面白い問題おしえて～な 28問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:19:23.87

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:23:17.37

(*)　3～6問目で「datが存在しません。」が出ます。

削除依頼は不要です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 01:18:29.19

削除依頼を出しました

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/29(月) 16:37:23.99

過去ログ27の898つづき。
扇形OAB=3.14c㎡
AB^2=(2√2-2)^2+2^2
=8-8√2+4+4
=16-8√2
AB=√(16-8√2)
=2√(4-2√2)
△OAB=(1/2)･2√(4-2√2)･√{(2√2)^2-(4-2√2)}
=√(4-2√2)･√(4+2√2)
=√(16-8)
=2√2
三日月形AB=3.14-2√2
(=3.14-2.8284……
≒0.312)
ABを延長、半直線AB上にP(遠いほう)から垂線PCを下ろす。
ABの中点をNとすると、
ON=2△OAB/AB
=2･2√2/2√(4-2√2)
=√(4+2√2)
扇形PABの高さPC=ON+PH
=√(4+2√2)+PH
扇形PAB=(1/2)AB･PC-三日月形AB
=√(4-2√2)･{√(4+2√2)+PH}
=√8+PH√(4-2√2)
=√8+√(8-OH^2)(4-2√2)
=　c㎡
(考え中)
OP//BQ(外側のQ)
中心角∠AOB=45°
円周角∠APB=22.5°
NB=√(4-2√2)
△OPQ∽△BQP
√は消えるはず……

【末吉】 · 2018/10/30(火) 00:26:22.58

前>>4
図描いたら円Oは一辺4㎝の正方形にすっぽり入るから半径2㎝かもしれない。
OP=2㎝
OM=MA=1㎝
なんで√が要るのかすらももうわからない。
円Aの半径は1㎝のようだ。小学生向けか。
とりあえず前スレのはなんだったんだという感じで、仕切りなおし。

【だん吉】 · 2018/10/30(火) 00:55:37.66

前>>5円の中に一辺4㎝の正方形だった。あってる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 01:50:09.86

〔前スレ．898〕 (再掲)

これも中学の入試問題

図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり、OAの中点をMとする。
点Aを中心として点Mを通る円を描き、円Aとする。
円Oの周上に点B, Pが、円Aの周上に点Qがあり、次の条件を満たしている。
　・∠AOB = 45°
　・BQと円Aは接している。
　・OPとBQは平行
このとき、直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。
円周率は 3．14 とする。

図1 http://i.imgur.com/uYNULrq.jpg
図2 http://i.imgur.com/s7n55LS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 02:20:42.83

>>7
> 図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 03:00:18.86

前>>6
>>7-8我々は我々ながらよく気づいた。公立行って日本語勉強したほうがいいと思わせる問題だった。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 12:45:59.96

前>>9
弧AB=円Oの円周/8
=2･3.14･2/8
=1.57㎝
扇形OAB=3.14･2^2/8
=1.57c㎡
AからOBに垂線を引いてできる、弧ABを斜辺とする直角三角形について、三平方の定理より、
AB^2=(√2)^2+(2-√2)^2
=8-4√2
AB=2√(2-√2)
=1.5307338
≒1.53㎝
△OAB=OB×(AからOBに引いた垂線)×(1/2)
=2×√2×(1/2)
=√2
≒1.41c㎡
三日月形AB≒1.57-1.41
=O.16c㎡
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)
≒0.7653669を掛け、
三日月形AB=O.16を足すと、
4つの扇形PABの値が出ると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 16:00:16.62

まだ合わないね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 16:57:56.36

Memo．

cos(22.5ﾟ) = (1/2)√(2+√2) = 0.923879532511
sin(22.5ﾟ) = (1/2)√(2-√2) = 0.382683432365

O = (0，0)
円O：　xx + yy = 8,
A = (-(√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = (-√(4-√8)，-√(4+√8) )
B = ( (√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = ( √(4-√8)，-√(4+√8) )

円A：　{x + √(4-√8)}^2 + {y + √(4+√8)}^2 = AM^2 = 2,

点Bをとおる円Aの接線は
　y = ±m{x -√(4-√8)} - √(4+√8)
　m = 1/√(7-4√2) = 0.862856209461
接点Qは
　x(Q) = -(1 -1/√2)^(3/2) = -0.1585126677811
　y(Q) = -3.68384840　と　-1.542403459

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 21:45:13.29

前>>10Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±√2)
NB=√(2-√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=2^2-(2-√2)
=2+√2
△PAB=√(2-√2)･{√(2+√2)±√2}
=√2±√(4-2√2)
=2.4966057
または0.3318213
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=1.57-√2
=0.1557865
∴扇形PAB=2.4966057+0.1557865
=2.6523922c㎡(2.65c㎡)
または扇形PAB=0.3318213+0.1557865
=0.4876078c㎡(0.488c㎡)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 23:06:38.55

まだ違う。
てかもう答え出てるんだから何故それで検算してみてから書き込まないの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 23:38:37.99

>>14検算はしました。といっても電卓だし。
答えが出てるとは思ってない。
せめて答えは√がなくなると思ったんだけど。
もちろんsinやcosも小学生にそこまで求めないと思うし。
面積だから単位はc㎡だと思うけど、求める図形が2つか4つか、いくつあるかもわからない。
前>>13

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 23:45:12.35

>>15

> >>14検算はしました。といっても電卓だし。
> 答えが出てるとは思ってない。

出てる答えの何が間違ってると思うん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 01:11:26.66

Memo．

cos(22.5ﾟ) = √{[1+cos(45ﾟ)]/2} = 0.9238795325
sin(22.5ﾟ) = √{[1-cos(45ﾟ)]/2} = 0.3826834324

O = (0，0)
円O：　x^2 + y^2 = (2r)^2,
A = (-2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(A)，y(A))
B = ( 2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(B)，y(B))

AB = x(B) - x(A) = 4r sin(22.5ﾟ) = 2√(2-√2) r = 1.53073373 r^2,
y(A) = y(B) = -√(2+√2) r,

円A：　{x - x(A)}^2 + {y - y(A)}^2 = AM^2 = r^2,

点Bから円Aに曳いた接線は
　y = ±m{x -x(B)} + y(B),
　m = 1/√(7-4√2) = 0.862856
接点Qは
　x(Q) = -(1/4)(2-√2)^(3/2) r = -0.1120854 r

OP//BQ より
　y(P) = ±{2m/√(1+mm)} r = ±(1/√2)√(2+√2) r = ±1.306563 r,
　y(P1) - y(B) = (1/2)(2+√2)√(2+√2) r,
　y(P2) - y(B) = (1/2)(2-√2)√(2+√2) r,

△ABP1 = (1/2)AB{y(P1)-y(B)} = (√2 +1)r^2,
△ABP2 = (1/2)AB{y(P2)-y(B)} = (√2 -1)r^2,

(三日月型AB) = (π/2 - √2)r^2 = 0.15658276 r^2,

∴　S = (π/2 ± 1)r^2,

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2018/10/31(水) 03:27:59.82

https://imgur.com/a/pQmEjCF
点Pから点Qに団地の路地を毎秒１ずつ進む。
1)緑の団地脇を抜ける最短経路の長さはいくつか。
2)A君家からB君家まで最短で何秒かかるか。

点Pスレに貼っても無反応だったので

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 04:30:04.94

>>18
団地一棟の一辺は√5。
1)
P → Q ： 15
P → A → B → Q ： 2 + 5√5 + 4 = 6 + 5√5
P → A → C → Q ：問題外
P → A → D → Q ： 2 + 4√5 + 3 = 5 + 4√5
P → B → C → Q ：問題外
P → B → D → Q ：問題外
P → C → D → Q ： 4 + 4√5 + 3 = 7 + 4√5
より5+4√5。
2)題意がP → A → B → Qと進むという意味なら6 + 5√5。
ーーーー
ABとPQが逆？
1)も緑の団地脇のみを抜けてPからQへは移動できないし。
なんでもいいけど。

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2018/10/31(水) 05:56:19.70

>>19
あってる。ありがと。
そうね、PABQの時間だねごめん
ABが逆だと思ったのは外接を点CDでやったからだと思う
俺想定してたのがC1～C7点でやったから関係なかったねごめん
初めからC点つけとけば良かったな

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/31(水) 09:53:18.49

前>>15
>>13と>>17の三日月形ABの値が少し違うのは3.14とπの違いかな。
問題に3.14を使えとある。だからここは>>13のほうが正しい。実際より少し小さい値になる。

問題文によると、
>>7一辺4㎝の正方形にちょうど入るってことなんで、
OP=2
OM=MB=1
ただし、図を優先すると値は変わる。
Pが4つか2つか。2つずつ一致するとみて答えを求める。
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)を掛け、
三日月形ABの面積を足す方針。
もしもPが2つずつ一致するなら、
ABの中点をNとして、
△OAB=NB･(ON±√2)
扇形OAB=NB･(ON±√2)+三日月形AB
NB=√(2-√2)
ON=√(OB^2-NB^2)
=2^2-(2-√2)
=√(2+√2)
扇形OAB=√(2-√2)√(2+√2)±√(2-√2)√2
=√2±√(4-2√2)
√は外せないか。
Pは4つあるかもしれない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 10:08:52.50

出てる答えがπr^2/2 + r^2だから
>>15
>答えが出てるとは思ってない。
てか？
まぁじゃ好きにすればいいけど。
いつになったら正解にたどり着くん？
ホントに東大卒？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 10:12:40.56

>>22
>πr^2/2 + r^2
おっとコレ大きい方の答えね。小さい方の答えはπr^2/2 - r^2。
出てる答えは条件みたすPは４ヶ所、面積は２通り。
まぁ頑張って下さいませ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 12:26:50.70

ちがった。現在上がってる答えはπr^2/8 ± r^2/4だった。
r = 2 なら π/2 ± 1 = 2.57、0.57。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/31(水) 20:00:52.00

前>>21題意の文章のとおりだと、>>13であってると思うんだけど、図を優先すると円Oの半径が2√2となり、値は変わる。面積は2倍になる。
Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±2)
NB=√(4-2√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=(2√2)^2-(4-2√2)
=4+2√2
△PAB=√(4-2√2)･{√(4+2√2)±2}
=√8±2√(4-2√2)
=2√2±2√(4-2√2)
=2.828427±2.1647844
=4.9932114
または0.6636426
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=3.14-2√2
=0.311572875
∴扇形PAB=4.9932114+0.311572875
=5.3047842c㎡(5.30c㎡)
または扇形PAB=0.6636426+0.311572875
=0.9752154c㎡(0.975c㎡)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 21:48:18.01

一応オリジナルなんだけどもしかして有名問題だったりするのかしらと一抹の不安を感じながら投稿

実数から実数への連続関数fは有界であり、任意の実数xに対して
f(x+√2)=(f(x)+f(x+1))/2
を満たす。この時、fは定数関数であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 00:37:19.95

分かすれ447の888より未解決

fを実係数n次多項式、s_0,s_1,...,s_nを相異なる実数とすると
f(x+s_0),f(x+s_1),f(x+s_2),...,f(x+s_n)は一次独立であることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 01:42:46.87

>>27
f(x) = Σc[j]x^j とおき Σ[i] a[i] f(x+s[i]) = 0 とする。
Σa[i] c[j] (x + s[i])^j = 0 である。
n-k次の係数は
Σa[i] c[n] C[n k] s[i]^k
+Σa[i] c[n-1] C[n-1 k-1] s[i]^(k-1)
+Σa[i] c[n-2] C[n-2 k-2] s[i]^(k-2)
……
+Σa[i] c[n-k] C[n-k 0] s[i]^(k-k)
でこれが0であるから帰納的に
Σa[i] s[i]^k = 0 (k=0,1,…,n)
である。
ここでVandelmonde(s[i]^k)の行列式は零でないからa[i] = 0である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 02:18:37.45

>>25
もし>>13があってたら
△PAB=√2±√(4-2√2)
三日月AB = π/2-√2
で答えが
π/2±√(4-2√2)
になるやん？
中学受験の答えがこんなんになるはずないでしょ？
半径が2√2でも答え２倍になるだけだからありえへんでしょ？
やり直し。

**sage** · 2018/11/01(木) 04:00:36.26

>>27
nについての帰納法で。
n=1 のとき (略)

n-1 に対して成立したとする。
　n次の多項式f(x)に対し、因数定理より
　f(x+⊿) - f(x) = g(x)⊿,
　g(x) は高々n-1次の多項式で、係数はf(x)の場合と同様。
いま
　Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k) = 0,
とする。x^n の係数を比べて
　Σ[k=0，n-1] c_k ＋ c_n = 0,
だから
　0 = Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k)
　= Σ[k=0，n-1] c_k {f(x+s_k) - f(x+s_n)}
　= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
帰納法の仮定により g(x+s_k) は1次独立。(k<n)
∴ c_k (s_k - s_n) = 0,　　(k<n)
題意により s_k - s_n ≠ 0, (k<n)
∴ c_k = 0　　　(k<n)
∴ c_n = -Σ[k=0,n-1] c_k = 0,
∴ f(x+s_k) も1次独立。(0≦k≦n)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 04:11:28.52

>>30
>f(x+⊿) - f(x) = g(x)⊿,

これあかんやろ？
f(x+⊿) - f(x)は⊿でくくれるけど⊿^2以上の項があるからくくったg(x)にも⊿がのこるからg(x)は⊿に依存する。
つまり正確には
f(x+⊿) - f(x) = g(⊿,x)⊿
になる。
すると
>= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
のところは
Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(s_k-s_n,x+s_k)
になりg(s_k-s_n,x+s_k)は単純に同一のn-1次式をシフトしただけの組ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 06:01:46.13

以前に出題された「体積が最大になる表面積1の多面体」(面白いスレ26:420～)について
計算でそれらしい解を出していたのだけど、今回それらを視覚化してみたので投下しておきます。

内接球との接点から頂点までを結んだ線を追加していますが、稜を挟んで向かい合う三角形はそれぞれ対称であるはず。

8面体 http://imgur.com/wYhPa1z.gif
9面体 http://imgur.com/yIbytVb.gif
10面体 http://imgur.com/rESWAMh.gif
11面体 http://imgur.com/airhHDk.gif
12面体 http://imgur.com/Cb0Go9K.gif
13面体 http://imgur.com/G7QDmpg.gif
14面体 http://imgur.com/G6jsj9s.gif
15面体 http://imgur.com/EYjweqv.gif
16面体 http://imgur.com/imr1D2Q.gif

17～19面体略

20面体を作ってみたところ、12枚ある五角形が野球ボールの縫い目のように整列しているような形が出てきました。

20面体 http://imgur.com/006j3bX.gif

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 06:08:04.77

なお、>>32 の各図形について最大であるかどうかの証明はしていません。
何回か試行して他に良い解がなく、かつ対称性が高いものを採用しています。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 06:31:27.51

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イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/01(木) 12:26:31.61

>>29一瞬√2が消えるのにまた出てくるジレンマ。

前>>25
問題文の「正方形に入る」は、「正方形が入る」なのかな？

いずれにしろ半径が√2倍になったら面積は2倍。出題者の考えを聴こう。これ以上やってもおもんない問題になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 12:52:25.04

①方程式 x⁴+y⁴=6z⁴+12w⁴ は, (x,y,z,w)=(0,0,0,0)以外の有理数解を持たないことを示せ.

②Xをk+m次正定値エルミート行列とせよ.
X=[[ A, C], [C^*, B] ]
とブロック行列表示せよ.
ここで, Aはk次行列, Bはm次行列, Cはk×m行列であり,
C^*はCの随伴行列である.
このとき,
det(X) ≦ det(A) det(B)
を示せ.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 18:40:47.40

>>36
①ても足もでない。
ヒントおながいします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 00:21:03.79

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イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/02(金) 15:20:39.27

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前>>35

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 02:50:14.57

広場に3つの扉がある。
扉の見た目はいずれも同じ。

ひとつは「一瞬で天国に行ける」扉
ひとつは「1日の間ずっと広場から出られない」扉
ひとつは「2日の間ずっと広場から出られない」扉

扉は、開けた瞬間に効果があらわれる。

扉の効果があらわれると、すぐに扉は閉じられ位置がランダムにシャッフルされる。
そのため、前回の位置にある扉が今回も同じとは限らない。

さて、この広場を訪れた者は平均何日で天国にたどり着けるだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 03:06:50.27

平均 A 日で天国に行けるとすると
　A = 1/3・0 + 1/3・(A + 1) + 1/3・(A + 2)。
　∴ A = 3。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 05:56:24.41

〔問題2926〕
mを正の整数とする。
θを 0≦θ≦π/2 の範囲で動かすとき、次の関数の値域を求めよ。
　f_m(θ) = √{1 -(sinθ)^m} + √{1 -(cosθ)^m}.

http://suseum.jp/gq/question/2926

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 05:57:53.47

〔問題2931〕
ΔABCにおいて、
　辺ABを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ X，Y
　辺BCを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ Z，W
　辺CAを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ U，V
とする。（0<f≠g<1）
このとき ΔXZU と ΔYWV が相似であれば、ΔABCは正三角形であることを示せ。

http://suseum.jp/gq/question/2931

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 06:00:39.16

〔問題2937〕
⊿ABCで AB=7，AC=4，また辺BC上の1点Dについて AD=7/2 である。
BD、CD がともに正の整数であるものとして、BDの長さを求めよ。

http://suseum.jp/gq/question/2937

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 06:03:25.27

〔問題2938〕
3個のサイコロA，B，Cをこの順で1度づつ振る。
いちばん小さい出目が2のとき、いちばん大きい出目が4である確率はいくらか？

http://suseum.jp/gq/question/2938

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 08:27:56.87

>>41
エレガントな解だなぁ。

早速、シミュレーションしてみました。
> door <-function(){
+ stay=x=sample(0:2,1)
+ while(x!=0){
+ x=sample(0:2,1)
+ stay=append(stay,x)
+ }
+ sum(stay)
+ }
> re=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,door())))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.606 2.914 3.003 3.001 3.083 3.427

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 09:19:53.97

サイコロをふって１の目がでたら終了。　終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 10:29:30.90

>>47
自信がないけど
x=1/6*1+5/6*(x+4)を解いてx=21でいいんだよな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 11:35:59.53

>>45
3/15=1/5

x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[a..6],c<-[b..6],minimum[a,b,c]==2]
length x --15
length $ elemIndices 4 (map maximum x) -- 3

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 11:39:29.08

>>49
これは間違い、組み合わせじゃなくて順列にしなくちゃいけなかった。

x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[1..6],c<-[1..6],minimum[a,b,c]==2]
length x -- 61
length $ elemIndices 4 (map maximum x) --12

12/61

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 12:08:51.34

>>47
サイコロをふって１の目がでたら終了。　

（１）終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？

（２）総和が５０以上になる確率はいくらか？

（２）はどうやって解けばいいんだろ？

場合分けして１～４９まで場合分けして余事象でだすしかないのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 15:16:07.91

>>51
そうだと思うけど…
SageMath：
,var x
f = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)
1-f.taylor(x,0,49).subs(x=1)

2887816213848518927/28430288029929701376
0.101575341438975

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 15:31:30.50

>>51-52
おおよそなら、1回1以外の目が出るごとに平均して総和が4大きくなるから、
総和が50以上になるのは12～13回1以外の目がでればいい。
(5/6)^12 = 0.112156654784615
(5/6)^13 = 0.0934638789871792
近似としてはまあまあか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 16:42:30.14

>>52
を部分分数分解して無理？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 17:47:45.86

>>54
なるほど！そうすればできるね。
,var n
R.<x> = CC['x']
g = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)/(1-x) #x^nの係数は総和がn以下になる確率
pfd = g.partial_fraction_decomposition()
p = sum(c.numerator()/c.denominator().subs(x=0)*(-1/c.denominator().subs(x=0))^n for c in pfd[1]) #pは総和がn以下になる確率

sage: p
-0.924602908258674*e^(-0.0450727249412852*n)
- (0.0141317451913899 + 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 - 1.18446726809051*I)*n)
- (0.0141317451913899 - 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 + 1.18446726809051*I)*n)
- 0.0172163389039878*e^(-(0.361410021965218 - 3.14159265358979*I)*n)
- (0.0149586312272785 + 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 - 2.18509474953750*I)*n)
- (0.0149586312272785 - 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 + 2.18509474953750*I)*n)
+ 1.00000000000000

sage: 1-p.subs(n=49)
0.101575341438976 + 5.79026428787119e-24*I

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 18:27:17.22

能力的についていけない、コードと議論なんだけどRでのシミュレーション解（１０００回の頻度の１０００回平均値）と一致しております。

> dice = function(){
+ total=x=sample(6,1)
+ while(x!=1){
+ x=sample(6,1)
+ total=total+x
+ }
+ total
+ }
> re50=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,dice()>=50)))
> summary(re50)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0740 0.0950 0.1010 0.1013 0.1070 0.1350

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 21:23:52.08

>>56
生成関数をTaylor展開で1を代入は場合分けしているのも同然だし、nが変わるごとn回微分するのはコストがかかる。
部分分数分解すればn乗ですむ、というのが>>54の指摘。
生成関数の部分分数分解は基本ともいえるのにでなかったのが恥ずかしい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 00:25:20.63

結局有理関数のテイラー展開の係数だからn項間関係の漸化式とけばいいんだね。

Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map head $ iterate(¥p -> (++[0] )$ tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%6] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 01:08:35.11

訂正
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map ((/(head d)).head) $ iterate(¥p -> tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%1] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 04:19:27.45

答えが1/4じゃなくて10/49なのはトランプ問題
では、答えが4/25じゃなくて20/61なのは何問題？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 08:06:33.61

>>60
>50は>45の確率

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 08:18:37.88

>>59
>51,56です。
いつも簡潔なHaskellのコードをありがとうございます。
自分にはか初見and/or失念のコマンドを調べながら勉強してます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 11:05:02.24

>>36の①がムズイ。
どうやるんだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 13:20:58.52

>>57
すみません。
そもそもテイラー展開が出てくる理屈からしてわからないものです。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/04(日) 13:38:11.75

前>>39
>>44
BD=5または6または7

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 16:33:37.60

答え載せてるんだから、コレよりいい解答を見つけよが題意じゃね？
答えだけ書いてどうする？
しかも十分性成り立ってないし。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 16:41:52.33

>>51
総和の分布ってパラメータ1/21の指数分布になるみたいだな。

グラフにするとそんな感じだけど証明はわからんのであしからず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 16:56:27.49

>>44
△ABC∽△DACになるようにしたら相似比2:1だからBC=8, CD=2 となってBD=6。
それしかないかを調べるにはどうするのがよいだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 17:03:14.33

>>64
生成関数のべき級数展開をx^49の項まで求めているだけです。
ここでの生成関数はx^nの係数が総和がnになる確率です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 17:34:30.63

>>44

AB=7, AC=4, AD=7/2,

BC < AB + AC = 7 + 4 = 11,

BC = BH + CH
= √(AB^2-AH^2) + √(AC^2-AH^2)
≧ √(AB^2-AD^2) + √(AC^2-AD^2)
= (7√3 + √15)/2
= 7.99867

∴ 8 ≦ BC ≦ 10

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 17:49:00.39

>>61
>>45の答えは12/61だけど、20/61になるような改題は作れる？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/04(日) 18:41:40.54

前>>65△ABCを描き、BC上にAD=7/2なるDをとると、
x=BDの条件は、
AB-AD＜BD＜AB+AC
7-7/2＜x＜7+4
よってBDは4、5、6、7、8、9、10のいずれか。
AからBCに垂線AHを引くと、
AC^2-CH^2=AB^2-BH^2
=AD^2-DH^2
4^2-(y+z)^2=7^2-(x+y)^2
=(7/2)^2-y^2
16-(y+z)^2=49-(x+y)^2
=49/4-y^2
xとyについて解くと、
196-4(x^2+2xy+y^2)=49-4y^2
196-4x^2-8xy=49

8xy=147-4x^2
y=147/32-2=83/32
yとzについて解くと、

BD=4のとき、y=DH、z=CH-yとすると、
DC=DH+HC=y+z=83/16+z
=83/16+CH-y
――中略―――――
BD=4、5、6はいずれもNG
――中略―――――
x=BD=7のとき、
49/4-y^2=7^2-(7-y)^2
=49-(49-14y+y^2)
49/4=14y
y=7/8
CH=√{16-(49･15/64)}
={√(1024-735)}/8
=(√289)/8
=17/8
y=DH=√{(7/2)^2-(7√15/8)^2}
=7/8
BH=√{7^2-(7√15/8)^2}
=49/8
BD=BH+DH=49/8+7/8=56/8=7
CD=CH-DH=17/8-7/8=10/8=5/4
BD=7はNG
x=BD=8、9、10は未調査。
この中にある可能性がある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 18:49:12.73

そもそも答え出すだけなら

(x^2+3.5^2-7^2)/7x=-(y^2+3.5^2-4)^2/7y
3.5<x<10.5, 0.5<y<7.5

の整数解出すだけだから問題としては大して難しいわけでもない。
エレガントなやつを求められてる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 18:50:32.50

あ、式所々おかしいけどエスパーに期待

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/04(日) 19:45:58.67

前>>72
BDが整数のときCDも整数になったらそれが答えなんだが、BD=8、9、10でもならなんだ。
しらみ潰しに調べてしらみを潰しきった。
∴解なし
または計算間違い。
おそらく同じ図を使ったときAH辺り同じ数字を使った可能性がある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/04(日) 22:35:51.00

>>75
AB=7,AC=4,AD=7/2,BD=x,CD=y
cos(∠ADB)+cos(∠ADC)=0→(x^2+49/4-49)/(7x)+(y^2+49/4-16)/(7y)=0
正整数解は(x,y)=(6,2)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/04(日) 23:05:37.18

前>>75見落とし、6を。
x=BD=6のとき、
AB^2-BH^2=AD^2-DH^2=AC^2-CH^2
7^2-(x+y)^2=(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2=16-z^2
xとyについて解くと、
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2
(3/4)49-x^2-2xy=0
y=(3/8x)49-x/2
x=6を代入し、
y=49/16-3
=1/16
yとzについて解くと、
(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49/4-y^2=16-z^2
z^2=16-49/4+y^2
z^2=15/4+y^2
y=1/16を代入すると、
z^2=15/4+1/256
=(15･64+1)/256
=(960+1)/256
=961/256
z=31/16
CD=y+z=1/16+31/16=2
BDもCDも整数ゆえOK。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/05(月) 08:02:22.38

前>>77訂正。
整数→正の整数

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 15:04:22.76

数列{a_n}は
a_1=1
a_(3n+1)=a_(2n+1)
a_(3n-1)=a_(2n-1)
a_(3n)=-a_n
を満たす。この時、 lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 16:07:54.33

>>70

BC が決まると、ピタゴラスの定理より BH，CH が出る。
　2BH - BC = BH - CH = (BH^2 - CH^2)/(BH+CH) = (AB^2 - AC^2)/BC = 33/BC,
　BH = (BC + 33/BC)/2,
　CH = BC - BH = (BC - 33/BC)/2,
さらに
　y = DH = √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = √(BH^2 - 147/4),
　x = BD = BH - DH = BH - √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = BH - √(BH^2 - 147/4),
または
　x = BD = BC - CH - √(CH^2 + AD^2 - AC^2) = BC - CH - √(CH^2 - 15/4),
これに BC = 8，9，10 を入れる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 16:55:39.33

サイコロを１０００回ふったとき１２３４５６の順に並ぶめがある確率は？

(1000-6+1)/6^6=995/46656= 0.0213263

であってる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 17:05:06.59

>>81
10万回のシミュレーションで
> diseq = function(x) grepl("123456",paste(sample(6,x,rep=T),collapse=''))
> re=mean(replicate(1e5,diseq(k)))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179
なので多分、あってると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 17:49:29.47

>>81

24961325273729411157493296049923162050180048167808600668865194878033743728420689
84376099408174097463441629168520294258369368829106815003461566130708953839682920
95221171948291726439658114424799498019097661179266489639765057526270978013345104
76524747032016146895691394753020822407944413722991044460400808243936692906887421
58562789397002085900222149015685484765540355084031630923512566224026716368839141
57709132547009630669030748477906517799741669954712570078185561021427430325179405
72821546368625756251314713494685242945606761774980997529512510098234243941523221
41377931716188773349134288985450150950313965433089387066776103030489204172673462
73213105601812900585824575190324664251243051466881215047349049321238316686313754
951248352723962319494352745433967465925847447405514305001/6^1000
≒0.017620460571654540349...

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 18:18:13.85

>>81
「123456」を２つ以上含む場合を無視すれば合ってる。

「123456」の前後5回以内に「123456」はないから短時間の負相関があるが、それを無視すると
　1 - {1 - 1/(6^6)}^(1000-6+1) = 0.021100729

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 18:29:06.48

p[n]=n回目までに１２３４５６の並びが無い確率

p[n]=「n-1回目までに１２３４５６の並びが無い確率」-「n-1回目までに１２３４５６の並びが無く、n回目で１２３４５６が現れる確率」
=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)

p[0]=p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=1

求める確率は 1-p[1000]

あとは任せた

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 19:02:20.70

g[n]はn回目までに123456の並びがある確率
f[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が12345で終わってる確率
e[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1234で終わってる確率
…
b[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1で終わってる確率
a[n]はn回目の時点で上のどれにも当てはまらない確率
とすると、
a[0]=1, b[0]=c[0]=d[0]=e[0]=f[0]=g[0]=0,
a[n+1]=(5/6)a[n]+(2/3)(b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
b[n+1]=(1/6)(a[n]+b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
c[n+1]=(1/6)b[n],
d[n+1]=(1/6)c[n],
e[n+1]=(1/6)d[n],
f[n+1]=(1/6)e[n],
g[n+1]=g[n]+(1/6)f[n]
となるから、あとはがんばる（他力本願）
>>85 も同じになるんかねこれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 20:53:19.32

>>83　
変換行列間違えました。

29894670002765580717622018953762664878384906585883227072416001286367327613872462
36176982687935042063489589508768499096701653359496110507628202771697652461481898
15867083862983975849719649919755556602395081603445217810191450771872978378492822
20929434295896536747523490245609702844253652551469152963247478735449528154607738
94897010212340239653386134088594267247751133592603591616944486751154360658915673
06079634567518636788329151870647053752023096491715169208527344676777484044463919
37957902455021334206833507250332593780127396266576899688383930527654264882692836
52659851277089138926126233125349416055818289864095231536195189335702592341232170
57986389166894334399077869160455544669456052004648395254763440350805452857924718
777798944034868387931340048957755897293189482452979797088/6^1000
≒0.021102960211841870224...

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 21:00:04.55

>>86　と同等の内容を、行列を使って計算させたのが、87の結果です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 21:06:03.03

エレファントな解答を求む。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 22:15:57.52

>81と>87の差異はどういう違いでしょうか？
123456を1個含むか複数かの違いでしょうか？
複数許容なら数値の大きい方でいいのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 22:38:47.29

どかーん！
(⌒⌒⌒)
　｜｜

／￣￣￣￣￣＼
|　・　Ｕ　　　　　　|
| |ι　　　　　　　|つ
Ｕ｜｜￣￣｜｜
　　￣　　　　　￣
呼んだ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 22:53:10.54

>>90
81の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたときの当選回数の期待値に等しい。
84の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたとき、少なくとも一回当たりくじを引く確率に等しい。

「目的の出目が六回続けて出る」という事が達成される確率が1/6^6。
普通のクジなら、外れを引くとクジ一個分を無駄にする。
しかし、この問題の場合は、いわば途中まで成功していた分のクジも無駄になることになる。
一回の失敗で、無駄になるクジの数が１枚の場合もあれば、複数の場合もある。
チャレンジできる回数が995回固定ということはない。

さらに、失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を
踏み出していたことになるが、それ以外の目で失敗したら、第０歩から
スタートすることになる。単純に「失敗」と言っても、内容が異なることもある。

本来はこのような機微に関わる問題で、厳密な値は、シンプルな式では表せない。

87や86は、6^1000通りある全てのパターンを想定している。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 22:59:51.87

チャレンジできる回数が995回固定されないかも
ちょうど1000回使い切ることもありうる

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/05(月) 23:21:44.43

>>92
解説ありがとうございました。

＞失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を踏み出していたことになる

この理解が私には欠けていました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/06(火) 02:48:39.54

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134

完全追尾型多項式が完成しました

宝の個数を２で固定します

P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48

Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48

■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意

P1st／Q1st

=｛8(n-1)｛(n-2)n-6｝/｛2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3｝｝+1

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/06(火) 03:09:24.93

>>85
任されたんぢゃ、生姜ねぇ…

線形漸化式は
　p[n] = p[n-1] - p[n-6] /(6^6),

特性多項式は
　t^6 - t^5 + (1/6)^6
= (t-α) (t-β) {tt -2Re(γ_1) t + |γ_1|^2} {tt -2 Re(γ_2) t + |γ_2|^2},

特性根は
α = 0.9999785642321302281427595561300279367871
　　= 1 - (1/6)^6 - 5･(1/6)^12 - 40･(1/6)^18 - …

β = 0.11947305512892524659941083415872186721

γ_1 = |γ_1| e^(i θ_1)
　|γ_1| = 0.117113316705063892011642575051190099053
　θ_1 = 2.5253513177722176449

γ_2 = |γ_2| e^(ｉ θ_2)
　|γ_2| = 0.11436934616195511830934529716995273057
　θ_2 = 1.279751470687185368

p[n] = 1.00000000689325α^(n-5) + c_0 β^n + c_1 |γ_1|^n cos(n θ_1+ d_1) + c_2 |γ_2|^n cos(n θ_2 + d_2)
　　　= 1.00000000689325α^(n-5)　　　　　　　　(n>>1)
　　
∵　0．114 < |β|，|γ_1|，|γ_2| < 0．120　なので

1 - p[1000] = 1 - 1.00000000689325α^995 = 0.021102960211842

1.00000000689325 = 1 + 15 (1/6)^12 + …

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/06(火) 03:39:44.90

>>84

いったん「123456」が完成すると次の5回はデッド・タイムになるわけか。

GM計数管（放射線測定器）の分解時間、不感時間みたいなものかな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/06(火) 05:08:26.34

>>44
BD、CD が半整数でいいなら、もう一つ解があるらしい…

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/06(火) 05:12:24.35

haskell先生の答え
*Main> let ps = map (!!6) $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 + 6%(6^6) - (sum $ take 6 x)/6^6]) $ [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,0,0,0,0,0,0]
*Main> fromRational $ ps !! 999
2.110296021184187e-2

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/06(火) 05:17:27.31

>>98
あった
*Main> [(x,y)| x<-[4.0,4.5..10.0],y<-[1.0,1.5..7.0],y*(x^2+(3.5)^2-7^2)== -x*(y^2+(3.5)^2-4^2)]
[(4.5,4.5),(6.0,2.0)]