高校数学の質問スレPart398
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
すみません、>>840の(1)は4で解決したのですが、
(2)が人によって答えが様々なので
数学得意な方いらっしゃったら正しい答えを教えて下さい。
ちなみに自分が解くと-12、友人は-16や12になります。 ちなみに途中式はこのような感じです。
途中
=1-(a+b)^2-2ab+1
=1-(-4)^2-2(-1)+1
=1-16+2+1
=-12 >>861
ご自身で>>841で間違いに気づかれているのに、
なんで>>840のままでab、a+bを代入した-12を答えにするんですか?
841を基に代入したものであってますよ。 先生に、「合同式は教科書の”発展”の内容だから、試験では使ってはいけない。」と言っていました。
方程式よりも合同式を使った方が楽なのですが、飽くまで検算用ということでしょうか? 先生が、でしたね。
a-bがmの倍数のとき〜などと定義を記述すれば良かったりはしないのでしょうか
他にも、プラーマグプタの定理についでですが、こういった一般的に教科書に載っていないものは証明しないと使ってはいけないと聞きました。
なんだか不自由ですね。 >>865
使っていいです。
英語や古文、漢文で教科書に載っていない単語が試験に出してはいけないとかありますか? 学校の定期試験では使うなよってだけなんじゃ?
大学入試でなら構わんのじゃ? ほかの数学の先生にも訪ねてみようと思います。
ご意見ありがとうございました。 sin(2α+β)ってどうやって求めるのでしょうか? すみません。
0<α<π/2,π/2<β<πのとき、
sinα=√17/17,cosα=4/√17,sinβ=4/5,cosβ=-3/5
このときのsin(2α+β)の値を求めよ。
という問題なのですが解けません 加法定理に当てはめて、
sin(2α+β)=sin2α·cosβ+cos2α·sinβ
(sin2α=2sinαcosα,cos2α=2cos^2α-1)
で求めればいいでしょうか? まず加法定理を使う
するとsin2αとcos2αがでてくるから
これにも加法定理を使う 質問に答えて下さった御二方、どうもありがとうございました
もう一問わからないものがあるので、お時間のある方教えて下さると嬉しいです。
https://i.imgur.com/lvkIxpe.jpg ちょこちょこと変じゃないか?
なんでマルチしちゃうかなあ 答えはあってるよ
ただaの範囲がおかしいのでXだが 書いているのは軸ではなくて頂点
「-2≦2a≦2のとき」とか「0<2aのとき」とか表現がおかしい
なぜ求める最小値、最大値がそこになるのかの説明になっていない 三角形の重心について質問です
「三角形ABCがある
ABを1:2に内分する点をL
BCを1:2に内分する点をM
CAを1:2に内分する点をNとして
三角LMNの重心は三角形ABCの重心と一致することを示せ」
この問題自体はそれぞれの点の位置ベクトルをとって証明できたのですが
一般にa;bで内分するにしても、図形的に(あるいは座標で)もっとうまく証明できないかと考えています
ベクトルを使う、以外の証明の仕方はありませんでしょうか?
問題を解けはしましたがどうも気になるので……よろしくお願いします 重心の概念自体がベクトル的だからなー
座標に翻訳くらいは簡単だろうが 西から昇ったおひさま見えるのだ 中3の計算が表彰
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1547943919/
http://news.livedoor.com/lite/article_detail/15898440/
http://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/4/8/48dfb_1509_2eb48673_c01104a6.jpg
西から昇ったおひさま」が見たい。弘前市の中学3年の工藤優耀君が
そんな研究テーマに取り組み、最優秀賞に輝いた。
まず三平方の定理を使った計算で、高い所ほど地平線までの距離が長くなることを証明。
西の地平線に太陽が沈んだ直後に、素早く高所に行けば再び太陽が地平線から顔を出すと考え、
50秒で地上350メートルの展望台に到達する東京スカイツリーのエレベーターで実現性を検討した。
計算では地球を半径6400キロメートルの完全な球体、スカイツリーの位置を北緯36度などと仮定。
地上で日没を見た瞬間にエレベーターに乗ると、50秒後に何メートルまで上がれば太陽が再び見えるかを
三角比や理科の知識も駆使して計算した結果、「35メートル」という解を得た。
つまりスカイツリーのエレベーターなら計算上は余裕で西から昇る太陽が見られることがわかった。 pを素数とし、rを1以上p-1以下の整数とする。
1〜pの整数が1つずつ書かれたp枚の札がある。
ここからr枚を取り出すろき、取り出した札に書かれた数の和がpの倍数になる確率はいくらか。
これはどのように考えればよいでしょうか。
また、実際の試験で、一般的には解けそうになくて
姑息に部分点狙いで
(p,r)=(2,1)のとき ・・・ 1/2
(p,r)=(3,1)のとき ・・・ 1/3
(p,r)=(3,2)のとき ・・・ 1/3
・・・
というふうに、いくつかの場合を具体的に求めた答案を書いたら
どれくらい部分点がもらえそうでしょうか。 放物線x=y^2-y+1の頂点と焦点の座標、および、準線の方程式を求めよ。 >>893
勝手に自分で求めろよ。
教えを乞う態度じゃない。 (y-β)^2=4p(x-α)の形に式変形すれば、
この放物線がy^2=4pxをx軸方向にα、y軸方向にβだけ平行移動したものとわかるので、
焦点と準線もそれだけずれている。 aとbが実数のとき。
「a=b」であることは「任意の実数kに対してka=kb」であるための
必要条件でしょうか十分条件でしょうか >>897
丸投げにするんじゃなくて少しは考えようぜ。 ⇒は言えますが⇐は言えないと思うので
十分条件だと思いますた k=0のときはaとbが異なっていてもka=kbになってしまうので
そう思いました >>902
任意のkでしょ?
k≠0でも成り立たないといけないんだぞ? そうだよ。
k=0でもka=kbは成り立たないといけない。
k=0のときだけa≠bでも成り立つ。
もちろん、k=0のときもa=bは成り立つ。
さて、任意のkで成り立つのはどういうとき? 任意のというのは、好きなものを1つ選ぶということじゃないのですか。
「問1と問2のうち任意の一題を選んで解答せよ」というのは好きな方を選べということですよね 好きなものってのはちょっと違うんでないかな
それだと都合のよいものを選んでそれで成立すればOKであるかのように誤解される >>906
もしも選ばなかった方の問題を選んだとしても正答であれば同じ点数が入るということが担保されているということ。
任意の実数もそうでなければいけない。 国語辞典みたいな用例を比較して「任意という言葉にはこういう意味もある」
などと言ってみたところでナンセンス。
数学用語で使われる「任意のk」は「どんなkに対しても必ず」という意味。
これは暗記すべし。そういう言葉の定義だ。用例の比較は意味を成さない。
「任意の実数kに対してka=kb」とあったら、
「どんな実数kに対しても必ずka=kbが成り立つ」という意味。
すると、特にk=1に対してもka=kbが成り立つのでa=bとなり、
つまり「←」が成り立つ。だから必要十分条件。 学校の先生に聞いたところ
お前の考えであってるよ
「任意の実数kに対して〜」じゃなくて「0でない任意の実数kに対して〜」だったらまた違うけど
と言われて安心したのですが
その後こちらの掲示板の書き込みを読み直して考え直すと
なんか先生(&私)の方が間違っている気がふつふつとしてきました。
もうちょっとよく考え直してみます。
何で数学のくせに言葉が難しいの・・・ 好きなものって言葉は、あるkに対して、って感じだな 自分ガ選んだ a と b に対して、
誰がどんな実数 k をもってきても ka=kb が成り立つためには、
a と b をどのように選んでおかなければならないか、
ということ。
任意の k とは、自分の側には k に対する選択権がない、ということ。 どこの高校だか知らんが
そんなモグリのいるとこ絶対通わせたくない >>910
わかなかったら実験してみるといいですよ
k=0のときはどうかな
k=1のときは?2のときは?
全部試してみてちゃんと成り立ってるか確かめましょう 悪いアタマで考えました。こういう理解でいいですか。
「任意の実数kに対してka=kb」・・・・・・(1) を見て、私はまずk=0の場合を考えましたが
(1)は私だけでなく私を含む不特定多数に向けて提示されていて,
どんな人がどんなkを考えてもka=kbとなるように準備万端な状態でスタンばってる。
kとして3を考えたり10を考えたりπを考えたりする人もいるかも知れないけど
どんなkを考えて来られてもka=kbとなるのだと。
その準備万端状態を実現するには、a=b でなくてはならない。 理解の確認用で
三角形について
「正三角形」であることは「任意の2辺について長さが等しい」であるための
必要条件でも十分条件でもある
でいいですか。 >>917
良いです
任意の2辺ということは、どんな組み合わせを選んでも良いということです
どんな2つを選んだとしても同じだということは、全部の長さが同じということですね >>917
あってる。
しかし本当に大学に行ったのかと思うやつが数学教師やって給料もらってんだな。
給料泥棒としか言いようがない。 >>917
後者には三角形であるという条件がないのでひし形とかでもいいことになってしまうのでは? 「三角形について」という条件下でのことなのでひし形とかの図形にはならない。 >>922>>924
数学の得意なやつはこのレベルの条件の見逃しは絶対にしない。 >>890
r=1,2,p-1,p-2の時から確率は1/pと予想できる
rについてのこの確率の事象の数をN(r)とおけば
N(r)/pCr=1/p
となる
まずN(r)の漸化式でやるのは辛そう
そこでpCrに注目して
pN(r)=pCr
と変形する
右辺はrについての全ての選び方
左辺は(pの倍数になる事象の数)にpを掛けたもの
ここからN(r)に似たような対になるモノが合計p個あるんじゃないかって事が見える
そこから和がpの倍数になるっていうのはつまり≡0(mod p)ってことなので≡1,2,3...p-1の時でも事象の数は全く同じなのではないかとも予想できる
後はそれを示すだけ >>890
解いてみた
p が素数以外のときも考えると
(p, r)=(4, 2), (6, 3) などでは確率は 1/p に
ならないので、p と r が互いに素のとき
確率が 1/p になると予想できる
「対になるモノp個」を以下のように作れば
証明できる
元の r 枚の選び方を {a(k)} (k=0, 1, ..., r-1)
とおき、それぞれに 1, 2, ..., p-1 を足したものを含めた p 通りの選び方
{a(k)+j} (j=0, 1, ..., p-1) を考える
(足した数が p を超えたらpを引く)
・互いの選び方は一致しない
(一致すると p に 2 以上の約数があることが
示せ、p が素数であることと矛盾)
・それぞれの和を p で割った余りは一致しない
(余りは r ずつ増える)
よって p 通りのうち 1 つの和が p の倍数
となり、確率は 1/p といえる x2-xy-2y2-5x+y+6で
=x2-(y+5)x-(y-2)(2y+3)までできましたが、次のやり方がわかりません… >>929
x^2-xy-2y^2-5x+y+6
=x^2-(y+5)x-(y-2)(2y+3)
=x^2+((y-2)+(-2y-3))x+(y-2)(-2y-3) ありがとうございます。
y-2の符号は変えないのですか? >>931
x^2+(a+b)x+ab の形に式を変形するのが目的なのだけど、
x^2-(y+5)x-(y-2)(2y+3) ならば、上の形に式を変形するために
a+b=-(y+5)
ab=-(y-2)(2y+3)=(-1)×(y-2)×(2y+3)
と置いてみる
結局、この問題の場合は、(-1)と(y-2)と(2y+3)を、どのようにaとbに振り分けたらa+b=-(y+5)となるか考えてみましょ
ということになります。 3次関数のグラフは適当に平行移動すると、ある奇関数のグラフに一致するというのは自明なのですか?
あと、2乗の項と定数が0なら奇関数になるというのも自明ですか?
例えばテストで断りなく使っていいのでしょうか? 計算技術を問うているとしか思えないような問題の解答に「自明」と書いたら零点だろうな。 「奇数次項なら奇関数」が自明で無かったら何が自明なんだ? 自明ではあるが、テストで
「f(x)=ax^3+bxのときf(-x)=a(-x)^3+b(-x)=-(ax^3+bx)=-f(x)。よってf(x)は奇関数」といった程度の字数を惜しむような状況がわからない
変なとこで減点喰らうならフルで書いた方が良くないかな 例えば対称な区間上の多項式の積分で奇数次が消せる, とかいうふうに使うのはいいだろう
奇関数であることを確認するのが本質らしい問題ならそりゃ丁寧にやるべきだが 楕円9x^2+4y^2+36x-40y+100=0の二つの焦点のうち、y座標が大きい方の座標と、長軸の長さがわかりません。すいません、助けて欲しいです >>940
教科書読め
(-2, 5+√5), 6 ちょっとマルチっぽくなりますが、下記の小問3つの解き方お願いします…
分からない問題はここに書いてね450
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1546128004/ >>945
大問2の(4)、大問3の(3)(4)です >>946
どこまでできたんですか?
まず自分がやったとこまで書きましょう。 大問2の(3)までは、
BC=6^(1/2)+2 ^(1/2)
三角形OBC=1/2
三角形EBO=[2+{2 ^(1/2)-6 ^(1/2)}a]/4
大問3の(1)(2)は、a: 4, 18、b: 3, 80
そこまでしか分かりません… >>948
とりあえず、大問2の(4)はどこまでわかったんですか?
四角形ABCDはどんな四角形かもわからなかったんですか? >>949
https://i.imgur.com/IlXa0wv.jpg
ここまでです。
sin65°とsin40°の使いどころが分かりません。
https://i.imgur.com/pvMyOyL.jpg
大問3はiとjにうまく当てはまる組み合わせが見つかりません。 >>950
ADの長さが分かっていることはわかりました。
それで、四角形ABCDはどんな四角形ですか? 高さを求めたいですね
大問3についてもアドバイスお願いしますm(_ _)m >>952,953
大問3は大問2が解決してからです。
はい、そうです。
台形を求めるにはどうしたらいいか考えたら高さがまだ不明ですよね。
三角形でも勉強したと思いますが、高校では斜辺と角度を使って高さを求めることを勉強しましたよね? ABを使ったら高さは表せますよね?
でも今度はABが分からない。
だったら三角形ABCに注目すれば…。 >>957
ABを求めればいいだけですよね。
ACという未知数を増やしてどうするんですか?
対角と外接円の半径が分かっていればABは求まりますよね? ちょっとレスできなくなりそうなので先に大問3のヒントを書いておきます。
数学は着実に一歩一歩論理を進めていかないと答えにたどり着けないので、
まずは確率のことは横に置きどういうときに常に正になるかを考えてください。
そして、(i,j)を(a,b)と置き換えました。
(i,j)は36通りですが、(a,b)は4≦a≦18、3≦b≦80だから(18-4+1)×(80-3+1)通りもあるのかと勘違いすると絶望的な気分になりますが、
aとbは(1)と(2)で求めた範囲の全整数をとりません。
a=2iなのでa=5とかは取らないとわかるはずです。
ちゃんと確かめれば(i,j)と(a,b)は1対1に対応していることが分かるはず。
すなわち(i,j)のことは考えず(a,b)で処理してしまえばいい。
たかが36通りなのでどうにでもなるはずです。 あ、4tでした。
三角形ABCと三角形ACDの合計で求められますね! あ、三角形の面積求めるのにsinかけるの忘れてましたw
答えは(3√6+3√2-2a)stですね! ∫1/(x^3+x)dxで積分範囲が0から√2の問題で、計算途中にlog0が出て来て解けないです。解き方教えて下さいm(_ _)m nを自然数、1≦k≦nとして、A[k](cos(kπ/n),sin(kπ/n))、P(p,q)としたとき、lim[n→∞]1/nΣ[k=1〜n]PA[k]の最小値を与えるp,qはどうなるのでしょうか >>970
一応、答えはlog2-1/2log3になるみたいです
問題文は書き間違えてませんでした >>972
積分区間の下端で被積分関数の分母が0になるのに高校数学でやるわけないだろ >>974
なるほど、テキストの誤植っぽいですね
ありがとうございます! >>971
lim[n→∞] (1/n)納k=1〜n] PA[k]
= (1/2π)∫[0, 2π] √(1 + 2OP・cosθ + OP^2) dθ (← 余弦定理)
≧ (1/2π)∫[0, 2π] (1 + OP・cosθ) dθ (← OP≧0)
= (1/2π)∫[0, 2π] dθ
= 1,
等号成立は OP = √(pp+qq) = 0 のとき。 >>978 1行目から2行目にかけてどこに余弦定理を用いたのかわかりません… >>962
>a=2iなのでa=5とかは取らないとわかるはずです。
こちらは分かりました。
>ちゃんと確かめれば(i,j)と(a,b)は1対1に対応していることが分かるはず。
こちらが分かりません…
どなたか助けていただけますか…?
ちなみに問題は下記です。
(1)4,18
(2)3, 80
までは解けています…
https://i.imgur.com/zEBs11n.jpg >>980
まずは確率のことは横に置きどういうときに常に正になるかということはできているでしょうか? いえ、、二次関数で常に正といえば判別式しか思いつきません…
頂点(a/2, -a^2/4+b)で考えようとしても5<x<7をどう扱ってよいのやら… む、10<x<14で頂点のy座標がプラスならよいのでしょうか? すると10<x=a<14でa=12
頂点のY座標が0より大きいのでb>24
それに該当するbは20個なので20/6・36=5/54が答えになりますか?
ただしbはしらみつぶしに数えただけなので時間がかかり過ぎるように思います… (4)は判別式で解こうとするとa^2>8bで詰まってしまってダメかな… (4)は判別式から当てはまるa, bは54通りの間違いでした。
54/6・36で答えは1/4でどうでしょうか? うーむ、>>983の考え方はやっぱり違う気がする… 「関数f(x)が全てのxで正である場合」を問われている問題とは異なることに注意が必要 それは分かります…
5<x<7が頂点以外の場合をどう考えたらよいものかと… >>991
グラフで考えればわかると思う
頂点ではなく、x軸との交点を考える y=0を代入してx*2-ax+b=0からどうすれば良いのでしょうか、、216通りからしらみつぶしに探す方法は数が多すぎて諦めました… >>993
それの解がi+jとi-jなんだから(以下略 >>982
確率以前に二次関数の扱い方で躓いてますね。
下に凸の二次関数について、「実数すべてが定義域の場合」常に正ならば判別式<0は必要十分条件ですが、
定義域が実数すべてを取らない場合、判別式<0は十分条件です。
すなわち条件がきつすぎる。
確かに判別式が負なら常に正ですが、
定義域が実数すべてでなければx軸と交わっても定義域や注目する範囲では正を取ることがある、
ほかにも正になる場合があるということです。
以前も言ったように一度確率のことは忘れて、どういうときに注目する範囲で常にゼロになるかちゃんと二次関数の部分を復習してください。
二次関数の最大・最小などと銘打たれたセクションのところを見れば載っているはずです。
確率のことはそれからです。
そうでないと、あなたが二次関数の絡まないサイコロやくじなどの場合の数や確率の問題は何でも解ける方であったとしても、
この問題は解けません。 >>995
訂正
×どういうときに注目する範囲で常にゼロになるか
○どういうときに注目する範囲で常に正になるか >>980
(3)について。問題文により、異なる二つの解の存在は保証されています。(実際に判別式を計算すると
D=4j^2>0となります)よって放物線は常にx軸と二点で交わります。あとは放物線と区間(5<x<7)の位置関係を考えると満たすべき条件がわかります。軸よりもx軸との交点に注目すると簡単でしょう。
(4)については、D>0だけで正解にたどりつけます。 1から9までの数字から2つの数字を選ぶってのがそもそも36通りしかないんだから全部書きあげてはどうだろうか? このスレッドは1000を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 103日 13時間 17分 53秒 5ちゃんねるの運営はプレミアム会員の皆さまに支えられています。
運営にご協力お願いいたします。
───────────────────
《プレミアム会員の主な特典》
★ 5ちゃんねる専用ブラウザからの広告除去
★ 5ちゃんねるの過去ログを取得
★ 書き込み規制の緩和
───────────────────
会員登録には個人情報は一切必要ありません。
月300円から匿名でご購入いただけます。
▼ プレミアム会員登録はこちら ▼
https://premium.5ch.net/
▼ 浪人ログインはこちら ▼
https://login.5ch.net/login.php レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。