面白い問題おしえて～な 28問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:19:23.87

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 01:23:19.32

>>384
A の固有値を a,b,c とおくと
det(A+E) + det(A-E) - 2det(A)
= (a+1)(b+1)(c+1) + (a-1)(b-1)(c-1) - 2abc
= 2(a+b+c) = 2tr(A)
でいける

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 01:41:19.61

>>385
なるほど！ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 07:43:35.23

>>382
これもしかしてL関数とか使う？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 10:55:38.86

>>387
想定してる解答ではそういう複素解析的な技術は使ってないよ
使えるのかどうかはわからないけど、n>n' として n' の時の和が n の時の和の部分和になってる訳じゃないから
今までと同じような方法で臨むのは難しそうな気がする

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 12:56:55.99

>>388
違うのか…
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = O(n^(10/21))
を示せば十分で
x - [x] - 1/2 = -2/πΣ[i] sin(2πix)/i
を使って
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = -2/πΣ[k] Σ[i] sin (2πi n/k) / i
で
Σ[i] sin (2πi n/k) / i = Σ [ξ] <sin (2πi n/k), ξ(i)> L(ξ, 1)
でL(ξ,1)を評価するのかなと。
でもこのL(ξ,1)の評価ネットで探してもありそでなさそで……
これむずい。気長にやります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 13:09:45.85

{x}＝x－[x]と定義して、

Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3})

が示せた(計算ミスがなければ)。方針は>>389なんだけど、
L関数ではなく、普通にフェイェール核を使う。
あとはオイラー・マクローリン。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 13:16:03.61

>>390
おお、すごい！解答おながいします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 13:19:27.31

すまん、フェイェール核じゃなくてディリクレ核だった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 13:30:52.39

私も>>389訂正。L(ξ, 1)じゃなくてL(1,ξ)ね。
あとwolframで確かめてみたら
x - [x] - 1/2 = -1/πΣ[i] sin(2πix)/iですね。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-1%2Fpi*(sin(1+x)%2F1%2Bsin(2+x)%2F2%2B+sin(3+x)%2F3%2Bsin(4+x)%2F4%2Bsin(5+x)%2F5%2Bsin(6+x)%2F6%2Bsin(7+x)%2F7%2Bsin(8+x)%2F8%2Bsin(9+x)%2F9%2Bsin(10+x)%2F10)
これ気合で i:1～10 足したけどもっと賢く入力できないのかな？
ここからオイラーマクローリンで行こうとおもったんだけど
∫[1,∞] a cos (ax)x (x - [x] - 1/2) dx (ただし a = 2πn/k)
の項が出てきて評価ができなかった。
Dirichlet の不連続因子っての使うのかなとも思ったんだけど眠くなってやめた。
積分苦手 orz。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:01:12.00

計算が面倒くさすぎるので、使う道具だけ書いておきます。間違ってたらスマン。

m≧0に対して、D_m：R→R を D_m(x)＝(sin mπx)/sin πx (x∈R－Z), m (x∈Z) と定義する。
また、f_m＝D_{2m＋1} (m≧0) と定義する。

基本的な性質の一覧。

D_0(x)＝0, D_1(x)＝1, D_m(1±x)＝D_m(x)＝D_m(－x) (x∈R, m≧1)

f_0(x)＝1, f_m(1±x)＝f_m(x)＝f_m(－x) (x∈R, m≧1)

m≧1に対して∫(0,1/2)f_m(t)dt＝∫(1/2,1)f_m(t)dt＝1/2

m≧1, x∈R に対して Σ(n＝1～m) cos2πnx ＝－1/2＋f_m(x)/2

m≧1, x∈R に対して {x}－1/2＝－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx)/(πn)＋∫(1/2,{x})f_m(t)dt

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:12:41.48

定義　命題Pに対して、[[P]] ∈ {0,1} を次のように定義する。

[[P]]＝0 (Pが偽のとき), 1 (Pが真のとき).

定理1　x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})D_m(t)dt ＝－[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})f_m(t)dt ＝－[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して Σ(n＝1～∞) (sin 2πnx)/(πn) ＝ 1/2－{x}－[[x∈Z]]/2.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:18:51.97

定理2　g：[0,1/2]→Rは[0,1/2]上でルベーグ積分可能であり、g(＋0)が存在するとする。このとき、

Clim(m→∞)∫(0,1/2)f_m(t)g(t)dt＝g(＋0)/2.

ただし、実数列 {a_m}_m に対して Clim(m→∞)a_m＝lim(m→∞)(a_1＋a_2＋…＋a_m)/m と定義する。

定理3　a＜bとする。g：[a,b]→Rは[a,b]上でルベーグ積分可能であり、n∈[a,b]∩Zのとき、
g(x)はx＝nにおいて片側極限が必ず存在するとする。このとき、

Clim(m→∞)∫(a,b)f_m(t)g(t)dt＝Σ(n∈[a,b]∩Z) (g(n－0)＋g(n＋0))/2.

ただし、a∈Z のときは、(g(a－0)＋g(a＋0))/2 の部分を g(a＋0)/2 で置き換える。
また、b∈Z のときは、(g(b－0)＋g(b＋0))/2 の部分を g(b－0)/2 で置き換える。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:21:47.97

定理4(オイラー・マクローリンの公式)　a∈Z, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して

Σ(a≦k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.

定理5(オイラー・マクローリンの公式)　a, b∈R, a＜b とする。
f：[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して

Σ(a＜k≦x)f(k)＝∫(a,x)f(t)dt＋((1－2{x})f(x)－(1－2{a})f(a))/2＋∫(a,x)f'(t)({t}－1/2)dt.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:32:22.84

Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^{1/3}) の証明を大雑把に。

x＞1として、Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}＝Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
と分解して、まず Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}＝O(x^{1/3}). 次に、m≧1を任意に取って

Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}){x/k}
＝Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})(1/2－Σ(n＝1～m) (sin 2πnx/k)/(πn)＋∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt)
＝([x^{1/2}]－[x^{1/3}])/2－Σ(n＝1～m)(1/(πn))Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2}) sin 2πnx/k
　＋Σ(x^{1/3}＜k≦x^{1/2})∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt　(1)

と分解する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:39:30.16

おーっと、計算ミスしてるっぽい箇所を発見。。。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:42:15.81

>>398
kの小さいとこ分けるのはやったんだけどなぁ。
まぁやってみます。
ところで出題者さんに質問。
この誤差項のx^(10/21)の肩の数字はいくらでも小さく採れるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 14:44:32.75

だめだ、計算ミスがある。
ここまで書いてしまったが、すまんｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 15:29:53.61

>>401
君の使命を果たすんだ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 15:35:04.80

>>400
や、今解答として用意してる計算のしかたであれば、最善のパラメーターのとり方でこの結果。
もっと和のとり方を工夫したら改善できるかもだけども

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 16:06:23.59

>>403
そうなんですか。
むずいなぁ。
今のとこのスレの流れ的にいい線いってます？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 16:48:54.13

普通に改善できた…でもパラメータ変えて誤差項の指数小さくできるかはっきりしないし問題は変えないことにする
（もし小さくできたとしてもややこしくなるだけだし変えないつもりだけど）

>>404
うーん、フーリエ展開から攻めるのはちょっとオススメしにくい
小数部分をとる関数 {x} に不連続点があるせいで級数が絶対収束しないから、
各フーリエ係数ごとに和をとってから全体を評価しようとするとどうしてもばかでかくなってしまう気がする
フーリエ級数いじるの得意じゃないし本当にできないのかとかについては何とも言えないけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 16:55:34.93

停滞するのもあれだし類題出しときます

lim_(n→∞) (1/logn)Σ_(k=1,[logn]) (n/k-[n/k])
は存在するか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 17:17:24.06

まだ暗算レベルだけど、Σ(k≦x^{1/2})({x/k}^2－{x/k}) だったら、
>>394-399で失敗した計算が救済できて

Σ(k≦x^{1/2})({x/n}^2－{x/n})＝(-1/6)x^{1/2}＋O(x^{1/3})

あたりのオーダーが言えそうな気がする。
また間違うかもしれないので書かないけどｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/24(土) 19:35:26.74

>>407もダメだった。

B(t)＝{t}－1/2と置くと、>>407の場合、
∫(x^{1/3},x^{1/2})B(t)B(x/t)dt みたいなのが出てきて、
これのxに関するオーダーが計算できないｗ

どうやら、オイラー・マクローリンで計算すると、{x/n}の難しいところが
B(t)に移転してしまい、B(t)の積分計算ができなくなって失敗するっぽい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 02:09:19.35

>>275 >>384 >>385

・4次のとき
　det(A+xE) - det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)
　= 2 S_3 x + 2 tr(A) x^3,
より
　tr(A) = {det(A+2E) -2det(A+E) +2det(A-E) -det(A-2E)}/(2･3!)

・5次のとき
　det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x) -2abcde + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)
　= 2 S_3 x^2 + 2 tr(A) x^4,
より
　tr(A) = {det(A+2E) -4det(A+E) +6det(A) -4det(A-E) +det(A-2E)}/(4!)

・6次のとき
　det(A+xE) - det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)
　= 2 S_5 x + 2 S_3 x^3 + 2 tr(A) x^5,
より
　tr(A) = {det(A+3E) -4det(A+2E) +5det(A+E) -5det(A-E) +4det(A-2E) -det(A-3E)}/(2･5!)

・7次のとき
　det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
　= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x)(g+x) -2abcdefg + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)(g-x)
　= 2 S_5 x^2 + 2 S_3 x^4 + 2 tr(A) x^6,
より
　tr(A) = {det(A+3E) -6det(A+2E) +15det(A+E) -20det(A) +15det(A-E) -6det(A-2E) +det(A-3E)}/(2･6!)

S_k はk次の基本対称式。 S_1 = tr(A), S_n = det(A),

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 02:25:52.63

>>275 >>384 >>385
A, E はn次の正方行列とする。

・nが奇数のとき
　tr(A) = {1/(n-1)!}Σ[k=0,n-1] (-1)^k C(n-1,k) det{A + (k-(n-1)/2)E},

・nが偶数のとき
　tr(A) = {1/2(n-1)!}Σ[k=0,n] (-1)^k {C(n-1,k)-C(n-1,k-1)} det{A + (k-n/2)E},
　ただし、C(n-1,n) = C(n-1,-1) = 0

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 02:42:24.60

和のとり方を改善してパラメータをとり直した結果、
>>380 の誤差項を O(n^(5/12)･logn) まで改善できたので一応報告
けど予定通り、問題の主張を変えるつもりはなし

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 06:01:42.98

Σ[k≦√n] sin n/k の評価ができんorz。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 14:43:15.35

>>412
手助けになればいいけど、下の定理2.1.6を使えば Σ_(k=√n) sin(n/k) = O(n^(1/3)) まで落とせそう
https://spectrum.library.concordia.ca/978881/

Theorem2.1.6 (2nd derivative test)
fは区間[a,b]上で二階連続的微分可能であり、c>1 であって
0<λ≦f''(t)≦cλ (for∀t∈[a,b])
が成り立っているとする。この時、
Σ_(a<k≦b) e^(2πif(k)) = O_c( (b-a)λ^(1/2) + λ^(-1/2) ).□

具体的には m を正の整数（この場合およそ (√n)/(2π) ）として、j=0,1,… に対して a_j = m･2^(-j-1), b_j = a･2^(-j) と定めて、
f(x)=N/x として各区間 [a_j,b_j] に対して定理を適用する訳なんだけど、
この場合 j の値にかかわらず c=8 で一様にとれるから、j=0,1,…,r で足し合わせても同じ implied constant で抑えられる。
あとは r の値をうまく調整すればOK

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 18:39:02.79

>>413
sin 2πn/k はうまくいきました。
でも本丸は∫ a*cos(2πax)/x dxなんですよね～。
こいつがO(1/a)とかならうまくいくし、数値実験てきには成立してそうなんだけどむずい。
やっぱりこりゃノーヒントじゃ無理だ。
>>378さんヒントお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 21:03:53.65

１時間に２本の列車があり、8：00　8:45 9:00 9:45　10：00 10:45 ...という風にダイヤが組まれている。
ランダムに駅に行ったときの待ち時間の期待値はいくらか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 21:07:15.08

>>414
ほい

（補題）h/q (q>0) は既約分数であり、k=1,2,…,q の時実数 r(k) の絶対値は E 以下であるとする。
この時、任意の実数 a について次が成り立つ：
|Σ_(k=0,q-1) ({hk/q + a + r(k)} - 1/2)| ≦ 3qE + 3.
（ただし特にことわらなければ {x} は x の小数部分を表すものとする）
（∵）σ(k) := [q{hk/q + a}] は集合 {0,1,…,q-1} 上の全単射であるから、
ε(k) := {hk/q + a} - σ(k)/q ∈ [0,1/q) とおけば
Σ_(k=0,q-1) {hk/q + a + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {σ(k)/q + ε(k) + r(k)}
= Σ_(k=0,q-1) {(k + 1/2)/q + r'(k)}. （σ(k) を k で置き換え。ただし |r'(k)| ≦ E + 1/(2q) ）
ここで、r'(k)=0 (for k=0,1,…,q-1) の時この和が q/2 に等しくなることから、
| Σ_(k=0,q-1) {(k+1/2)/q + r'(k)} - {(k+1/2)/q} | ≦ 3qE+3
を示せばよい。そのためには、区間 [k/q - E, (k+1)/q + E] が関数{x}の不連続点（つまり整数）を通過する k とそうでない k に Σ を分けて、
それぞれを評価すればよい。詳細は略（突然の飽き）□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 22:00:17.82

>>294
■①^2+④でもP1stは求められる

((n(n+1)/2)-1)^2+｛4(n-1)^3+6(n-1)^2-4(n-1)-3+3(-1)^(n-1)｝/48　

計算知能で①^2+④を入力すると

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 22:26:05.78

>>415
1時間に2本だから30分。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 22:30:55.48

>>418
8：00　8:30 9:00 9:30　10：00 10:30なら、1時間に2本だが最大の待ち時間が30分だぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 22:43:08.35

>>415
1時間に2本だから 18.75分。

最大の待ち時間は 45分。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 22:52:10.23

あ、失礼。15分。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/25(日) 23:03:00.46

>>420
正解。
これの平均値を求めるだけ。
http://i.imgur.com/rC0G2ab.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 00:47:04.32

>>416
ありがとう。
また考えてみます。
Fourier展開みたいな技使ってもダメっぽいね。
コツコツやるしかないのね……

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 01:17:52.33

>>415
1時間に2本だから｛30 - M(60-M)/60｝分。

最大の待ち時間はM分。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 01:22:34.01

東京駅からのぞみ号で朝8時から9時に出発する（9時発も可）。

無作為に選んだ8時台の時間に出発ホームに到着したとすると平均の待ち時間は何分か？

以下が東京8時台発のぞみ号の時刻表である。

8:00 8:10 8:13 8:20 8:23 8:30 8:40 8:47 8:50 9:00

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/26(月) 03:00:27.06

(0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+6+5+4+3+2+1+0+2+1+0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0)÷61
=207÷61
=3.39344262
≒3.4(分)
3分24秒
前>>425

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 07:15:29.27

>>425
面積計算して平均したら
3.95分＝3分57秒になった。

http://i.imgur.com/nA0WRkX.jpg

tt=c(0,10,13,20,23,30,40,47,50,60) # time table
x=diff(tt)
sum(x^2/2)/sum(x)

http://tpcg.io/59nVsG

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 07:29:11.92

>>425
Prelude> let tt = [0,10,13,20,23,30,40,47,50,60]
Prelude> let diff = zipWith (-) (tail tt) (init tt)
Prelude> sum (map (\x -> x^2/2) diff) / sum(diff)
3.95

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 08:20:42.11

>>426
レスありがとうございます。
筆算、乙。
０～６０分を１分ごと、０．１分ごと０．０１分、０．０１分ごとにして計算すると

> mean(ct2wt(seq(0,60,by=1)))
[1] 3.393443
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.1)))
[1] 3.893511
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.01)))
[1] 3.944343
> mean(ct2wt(seq(0,60,by=0.001)))
[1] 3.949434

面積計算の値3.95分に収束するようです。

Rのソース
tt=c(0,10,13,20,23,30,40,47,50,60) # time table
ct2wt <- function(x){ # clock time to waiting time
n=length(tt)
if(x<=tt[1]){w8=tt[1]-x
}else{
for(i in 1:(n-1)){
if(tt[i]<=x & x<=tt[i+1]){
w8=(tt[i+1]-x)
break
}
}}
return(w8)
}
ct2wt=Vectorize(ct2wt)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 15:12:05.01

分単位でちょうどの時間に着いた時は
待ち時間なしの確率が1/2になるというわけだな

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 15:40:21.97

ある駅のホームの1番線には1時間ごと、2番線には(1/2)時間ごと、3番線には(1/3)時間ごとに電車が来るようにダイヤを組みたい。
ランダムな時間に駅に着いたときの平均待ち時間を最小にするには、どのようにダイヤを組めば良いか。
ただし、何番線の電車に乗っても向かう方向や停車駅に違いは無いとする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 16:20:05.15

単純に考えて、以下ぐらいしか思いつかない

３番線　00　20　40
２番線　20/3　110/3
１番線　50　

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 16:27:19.74

>>432　訂正
最大15分はどうしても開くのかな？

３番線　00　20　40
２番線　05　35
１番線　50　

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 16:37:26.72

１番線　00
２番線　15　45
３番線　10　30　50

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 17:05:53.16

最小5分50秒　00　10　15　30　45　50　00
最大8分20秒　00　20　30　40　00

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 17:53:39.06

>>433-434
正解
３番線を00,20,40で固定すれば、対称性から２番線は x,30+x (0≦x≦10) のみを考えればよくて、
x をどうとっても１番線を 50 とするのが最適解（のうちの１つ）であることがわかる。
（より長い空白のど真ん中に入れた方がより平均待ち時間を削減できるから）

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 18:17:18.85

いつもの顰蹙のプログラミング解

w8 <- function(xy,Print=FALSE){
x=xy[1];y=xy[2]
if(x<0|x>20|y<0|y>30)return(Inf)
tt=c(0,x,x+20,x+40,y,y+30,60)
tt=sort(tt)
d=diff(tt)
w=sum(d^2/2)/sum(d)
if(Print){
print(tt)
cat(sum(d^2/2),'/',sum(d))
}
return(w)
}
optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead')　# 最小値
> optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead')
$`par`
[1] 9.999003 14.999925

$value
[1] 5.833333

w8(c(10,15),P=T)
> w8(c(10,15),P=T)
[1] 0 10 15 30 45 50 60
350 / 60[1] 5.833333

optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1))　# 最大値
> optim(par=c(0,0),w8,method='Nelder-Mead',control=list(fnscale=-1))
$`par`
[1] 0 0

$value
[1] 8.333333

w8(c(0,0),P=T)
> w8(c(0,0),P=T)
[1] 0 0 0 20 30 40 60
500 / 60[1] 8.333333

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 18:31:44.90

細かいことを言えば
１番線　03
２番線　18　48
３番線　13　33　53
でもいいはず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 18:39:21.59

これも最大値かな

１番線　00
２番線　20　50
３番線　00 20　40

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 20:08:04.25

>>431
４番線は１時間に４本電車が来るとしてプログラムに解かせると

[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 15 45

[[3]]
[1] 10 30 50

[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5

待ち時間の期待値は3.333333

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 20:47:10.08

>>440
おつ　n(≧2)番線に 60*(2k-1)/2n (k=1,2,…,n) 分に来させれば良いと予想したくなるなｗファレイ数列みたいだ
しかしそれだと30分に到着する番線が大量発生して非効率そうだ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 21:42:27.22

>>441
そんなに単純じゃないみたい。

> densha(c(15,10,7.5,6),P=T)
[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 15 45

[[3]]
[1] 10 30 50

[[4]]
[1] 7.5 22.5 37.5 52.5

[[5]]
[1] 6 18 30 42 54

155 / 60
[1] 2.583333

よりも、こっちの方が平均待ち時間が少ない。

> densha(c(14,8,6,6),P=T)
[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 14 44

[[3]]
[1] 8 28 48

[[4]]
[1] 6 21 36 51

[[5]]
[1] 6 18 30 42 54

150 / 60
[1] 2.5

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/26(月) 22:33:06.60

>>442
こっちの方がもっと少なかった。
> densha(c(16,12,8,6),P=T)
[[1]]
[1] 0

[[2]]
[1] 16 46

[[3]]
[1] 12 32 52

[[4]]
[1] 8 23 38 53

[[5]]
[1] 6 18 30 42 54

148 / 60
[1] 2.466667

プログラムでの最適解はこんな値を返してきた。
> optim(par=30/2:5,densha)
$`par`
[1] 15.967750 11.935738 8.225689 5.999897

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 11:33:32.61

至急お願いします

異なる業種間で賃金格差が存在しているかどうかを調査するために、一部上場企業の金融業と製造業から総合職（入社5年目）の社員をそれぞれ100名ずつ無作為抽出したところ、平均賃金は金融業が600万円、製造業が570万円でした。

また、標本標準偏差はどちらも70万円でした。業種間で賃金格差が存在しているどうかを有意水準5％で検定するとき、その結果として正しいものを以下から選びなさい。

A. 金融業の方が賃金が高い

B. 製造業の方が賃金が高い

C. 金融業と製造業に賃金格差があるとは言えない

D. いずれでもない

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 11:35:03.74

某テレビ局のプロデューサーX氏は製作番組の視聴率の目標を20％と想定していました。500世帯を対象に調査をしたところ、平均視聴率は15%でした。X氏の製作番組は目標視聴率20％を達成したかどうかを有意水準5％で検定します。

真の視聴率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。

A. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を採択

B. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を採択

C. 帰無仮説p=0.20、対立仮説p<0.20、帰無仮説を棄却

D. 帰無仮説p=0.15、対立仮説p<0.15、帰無仮説を棄却

E. いずれでもない

サイコロを300回投げたところ、そのうち60回で1が出ました。このサイコロに歪みがないかを有意水準5%で検定します。

サイコロを1回投げたとき1が出る確率をpとするとき、帰無仮説と対立仮説、および検定結果として正しい組合せを以下から選びなさい。

A. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を棄却

B. 帰無仮説p>1/6、対立仮説p=1/6、帰無仮説を棄却

C. 帰無仮説p<1/6、対立仮説p>1/6、帰無仮説を採択

D. 帰無仮説p=1/6、対立仮説p≠1/6、帰無仮説を採択

E. いずれでもない

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 11:56:26.20

質問スレに書きたまえ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 14:19:17.27

>>444
> T.test=function(n1,n2,m1,m2,sd1,sd2){
+ SE12=sqrt((1/n1+1/n2)*((n1-1)*sd1^2+(n2-1)*sd2^2)/((n1-1)+(n2-1)))
+ T=(m1-m2)/SE12
+ 2*pt(abs(T),n1-1+n2-1,lower.tail = FALSE)
+
+ }
> T.test(100,100,600,570,70,70)
[1] 0.002767864

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 14:22:23.16

>>444
> kinyu=scale(rnorm(100))*70+600
> seizo=scale(rnorm(100))*70+570
> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE)

Two Sample t-test

data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.002768
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
10.47802 49.52198
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570

> t.test(kinyu,seizo,var.equal = TRUE,alt='greater')

Two Sample t-test

data: kinyu and seizo
t = 3.0305, df = 198, p-value = 0.001384
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
13.64024 Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
600 570

答は　A

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 14:26:13.78

>>445
前半
> binom.test(0.15*500,500,0.20,alternative = 'less')

Exact binomial test

data: 0.15 * 500 and 500
number of successes = 75, number of trials = 500, p-value = 0.002383
alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.2
95 percent confidence interval:
0.0000000 0.1788032
sample estimates:
probability of success
0.15
答はC

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 14:29:13.62

>>445
後半
> binom.test(60,300,1/6)

Exact binomial test

data: 60 and 300
number of successes = 60, number of trials = 300, p-value = 0.1216
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1666667
95 percent confidence interval:
0.1562313 0.2498044
sample estimates:
probability of success
0.2
帰無仮説は棄却できない。

帰無仮説を不採択だから、答はE
　

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 15:00:23.15

>>445
447-450
この問題で答えがEなんてありえるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 16:17:20.20

>>451
キム仮説は棄却するものであって採択するものではない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 16:24:02.48

>>452
どういうことですか？
棄却されないという言い方しないと不正解だという意味？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 16:28:58.66

あ、ほんとだ。帰無仮説って採択しちゃいけないんですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/27(火) 23:44:32.45

y=f(x) (0≦x≦a, f(x)≦0, f(0) = f(a) = 0)であらわされる滑り台上をボールを転がす運動を考える。
ただし、摩擦、空気抵抗などは無視してボールは重力とすべり台の面からの垂直抗力のみをうけて運動するものとする。
(0,0)にボールを静かにおいて滑り台を転がせ、(a,0)まで運動させるとき、その所要時間が最小となる曲線はなにか？
また東京ー大阪間の距離を400km、重力加速度を9.8m/s^2としたときの所要時間はおよそいくらか？

とある数学読み物で見つけた記事より。
当方答えのみ知っております。
導出の方法など知らないのでそれは自己採点でおながいしますｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 11:39:19.45

有名問題だが、地球を球体とした場合はサイクロイドにはなんないと思うぞい

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 12:33:05.86

>>456
そこは気になったんですが元記事通りの文章で。
今は400kmは地球が球状であることは無視でおながいします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 19:18:07.40

>>380
最後の手段でズルしちゃうけど、剰余項は少なくとも
O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)まで改善できるはず。
ただし dirichlet divisor problem を経由するのでとてもズルイｗ

まず、nの約数の総和をd(n)とするとき、
Dirichlet hyperbola method により、1以上の実数xに対して

Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]－[x^{1/2}]^2

が成り立つ。

Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]＝Σ(1≦n≦x^{1/2})(x/n)－Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}

なので、お目当ての Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n} が出てきて

2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝2xΣ(1≦n≦x^{1/2})(1/n)－[x^{1/2}]^2－Σ(1≦n≦x)d(n)

と表せる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 19:22:38.31

次に、Σ(1≦n≦x^{1/2})(1/n) に対してオイラー・マクローリンの公式

Σ(a≦n≦x)f(n)
＝∫(a,x)f(t)dt＋(f(a)＋(1－2{x})f(x))/2＋B_2({x})f'(x)－B_2(0)f'(a)－∫(a,x)B_2({t})f''(t)dt
(ただしaは整数でxは実数でB_2(t)＝(t^2/2)－(t/2)＋(1/12))

を適用して、γ＝lim(x→∞)(Σ(a≦n≦x)(1/n)－log(x)) と合わせて計算すれば、

2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(1)－Σ(1≦n≦x)d(n)

となるはず。一方で、dirichlet divisor problem の最新の結果では

Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^θ), infθ≦131/416

となっているので、

2Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝x^{1/2}＋O(1)－O(x^θ)＝x^{1/2}＋O(x^θ), infθ≦131/416

となって、目標の剰余項 O(n^(131/416＋ε)) (ε＞0は任意)になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 19:26:03.82

ちなみに、逆の計算もできて、

Σ(1≦n≦x^{1/2}){x/n}＝(1/2)x^{1/2}＋O(x^α)

が成り立つなら

Σ(1≦n≦x)d(n)＝xlog(x)＋(2γ－1)x＋O(x^α)

も成り立つ。よって、>>380の剰余項はdirichlet divisor problemの剰余項と
本質的に同じものになる。そして、dirichlet divisor problemの剰余項では
infθ≧1/4 が成り立つらしいので、>>380の剰余項もそこまでが限界になる。
ぴったり infθ＝1/4 が成り立つかは未解決問題らしい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 19:29:43.00

dirichlet divisor problemにおけるO(x^θ)の変遷はwikipediaに年表が載っていて、
最初にO(x^{1/2})があって、次の更新は1904年で、このときはO(x^{1/3}log x)が得られている。
一応、この時点で>>411よりも精度が高い。該当する論文は、よく分からないけどたぶんこれ。

sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series
sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series(suite)

どちらも非常に長い上に、ゼータ関数を経由していて何をやっているのか全然分からん。
最初の更新がこんな高度なレベルってのが信じられんｗ

別の見方をすると、>>380や>>411ならO(x^{1/3}log x)には及ばないものの非自明な更新が
初等的に得られるということでもある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 20:32:26.13

問題（第１種情報処理技術者試験・平成元年度春期午前問１７を改題）

ある医院では、患者が平均１０分間隔でポアソン到着にしたがって訪ねてくることがわかった。
医者は１人であり、１人の患者の診断及び処方にかかる時間は平均８分の指数分布であった。

設問１　患者が待ち始めてから、診断を受け始めるまでの「平均待ち時間」を求めなさい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 23:11:43.61

>>458
>Dirichlet hyperbola method

なんかすごいのが出てきた。
こんなんがあるんだ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 23:26:34.56

>>458
あかん。のっけからわからん。
Dirichlet hyperbola method って
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_hyperbola_method
ですよね？
このf,g,hに何をapplyしたら

Σ(1≦n≦x)d(n)＝2Σ(1≦n≦x^{1/2})[x/n]－[x^{1/2}]^2

になるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 23:38:27.58

あ、わかった。g=h=1、f(x) = d(x)だ。なるほろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/28(水) 23:52:51.22

>>459
ホントだ。示せてる。すんげ～。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 00:12:29.89

となると今度は>>380の出題者さんの難しい論文を引用しないでも済む方法が聞きたい。
おながいします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 05:26:25.15

>>458-461
ふぁっ！？　そんなもんがあったのか…勉強になるわ、後でじっくり読もう
一応 >>380 の解答載せるけど、だいぶゴリッゴリの力ずくでそれ程有意義とも思えんけどまあ許してちょ…
あとリクエストにおこたえしてガバガバながら一番最後以外の細かい係数も出してみた

実数 δ, δ', β, c を 0<δ/2≦β<δ<δ'<1, 3δ'≦1+δ, 0<c≦δ-β を満たすものとして任意に固定する。
（パラメータを最適化したら δ'=1/3, δ=1/6, β=c=1/12 となるから先に代入して読んでいっても可）
n を正の整数とする。各正の整数 r≦n^(δ'-δ) に対して集合 J_r を
J_r := {mは0以上の整数| r ≦ 1 + m/(n^δ) < 1+r }
と定める。また、各 m∈J_r に対して集合 I_m を
I_m := {kは2以上の整数| 1+m/(n^δ) ≦ n/(k(k-1)) < 1+(m+1)/(n^δ)}
と定める。以降、r と m は上に示された範囲のみを動くものとする。

まずは I_m の元の個数 |I_m| を評価したい。I_m の条件式を整理すると
(1/2)*(1+√(1+4n*(1+(m+1)/(n^δ))^(-1))) < k ≦ (1/2)*(1+√(1+4n*(1+m/(n^δ))^(-1)))
となるから、この範囲の k の個数を考えると
|I_m| ≦ 1 + √(n*(1+m/(n^δ))^(-1)) - √(n*(1+(m+1)/(n^δ))^(-1))
≦ 1 + (√n)*(1/(n^δ))/(2*(1+m/(n^δ))^(3/2))
≦ 1 + (1/2) * n^(1/2 - δ) * r^(-3/2)
≦ (3/2)*n^(1/2-δ)*r^(-3/2) (∵ 1/2-δ-(3/2)(δ'-δ)≧0 )
=: L_r.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 05:28:21.92

ディリクレのディオファントス近似定理から、各 m について
|m/(n^δ) - p/q| ≦ 2/(qn^β) ((p,q)=1, 1≦q≦n^β) …（☆）
を満たす整数 p,q が存在する。
また、逆に q<n^β を固定したときに（☆）を満たす p が存在するような m∈J_r の個数は、
≦ φ(q)*(2+2(n^δ)/(qn^β)) (φはオイラーのトーシェント関数)
≦ 2(q+n^(δ-β)).
また、そのような m について
n/k = n/k_0 + (1+m/(n^δ))(k-k_0) + ψ~(k) (for∀k∈I_m. ただし k_0:=min(I_m))
とおくと |ψ~(k+1)-ψ~(k)|≦n^(-δ) が成り立つが、これより
n/k = n/k_0 + (1+(p/q))(k-k_0) + ψ(k) (for∀k∈I_m)
とおくと |ψ(k+1)-ψ(k)|≦n^(-δ)+2/(qn^β) が成り立つ。ゆえに、>>416 の補題から
Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)
≦ [|I_m|/q]( 3q*(q/(n^δ) + 2/(n^β)) + 3 ) + q (∵q個の連続する整数ごとに和をとる。あぶれる項はq以下)
≦ 3*L_r*(q/(n^δ) + 3/q) + q.

ここで、J_r を２つの集合
J'_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれる },
J''_r := {m∈J_r| q≦n^c ととれない }
に分割すると、
|Σ_(m∈J'_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)| ({x}はxの小数部分)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 2(q+n^(δ-β))*(3*L_r*(q/(n^δ)+3/q)+q)
≦ Σ_(q=1,[n^c]) 4(n^(δ-β))*(12(L_r)/q + q) (∵c≦δ-β)
≦ 48*L_r*n^(δ-β)*(1+clogn) + 4n^(δ-β+2c).
また、
|Σ_(m∈J''_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)|
≦ Σ_(m∈J''_r) (12(L_r)/(n^c) + n^β)
≦ 12*L_r*n^(δ-c)+n^(δ+β).
以上から、
|Σ_(m∈J_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)|
≦ (上二つのJ'_r,J''_rについての評価式の和).

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 05:33:09.64

この評価式を r=1,2,…,[n^(δ'-δ)] について足し合わせれば、
Σ_(r=1,[n^(δ'-δ)]) Σ_(m∈J_r) Σ_(k∈I_m) ({n/k}-1/2)
≦ 72ζ(3/2)*n^(1/2-β)*(1+clogn) + 4n^(δ'-β+2c) + 18ζ(3/2)*n^(1/2-c) + n^(δ'+β).
また、k=1,…,[√n] のうち、このΣで k の項が足されていないようなものの個数は
≦ 1+n^((1/2)(1+δ-δ'))
であることがわかる。ゆえに、
|Σ_(k=1,[√n]) {k/n}-(1/2)| ≦ (上二つの評価式の和)+1. (最後の +1 は整数 k>[√n] の項で足された分)
δ'=1/3, δ=1/6, β=c=1/12 と定めることにより |Σ_(k=1,[√n]) ({n/k}-1/2)|=O(n^(5/12)*logn) がわかる。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 06:22:50.32

>>468-470
乙です。

こっちは、剰余項を考えないバージョンの

lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2}){x/k}＝1/2

が一般的な形で証明できたかもしれない。使うのは>>413で、m∈Z－{0}のときは

lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝lim(x→∞)x^{－1/2}O(x^{1/3})＝0

が成り立ち、m＝0 のときは

lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})e^{2πimx/k}＝1

が成り立つので、あとは Weyl's criterion の手法を機械的に真似すればいい。
こうすると、より一般的に、リーマン可積分な任意の f：[0,1]→R に対して

lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})＝∫(0,1)f(t)dt

が示せるはず。例のごとく間違ってる可能性もあるので、詳しくは書かないけどｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 17:20:21.53

有名なのできっと既出だとは思いますが、すごくお気に入りなのでぜひ紹介させてください。

ドラゴンの目の色は、赤か緑のどちらかである。
ドラゴンは不死身だが、もし自分の目の色が緑だと知ってしまった場合、そのドラゴンは日付が変わると同時にトカゲに変身してしまう。
だからドラゴンたちは決して鏡を見ないし、お互いの目の色の話もしないのだ。

ところで、ある島にはドラゴンが100頭住んでいて、その目はすべて緑色である。
ここを訪れたある旅人は去り際に、見送りに来た100頭のドラゴン全員に聞こえるようにこう言った。
「この島には少なくとも一頭、緑の目のドラゴンがいる」
このあと、この島で何日後に、何が起こるだろうか。

ただしドラゴンたちは十分に聡明で、もしあるドラゴンがトカゲに変身したとき次の日にはそのことを皆が知ることになるものとし、
100頭のドラゴンは互いに顔見知りであり自身以外の99頭が緑の目をもつことを知っているものとし、
この島にドラゴンは出入りしないものとする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 18:58:12.47

不思議だなこれ

寝る。
次の日n頭中の誰もトカゲになってないなら、
どうn-1頭をとってもその中に少なくとも1頭緑目がいることになる。
適当にn-1頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。
寝る。

次の日集まったn-1頭中の誰もトカゲになってないなら、
その中からどうn-2頭をとってもうち少なくとも1頭は緑目がいることになる。
適当にn-2頭が集まって「この中に少なくとも1頭緑目がいる」と宣言する。しなくても皆気付いてるけど。

以下略

一方で「島には少なくとも1頭緑目がいる」という旅人の言葉は
全てのドラゴンにとって既知の事実だし、
それが全てのドラゴンにとって既知の事実だということも皆が知っているし、
それが全てのドラゴンにとって既知の事実だということも皆が知っているということも皆が知っている。
旅人の言葉は何の情報を与えてドラゴンの推論エンジンを始動したのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/29(木) 21:03:17.45

>>471の方針のもとで剰余項ありのケースを考えたら、
C_0^∞関数で近似して普通に剰余項が出たっぽい。

f：[0,1]→Rは2階微分可能で、f '' ∈L^2 が成り立つとする。
このとき、α＝1/3に対して

Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})＝x^{1/2}∫(0,1)f(t)dt＋O(x^{(2/5)α＋(3/10)})

が成り立つ。

残念ながら、O(x^{5/12}log(x))よりは精度が悪いｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 00:36:11.15

>>472
類題をどっかで見たようなと思ったけど、これと同じかな？
こっちのほうがイメージしやすそう

100組の夫婦が暮らす村がある。
100人の夫は全員他の家の妻と不倫をしている。
この村のルールでは、妻が夫の不倫を知ったらその夜に夫を殺さなければならない。
妻は他の家の夫が不倫をしていることを必ず見抜くことができるが、
自分の夫の不倫には絶対に気がつかない。
妻たちは全員論理的な思考ができて、かつ他の妻に夫が不倫をしていることを決して言わない。
村を訪れた旅人が「少なくとも一人の夫が不倫をしている」と言った。
その後どうなるか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 03:38:09.32

見直したけど大丈夫っぽいので、>>471の詳細を書いてみます。
剰余項つきの>>474はまた今度。

f：[0,1]→Rに対して

S_u(f)＝limsup(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})
S_d(f)＝liminf(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})

と置く。lim が実数として存在するときには

S(f)＝lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2})f({x/k})

とも置く。S(f)が存在することと、
S_u(f)＝S_d(f)∈R が成り立つことは同値であり、
そのときS(f)＝S_u(f)＝S_d(f)∈Rが成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 03:41:32.79

fがリーマン可積分なら、S(f)が存在してS(f)＝∫(0,1)f(t)dtが成り立つことを示したい。
Weyl's criterion の真似をする(f(x)が特殊な形から出発して一般化していく)。

f(x)＝sin(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、
>>413により S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。
また、k＝0のときは S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合は成立。

f(x)＝cos(2πkx) (k∈Z) のときは、もしk≠0なら、>>413と同じように計算して、
S(f)＝0＝∫(0,1) f(t)dt である。また、k＝0のときは
S(f)＝1＝∫(0,1) f(t)dt である。よって、この場合も成立。

S(f)の線形性により、有限個の sin(2πkx), cos(2πkx) (k∈Z) の
R係数の線型結合で表されるg(x)に対しても、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 03:44:54.09

次に、f：[0,1]→R が連続で f(0)＝f(1) を満たすときを考える。
この場合、フーリエ展開の理論から、任意のε＞0に対して、有限個の
sin(2πkx), cos(2πkx) (k∈Z) のR係数の線型結合で表されるg(x)であって

sup(x∈[0,1])|f(x)－g(x)|＜ε

を満たすものが取れる。S(g)＝∫(0,1)g(t)dt により、
S_u(g)＝S_d(g)＝∫(0,1)g(t)dt なので、g－ε≦f≦g＋ε (各点)
と合わせて

S_u(f)≦S_u(g＋ε)＝S_u(g)＋ε＝∫(0,1) g(t)dt＋ε

S_d(f)≧S_d(g－ε)＝S_d(g)－ε＝∫(0,1) g(t)dt－ε

S_u(f)≧S_d(f)

となる。また、|∫(0,1)g(t)dt－∫(0,1)f(t)dt|≦εである。よって、
∫(0,1)f(t)dt－2ε≦S_d(f)≦S_u(f)≦∫(0,1)f(t)dt＋2ε となる。
ε＞0は任意だったから、この場合も成立。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 03:48:44.97

次に、A⊂[0,1] に対して、1_A：[0,1]→R を 1_A(x)＝1 (x∈A), 0 (x∈[0,1]－A) と定義する。
ここでは、I⊂[0,1] は開区間または閉区間または半開区間とする。f＝1_I のときを考える。
任意のε＞0に対して、折れ線で構成される連続関数 f_1,f_2：[0,1]→R であって

f_k(0)＝f_k(1) (k＝1,2),
f_1≦f≦f_2 (各点の意味),
∫(0,1)(f_2(t)－f_1(t))dt＜ε

を満たすものが簡単に構成できる。S_u(f_k)＝S_d(f_k)＝∫(0,1)f_k(t)dt なので、

S_u(f)≦S_u(f_2)＝∫(0,1)f_2(t)dt≦∫(0,1)f_1(t)dt＋ε≦∫(0,1)f(t)dt＋ε

S_d(f)≧S_d(f_1)＝∫(0,1)f_1(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f_2(t)dt≧－ε＋∫(0,1)f(t)dt

S_u(f)≧S_d(f)

により、－ε＋∫(0,1)f(t)dt≦S_d(f)≦S_u(f)≦∫(0,1)f(t)dt＋ε となる。
ε＞0は任意だったから、この場合も成立。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 03:53:36.23

よって、有限個の 1_I (I⊂[0,1]は開区間または閉区間または半開区間)の
R係数の線型結合で表されるg(x)に対しても、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。
すなわち、任意の階段関数 g：[0,1]→R に対して、S(g)が存在してS(g)＝∫(0,1)g(t)dtとなる。

最後に、f：[0,1]→R はリーマン可積分とする。リーマン積分の性質により、
任意のε＞0に対して、ある階段関数 f_1,f_2：[0,1]→R が存在して、

f_1≦f≦f_2 (各点の意味),
∫(0,1)(f_2(t)－f_1(t))dt＜ε

が成り立つ。よって、>>479と同じ計算で S(f)＝∫(0,1)f(t)dt となる。

特にf(x)＝xとして、lim(x→∞)x^{－1/2}Σ(k≦x^{1/2}){x/k}＝1/2 が成り立つ。□

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 15:38:06.60

>>473
解説を読んでもすぐにはピンとこないよね

＞99日後に分かる
＞「少なくとも99頭のドラゴンが緑の目をしていること」はみんな知っているよ
＞これが「旅人がドラゴンに与えた情報」です

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 15:56:26.16

>>475
今までに
他の家で誰も殺されていないことを全ての妻が知っている、のが前提だよね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 17:09:43.19

>>480
なるほど、求める性質が成り立ってくれるとわかる関数のクラスをどんどん"扱いやすいもの"にしていくという方法か

そうすると、2以上のαに対して S'(f)=lim_(x→∞) x^(1/α) Σ_(k=1,[x^(1/α)]) f(k) と定義した時に
同じ議論が成り立つかどうかも、最初の sinkx, coskx についての箇所さえチェックすればいいことになるんかな
まあ、これを考えるとなると、一般の多項式についてガウス和チックなこと考えなきゃいけなくて
かなり面倒になることが予想される…ｗここも興味ある有志にお任せするとしようか

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/30(金) 17:16:10.09

緑目ドラゴン3頭が島で暮らしている。
旅人が「少なくとも1頭は緑目」と言う。

ドラゴンAは考える
「我以下の2頭は緑目」
「論理的に考えて3頭中どの2頭をとっても少なくとも1頭緑目がいる」
「我とドラゴンBのうち少なくとも1頭は緑目」
「見てわかるようにドラゴンBは緑目」

「だがドラゴンBから見ると『論理的に考えて3頭中どの2頭をとっても少なくとも1頭緑目がいる』は成り立たない」
「我が赤目の場合、ドラゴンBからは緑目は1頭しか見えていないのだからな」

「とすれば論理的に考えて」
「皆が緑目であるか、」
「自分だけが赤目であるか、」
「のいずれかであるな」

おしまい。