面白い問題おしえて～な 28問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:19:23.87

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:01:12.00

計算が面倒くさすぎるので、使う道具だけ書いておきます。間違ってたらスマン。

m≧0に対して、D_m：R→R を D_m(x)＝(sin mπx)/sin πx (x∈R－Z), m (x∈Z) と定義する。
また、f_m＝D_{2m＋1} (m≧0) と定義する。

基本的な性質の一覧。

D_0(x)＝0, D_1(x)＝1, D_m(1±x)＝D_m(x)＝D_m(－x) (x∈R, m≧1)

f_0(x)＝1, f_m(1±x)＝f_m(x)＝f_m(－x) (x∈R, m≧1)

m≧1に対して∫(0,1/2)f_m(t)dt＝∫(1/2,1)f_m(t)dt＝1/2

m≧1, x∈R に対して Σ(n＝1～m) cos2πnx ＝－1/2＋f_m(x)/2

m≧1, x∈R に対して {x}－1/2＝－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx)/(πn)＋∫(1/2,{x})f_m(t)dt

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:12:41.48

定義　命題Pに対して、[[P]] ∈ {0,1} を次のように定義する。

[[P]]＝0 (Pが偽のとき), 1 (Pが真のとき).

定理1　x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})D_m(t)dt ＝－[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})f_m(t)dt ＝－[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して Σ(n＝1～∞) (sin 2πnx)/(πn) ＝ 1/2－{x}－[[x∈Z]]/2.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:18:51.97

定理2　g：[0,1/2]→Rは[0,1/2]上でルベーグ積分可能であり、g(＋0)が存在するとする。このとき、

Clim(m→∞)∫(0,1/2)f_m(t)g(t)dt＝g(＋0)/2.

ただし、実数列 {a_m}_m に対して Clim(m→∞)a_m＝lim(m→∞)(a_1＋a_2＋…＋a_m)/m と定義する。

定理3　a＜bとする。g：[a,b]→Rは[a,b]上でルベーグ積分可能であり、n∈[a,b]∩Zのとき、
g(x)はx＝nにおいて片側極限が必ず存在するとする。このとき、

Clim(m→∞)∫(a,b)f_m(t)g(t)dt＝Σ(n∈[a,b]∩Z) (g(n－0)＋g(n＋0))/2.

ただし、a∈Z のときは、(g(a－0)＋g(a＋0))/2 の部分を g(a＋0)/2 で置き換える。
また、b∈Z のときは、(g(b－0)＋g(b＋0))/2 の部分を g(b－0)/2 で置き換える。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:21:47.97

定理4(オイラー・マクローリンの公式)　a∈Z, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して

Σ(a≦k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.

定理5(オイラー・マクローリンの公式)　a, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して

Σ(a＜k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋((1－2{x})f(x)－(1－2{a})f(a))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:32:22.84

Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3}) の証明を大雑把に。

x＞1として、Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
と分解して、まず Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＝O(x^{1/3}). 次に、m≧1を任意に取って

Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
＝Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})(1/2－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx/k)/(πn)＋∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt)
＝([x^{1/2}]－[x^{1/3}])/2－Σ(n＝1～m)(1/(πn))Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}) sin 2πnx/k
　＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt　(1)

と分解する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:39:30.16

おーっと、計算ミスしてるっぽい箇所を発見。。。