訂正します：

小平邦彦著『解析入門I』を読んでいます。

位相関係のところをすべて読み終わりました。

境界点の定義があまり好きではありません。

すべての正の実数 ε に対して U_ε(P) ⊂ S でなく、 U_ε(P) ∩ S ≠ φ であるとき、 P を S の境界点という。

という定義です。

U_ε(P) ⊂ S でない

⇔

U_ε(P) ∩ S' ≠ φ （S' は S の R^2 における補集合）

なので、

すべての正の実数 ε に対して U_ε(P) ∩ S' ≠ φ かつ、 U_ε(P) ∩ S ≠ φ であるとき、 P を S の境界点という。

という定義のほうが綺麗に見えます。