)^k tanh((2n-1)π/2)
そしてf(z)の対称性から
k≡1(mod 4)のとき ∫[C1]f(z)dz=∫[C2]f(z)dz=∫[C3]f(z)dz=∫[C4]f(z)dz
が成り立ち
(1/(2πi))∫[C1]f(z)dz = -Σ[n=1,N](2n-1)^k tanh((2n-1)π/2) --------(1)
g(z) = -(2z)^k πi tanh(πz),
C2':(-1+i)N→-N, C3':-N→N, C4':N→(1+i)N
と置くと、留数定理より
(1/(2πi))∫[C1+C2'+C3'+C4']g(z)dz = Σ[n=1,N](2n-1)^k --------(2)
(1)+(2)より
(1/(2πi))∫[C1](f(z)+g(z))dz + (1/(2πi))∫[C2'+C3'+C4']g(z)dz
= 2Σ[n=1,N](2n-1)^k/(e^((2n-1)π)+1)
この積分は
∫[C1]|f(z)+g(z)| |dz| = O(N^(k+1) e^(-2πN))→0 (N→∞),
∫[C2'+C4']g(z)dz = π∫[0,N]((2N+2iy)^k-(2N-2iy)^k)dy + O(N^(k+1) e^(-2πN)),
∫[C3']g(z)dz = -2πi∫[0,N](2x)^k dx + 4πi∫[0,N](2x)^k/(e^(2πx)+1)dx
特に
k≡1(mod 4)のとき ∫[0,1]((1+iy)^k-(1-iy)^k)dy = 2i∫[0,1]x^k dx
であることを考慮すると
∫[0,∞](2x)^k/(e^(2πx)+1)dx = Σ[n=1,∞](2n-1)^k/(e^((2n-1)π)+1) k=1,5,9,13…≡1(mod 4)における類似の関係式
Σ[n=1,∞]n^k/(e^(2nπ)-1)
=∫[0,∞]x^k/(e^(2πx)-1)dx + R_k
=k!ζ(k+1)/(2π)^(k+1) + R_k
ただしR_kは原点の留数補正でR_1=-1/(8π), R_5=R_9=R_13=…=0
この式の導出も>>144 で
f(z) = z^k πcot(πz)coth(πz), g(z) = z^k πi coth(πz)
と置きなおせば同様にして得られる。 [eとπの微妙な関係?]
e^(10π/3)・(5^(1/4) - 1)^8 = 2^7 + 2.32560749396411×10^(-11)
(e^(10π) - 24)・(5^(1/4) - 1)^24 = 2^21 - 2.9854645192226×10^(-19) {5^(1/4) - 1} * 2^(1/8) * e^(5π/12) * {1/[1 + e^(-10π)] - e^(-20π)} = 2 - 1.415538508…×10^(-109) [eとπの微妙な関係 - η関数系補完リスト]
(e^(2π)-24)^(1/9) = 2 - 2.2073*10^(-4)
e^(2π/9) (1/(1+e^(-2π)) - e^(-4π))^(8/3) = 2 - 7.8882*10^(-22)
(e^(3π)+24)^(1/6) (2-√3)^(2/3) = 2 - 5.9834*10^(-7)
(2-√3)^(1/6) 2^(3/4) e^(π/8) (1/(1-e^(-3π)) - e^(-6π)) = 2 - 3.5974*10^(-33)
(e^(4π)-24)^(2/3) (√2-1)^4 = 2^7 - 2.8644*10^(-7)
(√2-1)^(1/4) 2^(9/16) e^(π/6) (1/(1+e^(-4π)) - e^(-8π)) = 2 - 4.3750*10^(-44)
(e^(5π)+24)^(1/6) (√5-1)^4 = 2^5 - 3.3430*10^(-11)
(√5-1) 2^(3/4) e^(5π/24) (1/(1-e^(-5π)) - e^(-10π)) = 4 - 1.0641*10^(-54)
(e^(6π)-24)^(1/8) (108^(1/4)-√3-1) 2^(5/8) = 8 - 1.1705*10^(-14)
(e^(7π)+24)^(1/6) (1+√7-28^(1/4))^4 = 2^7 - 4.6633*10^(-16)
(1+√7-28^(1/4)) 2^(1/4) e^(7π/24) (1/(1-e^(-7π)) - e^(-14π)) = 4 - 1.5739*10^(-76)
(e^(10π)-24)^(1/3) (5^(1/4)-1)^8 = 2^7 - 6.0739*10^(-24)
(5^(1/4)-1) 2^(1/8) e^(5π/12) (1/(1+e^(-10π)) - e^(-20π)) = 2 - 1.4155*10^(-109)
(e^(15π)+24)^(1/8) ((38-22√3-17√5+10√15)√2 - 15^(1/4)√3(16-9√3-7√5+4√15)) 2^(1/4) = 4 - 1.6165*10^(-39)
(e^(20π)-24) √2 (1+5^(1/4))^12 (2+√5)^6 ((2+√5)√2-3-2*5^(1/4))^6 = 2^17 - 9.6242*10^(-48)
√(1+5^(1/4)) ((2+√5)((2+√5)√2-3-2*5^(1/4)))^(1/4) 2^(5/16) e^(5π/6) (1/(1+e^(-20π)) - e^(-40π)) = 2 - 1.0018*10^(-218) Δxとか幅を持った数も忘れないでね
パイもネイピア数も0や1と同じで幅は無い
極限が繋ぐ異次元お世界
そこに現れるえ e^π = π + 20 - ((√3)/10)^4,
π^e = π + 20 - (10/11)^4,
ここで
(√3)/10 = 0.1732 < 0.9091 = 10/11,
∴ e^π > π^e. e^π と π^e どっちがでかい?
http://www.youtube.com/watch?v=LuPHrYPGrIs 06:31,
鈴木貫太郎
e^π と π^e どっちが大きい!? (筑波大) (数V微分)
http://www.youtube.com/watch?v=XEjm4stW7uI 04:58,
3浪阪大生たぴおか【数学解説ch】
e^(e^π) < π^(π^e) を示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=vUHFtKVp9b0 19:07,
式変形チャンネル e^π > 22 を示せ。
(略解)
e > 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 163/60,
e^3 > (163/60)^3 > 4320000/(60^3) = 20,
e^0.14 > 1 + 0.14 + (1/2)0.14^2 + (1/6)0.14^3 > 1.15 = 23/20,
辺々掛けて
e^π > e^3.14 = e^3・e^0.14 > 20・(23/20) = 23,
http://www.youtube.com/watch?v=5CXdQihmKxw 09:28,
鈴木貫太郎 >>152
e^(x/e - 1) ≧ 1 + (x/e - 1) = x/e,
eを掛けて
e^(x/e) ≧ x,
e乗して
e^x ≧ x^e, πとeが無理数であること
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.80-82
πとeが超越数であること
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983) p.85-86 複素関数論は、絶対値|z|とか絶対値の2乗|z|^2は、
複素変数zの複素関数ではないわけだが、それにもかかわらず、
絶対値をもしも一切遣わないで、そうして実部と虚部に分けて
議論することを禁じて、必ず複素変数zとしてだけ数式を書き、
議論も証明もするというように制約を設けたときに、はたして
理論が滞りなく構築できるものだろうか?
たとえば複素数の局表示z=rexp(i θ)も、rやθがzの複素
関数にはならないから、認めないとしたら???
つまり純粋に複素関数(解析関数)であるものしか使わずに
理論を組み立てろということができるだろうかというもの。 指数関数は微分作用素の固有関数だから微分が係わる数学のあちこちに出没する。
そうして、指数関数の引数を適当にスケール変換してやればexp(x) すなわち
e^x が現れるというわけさ。 教育上は標準的な関数から順序良く展開しなければならないので
最も基本的な関数であるe^xは
べき級数によって導入するのがよいだろう 巾級数は局所的な話になるから、それよりは微分方程式 y = y’ の解を
もとにした方が、大域的な性質(一種の解析接続性)も備えているので良いと思う。 eとかπはなぜいろいろなところに出てくるのだろうか、という疑問は
いろいろなところに出てくる有名な数だから特別の記号を割り当てて
名前をつけているからだとしたら自明な話になってしまうのではなかろうか?
実数にはいまだかつて人類が一度も値を書いたことのないもの、将来においても
書かれないで居続けるものが幾らでも存在するのである。そういう無名の誰にも
認められない実数も存在していて実数の世界を支えている。
何しろその実数が実数の集合から欠けたなら、実数の連続性が成り立たなくなって
しまうのだ。 人間が分かりやすい数だけがちやほさやされるだけ
義務教育で 二次方程式の解の公式 までを習う人が多いから
三次方程式や四次方程式までは解の公式があると言っても
「だから何?」 とか言われて興味など持たれないし
それこそ人によっては「二次方程式もイラネ」 とかなる
それこそひねくれた人から
「じゃあ五次方程式の解の公式出せよ」と言われるまである
このひねくれたタイプの人間は、何をどう答えてもいちゃもんを付けるので
たとえば「五次方程式に解の公式はねぇよ」 とかいうと
「楕円積分とか使えば求められるだろ。解析的に解が求められないだけで
手順がないわけじゃねぇだろ、この無能」 と返され
逆にバカ正直にそのやり方を先に示そうとすれば
「あー、はいはい、わかったわかった(笑)、で?w」 と返してくる
それこそ、そういう人間に対する対応の仕方=解のほうがねーよwww って具合である
eやπを特別扱いすることについても、
その話題について興味がある云々よりも、それを語る人間への親和性のほうが
現実問題として重要である
気に食わない人間が持ち出すテーマには何にでもケチをつけ、
仲のいい人間が持ち出すテーマなら、何より優先してでもそっちを贔屓する
数学も人間が使う以上、嫌われたら相手にされない。
AIも、助けたい人を助ける為に使われる場合と
気に食わない奴を追い出すために使われる場合に分かれるだろう
eやπを使いだした人がもし周囲に嫌われていたら、今でも使われてなかったかもしれない
あるいは、最初に使った人間はおまえらみたいな奴だったかもな。
でも、お前らみたいなやつを相手したくない連中が多いから、長い事無視されてきたとかな。 整数ですら、いまだかつて誰もその値を具体的に書いたことがないものが
幾らでも存在する。比較的小さな整数あるいは自然数は著作権が
設定されていることがあるけれども。たとえば任意の俳句をUTF8のコードで
表せば、それは実質的に0と1が並んだ自然数に対応付けられる。
任意の長編冒険小説をUTF8のコードで表せたとすれば、それは実質的に0と1が
並んだ長い桁数の自然数と同一視できる。音楽CDや映画のDVDなども
所詮は0と1のビットの有限長の列であるからそれは自然数を定める。
デジタルの画像なども同様である。DNAの並びも4種類の塩基を
それぞれ00,01,10,11に対応付けてやれば、ギガバイト程度の
2進データに対応が付く。
だから自然数には著作権が設定されているものがいろいろあるが、
それでもこれでもうすべて使われていておしまいですということに
はならないのである。世の中うまくできている。 eやπに較べるとオイラー定数γの出番が少ない気がする。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています