Rudin さんは E が空集合ではないということを書いていません。自明と言えば自明ですが、やはり書くべきです。

「If s^* = -∞, then E contains only one element, namely -∞, and there is no subsequential limit.」

この部分ですが、

s^* = -∞ ⇒ E = φ または E = {-∞} です。ところが E は空集合ではないため、 E = {-∞} になります。