面白い問題おしえて～な 28問目
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
>>879
＞E = ((n+1)! -1) /n!。
これ、E = n+1 - 1/n! としてもいいですか？ >>889
＞ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
これは辺さえ交差してなければ、内部に他の点を含むのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていているときに△ABCは「特異な三角形」にカウントされますか？
また内点を共有するのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていて、重心の時計の針の狭角にABが入っている場合、
△ABGと△ABCを両方「特異な三角形」とカウントするのはありですか？ >>889
証明作ってみたけど
三角形の個数は N-2 まで少なくできるね
問題の出典は？ >>892
「三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、」の条件から前者は認めません。点を共有する事は認めます。 特異な三角形って、作動していない時計が含まれていても意味がある概念？
(針がついていない場合は、針と辺に関する条件は満たされているものと考える、とか)
そうでなければ作動していない時計の存在意義がないと思うし
あと、特異な三角形と考えるのはAさんがその３つの時計を直線で結んでいる場合のみ？(でないと直線で結ばれている意味がないはず)
「あなたは～することが可能であることを示せ」とあるけど、"あなた"ができるのは時計に針をつけて作動させることだけだよね？
つまり、まだ針のついていない時計の時刻をうまく決定することで条件を満たすようにできることを示す、ということでよい？ >893
自作です
>895
N個の時計は必ず作動させなくてはいけません。
そのあと二つは仰る通りです。
文章が分かりにくくてすいません。 >>874
tanθ = t とおいて、面積Sをtで表わす。
・0<θ<30°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ） = 2t/(√3 +t),
AP2 = AP1 sin(60ﾟ+θ)/sin(60ﾟ-θ)
= AP1 sin(120ﾟ-θ)/sin(60ﾟ-θ)
= sinθ / sin(60ﾟ-θ)
= 2t/(√3 -t),
S(t) = ⊿P0P1A - ⊿AP1P2
= (1/2)sin(∠A) AP1 (1-AP2)
= (1/2)((√3)/2)(2t/(√3 +t))((√3 -3t)/(√3 -t))
= (3/2)t(1-t√3)/(3-tt),
t = 2√6 - √3 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 16.5505°
・30ﾟ<θ<60°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ) = 2t/(√3 +t),
BP1 = 1 - AP1 = (√3 -t)/(√3 +t),
BP2 = BP1 / AP1 = (√3 -t)/2t,
S(t) = ⊿P0P1B - ⊿BP1P2
= (1/2)sin(∠B) BP1 (1-BP2)
= (1/2)((√3)/2)(√3 -t)(3t-√3)/(t(√3 +t))
= (3/8)(√3 -t)(t√3 -1)/(t(√3 +t)),
t = (2√6 +√3)/7 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 43.4495° 前>>875午後２時x分に長針と短針が一直線になるとすると、
長針は60分で360°進むからx分で6x°進む。
短針は60分で30°進むからx分で0.5°進む。
今午後２時とすると、長針は短針より60°手前。x分後長針は6x°短針は0.5x°進んでいるから、
6x-60=0.5x+180
5.5x=240
11x=480
x=480/11
=43+2/11
２時43分10(+10/11)秒
（２時43分10秒9090……） >>897
ｔanθ の値を間違えた。
>>880 が正解。 >>893
ちなみにどのような方針で解かれましたか？ S_nをn次対称群とする。
σ∈S_nに対し
s(σ)=(σの符号)∈{-1,1}
f(σ)=(σの固定する要素の数)
と定めるとき、
Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+1)=(-1)^(1+n)*n/(n+1)
を示せ。 計算機だとどう解くのかねえ
0.初期状態を決める
1.交点の角度の小さなものを少し拡げる
2.面積の小さな領域を少し広げる
3.誤差が許容範囲以内になるまで1～2を繰り返す
こんなところかなあ 直線でいいならプログラムもさほど困難じゃないような気がするんが。 >>760
５角形のときカブトガニと呼ばれてたのを思い出したな。 前>>898
五角形のカブトガニ、分岐は120°だけど、周との交わりがなんか偏ってるよね。 ■速報■
無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた
千葉電波大学の研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに
誤りがあったことを発見
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って
改めて計算しなおしたところ、１０桁目で割り切れたという
１０桁目の最後の数字は「０」だった
千葉電波大学の研究グループの発表によると、
円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラムを
点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に
誤りがあることに気が付いた
この数値を正常値に直して計算しなおしてみたところ、
円周率は１０桁で割り切れたという 原点O中心、半径√13の円に内接する正三角形ABCがある。
点Pは最初得点mを持って点Aからスタートし、次のルール(あ)、(い)で点数操作が行われる:
(あ) 点を出発する際に得点は3倍される
(い) 点に到着した際に得点は到着点のy座標の値がそのまま加算される。例えばy座標が-1であれば, -1される
いま、A→B→C→Aの移動を行うとき
(i)1周した後の得点m'の取りうる範囲を、初期の得点mを用いて表し、
(ii)得点m=1でスタートして、得点に変化がない場合、点Bの座標として考えられるものをすべて挙げよ。 >>902
できた。
まず基本的な公式として n≧3 のとき
Σ s(σ) = 0、Σ s(σ)f(σ) = 0、Σ[f(σ) = 0] s(σ) = (-1)^(n-1)(n-1)
が成立する。容易ゆえ証明は略。
自然数 n,i に対し
X[n,i] = Σ[n∈Sn] s(σ)/(f(σ) + i)、
Y[n,i] = (-1)^(n-1) n! (i-1)!/(n+i)/(n+i-2)!
とおく。
X[n,i] = Y[n,i] を示せば十分である。
n≦3 においては容易。
Yが漸化式
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (i-1)Y[n, i-1]+ Y[n,i+1] (i≧2)、
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ Y[n,i+1] (i=1)
を満たすことは容易。
σ∈S[n+1] に対し g(σ) をその固定点数とする。
まずn≧3、i≧2 において
X[n+1,i]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+i)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+i) - f(σ)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= -(n+i)X[n,i] + (i-1)X[n, i-1]+ X[n,i+1]
であり、n≧3、i=1において
X[n+1,1]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+1)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) - Σ[σ∈S[n], f(σ)≠0] f(σ)s(σ)/(f(σ))
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + Σ[σ∈S[n], f(σ)=0] s(σ)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + (-1)^(n-1)(n-1)
= -(n+i)X[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ X[n,i+1]
である。 >>911
想定していた解とは違いますが、正しそうです
問題より強い主張を漸化式を用いて示したわけですね
i≧2の場合の議論は避けられなさそうです
詳しく書いてくださりありがとうございます
ちなみに出典は某数学コンテスト(数オリではない)です >>902
俺もできたけど>>911の方が美しいかな…
一応概略を書いとく
>>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。
なので記号を借りて
X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) (*)
とおく。
S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。
(i)n-1, n を固定するもの。
これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。
以下同様に、
(ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i]
(iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2]
(iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1]
(v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ
(vi)n-1 を n に移し、n を n-1 に移さない→(iv)と同じ
(vii)n-1,n が共に n-2 以下に移る→0 (∵σとσ(n-1 n)で打ち消しあう)
これらの総和をとって
X[n,i]=2(X[n-1,i+1]-X[n-1,i])-(X[n-2,i+2]-2X[n-2,i+1]-X[n-2,i])
を得る。あとは推測して帰納法。 >>913
方針は同じようですね
個人的には>>911の変形の方がより自然なように感じます >>902
のような問題は解けと言われれば解けるけど、なんでこんな式が成立するのか、見つけられるのかがさっぱりわがんね。
なんか背景理論的なものがあるんだろうなぁとしかわがんね。 >>909
虚構新聞ですね。
π =
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 前>>908
>>910(i)
点Aを(0,√13)とした場合、
点Bを(-a,-b)、点Cを(a,-b)とおくと、
点数はm→3m→3m-b→9m-3b→9m-4b→27m-12b→27m-12b+√13
m'=27m-12b+√13
bを求める。
AC^2=(√13+b)^2+a^2
BC^2=4a^2
AC=BCより、
(√13+b)^2=3a^2――①
点C(a,-b)は半径√13の円周上にあるので、
a^2+b^2=13――②
①②より、
13+2b√13+b^2=3(13-b^2)
4b^2+2b√13-26=0
2b^2+b√13-13=0
b=(√13)/2
∴m'=27m-5√13 前>>918
(ii)m=m'=1とすると、
1=27-12b+√13
12b=26+√13
b=(26+√13)/12
a^2={(b+√13)^2/3}^2
a=(b+√13)/3
={(26+√13)/12+√13}/3
=(26+13√13)/36
とりうる点Bは、
((26+13√13)/36,(26+√13)/12)
((26+13√13)/36,(-26-√13)/12)
((-26-13√13)/36,(26+√13)/12)
((-26-13√13)/36,(-26-√13)/12) >>909
>１０桁目の最後の数字は「０」だった
やっと気付いたww
芸が細かいwww 前>>919
>>920
π=3.1415926535……
０じゃないんじゃないの？
３じゃないの？ >>910
(i)
27m-26≦m'≦27m+26
(ii)
(-√3/2,-7/2), (√3/2,-7/2) 前>>921範囲か！
>>918修正。
(i)m'=m-12b+√13において0≦b≦
27m-11√13≦m'≦27m+13√13
ちがうか。
点A(√13cosθ,√13sinθ)
点B(√13cos{θ+(2π/3)},√13sin{θ+(2π/3)})
点C(√13cos{θ+(4π/3)},√13sin{θ+(4π/3)})
Aを出発するとき、
m→3m
Bに到着するとき、
3m→3m+√13sin{θ+(2π/3)}
Bを出発するとき、
3m+√13sin{θ+(2π/3)}→3[3m+√13sin{θ+(2π/3)}]
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}
Cに到着するとき、
9m+3√13sin{θ+(2π/3)}→9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+√13sin{θ+(4π/3)}
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+3√13sin{θ+(2π/3)}-√13sin{θ+(2π/3)}
=9m+2√13sin{θ+(2π/3)}
Cを出発するとき、
9m+2√13sin{θ+(2π/3)}→3[9m+2√13sin{θ+(2π/3)}]
=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}
Aに到着するとき、
27m+6√13sin{θ+(2π/3)}→27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
∴m'=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
(0≦θ≦π/2)
このとき0≦sinθ≦1
2π/3≦θ+(2π/3)≦5π/6
sin(5π/6)≦sin{θ+(2π/3)}≦sin(π/2)=1
m'のとりうる範囲は、
27m+6√13sin(5π/6)+√13sin(5π/6)≦m'≦27m+6√13sin(2π/3)
27m+6√13(√13)/2+√13(√13)/2≦m'≦27m+6√13(√13)(√3/2)
27m+39+13/2≦m'≦27m+39√3
27m+91/2≦m'≦27m+39√3 甲乙二人がおのおの32ピストル（当時のお金の単位）の金を賭けて勝負したとする。
そしてどちらかが先に３点を得たものを勝ちとし、勝った方がかけ金の総額64ピストルをもらえるとする。ところが甲が１点を得ただけで、勝負が中止になってしまった。
このとき、二人のかけ金の総額64ピストルを甲と乙にどのように分配すればよいだろうか。
ただし二人の力は互角で、勝つ確率はそれぞれ1/2ずつだとする。 >>925
甲32ピストル
乙32ピストル
∵勝負は中止になった。どちらも3点には満たない。どちらか勝ったほうが64ピストル総取りのルールだったはず。分配なら最初に言っとかないといかん。
前>>923 >>925
何をもって良い分配と見なすかによるでしょ
期待される勝率によって分けるなら
甲:44 乙:20
当初のルールを忘れて甲が勝利したと見なすなら
甲:64 乙:0
勝敗がついていない為に完全な引き分けと見なすなら
甲:32 乙:32
他にもいくらでもこじつけられそう >>760 (下) すべて線分、分岐角120°
L = 4.889287343655
>>903 (上) 線分3 + 円弧4、分岐角120ﾟ、外円との交角90°
L = 4.848096236
かな？ 格子
Γ = { M*(-143+√-2) + N*(401) | M,Nは整数 }
で(原点以外の点で)最も原点に近い点を知るには、やみくもに探す以外に良い計算があるか？
どんな格子でも通用する方法ではなくて、実は格子として長方形型格子 {M+N√-2|M,Nは整数} と相似な格子という仕掛けがあります 四角形の二つの辺の長さがそれぞれ800,1000である。
このうち、向かい合う二つの頂点から平行にそれぞれの対辺に対して二本の線を引く。このとき２つの直線の距離は300である。
このとき引いた直線は対辺をある長さx,yに分割するが、このx,yを求めよ。 >>931
出題者ではないが
時計を置く先手の最善手：
針のある時計を正N角形に配置
針のない時計は外側の任意の位置に置く
針は全て同時刻に合わせ、9時の向きに
正N角形の中心が来るようにする
（針が6時を指した時、正N角形の中の
三角形がすべて有効になる）
針を追加する後手の最善手：
時刻を先手の時計の6時間後に合わせる
文字盤の向きはすべて同じ方角とする
（針のなかった時計の中心を2つ以上含む
三角形が、任意の時刻ですべて無効となる）
三角形を描く先手の最善手：
自分の作った正N角形の外周と
対角線のうちN-3本を結び、N-2個の
三角形を作る
外側は適当に結ぶ
（「特異な三角形」は、6時のとき
最大N-2個）
証明は頭のいい人に任せた >>932
最初の四角形の頂点をA,B,C,Dとして、問題を書き直してはどうか 条件不足で定まらないと思うけどな
もしかして長方形なのか？ >>937
長方形です。
みなさんごめんなさい。面白くないのは承知しています。 前>>926
>>932
x+y=1000
三角形の相似比より、
1000:200√41=300:y
y=60√41
x=1000-60√41 左括弧"("と右括弧")"を2n個並べたとき，正しく括弧が組み合わさっている確率をP_nとする．
[例:(()),()() :正しい, )(((,)(():正しくない]
このとき，lim(n→∞)n√nP_nを求めよ． 連休なのに過疎ってるのでネタを投下してみる
問：表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大であるものは何か？
これに対してメディアル多面体が解となるという予想があった。定義は以下。
26問目スレ 447
＞「メディアルf面体」
＞ [ 6-12/f ] 角形と [ 6-12/f ] +1 角形のみからなるｆ面体。
＞ f≧12 のときは 5角形×12，6角形×(f-12)
これについて調査したところ、以下の場合は反例がありそう。
f=11 V=0.080055026399577983 4角形×2，5角形×8，6角形×1
f=13 V=0.082432267303420834 4角形×1，5角形×10，6角形×2
f=33 V=0.089603827451613424 5角形×13，6角形×19，7角形×1
そこで、以下の問を提案する。
問「表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大である解」がメディアルf面体でないfはいくつあるか？
つまり、条件を満たす f は、上記 11,13,33 がすべてであるか？（そもそも上記の例は最大解と言えるか？） n次正方行列Aが冪零行列のとき、A^p=Oをみたす正整数pの最小値を求めよ。 >>945
連休終わったけど…
ｆ V/S^{3/2}
4 0.05170027 = 1/{6√(6√3)} 正4面体
6 0.06804138 = 1/(6√6) 立方体
8 0.074488 4角形×4, 5角形×4 メディアル8面体
10 0.078740 4角形×8, 4角形×2 （シリコンフラーレン)
12 0.08168837 = φ^{4/7} /{6(√3)･5^{5/8}) 正12面体
14 0.083365 5角形×12, 6角形×2 ねじれ重角錐台（ゴールドバーグ)
16 0.084740 ？
20 0.086610 5角形×12, 6角形×8 メディアル20面体
32 0.089493 5角形×12, 6角形×20 切頂20面体（サッカーボール）
42 0.090565 5角形×12, 6角形×30 切稜12面体
∞ 0.09403160 = 1/(6√π) 球
φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875 (黄金比)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/40/0/40_0_226/_pdf >>949
こちらの計算した値は以下：
ｆ V/S^{3/2}
4 0.051700269950116645 正4面体
6 0.068041381743977170 立方体
8 0.074344868093229974
10 0.078734752898039745
12 0.081688371824182551 正12面体
14 0.083349245941114841
16 0.084742718358283536
20 0.086626966830007951 切頂20面体（サッカーボール）
32 0.089493100466131958
42 0.090574499972086386 (切稜12面体=0.090566239172274965)
正多面体とサッカーボール以外では値が多少違っているような。
精度の問題でしょうかね。 >>950
＞20 0.086626966830007951 切頂20面体（サッカーボール）
＞32 0.089493100466131958
サッカーボールは32面体のほうです。
20 0.086626966830007951 メディアル20面体
32 0.089493100466131958 切頂20面体（サッカーボール）
なお、f=20はメディアル20面体には違いないですが、ゴールドバーグ論文のXX-1(1,3,3,(6),3,3,1)やXX-2(1,6,6,6,1)とは異なり
たぶん 2,2,(4),(2,2),(4),2,2 で表されているものに近いのではないかと思います。 >>946
零行列 A＝O は冪零行列のひとつである．
これと A^p＝O を比較して p＝1．
>>948 が正解． >>951
化学式みたいにして多面体を表す方法があるんでしょうか >>950 >>951
修正乙
>>949
5 0.059698329545752329 = 1/{9√(2√3)}
正3角形プリズム、(正3角形の辺)/(高さ) = tan(π/3) = √3
7 0.071398254996602697 = (1/15)√{(5/6)cot(π/5)}
正5角形プリズム、(正5角形の辺)/(高さ) = tan(π/5)
9 0.076900
10 0.078734752898039745 4角形×2, ５角形×8 (Siフラーレン)
12 0.081688371824182551 = φ^{７/４} /(6(√3)･5^{5/8}) 正12面体
17 0.085206
cot(π/5) = φ^{3/2} / 5^{1/4} = 1.37638192
φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875 ABを直径とする半径5[km]の円形の湖がある
この湖の水質は一様ではなく、
円の中心からr[km]離れた場所では時速r[km/h]までのスピードでしか泳げない
AからBまで泳ぐときの最短時間を求めよ 5π時間？
極座標系で、log(r) 対 θ のグラフを描いてみる… >>956
「もののふの矢橋の船は速けれど 急がば回れ瀬田の長橋」
宗長（室町時代） >>957
不正解
少なくとも円周上を泳げばπ時間で泳げる >>954
ゴールドバーグの記法によると、
「まず適当な回転対称軸を取って上下方向を決め、各面の中心が位置する高さが同じものの枚数を数えて列挙する」
というやり方らしい。
この方法では、最初の軸の取り方によって、違う表現になったりするので注意が必要。
例えば、正三角柱は、三角形の面を下にして置けば 1,3,1 であるし、四角形の面を下にして置けば下から 1,2,2 となる。
また、ゴールドバーグ記法だと、数字の表しているものが何角形か明記されないところが分かりにくいと思われるので、
３～７角形の面にt,q,p,x,hのアルファベットを付けて表してみる。特に正多角形の面は大文字で表す。
先の正三角柱の例は、T1,q3,T1 または、q1,T2,q2 のような表現となる。
ｆ V/S^{3/2}
4 0.051700269950116645 T1,T3 (正四面体)
5 0.059698329545752329 T1,q3,T1 (正三角柱)
6 0.068041381743977170 Q1,Q4,Q1 (立方体)
7 0.071398254996602697 P1,q5,P1 (正五角柱)
8 0.074344868093229974 q2,p2,p2,q2
9 0.076898933926867766 p3,q3,p3
10 0.078734752898039745 Q1,p4,p4,Q1
11 0.080055026399577983 x1,(q2+p4),p2,p2
12 0.081688371824182551 P1,P5,P5,P1 (正十二面体)
13 0.082432267303420834 q1,(p2+x2),p4,p2,p2
14 0.083349245941114841 X1,p6,p6,X1
16 0.084742718358283536 x1,p6,(p3+x3),p3
17 0.085264872589057683 x1,(p4+p2),(p2+x4),p2,p2
20 0.086626966830007951 x2,(p2+p4+x2),(x2+p4+p2),x2
32 0.089493100466131958 P1,x5,P5,x5,x5,P5,x5,P1 (切頂20面体)
33 0.089603827451613424 p1,x5,p5,x5,(x4+h1),p5,(x4+p2),x1
42 0.090574499972086386 P1,x5,x5,p5,x10,p5,x5,x5,P1 >>960
f=32の切頂20面体の六角形の面は正六角形ではないことに注意。
2種類の長さの辺を持つ内角120°の六角形で、辺の長さの比は sin24°:sin36°=(√(3+6/√5)-1)/2:1≒0.692:1
f=33は回転対称ではない。切頂20面体のひとつの六角形を五角形2つに分割したもので、新しくできた稜の両端に接する面の角も一つずつ増える。
f=42は、切稜12面体(P1,x5,x5,P5,x10,P5,x5,x5,P1)の上半分(,P5,x5,x5,P1)を10分の1周だけ回転させて組み合わせた形になる。 (f=32 の参考に)
フラーレン分子Ｃ_60
「Ｃ_60には90本のC-C結合があるが、そのうちＰを形成している60本は 1.458Å、2つのｈに共有される残り30本は 1.401Åの長さを持つことが知られている。」(比は 0.961)
藤田、吉田、大澤：炭素, No.162, p.100-109 (1994)
H. Hedberg et al.: Science, ２５４, p.410 (1992)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tanso1949/1994/162/1994_162_100/_pdf
「Ｃ_60は立方晶系(等軸晶系)で、分子内での二つのｈに共有されているC-C距離は 1.391Å、Ｐ内のC-C距離 1.455Åということからすると、････」(比は0.956)
日本大百科全書(ニッポニカ)
http://kotobank.jp/word/フラーレン-164308 ごめん>>956の問題だと結局円周が答えになってしまってつまらないので修正します
直径AB、半径5[km]の円形の湖がある
この湖の水質は一様ではなく、
円の中心からr[km]離れた場所では時速r[km/h]までのスピードでしか泳げない
ABを3:2に内分する点をPとしたとき、
AからPまで泳ぐときの最短時間を求めよ
まあでも>>957がほぼ答えなのですが >>960-961
P1,x5,x5,p5,x10,p5,x5,x5,P1と
P1,x5,x5,P5,x10,P5,x5,x5,P1
本質的に変わらんw
この書き方じゃ一意に決まらないんでは？ >>964
log(r) = log(5)(1 - θ/π)
のコースだから
(1/r)(dr/dθ) = - log(5)/π,
√{π^2 + log(5)^2} 時間 >>966
おー正解です
対数螺旋が最短であることの証明は出来ますか？ 前>>940
>>956円周を泳ぐと、
泳ぐ距離は10π/2
速さは5㎞/h
時間は、
(10π/2)÷5=π(時間)
ABを質量m(㎏)の人がまっすぐ泳ぐとき、
加速度-a(㎞/h)として、
エネルギー保存の法則より、
(1/2)m･5^2-m･a･5=0
a=2.5(㎞/h^2)
池の中心に達するまでの時間をt(h)とすると、
5t-(1/2)at^2=5
5t-1.25t^2=5
4t-t^2=4
t^2-4t+4=0
t=2
AB間は2t=4(時間)かかる。
AB間を池の端に中心とした半径5√2(㎞)の円弧を描くように泳ぐと、
加速度-b(㎞/h)として、
エネルギー保存の法則より、
(1/2)m･5^2-m･b･(2π/8)5√2=0
b=5√2(㎞/h^2)
中心に最接近するまでの時間をT(h)とすると、
5T-(1/2)bT^2=(2π/8)5√2
T-(1/2)(√2)T^2=(π/4)√2
T^2-T√2+π/2=0
判別式D=(√2)-4(π/2)
=2-2π＜0
∴円周を泳ぐときがπ時間でもっとも速いと考えられる >>968
ABをまっすぐ泳ぐ場合は等加速度運動ではないのでそうはなりません
中心部では速度0なのでAからBまでまっすぐ泳げないというのが正しいです
それとそれだけでは他のあらゆるルートより短いことの証明にはなってません >>969
ごめんなさい
>中心部では速度0なのでAからBまでまっすぐ泳げないというのが正しいです
これは語弊がありました
正しくは中心部までにかかる時間が1/(5-x)の0から5までの積分で発散するので中心まで有限時間では辿り着けない
でした >>965
やっぱり図示したほうがいいのかな
ゴールドバーグの示した切稜12面体がこちら
http://i.imgur.com/CGlcOxY.png
で、問題の42面体がこちら。真ん中の部分を互い違いにして作る
http://i.imgur.com/k0USDtP.png
確かに表現が同じになってしまう。うまい表現方法はないものか。 >>968
急がば回れ
>>969
極座標系で、log(r) 対 θ のグラフを描いてみる…
>>971
上半分と下半分の境界は正10角形？ 前>>968
>>969中心とおるコースだと、中心で永遠に泳ぎつづけることはわかりました。
結局π時間で正解ですか？ ＿＿＿＿＿｣前>>974
（ -~-)正解できて
zz∪∪うれしいです｡
￣￣￣￣￣￣￣￣￣] >>973
そうですね。
中心の５角形と、それに隣接する６角形×５、さらにそれらに隣接する１０枚の面をまとめて１８０度反転して図を作っています。 >>971
topologicalな構造のみを考えればいいんだから、単純に前の階層に隣接する面を右回りに列挙して表示すればいいだけじゃないかな？
一意な表現にしたければ各階層の起点はこれ、と決めてしまえばいい。
たとえば、真ん中の５から始めて、それを取り囲む面を次の階層としたとき、
各階層の１２時の方角にあるものを起点とすると、
上の図では、５角形、６角形、５角形、稜、６角形、稜、５角形が起点
下の図では、５角形、稜、６角形、稜、６角形、稜、５角形が起点となる
そうすると、稜を縦棒で表すとして、
上の図は 5,66666,5656565656,|6666666666,6565656565,|66666,5
下の図は 5,|66666,6565656565,|6666666666,6565656565,|66666,5
みたいにすればよくないかな？ 自然数から自然数への関数 y = f(x) を
y = x + a + (~b & (b-1))
で定義する。ただし、a および b は
x = a*(2*b-1) ; aは1,2,4,8,...のように2の冪で表せる数、bは自然数
で定まるものとする。
尚、 “~” は 否定 NOT 、 “&” は 論理積 AND を表す。
例
f(10)=f(2*5)=10+2+(~3 & 2)=12+(~[11] & [10])=12+([00] & [10])=12
f(11)=f(1*11)=11+1+(~6 & 5)=12+(~[110]&[101])=12+([001]&[101])=13
f(12)=f(4*3)=12+4+(~2&1)=16+(~[10]&[01])=16+([01]&[01]=17=f^2(10)
f(13)=13+1+(~7&6)=14=f^2(11)
f(14)=14+2+(~4&3)=19
問題１：f^10(10)を求めよ
問題２：f^m(n)=2019 となる (m,n)のうち、m+nを最小にする(m,n)を求めよ
問題３：f^m(n)=20190121 となる (m,n)のうち、m+nを最小にする(m,n)を求めよ ある私立医大の合格者の偏差値の平均値はm、標準偏差は10の正規分布であるとする。
合格者のうち成績上位70%は入学を辞退し下位30%の合格者が入学する。入学者の偏差値の平均値をmaとする。
m - maを算出せよ。 >>980
f(x) = 1/{σ√2π)} exp［-(x-m)^2/ 2σ^2],
下位30% ････ 偏差値(m-0.5244σ)以下
f(x)
ma = ∫[-∞, m-0.5244σ] x･f(x) dx } / ∫[-∞, m-0.5244σ] f(x) dx{
= m + ∫[-∞, m-0.5244σ] (x-m) f(x) dx / 0.3
= m + (σ/√2π)∫[-∞, -0.5244] t･exp(-tt/2) dt / 0.3
= m + (σ/√2π) [ -exp(-tt/2) ](t=-∞, -0.5244) / 0.3
= m + (σ/√2π) [ -0.8715 / 0.3 ]
= m - 1.159σ
= m - 11.59 >>979
問題1
48
問題2
(10,1991)
問題3
(13,20190087) >>981
正解。
偏差値平均の差はmの値には依存しない。
虚飾値＝合格者の偏差値 - 入学者の偏差値
と定義して、辞退率と虚飾値の関係をグラフにすると
http://i.imgur.com/7WQQPKu.png >>979
問題2は (m, n)＝(155, 255) かな
f(x) は x の2進数表記と 1 の数が同じものを
小さい順に並べたとき、x の次を表す
2019＝[1 11111 00011] は 1 が 8 個だから
255＝[111 11111] まで遡ることができる >>982
問題１：関数を順次作用させていくと、
10,12,17,18,20,24,33,34,36,40,48,65,66,...
という整数列が得られます。
先頭の10を第一項とすると、そこから10項目の第11項は48。正解です。
この数列を見て、何かに気づかないかな？ というのが狙いでした。
問題２、３は残念ながら最小ではないので不正解です。
>>984
正解。関数の「意味」も、ご指摘の通りです。
任意の二つの自然数が、この関数で結びつくかどうかは、二進数に直して、1の数を数えれば判断できます。
結びつくことがわかった場合、その距離をどのように計るか？ それを考えるための問題が２と３です。
この関数をプログラム化するのは、ビット演算可能な言語なら簡単にできます。
実際に繰り返し関数を適用すれば、問題２は簡単に答えにたどり着くだろうけど、
問題３は困難だろうと思い採用した数字でした。しかし、実際にコード化し試したところ一瞬でした。
というわけで、問題３も、プログラム的解法が可能です。が、非プログラム的解法を期待します。 古典クイズ
沢山の宝石がある。宝石には穴が空いており、全ての宝石は一本の長い紐に通されて一直線に並んでいる。
また、宝石はn種類あり、各種類の宝石の個数は様々であるが全て偶数個であることは分かっている。
紐を何回か切断しいくつかの塊に分けることで、紐から宝石を外すことなく2人の人間で宝石を分けることを考える。
このとき、宝石の個数や並びに関わらず、n回切断することで常に均等に宝石を分けられることを示せ。 >>987
正解
20190121=[1001101000001001110101001]。二進数で25桁、1の数が11。これが、20190121の属性。
2^11-1=2047=[11111111111]を起点にすると、m+n を最小にできる。
[11111111111]を一番目とすると、24桁の最大数[11111111110000000000000]は、C[24,11]=2496144番目。
この数にもう一度関数を作用させると、25桁の最小数[1000000000000001111111111]になる。
この「何番目」という指標と、関数の作用回数は、１ずれていることに注意すると、
[11111111111]に、C[24,11]回、関数を作用させると、最上位の桁=2^24の位に1を立て、
残りの1をすべて下位の桁に押し込んだ[1000000000000001111111111]を得られることが判る。
同様に、1が10個並んだ状態[1111111111]に、C[21,10]回作用させると、22桁の最小数
[1000000000000111111111]になる。スタート地点が[1000000000000001111111111]だったら、
[1001000000000000111111111]となるが、上位3桁に影響はない。
つまり、[11111111111]=2047を[1001101000001001110101001]に到達させるためには、
C[24,11]+C[21,10]+C[20,9]+C[18,8]+C[12,7]+C[9,6]+C[8,5]+C[7,4]+C[5,3]+C[3,2]
=3061558回、関数を作用させればよい。
http://codepad.org/d6ezVAJb レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
