帰納的集合Aの任意の点a[0]から始めて、a[0]が極大でなければa[0]<a[1]なる元をひとつ取って、a[1]が極大でなければ……以下同様にして、元の列a[0],a[i]が得られる(ここで選択公理を用いる)
これらの集まり{a[i]|i∈N∪{0}}は全順序な部分集合であり上界aをもつ
このaはAの極大元である……という証明より短い(かつ直観的な理解が得やすい)ものを見たことがない