logの時とは全然違うかと。

∫sinxcosx dx = S(x) とおくと
S(x) = -cosx cosx - ∫(-cosx)(-sinx)dx
= -(cosx)^2 - S(x)
よって
2S(x) = -(cosx)^2　　…(1)

また
S(x) = sinx sinx - ∫(sinx)(cosx)dx
= (sin x)^2 - S(x)
よって
2S(x) = (sinx)^2　　…(2)

(2)-(1)より
0 = (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1
よって
0=1 が証明された。

さて、どこが間違っているのでしょうか。