面白い問題おしえて～な 28問目
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
でも、”3辺が2色” というのが ”足して0でない” は言われたらその通りなんだけど見逃したなぁ。
こういうパズル的なやつ楽しいよね。 >>797
それ以前に T^(-1)(A) 自体がF^30の部分空間をなしていない
商の濃度が便利に計算できるのは割る方にも代数構造が入っているからだし
(つまり T^(-1)(A) が単なる集合であってはならない)
だから やっぱりそのカウントは無理筋だとおもうんだよね たぶん勘違いされてますよ
もっと単純な話です
#T^(-1)(A)
=Σ_{a∈A} #T^-1(a)
=#ker(T)*#A
というだけです >>802
ぶっちゃけこの解き方ありきでつくられた問題な気がしますが、なかなか思いつかないと思います
パーツに分けて考えるやり方であれば高校生でも頑張れば解けるかもしれませんね >>805
でもF3使うまでは思いついたんだけどねぇ。
そこから差分とったら周期3の0,1,2からなる数列が出てきて、そこからF^30→F^60の方に気持ち持ってかれたorz。
でも像の元数が綺麗に中々出なかった。
Ker は1次元なんだけどねぇ。
た～す～の～か～www >>806
なるほど、かなり惜しいですね
>>807
真面目に数えてもいちおう解ける問題ですよ
背景に代数が絡んでいるだけです >>804
なるほどねー
|f^(-1)(a)| = ker(f) が一般論としていえるという話で
たしかにfが全射だと成立しますね 知識として抜けてたからわざわざ確認作業しました
ためになりました >>775
またまた訂正....orz
a = 0.832249110949768
b = 0.339584229234133
c = 0.953736946103557
d = 0.735197941014908
a-1 +b/2 = 0.002041225566834
他は変わらず
>>784 ご指摘トンクス >>お734
fの長さってL(f)=∫√(1+f'(x)^2)dxで与えられるよね
L(f_n)が一様有界だとしてもW^(1,1)の一様有界性は言えてもW^(1,2)の一様有界性は言えないんじゃない？
Y=W^(1,1)としてもp=1でヒルベルト空間にならないから弱コンパクト性使えないんじゃないの？ >>811
>>734で書いたXに入ってる関数(の組)についての最小値を求めるのが元の問題。
YはXを含んでてHilbert空間になってるものが取れれば良い。
Xに入ってる関数を野放図にゆるすとYとしてHilbert空間が採れなくなってしまうけど今の場合
・求めたいのはその”関数”の表す曲線の”長さ”なので有界な関数に限定してよい。
・パラメータは[0,1]で動かすとして定速度のゲージでとれば速度ベクトルの大きさは1/L(Lは長さ)なので速度ベクトルも有界としてよい。
よってXに入ってる関数としては |||～||_2 も ||～’||_2 も可積分として良いのでYとしてHilbert空間が採れます。 >>813
いやいや
結局最小元の存在って変分の直接法使ってるんでしょ？
関数f_nのW^(1,2)ノルムがnを止めるごとに有限だとしても
sup_{n∈N} ||f_n||_W^(1,2)が有限とは限らない それとも別の証明法で
ヒルベルト空間からRへの写像の最小元の存在が言えるんか？ >>814
ごめん
関数f_n→関数列f_n
です >>814
もちろん最小限はYのなかでとってそこからオイラーラグランジュ方程式解くところまでYの中でやらないとだめですよ。
でYのなかで解いてみてじつは元のXに入ってることを確認します。 >>813
あーごめん
そっかだから弧長パラメータ採用すれば一様有界言えるってことなんかな >>817
いやそもそもなんでYの中に最小元があるのかという疑問です >>818
いやだめだ
弧長パラメータ採用したら結局積分区間がfに依存するわ
だからやっぱりp=2での一様有界性言えない気がする いま証明したいのは作用積分SはXのなかで最小値を持つこと。
最小値がないとして
S(f_1)>S(f_2)>…
がinfに収束するとする。
f_iのなかには先に述べた理由で余り素性のよくないものはないとしてよくYに入ってるとして良い。
YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
もちろん f はまだYの元(としかわからない)。
でもYは微積ができて部分積分もできるのでオイラーラグランジュの理論が使えて通常と同じ手順で円または線分となり、元のXに入ってるたとわかる。
なのでSobolev空間のなかでちゃんと解析学が展開できることを確認することは必要ですが、今回の場合はオイラーラグランジュ方程式だから部分積分できればいいので問題ない(ハズ)です。
参考文献など紹介できるほど詳しくないのであしからず。 >>821
>YはHilbert空間だから lim f_i は Yの位相で収束するとしてよくその極限をfとする。
ここ
これを言うには普通最小化列のYノルムでの一様有界性→弱コンパクト性使うと思うんだけど >>822
もちろん f_i は長さ(の合計)がどんどん小さくなって行ってるので>>813に書いてる理由でノルムは一様に抑えられてますよ。 言いたいことをまとめます
lim(n→∞)F(x_n)=inf_{y∈Y}F(y)なる点列{x_n}_{n∈N}⊂Yを取ってくれば
収束列は有界列だからsup_{n∈N}|F(x_n)|<∞が言える
で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
sup_{n∈N}||x_n||_Y<∞も言える
つまりx_nはあるヒルベルト空間の閉球に完全に含まれてることになって、
ヒルベルト空間における閉球の弱コンパクト性から
部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
であとはFの弱連続性を認めれば(これも証明するの難しいと思うけど)
lim(n→∞)F(x_n)=F(x)=inf_{y∈Y}F(y)
でx∈Yは最小元ってことで証明できるけど
今問題なのは(1)の評価がW^(1,2)にしてるせいで言えないこと >>823
いやf_iの長さは>>811でいうところのL(f_i)でしょ？
||f_i||_W^(1,2)での一様有界性はどう言うの？ で>>811の話に戻るんだけど
L(f_i)が一様有界でも
せいぜい言えて||f_i||_W^(1,1)の一様有界性くらいじゃないかな つまり二乗とルートで相殺されて二乗の積分で下から抑えられないってことです >>824
ごめん途中の
>部分列取ってx_(n_j)→x in Y なるx∈Yが存在する
の→は弱収束の意味です >>824
>で、もしもF(x)≧||x||_Yみたいな評価があれば...(1)
あります。
いま考えてるFは長さなので ∃C1 ∀n t |x_n(t)| としてよい。
tは[0,1]しか取らないのでこれで ∃C2 ∀n ||x_n||_2 < C2 。
∫|x_n’(t)|dt は n によらず有界、かつ|x_n’(t)|は等速度ゲージ(で採っているとしてよい)なので∃C3 ∀n |x’_n| < C3 (= 1/L)。
つまり|x’_n(t)|は一様有界なので ||x’_n(t)||_2 も一様有界。
つまりでたらめにx_n(t)をとってしまうとx’_n(t)は病的なものが出てくるかもしれないけど、その場合にはLnを長さとして
σ(t) = (1/Ln)∫[0,t] |x’_n(t)| dt、σの逆関数をτとしてy_n(s) = x_n(τ(s))とすればこれはただのゲージ変換で長さも変化せず、しかも|y’_n(s)|はnによらない定数で抑えられてしまう。
よってこれ本体も２乗も一様に可積分。
でこのy_n(s)で鼻から議論すればよい。 >>830
等速度ゲージにしたら結局積分区間がxに依存するんじゃないの？
だから|x_n'(t)|が一様有界でもL(x_n)は一様有界じゃない そもそも等速度で積分区間がxに依存しないなら
長さがどんな曲線でも定数になってしまって意味のない変分問題になってしまう >>830
ああL_nで割ってるのか
だとしても割った分一様有界性言えないよね >>833
ごめん これはただの勘違いです
まあどのみち>>831のせいで厳しいと思います x_nの積分区間は[0,1]ということにしてます。
y_n作る時はいわゆる距離ゲージでなく等速度ゲージにしてるのは区間をnごとに取り替えなくて済むようにしてます。
(まあ、距離ゲージにしてもできますけど。その場合は0≦t≦L_nから先は停止させることになります。)
区間は[0,1]なので等速度ゲージでは|x’_n(t)|は(tについての)定数L_nであり、nに依らず有界としてよい。
つまり|x_n(t)|も|x’_n(t)|もn,tに依らず一様に有界としてよい。 高校数学
a,b,c∈ℝについて、関数f(x)を
f(x)=
{ (x²+ax+b)/((x-1)(x²+1)) (x≠1)
{ c (x=1)
で与える。
定積分 I=∫[b,p] f(x) dxを考える。α,β∈ℝは,
tan(α)=p, tan(β)=b を満たしている。このとき、
極限 lim[b→∞] I を求めよ。
lim[x→0] sin(x)/x =1 は証明せずに利用できるものとする。 >>834
いまノルムは||x||_Y = ∫[0,1](|x|^2+|x’|^2)dtでとってるので|x_n(t)|と|x’_n(t)|がt,nに依らずに有界なら|| x_n ||_Y はnに依らず一様に有界です。 >>835
>>837
あーなるほど...ごめんなさい
パラメータを0から1で固定しても1次元曲線なら等速度パラメータに取り直せるのか
失礼しました
多次元とかの曲面とかなら
曲面積∫_D √(1+|∇u(x)|)dxとして
積分領域固定で|∇u_n(x)|=S_n(xに依存しない)
とは出来ないのでそれで勘違いをしていました >>839
いやー勉強になりました
あとはx_n→x (Y-弱収束)として
長さ汎関数の弱連続性と
等積条件が保存されるか(面積汎関数の弱連続性)
さえ言えればいい感じですかね >>840
ですね。
まぁHilbert空間なのでなんとかなるかと。 前>>769
やっぱり円弧と単位円の交点の座標を求めるべきか。
(cosθ,sinθ)ともおけるが、方程式を解くとx^2の項とy^2の項が消え直線の式になる。この直線は弦か？
(cosθ,sinθ)と原点(0,0)の距離は1、
(cosθ,sinθ)と(b,0)の距離は、
√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
両者直交しているから、
三角形の面積は、
(1/2)√{(b-cosθ)^2+sin^2θ}
=(1/2)√(b^-2bcosθ+1) 前>>842
三角形の面積が出てる。③だ。
(1/2)b･sin(60°-θ)=(1/2)√(b^-2bcosθ+1)
b･sin(60°-θ)=√(b^2-2bcosθ+1)
b^2･sin^2(60°-θ)=b^2-2bcosθ+1
b^2{1-sin^2(60°-θ)}=2bcosθ-1
b^2cos^2(60°-θ)=2bcosθ-1
中心角60°-θ、半径1の扇形内の重複している三角形の面積=(1/2)√{b^2sin^2(60°-θ)-b^2cos^2(60°-θ)}
=(b/2)√{1-2cos^2(60°-θ) 前>>843
第１象限で扇形が重なっている領域=π/8
2つの扇形は、
単位円,中心角r
π(60°-θ)/360°――①
半径r,中心角θ
πr^2(θ/360°)――②
円弧の中心は、
(a+r√3/2,-r/2)
2つ扇形から引く2つの三角形は、
bsin(60°-θ)/2,(b-a)r/4
第１象限の直角三角形の相似比より、
cos(60°-θ)=1/b
よって2つ扇形から引く2つの三角形はそれぞれ、
sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)――③
{(1/cos(60°-θ)-a}r/4――④
①+②-③-④=π(60°-θ)/360°+πr^2(θ/360°)-sin(60°-θ)/2cos(60°-θ)-{(1/cos(60°-θ)-a}r/4=π/8
未知数がa,r,θの3つ。
rの二次式と見て、r＞0の解を持つ。 前>>844どうやってaやrやθの値を出したんだ？ 計算過程を書いてほしい。
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･360°r/4πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･360°/2πθcos(60°-θ)-360°/8θ=0
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
Ｄ={(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}≧0 前>>845
r^2-{(1/cos(60°-θ)-a}･90°r/πθ+(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ=0
r=(1/2)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+4･2πrθ/360°
=2a+πrθ/45°
πrθ/45°=(πθ/90°)(1/cos(60°-θ)-a}･(90°/πθ)±√{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
=(1/cos(60°-θ)-a}±(πθ/45°)√{(1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}
境界線の最小値=2a+(1/cos(60°-θ)-a±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±(πθ/45°)√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･180°/πθcos(60°-θ)-45°/θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√4π^2･θ^2･[{1/cos(60°-θ)-a}^2･(90°/πθ)^2 -4{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
=a+(1/cos(60°-θ)±√[{1/cos(60°-θ)-a}^2･360°-4^2･π^2･θ^2･{(60°-θ)/θ-sin(60°-θ)･90°/2πθcos(60°-θ)-90°/2θ}]
a→0.122
θ→13°のとき、
最小値→3.9457になりそうにない。 前>>846
このスレ、選りすぐりの数学の猛者があつまってると思ったが、だれも計算過程を書いてくれないのか。 前>>847
>>848いきなりすぎて、
a=0.122……
b=……(a＜b＜r 接線のx切片は必要ないのかも)
r=4.……
θ=13.……
等積条件から妥当な数字が出ていることはわかるが、計算過程を書いてほしい。
Rとかθも度数法にしてほしい。計算過程なくただ数字が書いてあるだけでは長さなのか角度なのか単位がわからない。 いきなりすぎるのは、すでにある解法を模写しているだけで
自分で考えていないからだよ 前>>849
「等積条件から」
と書くならその式を、
○x^2+△x+□=0
とちゃんと書くべき。
いきなりa=0.122……
b=
r=4.……
θ=13.……
未知数4つならそれを決定する式なり条件なりを4つ書くのがふつうです。
式が4つなくても、a＜b＜rの条件と図からある程度は値が特定できますが、式を書かずに「等積条件から」と書くから、計算過程を書いてほしいと言っているんです。
等積条件から出そうとしているのは同じです。式が足りないから、等積条件の式だけしかないから未知数が特定できないでいます。 前>>851扇形2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことだと思うけど。 高校数学までを範囲と想定した問題
nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。
(1) a_n の一般項を1つの式で表せ。
(2) b_n = a_n / p_n と定める。lim[n→∞] b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めよ。 >>642
では未知数はbです。
交角の条件（プラトーの法則) を使って絞り込めば R、θ をbで表わすことが可能です。
その場合には σ(b,θ,R) もbの関数になります。それを π/5 とおけば bが決まります。
しかし、プラトーを使わないと自由度が減らないので計算が煩雑になります。 >>733 nを自然数とする。
n枚のカードがあり、各カードには数字が一つずつ、1からnまでの数字が書かれている。
このカードをシャッフルして山札をつくり、次のようにしてカードを場に並べることを考える。
「山札の一番上からカードを一枚取り、場に並べることを繰り返す。ただし、二枚目以降は、それまでに場に出ているどのカードよりも大きい数字である場合のみ場に並べる。
そうでないとき、そのカードは場には並べず、そこで作業を終了する。」
このようにして場に並べたカードの数字の合計値をS(n)とおく。
S(n)の期待値を求めよ。
(Σや"……"を使わずに、nの式として表現すること) プラトーの法則を使わない場合
たとえばラグランジュの未定乗数法を使います。
目的関数
I(b,θ,R ;λ) = 2b + 4Rθ + λ{σ(b,θ,R) - π/4},
σ(b,θ,R) = (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
について
∂I/∂b = 2 + λ(∂σ/∂b) = 2 + λsin(π/3-θ) = 0,
∂I/∂θ = 4R + λ(∂σ/∂θ) = 4R + λ{1 -b･cos(π/3-θ) -RR(1-cosθ)} = 0,
∂I/∂R = 4θ + λ(∂σ/∂R) = 4θ + λ･2R(θ-sinθ) = 0,
∂I/∂λ = σ(b,θ,R) - π/4 = 0,
の4つの式を連立させて解きます。
ガンガレ >>854
(1)
a_n = a_{n-1} +3 - (-1)^n
= a_0 + Σ[k=1,n] {3 - (-1)^k}
= a_0 +3n + {1 - (-1)^n}/2,
∴ a_n < 3n+2,
(2)
0<ε<1 とする。
素数定理から、ある自然数mがあって
k>m ⇒ p_k / log(p_k) > (1-ε)(3k+2)/3,
b_k = a_k / p_k < (3k+2) / p_k < 3/{(1-ε)log(p_k)} < r <1,
ratio test より収束。
b_1･b_2････b_n = B･Π[k=m+1,∞] b_k < B･Π[k=m+1,∞] r = 0,
ここに B = Π[k=1,m] b_k >0 >>858
解いていただきありがとうございます。
(1)は問題ないのですが、(2)で素数定理を使うと簡単に解けてしまうので「高校数学までを範囲と想定した問題」と表記した次第です。
>>861
すみません、この手の問題はしょうもないのかもしれません。
自分では面白いと思ったのですが……
一応(2)のヒントとしては{a_n}の性質ですかね 素数定理を1から証明してしまえば全く問題ない
以上 中学入試や算数の難問は好き
高校数学に限定する問題はなんか不自然な制約で好きくない >>864
わかりみが深い
前スレの最後らへんに投げられて結構議論された中学入試のやつが最たる例 前>>853
プラトーの法則だと思うんだけど、
半径rの円弧が、
分岐点(a,0)で、
y=√3(x-a)と接するってことで使ってますよね。 前>>866
短い境界線を2a、長い境界線を4×2πrθとして、
aやrやθをどういう計算過程をもって出したらいい？
今あるのは、rの二次式。
どうやってθを13°いくらと特定するか。解の公式で解けばいいか。 とりあえず>>644の設定でいいならsの満たすべき方程式は
-((12*sin(s)^2+12*cos(s)^2－12*cos(s)+3)*sin(2*s)－24*sin(s)^3+(24*s－8*%pi+2*3^(3/2))*sin(s)^2－24*s*cos(s)^2+24*s*cos(s)－6*s)/(48*cos(s)^2－48*cos(s)+12)
= π/8。
近似解は
s=.8486751477323029=48.6255041427026° 前>>868
>>869「%pi」は文字化けですね。まだこれから式の意味を考える段階ですが、わかったとして、計算過程を書いてほしいです。
a(短い境界線の半分)とr(円弧の半径)を特定することなく、θを弧度法で出さはったということでしょうか？ 正の実数列a_nについて、
Σ(k=1,∞)a_k=1のとき、
Π(k=1,∞)(a_k)^(a_k/k)の最小値を求めよ
ただし、0^0:=1とする >>870
面積の計算が一番面倒なのでそこはグリーンの公式でmaximaに計算してもらった結果が>>869ですが、別に２つの円弧と線分で囲まれた領域の面積なので、
三角形＋三日月？＋三日月でも計算できます。
興味があるならやってみたらいいと思います。
単位円に張り付いてる三日月は半径1, 中心角sなので、1/2×1^2×s-1/2×1^2×sin s。
仕切りに張り付いている方が半径r=sin s/(cos s - 1/2)、中心角5π/6-(s-π/2)。
三角形は1/2 sin s。
足せば>>869になるはずです。
で=π/8をとけば良い。 双対ベクトル、双対テンソルについて
ベクトルとその双対ベクトルに関し、以下は正しいですか？
１．反変ベクトルとは接空間上に与えられたベクトル。
２．共変ベクトルとは余接空間上に与えられたベクトル。
３．あるベクトルが与えられたとき、そのベクトルの双対ベクトルが必ず一つ存在する。
４．反変ベクトルと共変ベクトルは双対の関係にある。
次に上記を行列ないしテンソルに拡張するとして、以下は正しいですか？
１１．反変テンソルとは接空間上に与えられたテンソル。
１２．共変テンソルとは余接空間上に与えられたテンソル。
１３．あるテンソルが与えられたとき、そのテンソルの双対テンソルが必ず一つ存在する。
１４．反変テンソルと共変テンソルは双対の関係にある。 1辺の長さが1の正三角形P₀ABがある。P₀から三角形の内部にむけて光線を照射し、光線が最初に辺ABにぶつかる点をP₁、∠AP₀P₁=θとする。
また、光線は△P₀ABの辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し、P₁で反射した光線が次に△P₀ABの辺にぶつかる点をP₂、
P₂で反射した光線が次に△P₀ABにぶつかる点をP₃、
以後光線がn回目に△P₀ABの辺にぶつかる点をPₙとする。
ただし、0°＜θ＜60°とし、光線が△P₀ABの頂点に入射したとき光線は反射しないものとする。
また、光線は△P₀ABの内部で直進するものとする。
△P₀P₁P₂の面積の最大値を求めよ。また、そのときのtanθの値を求めよ。 牧嶋とかいう有能なケライがいたわけですか。
前>>870なぞが解けました。 >>871
a1,a2,...を未知数, λをラグランジュの未定乗数とし条件付き最小化問題として解くと
F(a1,a2,...) = Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak) + λ(Σ[k=1,∞]ak - 1),
∂F/∂ak = (1+log(ak))/k + λ = 0
より
ak = e^(-1-λk)
Σ[k=1,∞]ak = 1
より
λ = log((e+1)/e)
このとき
Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak)
= Σ[k=1,∞](-1/k-λ)e^(-1-λk)
= -λ-e^(-1)Σ[k=1,∞]e^(-λk)/k
= -λ+e^(-1)log(1-e^(-λ))
= 1-((e+1)/e)log(e+1)
より最小値は
e(e+1)^(-(e+1)/e) >>876
すごすぎ 大正解です
数列空間上の変分問題なるものを無理やり作問したんだけど完全に想定通りの解法です >>856
できた。
カード k が総和に寄与する場合の数を考える。
このカードが i+1 番目に出てかつ1～i+1 まで単調増大となる場合の数は C[k-1,i] (n-i-1)! だから求める場合の数は Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!。
よって求める期待値を E とすれば
E n! = Σ[k=1,n] k Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!
. = Σ[i=0,n-1] Σ[k=i+1,n] k! (n-i-1)! /i! /(k-i-1)!
. = Σ[i=0,n-1] Σ[l=0,n-i-1] (l+i+1)! (n-i-1)! /i! /l!
. = Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) Σ[l=0,n-i-1] C[l+i+1,i+1]
. = Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) C[n+1,i+2]
. = Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
. = Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
. = (n+1)! - 1
により
E = ((n+1)! -1) /n!。 >>874
tanθ=3√3-2√6,(√3+2√6)/7のとき最大値(3√3-2√6)/4
計算ミスしてそうで心配 >>874
これｎ回目とかいってるけど求めるのは
＞△P₀P₁P₂の面積の最大値
ってP₃以降は関係ないの？ >>879
正解！
自分でつくった問題なんですが、ほぼ同じやり方で計算しました
E*n!の計算の最後3行の部分がよく分かりませんが、答えは合ってるし書き損じですかね？
答えが思いのほか綺麗になるので、もしかすると別の解釈があるのかなと思い少し考えましたが分かりませんでした >>879
(i+1)!で約分してたのか、そこは理解しました
そこからの総和のスムーズな求め方はまだ分かってないけど
自分は(n+1)!をΣの外に出して(i+1)/(i+2)!=1/(i+1)!-1/(i+2)!の総和として計算してました
>>883
ありがとう！ >>884
(n+1)n(n-1)…(i+3)(i+2)(i+1) / (i+2) = (n+1)n(n-1)…(i+2) - (n+1)n(n-1)…(i+3) (ただし i = n-1 のときは第２項は-1と解釈する。強引だけどそれで i=n-1 でも合う。)
によりこれをi : 0～n-1で足し合わせればi=0のときの第１項とi=n-1のときの第２項だけが残って(n+1)! - 1となります。 >>884
なるほど。そっちの方がかっこいいですね。 >>885
なるほど理解しました
(n+1)!を掛けているだけで、本質的には同じやり方っぽいですね Aさんがある平面上に時計を2N個設置する。
そのうちN個は長針と短針が付いており、残りのN個は長針も短針も付いていない。
作動している時計の長針、短針は一般的な速度を刻むが、示している時刻が同じ保証はない。
あなたは長針と短針が付いていないN個の時計に対して、長針と短針をつけて作動させることができる。
ここで「特異な三角形」とは、「異なる3つの時計の中心を頂点に持つ三角形であり、また三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、
3辺すべてが3つの時計の長針と短針の劣角側（長針と短針がちょうど反対側に来るときは長針を上に持ってきたときの左側と定める）に存在しているもの」をいう。
Aさんはある時刻に部屋に入って、時計の中心同士を結ぶ。
ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
あなたは任意の時刻で、「特異な三角形」をN個以下にすることが可能であることを示せ。
ただしAさんが線分を結ぶ時間、及びあなたが時計を作動させる時間は無視できる。 >>879
＞E = ((n+1)! -1) /n!。
これ、E = n+1 - 1/n! としてもいいですか？ >>889
＞ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
これは辺さえ交差してなければ、内部に他の点を含むのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていているときに△ABCは「特異な三角形」にカウントされますか？
また内点を共有するのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていて、重心の時計の針の狭角にABが入っている場合、
△ABGと△ABCを両方「特異な三角形」とカウントするのはありですか？ >>889
証明作ってみたけど
三角形の個数は N-2 まで少なくできるね
問題の出典は？ >>892
「三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、」の条件から前者は認めません。点を共有する事は認めます。 特異な三角形って、作動していない時計が含まれていても意味がある概念？
(針がついていない場合は、針と辺に関する条件は満たされているものと考える、とか)
そうでなければ作動していない時計の存在意義がないと思うし
あと、特異な三角形と考えるのはAさんがその３つの時計を直線で結んでいる場合のみ？(でないと直線で結ばれている意味がないはず)
「あなたは～することが可能であることを示せ」とあるけど、"あなた"ができるのは時計に針をつけて作動させることだけだよね？
つまり、まだ針のついていない時計の時刻をうまく決定することで条件を満たすようにできることを示す、ということでよい？ >893
自作です
>895
N個の時計は必ず作動させなくてはいけません。
そのあと二つは仰る通りです。
文章が分かりにくくてすいません。 >>874
tanθ = t とおいて、面積Sをtで表わす。
・0<θ<30°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ） = 2t/(√3 +t),
AP2 = AP1 sin(60ﾟ+θ)/sin(60ﾟ-θ)
= AP1 sin(120ﾟ-θ)/sin(60ﾟ-θ)
= sinθ / sin(60ﾟ-θ)
= 2t/(√3 -t),
S(t) = ⊿P0P1A - ⊿AP1P2
= (1/2)sin(∠A) AP1 (1-AP2)
= (1/2)((√3)/2)(2t/(√3 +t))((√3 -3t)/(√3 -t))
= (3/2)t(1-t√3)/(3-tt),
t = 2√6 - √3 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 16.5505°
・30ﾟ<θ<60°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ) = 2t/(√3 +t),
BP1 = 1 - AP1 = (√3 -t)/(√3 +t),
BP2 = BP1 / AP1 = (√3 -t)/2t,
S(t) = ⊿P0P1B - ⊿BP1P2
= (1/2)sin(∠B) BP1 (1-BP2)
= (1/2)((√3)/2)(√3 -t)(3t-√3)/(t(√3 +t))
= (3/8)(√3 -t)(t√3 -1)/(t(√3 +t)),
t = (2√6 +√3)/7 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 43.4495° 前>>875午後２時x分に長針と短針が一直線になるとすると、
長針は60分で360°進むからx分で6x°進む。
短針は60分で30°進むからx分で0.5°進む。
今午後２時とすると、長針は短針より60°手前。x分後長針は6x°短針は0.5x°進んでいるから、
6x-60=0.5x+180
5.5x=240
11x=480
x=480/11
=43+2/11
２時43分10(+10/11)秒
（２時43分10秒9090……） >>897
ｔanθ の値を間違えた。
>>880 が正解。 >>893
ちなみにどのような方針で解かれましたか？ S_nをn次対称群とする。
σ∈S_nに対し
s(σ)=(σの符号)∈{-1,1}
f(σ)=(σの固定する要素の数)
と定めるとき、
Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+1)=(-1)^(1+n)*n/(n+1)
を示せ。 レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
