面白い問題おしえて〜な 28問目
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tr(A^i)全部使っていいなら固有多項式の係数全部表せるのはまんまニュートンの漸化式やん。 >>305>>310
単に>>303風のグラフを描くなら対数で計算すればコップの中の水分子とかでも計算できますね
あとでやってみよう >>311
A = {a_ij} が3次行列のとき
tr(A) = a11 + a22 + a33,
tr(AA) = (a11)^2 + (a22)^2 + (a33)^2 + 2 a12 a21 + 2 a23 a32 + 2 a31 a13,
∴Aの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a11-x, a12, a13], [a21, a22-x, a23], [a31, a32, a33-x]}
= det(A) - (a11 a22 + a22 a33 + a33 a11 - a12 a21 - a23 a32 - a31 a13)x + (a11+a22+a33)xx -x^3
= det(A) - {(tr A)^2 -tr(AA)}/2 x + tr(A) xx - x^3,
>>312
n次多項式がn個の根λ1,λ2,・・・,λn をもつ(ガウス)が既知ならば
tr(A^i) = (λ1)^i + (λ2)^i + … + (λn)^i,
これは {λ1,λ2,…,λn} のi次の対称多項式だから、1〜i次の基本対称式で表わせる。
逆に、i次の基本対称式は tr(A) 〜 tr(A^i) で表わせる。 池の鯉の総数と調査します。
五郎君が名前に因んで56匹を捕まえて目印をつけ、池にもどしました。
次の日に三郎君が自分の名前に因んで36匹の目印のついた鯉を捕まえることにしました。
鯉45匹めで予定の36匹が捕まりました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。 >>314
トレースって跡ともいうけど、ずっと「あと」って読んでいた。
線形代数の本の索引で、ア行になくサ行にあったので気づいたわ。 >>311
A = {a_ij} がn次行列のときも
tr(A) = a_11 + a_22 + ・・・ + a_nn,
tr(AA) = (a_11)^2 + … + (a_nn)^2 + 2 Σ[i<j] a_ij a_ji,
(trA)^2 - tr(AA) = 2Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_ji),
∴ Aの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a_11-x, a_12, …, a_1n], [a_21, a_22-x, …, a_2n], ……, [a_n1, a_n2, …, a_nn-x]}
= det(A) - …… + Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_jj) (-x)^{n-2} + (a_11+…+a_nn)(-x)^{n-1} + (-x)^n
= det(A) - …… + {(tr A)^2 - tr(AA)}/2 (-x)^{n-2} + tr(A)(-x)^{n-1} + (-x)^n, 昨日出した問題だけど
数2Bまでの知識で解ける
a,b,c,dは実数とする。
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ。ただし、計算機は使ってはならない。 あれ?
a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
になって
(a^2-b)(c^2-d)
=(ac)^2-(a^2d+bc^2)+bd
=(ac)^2-(-16/3-4)+1
になって負になりっこない希ガス。 >>319
f(x) = (x^2+2ax+b)(x^2+2cx+d) = x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
をxで微分したら 4(x-2)(x-1)(x+1) となるから、
x=-1 で極小 f(-1)<0, x=1 で極大 f(1)>0, x=2 で極小 f(2)>0 となってそれ以外の区間で単調であるから、
f は ちょうど2つの単根を持つ。
したがって、(x+a)^2 - (a^2-b) と (x+c)^2 - (c^2-d) はどちらも重根を持たず、どちらか一方のみが2つの実根を持つことから、題意が示される。 >>321
すげぇ……判別式の形露骨に出ないように姑息に2a,2cみたいな係数にしてたのによく見破ったな……
>>322
ある
ウルフラム先生が言ってるんだから間違いない多分 >>321
すごいな。2つの判別式の積になってるって見抜けないと思いつかんなあ
>>320
また現れたか、デキッコナイス。なんなんだこいつは。
https://i.imgur.com/bLyuU1o.jpg あれ?>>320の間違いまじでわからん?
どこ間違ってるかわかる? >>325
これa,b,c,dの値固定されてるからacの値によらず(ac)^2-(-16/3-4)+1が常に負になる必要はないんじゃね(特定のa,b,c,dで負になるなら良い) >>326
いや、変形に計算間違いがないならacが実数である限り何であっても正になってしまう。
いまパソコンが壊れててて計算しか出来ないから検算しようがない。
自分で再計算しても同じとこ間違うのが関の山だし。
まぁ問題に一言も実数とは断ってないから実数でないのかもしれないけど。 >>328
aについてしか解いてくれてないけど。
虚数解混じってるし。
全部実数になる解あるの? >>329
More rootってあるだろ、これ以上はスレチになるからこことは違うところで調べてくれ あ、いや、ごめんなさい。
実数解ひとつあれば全部実数になる解は自動的にあるな。
あれ?>>320どこ間違ってるんだろう。
パソコンないとこうも手詰まりになるもんだな。 >>331
> a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より
> a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
a^2d+bc^2=4(a+c)-ac(b+d)
計算見直すだけだろ Wolfram 先生に
factorize x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
ってお願いして irreducible factorization 出してもらえば普通に a,b,c,d 構成できるんじゃないの
あと >>320 だけど
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
は計算間違いで本当は
a^2d+bc^2=4(a+c)-(abc+acd)
になって特に何が言える訳でもないと思うよ まだやってたのか、NG入れてあぼーんしてたから気づかなんだわ。
数学板の常連は意外と面倒見がいいんだな。 解決してた すまん
未解決だけど投稿します
各項の係数の絶対値が1以下であるような整数係数多項式 f(x)≠0 であって、x^4+x^3+3x^2+x+1 で割り切れるようなものは存在するか。 >>334
ありがとう。
後で気づいた。
お騒がせしました。 m種類の文字をm^n個並べた円順列で、連続するn文字の並びがすべて異なるものは常に存在するか?
例:文字0,1の円順列[00011101]中の3文字の並びは 000,001,011,111,110,101,010,100 で、すべて異なる。 じゃトレースがらみで
Aをn次正方行列とするとき、行列Bを
B[i j] =tr(A^(i+j))
で定められるn次正方行列とする。
この時
Aの固有値が全て異なることと det(B)≠0 である事は必要十分である事を示せ。 >>339
訂正
B[i j] = tr(A^(i+j-2))
です。 >>339,340
tr(A^i)はAの固有値のi乗の総和なので、行列BはAの固有値のヴァンデルモンド行列とその転置との積。
したがってBの行列式は差積の2乗つまり判別式。 >>341
素晴らしい!
正解です。簡単すぎてすまソ >>338
m=3、n=2の場合で考える。
別のケースでもいけるけど記述がうるさくなるので。
0〜m^n-1の整数を頂点とし[x/m] ≡ y (mod m^n/m)の時xからyに→を描いて向き付きのグラフGを作る。
このグラフが全ての点をちょうど一回づつ通る向き付きのループを持つ事を示せば良い。
隣接行列をfromが横方向、toが縦方向に来るようにとる。
また、見やすいようにfromは最下位桁以外が一致するものを固めてならべ、toは最上位桁以外が固まるように並べる。
今の場合なら例えば以下のようになる。
. 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 1 1 1
10 1 1 1
20 1 1 1
01 1 1 1
11 1 1 1
21 1 1 1
02 1 1 1
12 1 1 1
22 1 1 1
このなかの1から1をm^n個選びその表す部分グラフが連結成分数が1の向き付きループになるものを見つければ良い。
各行、各列からちょうど一個づつ選べば向き付きループの有限和にはなる。
例えば対角線上の1を全て選べば良い。しかしそれだと連結成分が複数出てくるので繋げていく。
まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えてそのブロックにあるループが成分一個になるようにする。
上の例なら
. 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 ○
10 ○
20 ○
01 ○
11 *
21 △
02 ○
12 △
22 ※
となる。
この時点で00→20→02→10→01→00、11→11、12→21→12、22→22の4成分。
ここで右上のブロックを占有するループの中の→のtoは最下位桁以外を無視して0〜m^n/m-1までの全ての数がでるから各ブロックを少なくとも1回づつ通過する。
よって先の様な挿げ替えを再び行って成分数を1にできる。 訂正
×まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えて
○ まず左上の(m^n/m)×(m^n/m)を必要なだけ挿げ替えて
訂正ついでにも少し補足。
挿げ替えとはA→B、C→DをA→D、C→Bと→を選び直す事。
この作業を何回か繰り返せば同じブロックに属する→は全て同一成分に出来る。
今の例なら
A→B→‥→A、C→D→‥→Cという2成分が
A→D→‥→C→B→‥→Aとつながって1成分減る。 あ、いらん訂正した。>>344であってます。
>>345は無かったことに。
同一ブロックに入るのはたとえばm=3, n=5ならたとえば
fromが02430,02431,02432,02433,02434,
toが. 00243,10243,20243,30243,40243
であるm×m個。
このfromがm個、toがm個のm×m通りは全て→で結ばれていて自由に挿げ替えられる。 >>346
スレ汚しすまん。まだ間違ってる。
挿げ替えのアルゴリズムは>>344では不十分。
以外に訂正。
とりあえず、全ブロックの→を挿げ替えで同一成分にする。
これで十分。
もしこれで2成分以上あったとする。
しかし元のグラフは連結なので2成分X YとXの通過する点とYの通過する点を結ぶ→がみつかる。
実際異なる連結成分を結ぶパスで長さ最小のパスを取ればそれは→である。
たとえばm=5, n=5で
X: …→02432→30243→…
Y: …→02431→10243→…
の02432と10243の様な組みである。
そしてこの部分は同一ブロックに属する。
しかし同一ブロックの→は全て同一連結成分になる様に取っているのでそれらが異なる連結成分に属するのは矛盾。 >>343
[1] (20点)
aを2以上の整数とし、有理数bを b = 1 + 1/a により定める。自然数nに対して、
S_n = Σ[k=1,n] k^(1/a),
とおく。ただし、k^(1/a) とはa乗するとkになる正の実数のことである。
以下の設問に答えよ。
(1) lim[n→∞] S_n / n^b = 1/b を示せ。
(2) lim[n→∞] (S_n - (n^b)/b)= ∞ を示せ。
[4] (20点)
nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
(C) 0≦k<n.
(D) k/n ≦ 1/m < (k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
条件(C),(D)を満たす整数kの個数を T_n とする。以下の設問に答えよ。
(1) T_50 を求めよ。
(2) 次の極限値を求めよ。
lim[n→∞]log(T_n)/log(n)
http://suseum.jp/gq/question/2951 >>321
x - 2/3 = X,
とおくと
f(x) = x^4 -(8/3)x^3 -2x^2 +8x +1
= X^4 -(14/3)X^2 +(80/27)X +(131/27)
= (X^2 +f)^2 -(14/3 +2f)(X-g)^2,
となり、2次因子に分解する。
2(14/3 +2f)g = (80/27),
ff -(14/3 +2f)gg = (131/27),
より
f^3 +(7/3)f^2 -(131/27)f -(9053/729) = 0,
g^3 -(2/5)g^2 +(7/3)g -(10/27) = 0,
f = (-7 +6(13+2√11)^{1/3} +6(13-2√11)^{1/3})/9 = 2.256314207884
g = (2 +3(4+25√11)^{1/3} -3(-4+25√11)^{1/3})/15 = 0.161393818172 >>349 (続き)
f(x) = (x^2+2ax+b) (x^2+2cx+d)
とする。
x^2 +2ax +b = X^2 +2√(7/6 +f/2)・(X-g) +f,
判別式 a^2 -b = (7/6 +f/2) -f +2g√(7/6 +f/2)
= (7/6 -f/2) +20/[27√(7/6 +f/2)]
= 0.5274900867207
x^2 +2cx +d = X^2 -2√(7/6 +f/2)・(X-g) +f,
判別式 c^2 -d = (7/6 +f/2) -f -2g√(7/6 +f/2)
= (7/6 -f/2) -20/[27√(7/6 +f/2)]
= -0.4504709612713
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(80/27)^2/(7/6 +f/2)
= -(4/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
= -0.237618966426144
< 0, 問題 : 4 リットルと 3 リットルの容器を使って 2 リットルの水を測るにはどうすればいい?
これが最短手順でいい?
[(0,0),(4,0),(1,3),(1,0),(0,1),(4,1),(2,3),(2,0)] [(0,0),(0,3),(3,0),(3,3),(4,2),(0,2)] は禁止? >>350 訂正
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
= (1/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
= -0.237618966426144
< 0,
分かスレ448-819,827 10Lの容器いっぱいに油が入っています。7Lの容器と3Lの容器を使って、この油を5Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。
https://katekyo.mynavi.jp/juken/know-how/7993
何でグラフで解けるんだろ? >>355満タン(10)(7)(3)の三つの容器をこの並びで置き、
初め(10)(0)(0)入っているのを移していく
→(3)(7)(0)
→(3)(4)(3)
→(6)(4)(0)
→(6)(1)(3)
→(9)(0)(1)
→(2)(7)(1)
→(2)(5)(3)
→(5)(5)(0)
8回で二分できた。 >>344-347
だいたい考えてた解答と一緒です。
自分のは、1234→2341→3412→4123→1234のようなサイクルをつないでいくやり方でした。
探索なしで生成する方法はないんでしょうかね? 前>>356両手ありで空にしたとこにすぐ入れるのをノーカンにするなら7回だけど、
(10)(0)(0)
→(3)(7)(0)
→(3)(4)(3)
→(6)(4)(0)省略可
→(6)(1)(3)
→(9)(1)(0)省略可
→(9)(0)(1)
→(2)(7)(1)
→(2)(5)(3)
→(5)(5)(0)
片手だと9回か。 >>350 >>353
(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 - (20/27)^2/(7/6 +f/2)
= (1/3) [(13+2√11)^{1/3} - (13-2√11)^{1/3}]^2
= -0.237618966426144
< 0, >>359
■式を展開してゆくと
(a^2-b)(c^2-d)<0
a^2c^2-a^2d-c^2b+bd<0
a^2c^2-(a^2d+c^2b)+bd<0
a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+ac(b+d)+bd<0
ac(ac+b+d)-(a+c)(ad+bc)+bd<0
ac(b+4ac+d)-3a^2c^2-(a+c)(ad+bc)+bd<0
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1
は作ることができたが
最終的に9a^2c^2+6ac-19>0となる >>357
え?自作問題なんですか?
よくこんなの思いつきましたね!すっげ!
とりあえず>>344-347みたいな解答できた後、明示的な解が作れないか考えたけど出来ずorz。
普段ならパソコンに探索させてやってみるんですが、今パソコン壊れててそれもできず。
少なくともm=2とかに限定すれば出来て不思議なさそうなんですけどねぇ? >>355
こうなると人間技では無理だな。
100Lの容器いっぱいに油が入っています。51Lの容器と49Lの容器を使って、この油を50Lずつに分けます。どのような分け方がありますか。 無限にも一般化できそうねこれ 既に解答あるかどうか知ってる訳じゃないけど
n を正の整数とする時、関数 f:Z→Z であって、F:Z→Z^n;F(x)=(f(x+1),f(x+2),…,f(x+n)) が全単射になるものは常に存在するか? De Bruijn torus みたいに多次元への一般化も考えられてるみたいだし、更にこんな一般化もできる ごっちゃごちゃやけど
m, n_1, n_2,…, n_m を正の整数とし、N=n_1*n_2*…*n_m とおく。この時、関数 f:Z^m→Z であって
F:Z^m→Z^N; F(x) = ( f(x+(1,1,…,1)), f(x+(1,1,…,2)), …, f(x+(n_1,n_2,…,n_m)) )
が全単射になるものは常に存在するか? とりあえず>>364 のページには ”こうすりゃできる” というのが載ってはいるが、なぜそれで出来るサッパリわがんね。
試しにm=n=3で手計算でやってみると
aaabaacabbabcacbaccbbbcbccc
……できてる……すっげ! 18: [] 2018/11/21(水) 02:38:57.162 ID:QyQDf8nQ0
これ頼む
https://i.imgur.com/AE4TWZ7.jpg >>368
刺身にタンポポの花を乗せるような単調作業は、このスレにはふさわしくない。 >>365
文字が整数ではなく自然数だったら、つまりf:N→N, F:N→N^nだったら、
n=2の場合、0 01 1 0212 2 031323 3 0414…
n=3の場合、0 001011 1 002012022102112122 2 003013…
のようにすればよさそうだけど、n≧4の場合はどうすればいいんだろう? >>368
計算機でやれば一瞬……打ち込むのに1時間程かかるwww >>374
左上から
横7cm → 縦5cm → 横4cm → 横8cm → 縦9cm → 横5cm,
下3段の縦の比
右端から 4:4:8 → 4:4:9 → 8:9 → 8:4:5 →→ 7:7:5:4:5
横の比 20:35:21:(5cm) >>363のwikiに載ってる方法
0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数を(必要なら上位を0で埋めて)m進数n桁表示で表示したとき、その最上位以外をひとつずつ上位に移し、最高位を最下位に移す写像を f とする。
このとき f は0 ≦ x ≦ m^n-1をみたす整数の全体 S の置換を与える。
この置換を互いに可換な循環置換の積 f = g[1]g[2]…g[t] で表す。
ただしg[i] = (n[i1]…n[ij]) n[i1]が最小限と表示するときワードw[i] = n[i1]…n[ij]は辞書式順序で昇順であるとする。
n[11]n[12]…をすべてつなげたワードをwとする。
そのワードの各文字をm^(n-1)で割った商で置き換えたワードがde Bruijn sequenceとなる。
--例--
m=3、n=2のとき。
f = (0) (1 3) (2 6) (4) (5 7) (8)
であるから
w = 0 1 3 2 6 4 5 7 8
であり各文字を3^1で割った商に置き換えて
001021222
はde Bruijn sequenceとなる。
……やっと証明わかった。
こんな構成法絶対思いつかん。 実数 x に対して [x] を x の整数部分と定める。この時、次の値を求めよ:
lim_(n→∞) (1/√n)Σ_(k=1,[√n])(n/k-[n/k]) >>378
収束するん?
全然収束してる感ないけど?
*Main> let f n = (/(sqrt n)) $ sum [n/k - (fromInteger $ truncate $ n/k) |k<-[1..(sqrt n)]]
*Main> mapM_ print [f x | x<-[10000..10010]]
0.39775176396203077
0.42960405947242447
0.4414551710047714
0.4733020995001393
0.46515384320018427
0.4370114006470376
0.4688537799785083
0.5106894801475358
0.4425649747743292
0.4843978105580605
0.37630141203414064 じゃあ問題変えよか
次を示せ:
Σ_(k=1,[√n]) n/k-[n/k] = (1/2)√n + O(n^(10/21)) >>380
>>378より主張が強くなってるけどホントに成立するん?
相当収束遅いんかな?
100000000000でもまだ0.01ぐらいの誤差あるけど。
この辺までくると計算誤差かもしれないけど。
もってる R(n)/n^(10/21) の上からの評価値と矛盾してない?
収束してても不思議ない感くらいはあるんだけど。
*Main> mapM_ print [f x | x<-[100000000000..100000000010]]
0.49838288499722044
0.4983868107954477
0.4983780874456663
0.4984167982310302
0.49843969769390706
0.4984309743244439
0.4984601983048952
0.4984957468592659
0.4984870234930951
0.49847830012017674
0.4984695768000378 >>381
誤差項の係数まで出してるわけじゃないから計算一つ一つ追ってくのはしんどくてすぐできそうにないけど、>>380 の右辺を
(√n)・(1/2 + O(n^(-1/42)))
と変形できて、n にそのまま 10^11 入れて n^(-1/42) 計算しても 0.547 くらいになるから、
むしろ >>381 の数値の 1/2 との近さは"良すぎる"くらいだね 言い換えれば >>380 の評価がガバガバすぎるってことなんだけど >>275
> 3次正方行列Aについて、tr(A) を det(Aと単位行列Eの式) の式で表せ。(detの中身は複数種類でも可)
これどうやるんですか? >>384
A の固有値を a,b,c とおくと
det(A+E) + det(A-E) - 2det(A)
= (a+1)(b+1)(c+1) + (a-1)(b-1)(c-1) - 2abc
= 2(a+b+c) = 2tr(A)
でいける >>387
想定してる解答ではそういう複素解析的な技術は使ってないよ
使えるのかどうかはわからないけど、n>n' として n' の時の和が n の時の和の部分和になってる訳じゃないから
今までと同じような方法で臨むのは難しそうな気がする >>388
違うのか…
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = O(n^(10/21))
を示せば十分で
x - [x] - 1/2 = -2/πΣ[i] sin(2πix)/i
を使って
Σ_(k=1,[√n]) (n/k-[n/k] - 1/2) = -2/πΣ[k] Σ[i] sin (2πi n/k) / i
で
Σ[i] sin (2πi n/k) / i = Σ [ξ] <sin (2πi n/k), ξ(i)> L(ξ, 1)
でL(ξ,1)を評価するのかなと。
でもこのL(ξ,1)の評価ネットで探してもありそでなさそで……
これむずい。気長にやります。 {x}=x−[x]と定義して、
Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}=(1/2)x^{1/2}+O(x^{1/3})
が示せた(計算ミスがなければ)。方針は>>389なんだけど、
L関数ではなく、普通にフェイェール核を使う。
あとはオイラー・マクローリン。 すまん、フェイェール核じゃなくてディリクレ核だった。 私も>>389訂正。L(ξ, 1)じゃなくてL(1,ξ)ね。
あとwolframで確かめてみたら
x - [x] - 1/2 = -1/πΣ[i] sin(2πix)/iですね。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-1%2Fpi*(sin(1+x)%2F1%2Bsin(2+x)%2F2%2B+sin(3+x)%2F3%2Bsin(4+x)%2F4%2Bsin(5+x)%2F5%2Bsin(6+x)%2F6%2Bsin(7+x)%2F7%2Bsin(8+x)%2F8%2Bsin(9+x)%2F9%2Bsin(10+x)%2F10)
これ気合で i:1〜10 足したけどもっと賢く入力できないのかな?
ここからオイラーマクローリンで行こうとおもったんだけど
∫[1,∞] a cos (ax)x (x - [x] - 1/2) dx (ただし a = 2πn/k)
の項が出てきて評価ができなかった。
Dirichlet の不連続因子っての使うのかなとも思ったんだけど眠くなってやめた。
積分苦手 orz。 計算が面倒くさすぎるので、使う道具だけ書いておきます。間違ってたらスマン。
m≧0に対して、D_m:R→R を D_m(x)=(sin mπx)/sin πx (x∈R−Z), m (x∈Z) と定義する。
また、f_m=D_{2m+1} (m≧0) と定義する。
基本的な性質の一覧。
D_0(x)=0, D_1(x)=1, D_m(1±x)=D_m(x)=D_m(−x) (x∈R, m≧1)
f_0(x)=1, f_m(1±x)=f_m(x)=f_m(−x) (x∈R, m≧1)
m≧1に対して∫(0,1/2)f_m(t)dt=∫(1/2,1)f_m(t)dt=1/2
m≧1, x∈R に対して Σ(n=1〜m) cos2πnx = −1/2+f_m(x)/2
m≧1, x∈R に対して {x}−1/2=−Σ(n=1〜m) (sin 2πnx)/(πn)+∫(1/2,{x})f_m(t)dt 定義 命題Pに対して、[[P]] ∈ {0,1} を次のように定義する。
[[P]]=0 (Pが偽のとき), 1 (Pが真のとき).
定理1 x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})D_m(t)dt = −[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して lim(m→∞)∫(1/2,{x})f_m(t)dt = −[[x∈Z]]/2.
特に、x∈R に対して Σ(n=1〜∞) (sin 2πnx)/(πn) = 1/2−{x}−[[x∈Z]]/2. 定理2 g:[0,1/2]→Rは[0,1/2]上でルベーグ積分可能であり、g(+0)が存在するとする。このとき、
Clim(m→∞)∫(0,1/2)f_m(t)g(t)dt=g(+0)/2.
ただし、実数列 {a_m}_m に対して Clim(m→∞)a_m=lim(m→∞)(a_1+a_2+…+a_m)/m と定義する。
定理3 a<bとする。g:[a,b]→Rは[a,b]上でルベーグ積分可能であり、n∈[a,b]∩Zのとき、
g(x)はx=nにおいて片側極限が必ず存在するとする。このとき、
Clim(m→∞)∫(a,b)f_m(t)g(t)dt=Σ(n∈[a,b]∩Z) (g(n−0)+g(n+0))/2.
ただし、a∈Z のときは、(g(a−0)+g(a+0))/2 の部分を g(a+0)/2 で置き換える。
また、b∈Z のときは、(g(b−0)+g(b+0))/2 の部分を g(b−0)/2 で置き換える。 定理4(オイラー・マクローリンの公式) a∈Z, b∈R, a<b とする。
f:[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して
Σ(a≦k≦x)f(k)=∫(a,x)f(t)dt+(f(a)+(1−2{x})f(x))/2+∫(a,x)f'(t)({t}−1/2)dt.
定理5(オイラー・マクローリンの公式) a, b∈R, a<b とする。
f:[a,b]→C はC^1級とする。このとき、任意の実数 x∈[a,b] に対して
Σ(a<k≦x)f(k)=∫(a,x)f(t)dt+((1−2{x})f(x)−(1−2{a})f(a))/2+∫(a,x)f'(t)({t}−1/2)dt. Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}=(1/2)x^{1/2}+O(x^{1/3}) の証明を大雑把に。
x>1として、Σ(1≦k≦x^{1/2}){x/k}=Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}+Σ(x^{1/3}<k≦x^{1/2}){x/k}
と分解して、まず Σ(1≦k≦x^{1/3}){x/k}=O(x^{1/3}). 次に、m≧1を任意に取って
Σ(x^{1/3}<k≦x^{1/2}){x/k}
=Σ(x^{1/3}<k≦x^{1/2})(1/2−Σ(n=1〜m) (sin 2πnx/k)/(πn)+∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt)
=([x^{1/2}]−[x^{1/3}])/2−Σ(n=1〜m)(1/(πn))Σ(x^{1/3}<k≦x^{1/2}) sin 2πnx/k
+Σ(x^{1/3}<k≦x^{1/2})∫(1/2,{x/k})f_m(t)dt (1)
と分解する。 >>398
kの小さいとこ分けるのはやったんだけどなぁ。
まぁやってみます。
ところで出題者さんに質問。
この誤差項のx^(10/21)の肩の数字はいくらでも小さく採れるんですか? だめだ、計算ミスがある。
ここまで書いてしまったが、すまんw >>400
や、今解答として用意してる計算のしかたであれば、最善のパラメーターのとり方でこの結果。
もっと和のとり方を工夫したら改善できるかもだけども >>403
そうなんですか。
むずいなぁ。
今のとこのスレの流れ的にいい線いってます? 普通に改善できた…でもパラメータ変えて誤差項の指数小さくできるかはっきりしないし問題は変えないことにする
(もし小さくできたとしてもややこしくなるだけだし変えないつもりだけど)
>>404
うーん、フーリエ展開から攻めるのはちょっとオススメしにくい
小数部分をとる関数 {x} に不連続点があるせいで級数が絶対収束しないから、
各フーリエ係数ごとに和をとってから全体を評価しようとするとどうしてもばかでかくなってしまう気がする
フーリエ級数いじるの得意じゃないし本当にできないのかとかについては何とも言えないけど 停滞するのもあれだし類題出しときます
lim_(n→∞) (1/logn)Σ_(k=1,[logn]) (n/k-[n/k])
は存在するか。 まだ暗算レベルだけど、Σ(k≦x^{1/2})({x/k}^2−{x/k}) だったら、
>>394-399で失敗した計算が救済できて
Σ(k≦x^{1/2})({x/n}^2−{x/n})=(-1/6)x^{1/2}+O(x^{1/3})
あたりのオーダーが言えそうな気がする。
また間違うかもしれないので書かないけどw >>407もダメだった。
B(t)={t}−1/2と置くと、>>407の場合、
∫(x^{1/3},x^{1/2})B(t)B(x/t)dt みたいなのが出てきて、
これのxに関するオーダーが計算できないw
どうやら、オイラー・マクローリンで計算すると、{x/n}の難しいところが
B(t)に移転してしまい、B(t)の積分計算ができなくなって失敗するっぽい。 >>275 >>384 >>385
・4次のとき
det(A+xE) - det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)
= 2 S_3 x + 2 tr(A) x^3,
より
tr(A) = {det(A+2E) -2det(A+E) +2det(A-E) -det(A-2E)}/(2・3!)
・5次のとき
det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x) -2abcde + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)
= 2 S_3 x^2 + 2 tr(A) x^4,
より
tr(A) = {det(A+2E) -4det(A+E) +6det(A) -4det(A-E) +det(A-2E)}/(4!)
・6次のとき
det(A+xE) - det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x) - (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)
= 2 S_5 x + 2 S_3 x^3 + 2 tr(A) x^5,
より
tr(A) = {det(A+3E) -4det(A+2E) +5det(A+E) -5det(A-E) +4det(A-2E) -det(A-3E)}/(2・5!)
・7次のとき
det(A+xE) -2det(A) + det(A-xE)
= (a+x)(b+x)(c+x)(d+x)(e+x)(f+x)(g+x) -2abcdefg + (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(e-x)(f-x)(g-x)
= 2 S_5 x^2 + 2 S_3 x^4 + 2 tr(A) x^6,
より
tr(A) = {det(A+3E) -6det(A+2E) +15det(A+E) -20det(A) +15det(A-E) -6det(A-2E) +det(A-3E)}/(2・6!)
S_k はk次の基本対称式。 S_1 = tr(A), S_n = det(A), >>275 >>384 >>385
A, E はn次の正方行列とする。
・nが奇数のとき
tr(A) = {1/(n-1)!}Σ[k=0,n-1] (-1)^k C(n-1,k) det{A + (k-(n-1)/2)E},
・nが偶数のとき
tr(A) = {1/2(n-1)!}Σ[k=0,n] (-1)^k {C(n-1,k)-C(n-1,k-1)} det{A + (k-n/2)E},
ただし、C(n-1,n) = C(n-1,-1) = 0 和のとり方を改善してパラメータをとり直した結果、
>>380 の誤差項を O(n^(5/12)・logn) まで改善できたので一応報告
けど予定通り、問題の主張を変えるつもりはなし ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています