Michael F. Atiyahがリーマン予想を証明しました。
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>>239
素数だけの式にするのに、解析接続は関係無いだろ >>251
定義領域以外ってことを言いたかっただけ 1+1/x+1/x^2+1/x^3+…=x/(x-1)=1/(1-1/x)
が分かっていれば、ゼータ関数の足し算を素数だけの式に変えるのは中学生でも出来る >>253
リーマン予想の証明を知っていれば中学生でも証明できる >>230
> ゲーデルが決定不能な命題の存在を証明したのは正しく自然数の体系内でのことだぞ?
ゲーデルの第一不完全性定理は直接的にはペアノの公理系に対するもので、
自然数論で或る命題Gが存在してGもその否定¬Gも、どちれもペアノの公理系からは証明できないというのが第一不完全性定理。
以下、与えられた公理系X(Xは自然数論のペアノの公理系PAを含むもの)に対し上の命題Gに相当する命題(の一つ、Gに相当する命題は無数に存在)を
「公理系Xに対するゲーデル文」と呼びG(X)で表そう。
集合論の公理系ZFCは適切に定数記号や関数記号を定義することで自然数論を展開できるからZFCに対しても不完全性定理は成立するが
公理系ZFCに対するゲーデル文G(ZFC)はペアノの公理系に対するゲーデル文G(PA)とは全く異なる命題だ。
> 大体が、ウソつきのパラドクスや床屋のパラドクスなんかのどこにそんな超越的な要素があるのか?
嘘吐きの逆理に観察される矛盾はタルスキーの定理(真理概念の定義不能性)からの帰結に過ぎず
要するに「この文は偽だ」の類の記述を許す形式的体系は矛盾を含んでいるというだけの話。
床屋の逆理は嘘吐きの逆理の言い替えに過ぎない。「パラドクス(逆理)」という名前に惑わされないように。
> あと可算選択公理だとバナッハ・タルスキーのパラドクスは起こらないってのは証明されたことなのか?
もちろん証明されている。バナッハ・タルスキーの逆理に関する以下の専門書に証明がある。
Grzegorz Tomkowicz & Stan Wagon, "The Banach-Tarski Paradox", Cambridge University Press (2016), 特にそのCollorary 15.3 (p. 299)
>>228
> 証明がなされていない以上、勝手に選択肢を「ありそうに無い」などと言う思惑で否定することこそ敗北主義だ。
> 数学を否定してしまっている。
普通の数学の基盤である公理系ZFCと独立と考えるということは、普通の数学では不可能だと証明への努力を放棄するに等しい。
つまり今まで幾多の数学者が積み上げてきた従来の数学を否定し放棄するということだ。だから敗北主義と呼ぶ。
公理系との独立性を疑うのは最後の最後の手段。リーマン仮説に対する研究は最後の最後の手段を必要とする段階には全く至っていない。 オイラー定数をγと置く。nの約数の総和をσ(n)と置く。RHは
σ(n)<(e^γ)*n*log(log n) (∀n>5040)
と同値であることが知られている。こちらの命題をAと置く
RHはZFCから独立だと仮定する
すなわち、AはZFCから独立だと仮定する
このとき、Aはペアノの公理系からも独立である なぜなら、
もしAが真であることがペアノの公理系から証明可能なら、
ZFCの中でペアノシステムを構成して同じ証明を復元すれば、
Aが真であることがZFCからも証明可能になって独立にならない
もしAが偽であることがペアノの公理系から証明可能なら、
ZFCの中でペアノシステムを構成して同じ証明を復元すれば、
Aが偽であることがZFCからも証明可能になって独立にならない
よって、Aはペアノの公理系から独立である すると、(5040より大きい)どんな「具体的な自然数n」に対しても
σ(n)<(e^γ)*n*log(log n)が成り立つ
なぜなら、ある「具体的な自然数n」に対して
σ(n)≧(e^γ)*n*log(log n)が成り立つなら、
両辺の数値計算を実際に書き下して≧を確かめた時点で、
ペアノの公理系においてAが偽であることが
証明できたことになって矛盾するからだ まとめると、もしRHがZFCから独立ならば、「具体的な自然数」に対しては
Aは常に真となることが保証されることになるので、現実世界で
「具体的な自然数」を扱っている場面では、Aは常に真と見なしてよい >>259
RHがZFCから独立かどうかに関して、
どのようにお考えですか。 >>255
コーエンは努力を放棄して(主にカントールの)積み上げてきたものをぶっ壊した敗北主義者だった……? >>261
> コーエンは努力を放棄して(主にカントールの)積み上げてきたものをぶっ壊した敗北主義者だった……?
理解力のない人だね、君って
何か勘違いしているみたいだが、カントール自身の集合論はラッセルの逆理で示されたように最初から矛盾してたので既に終わってたわけだが
その矛盾を解消するためにツェルメロが公理的集合論を創始し、
フレンケルが矛盾の発生原因としてツェルメロによって制限を加えられた内包公理をより強力だが安全な置換公理へと改めて公理系ZFCが生みだされ、
(他にもフォン・ノイマンの基底公理も追加)
更に選択公理ACの奇妙さが問題となりZFCからACを除いた公理系ZFを考えたりするようになったわけだ
この集合論の場合のように、新しく公理系を作る場合、可能な限り冗長性のない=互いに自分以外の残りの公理群とは独立な公理だけを選ぶのが数学での美的センスというものだよ
言い換えれば公理系を作り上げる時には最初から独立性に対する配慮や深い洞察が不可欠ということだ
このACは様々な不思議な(感覚的には納得し難い奇妙な)帰結を与えることが徐々に判明してきた
だからACが他のZFの公理と矛盾していないのか(奇妙な現象は矛盾の前触れではないのか)といった心配が起こり、この心配にはゲーデルが問題ないというお墨付きを与えた
また公理系のデザインでの独立性の観点からACが残りの公理群つまりZFと独立か?という根本的な興味(ユークリッド幾何での平行線の公準が他から導出できないか?という興味と同じ)に対して
肯定的な答えを与えたのがコーエン
そしてコーエンが創造した強制法という手段は実に強力で、選択公理の独立性だけでなく元祖カントール以来ずっと解決できなかった連続体仮説の問題に対しても独立だという証明を与えたわけだ
だからコーエンによる選択公理の独立性の証明は、そもそも公理系の各公理の独立性の保証という公理系集合論の開祖ツェルメロからの悲願に応えたものであってぶっ壊したわけでなく建設を完成させたのだ
「敗北主義」と呼んだのは普通の数学の難問に見える類の問題を公理系と独立か、と騒ぎ既存の数学での証明・反証を放棄する態度
公理系の独立性の保証や連続体仮説のように最初から公理として追加する必要あるかも?と考えられた類の命題の独立性を問うこととは全く違う ある高名な数学者が言ってたんだけど、リーマン予想が証明されたら因果律が壊れるんだと >>263
>この心配にはゲーデルが問題ないというお墨付きを与えた
これは何の話ですか? 選択公理が認識される前から、数学者は無意識に自明のものとして選択公理を使用していた。
仮にZFCをこえる公理が必要とされるなら、まず数学者は「普通の数学」の展開の中で無意識のうちに「自明なもの」として使い、あとから数学の基礎を固める段階で、
いつの間にか新しい公理を無意識に使っていたと判明するのではないか。 >>263
微妙に違うな
矛盾とはある公理系からφ∧¬φが証明されることであって、カントールの集合論は公理系がないので矛盾の定義に該当しない
お前の言う「敗北主義」の定義は公理主義が制定されていることを前提としていて普遍的ではなく、個人攻撃のために定めたもののように見える
仮にそこから公理主義の前提を除くと、カントールが連続体仮説に生涯を費やす所に独立という結論を持ち寄ったコーエンは「敗北主義」となるから、ダブルスタンダードを回避するためなのかもしれないが あらゆる可能性を考えるのが数学本来の姿だ。
この考え方をしてはダメだとかいうのは、賢しらな人間のおごりだ。
個人の価値観から、これまでの経験から、あるいは何らかの合理性から、
検討に優先順位をつけるのはかまわない。
しかし、それを他人に押し付けるべきではない。人それぞれでいい。
人それぞれの優先順位で数学をすべきだ。数学は自由なものだ。
数学の自由さの否定につながる考え方は、個人的敗北主義よりたちが悪い。
数学そのものを埋葬する自傷自殺主義だ。 >>268
> 矛盾とはある公理系からφ∧¬φが証明されることであって、カントールの集合論は公理系がないので矛盾の定義に該当しない
ものすごく頭の悪い事を言ってるな >>265
ゲーデルによる選択公理のZF公理系に対する無矛盾性の証明
数学において集合論のような極めて基礎的な理論の公理系を作る場合、重要なのは
1.公理系の無矛盾性
2.公理同士の独立性
の2点だ
公理系ZFCの公理で最も得体の知れない不思議な帰結を生み出す選択公理に関して
それと残りの公理群ZFとの無矛盾性はゲーデルによって証明され、
ZFに対する選択公理の独立性はコーエンによって証明された >
> お前の言う「敗北主義」の定義は公理主義が制定されていることを前提としていて普遍的ではなく、個人攻撃のために定めたもののように見える
> 仮にそこから公理主義の前提を除くと、カントールが連続体仮説に生涯を費やす所に独立という結論を持ち寄ったコーエンは「敗北主義」となるから、ダブルスタンダードを回避するためなのかもしれないが
全く理解力がないね
公理系における公理と目される命題の独立性は無矛盾性と共にメタ理論的な問題だ
メタ理論的な問題としての公理の独立性の重要性はメタ理論をやっている以上は避けて通れないし
これを証明することはメタ理論の研究における建設的な態度だ
だがリーマン仮説は何かの公理系の公理と目されるような種類の命題ではなく
例えばしばらく前に証明された楕円曲線論における谷山予想などと同じく通常の(メタでない)数学として
興味を持たれ価値を有する命題だ
だからそういう普通の数学(対象レベルの数学)における価値を有する命題を独立性とか言い出すのは
対象レベルの数学での解決を避けて、メタ理論つまりメタ数学(数学基礎論)に逃避していると言っているのだよ
君がメタ数学と通常の(対象レベルの)数学との違いの存在を理解できないならば、これ以上の議論は無意味だ >>275
なんかで読んだ記憶があるんですが、ある程度以上大きい理論は自身の無矛盾性を証明できないとかいう定理があった記憶があるんですが、それとは矛盾しないんですか?
それはZFCより真に大きい立場からの証明という事ですか?
載ってる教科書あったら教えて下さい >>273
数学における矛盾と数理論理学による矛盾の定式化を混同している。
数学の論文の証明が、数理論理学の論文を含めて、数理論理学による「証明」の定義に当てはまらないようなもの。 >>277
> なんかで読んだ記憶があるんですが、ある程度以上大きい理論は自身の無矛盾性を証明できないとかいう定理があった記憶があるんですが、それとは矛盾しないんですか?
ゲーデルの第二不完全性定理のことですね。この定理は自然数論(例えばペアノの公理系)やそれを含む理論に対して一般に成り立ちます。
> それはZFCより真に大きい立場からの証明という事ですか?
構文的な証明ではなく、ZFCのモデルを構成して無矛盾性を示すのです。理論が無矛盾であることとその理論がモデルを持つこととは同値ですから。
> 載ってる教科書あったら教えて下さい
田中尚夫さんの『選択公理と数学』という本にゲーデルのZFC公理系の無矛盾性の証明とコーエンの選択公理のZF公理系に対する独立性の証明の解説が載っています。
但し、かなりテクニカルなのは覚悟する必要があります。 >>279補足
> 田中尚夫さんの『選択公理と数学』という本にゲーデルのZFC公理系の無矛盾性の証明とコーエンの選択公理のZF公理系に対する独立性の証明の解説が載っています。
失礼、上の本の出版社が抜けていましたが 遊星社 です。 >>279
やっぱりそうですか。
つまりZFCのモデルをZFのなかに構成して
「ZFCが矛盾してるならZFがそもそも矛盾してる。」
を示してZFCの危険性がそこまでではない事を示したというあれですね。
それならわかります。
ちょっと「ZFCの無矛盾性を示した。」という文章を見て「えっ?」と思ってしまいました。 >>276
カントールの時代メタ数学の区別はついていなかったわけだが、それ以前の時代は敗北主義は存在しないとでも言うのか
なら少々誇大広告が過ぎるな
「対象レベルの数学に独立性を見る主義」とでも変えたほうがいい
メタ数学は数学を数学する数学であって、数学ではないのではない
数学の営みの一つだよ
>>278
数学者が意図してるしてないに関わらず、数学の証明はメタ的な証明を除いて論理式の有限列ではないのか?
というかそもそも、数理論理学の使命の一つが数学の証明といったものを扱うことのはずでは >>282
数学の論文で論理式の有限列であるような証明なんて、コンピューターによる自動証明ぐらいだろう。 >>268
>カントールの集合論は公理系がない
というのは言い過ぎ ここにぐだぐだ駄文書いてる暇あったら数学書のひとつも読めよどーせおまえらはライプニッツも知らないんだろ? ∧_∧ / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
( ´∀`)< オマエモナー
( ) \_____
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(__)_) コーエンの理論は、独立性とか体系の強弱を調べるメタ数学的なシステムだから成功した
独立性の証明自体が自己目的化したらあかんよ >>268
>
>矛盾とはある公理系からφ∧¬φが証明されること
ではない! (^o^) ある高名な数学者が言ってたんだけど、リーマン予想が証明される時、万物の理論もまた完成されるだろうと。 このスレとIUTスレがいつも上の方にあるってのが、この板のいろんなことを象徴してる気がするな。
あと奇数の完全数の証明スレw /  ̄`Y  ̄ ヽ
/ / ヽ
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| // / l | | | | ト、 |
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(S|| | (●) (●) |
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( ( ヽ:::::: :::.. ノ ) )
\::::::: /\:::;;;;;;__ ノ こんなことを言っては失礼だが、アティヤがどこかで勘違いしてる気がするんだよな そんなこと思ってるのお前だけだぞ
大半は勘違いどころか耄碌してると見なしてる >>305
Wikipediaに書いてあるなら間違いないな! ttps://en.wikipedia.org/wiki/Consistency
A set of formulas Φ in first-order logic is consistent (written Con Φ) if there is no formula φ such that Φ ⊢ φ and Φ ⊢ ¬ φ. Otherwise Φ is inconsistent (written Inc Φ). ネトウヨ発狂。
モデル(A set of formulas Φ in first-order logic)と公理系を取り違えてるハゲ X+2×√(XY-1)+Y=Zのとき
XZ-1は必ず任意の整数の二乗になる >>307
みんなそう思ってるのでトドメを刺しには行ってないからな
「おじいちゃん、ご飯はさっき食べたでしょ」で終わり >>298
ゼータに関係した分野に関わってるけど、解かれ方によって方向性が違うとしか言いようがない
量子論が大幅にわかるかもしれないし、或は代数幾何が終わるようなインパクトかもしれない
そのハイブリッドみたいなトポロジーかもしれない
大幅な進展が絶対にあるのは確かだし、逆に言えばそのレベルの理論じゃなきゃ解けない
勿論そうやって最終的に統一理論を完成させる重要なステップになるだろうけど
ただ、トポロジーで解かれたら正直言ってつまらないなあとは思う
まあそういう理論は指数定理とかの一般化になってるだろうから、革命のヒントにはなるだろうけど >>299
こんなとこで数式まで使って話したいとは全く思わないわ
派手な話だけしてるのがいい リーマン予想が証明されたら、世の中どうなっちゃうの?
異次元世界とか実在したりすんの? 馬鹿素人は中身の話をせずに煽るからすぐわかる
詳しい人間なら「それ〜でしょ?」と広げられるように書いてあるのに 自演か否かわからないけど、自分によくわからないことを言ってるから気に食わなくて
貶して溜飲を下げてるだけって感じ
プロなら構造こそゼータ関数では大事なのを知ってるはずだし、
>>318はこのスレに全くなかった話を雑にして書いてあるんだが リーマン予想は偽であって欲しい
一見正しそうに見えるものが正しいってのはつまんない
そうじゃない方が面白い 言うても数学に夢抱いてる専門家はいっぱいいるよね
数学なんて世界のほんの一部しか
解き明かせないのに
数学は世界を記述する言語だとか何だとか
何か「究極的には万能に行き着くもの」として捉えてる人が多い 人文学はリーマンじゃないんだよな。進路。理系に人文学を活かすのもいいな。 >>330
後者については未経験なので判断しかねる >>330
経験無いものは答えられら無いので解なし 理系のガッコに講義でも張り付ける方が楽しいじゃん。文系なら何でもできます
みたいじゃないと、ややズレもいいし大学みんなで集まって遊んだ意味ないし。
教科書会社ですらダブルやトリプルキャリアでしょ。結局自分一人では
どうにもならない。 リーマン喧嘩もマナー悪いよな。混んでるなら自然に暴力でるでいいのに。 暴力自体言論にしたベンヤミンも相当できてるけどそこだけはどうかと思う。
書きものから暴力が出てもちゃんとしてたのかな。 数学の難問が解けた時って、セックスよりも快感だよな >>313
modelとはordered pair (A,I) where A is a nonempty set and I is interpretation functionのことであってset of formulaだけではmodelではないが 超弦理論からすれば振動はすべての構成要素である
閉じた振動は物質的な特徴を持ち
解放された振動は電磁波的な特徴を持つ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています