現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む53

2018/09/19(水) 22:33:01.69

“現代数学の系譜物理工学雑談古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:30:54.22

これに対して、俺は今回の一連のレスにおいて、「場合分けは実際に行われている」と指摘した。
反例の可能性が消滅するメカニズムも説明した。

「R－B_fが第一類集合なのにトマエ型の関数は、(1)に流れて消滅する
　(そのような関数は存在しないことが(1)によって示される)」

と何度も言っている。

このことを背景として返答する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:33:55.65

>>318
＞(1) の（稠密の）場合
＞１）ベールのカテゴリ定理から、定理1.7の適用外？証明の必要もない？

なぜ証明の必要がないんだ？反例の可能性は(1)に流れてこそ消滅するのであり、
「消滅する」ことの証明を行っているのが(1)の部分なんだから、(1)がなければダメだろ。
もし(1)が必要ないなら、じゃあ(1)を削除して(2)だけの証明にしてみればいい。その上で、

「R－B_fが第一類集合であって、かつトマエ型の条件を満たす関数を考えようじゃないか」

と、改めて反例の可能性を提案してみればいい。
このような関数の存在性を否定しているのは(1)の部分なのに、
(1)が削除されたら、存在性を否定する箇所がなくなってしまうじゃないか。
これでは、反例の可能性が潰しきれてないので、逆にインチキな証明になってしまうじゃないか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:37:59.30

(a)「R－B_fが第一類集合ではなく、かつトマエ型になっている関数」を提案した場合、
　そもそも定理1.7の前提を満たしていないので、定理1.7の反例にならない。つまり、
　そのような関数がリプシッツ連続な開区間を持たなくても、「だから何？」としか言いようがない。

(b)「R－B_fが第一類集合であり、かつトマエ型になっている関数」を提案した場合、
　もしそのような関数が実在するなら定理1.7の反例になるので、定理1.7の証明の中で、
　そのような関数の存在性が否定されなければならない。実際、(1)によって存在性が否定されている。
　つまり、反例の可能性は証明の中できちんと潰されている。よって、証明はきちんと機能しており、
　定理1.7は正しく、定理1.7に反例は存在しない。
　また、反例の可能性を潰しているのは(1)の部分なので、(1)は必要である。

これの何が不満なんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:40:32.88

まさかスレ主は、>>323の(a)と(b)を混同して

「(a)のような関数を考える意味がないのであれば、(1)も必要ない」

などと勘違いしているのではあるまいな？

・ (a)のような関数は定理1.7の前提を満たしていないので、考える意味がない。
　そこで「(1)も必要ない」と考えるのはスレ主の勘違い。
　 (1)は、(a)の関数の存在性を否定するためのものでなく、
　 (b)の関数の存在性を否定するためのものだからだ。スレ主は(1)の用途を勘違いしている。

・ (b)のような関数は定理1.7の反例になるので、定理1.7の証明の中で、
　そのような関数の存在性が否定されなければならない。今回の一連のレスでは、
　証明の中の(1)によって、存在性が否定されている。よって、(1)は(b)のために必要。

ここまで書かないと分からんかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:43:00.90

もし(1)が、(a)の関数の存在性を否定するためのものならば、

「(a)の関数を考える意味がないなら、(1)も必要ない」

という意見は正しい。
しかし、(1)は(a)の関数の存在性を否定するためのものではなく、
(b)の関数の存在性を否定するためのものである。
よって、(1)は(b)のために必要である。また、(a)は最初から眼中にない。

やっぱりスレ主は、(a)と(b)を混同しているようにしか見えないね。
(1)の用途もずっと勘違いしてるだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 22:48:43.08

どこまで書いても分からないサルですから

2018/10/16(火) 23:27:55.01

>>320
>定理1.7がもし正しいなら、定理1.7の反例となる関数は、証明の中でその存在性が否定されなければならない。

有理数点Qで不連続な病的関数は、定理1.7に入れないでしょ？
証明以前の問題だね

１）有理数Qで不連続な病的関数だから、当然連続点は、あるとすれば無理数Pの中にしかない
　（なお、無理数の集合をP、有理数の集合をQ、実数の集合をRとした（P、Q、R の順に並ぶようにしただけだが））
２）リプシッツ連続な点も、当然無理数Pの中にしかない
３）無理数の集合は、内点を持たないし、従って、リプシッツ連続な点は開区間を成さない
４）定理1.7が正しいとすれば、定理1.7の対偶により、リプシッツ連続な開区間を持たない関数は、定理1.7の条件を満たさない
５）従って、そのような関数は、定理1.7の条件節を満たさないので定理1.7の適用外

補足
有理数点Qは、R中で稠密であるが、当たり前すぎて明示されていない
明示されていないから、すべっているんじゃないの

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 23:50:47.41

>>327
＞有理数点Qで不連続な病的関数は、定理1.7に入れないでしょ？

的外れ。有理数点Qで不連続な病的関数は、さらに

(A)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合でないもの」
(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」

の2種類に分類される。(A)のケースは>>323の(a)の関数に該当するので、考える必要がない。
(B)のケースは>>323の(b)の関数に該当するので、定理1.7の反例になる。
よって、定理1.7の証明の中で、そのような関数の存在性が否定されなければならない。
実際、証明の中の(1)によって、存在性が否定されている。
よって、(B)のケースは実際には存在せず、(A)のケースしか残らない。

つまり、スレ主が「有理数点Qで不連続な病的関数」を提案したところで、生き残るのは

(A)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合でないもの」

という関数のみであり、このような関数は(a)の関数なので、考える必要がない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 00:03:13.48

>>327
世の中の人間がお前ほどのアホだと思わない方がいい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 00:06:37.21

つまり、スレ主は

「有理数点Qで不連続な病的関数は、定理1.7に入れない」

と言っているが、そうではなくて、

「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合でないものは、
　定理1.7の前提を満たさないので、定理1.7に入れない」

「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるものは、
　定理1.7の前提を満たすので、定理1.7に　入　れ　る　。しかし、これは定理1.7の
　反例となる関数なので、定理1.7の証明の中で、その存在性が否定されなければならない」
　
ということ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 00:33:25.54

スレ主の勘違いについて、ちょっと思い当たる節があるのだが、

＞定理1.7がもし正しいなら、定理1.7の反例となる関数は、証明の中でその存在性が否定されなければならない。

この部分は、

・定理1.7を証明したいなら、定理1.7の反例となる関数は、証明の中でその存在性が否定されなければならない。

と表現した方が語弊がなかったかもしれない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 02:19:24.30

【ホリエモン】なんでみんな就職するの？やる気がない人ほど起業して利益率の高い仕事を選択し、有望な者に投資しろ
https://www.youtube.com/watch?v=y3WFObrOIoQ
ホリエモンのQ&A vol.155起業のすすめ
https://www.youtube.com/watch?v=2n1O4oUeIXg
堀江貴文「大企業に就職なんて、とっくにオワコン」「今の時代、金ですらオワコン」
https://www.youtube.com/watch?v=gSvIk_Bnwlo
堀江貴文の名言がすごい！「つまらない仕事なんか今すぐ辞めろ！楽しいことだけやれ！」
https://www.youtube.com/watch?v=4w3XOl5CoU8
堀江貴文　決められたレールの上を歩く⇒人生終了で、自殺者増える
https://www.youtube.com/watch?v=CYRo8o2Y_D8
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https://www.youtube.com/watch?v=4hQngvBCugA
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さらに拡大していき無名から著名になる人も増加する
https://www.youtube.com/watch?v=1H0R-kBtUOo

2018/10/17(水) 07:32:30.37

>>328
(抜粋)
"＞有理数点Qで不連続な病的関数は、定理1.7に入れないでしょ？
的外れ。有理数点Qで不連続な病的関数は、さらに
(A)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合でないもの」
(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」
の2種類に分類される。(A)のケースは>>323の(a)の関数に該当するので、考える必要がない。
(B)のケースは>>323の(b)の関数に該当するので、定理1.7の反例になる。
よって、定理1.7の証明の中で、そのような関数の存在性が否定されなければならない。
実際、証明の中の(1)によって、存在性が否定されている。"
(引用終り)

数学の”矛盾なぞなぞ”か～（＾＾；
https://blog.nazo2.net/221/
【なぞなぞ The Best!】解ければわかる？不思議な矛盾なぞなぞ nazo2.net. 最終更新日: 2017年11月11日
(抜粋)
矛盾なぞなぞとは、なぞなぞの問題自体が一見矛盾しているけど、答えを聞くと「あ～なるほど！」ってなるなぞなぞの事です。
例えば、「使わない時使うものと言えば？」
次の問題はどうでしょう？
「うまれてるけど、うまれてないものは何？」
矛盾してますね～
わかりますか？
通るとき通らなくて、通らないとき通るものは？
https://www.nazo2.net/syokyuu/001.html
出すとき入れるものと言えば？
https://www.nazo2.net/syokyuu/102.html
切れないほど、切れるもの何？
https://www.nazo2.net/tyuukyuu/023.html
一年に１回なのに、一日に２回ある物は？
https://www.nazo2.net/tyuukyuu/002.html
どんな場所にも４つあって、世界中で４つしかないものと言えば？
https://www.nazo2.net/jyoukyuu/032.html
(引用終り)

2018/10/17(水) 07:43:00.91

>>333
>(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」
>の2種類に分類される。(A)のケースは>>323の(a)の関数に該当するので、考える必要がない。
>(B)のケースは>>323の(b)の関数に該当するので、定理1.7の反例になる。
>よって、定理1.7の証明の中で、そのような関数の存在性が否定されなければならない。
>実際、証明の中の(1)によって、存在性が否定されている。"

数学の”矛盾なぞなぞ”定理ね（＾＾
「白いクロネコ」？（＾＾
それやりたかったのか？

「証明の中の(1)によって、存在性が否定されている」なら、それを定理に含めてはいけない！
含めると、「白いクロネコ」になるよ！
『”(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」”は、リプシッツ連続な開区間を持つ』という命題を、定理1.7は含んでいる
”それで良いの？いいんです！” ということを、あなたは主張しているんだ～～（＾＾；

2018/10/17(水) 07:59:36.95

>>333
>(A)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合でないもの」
>(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」
>の2種類に分類される。(A)のケースは>>323の(a)の関数に該当するので、考える必要がない。
>(B)のケースは>>323の(b)の関数に該当するので、定理1.7の反例になる。

このアナロジー（パロディー？）下記な（＾＾；
実数R上定義される実関数で
(A)「不連続点が稠密に存在しない関数は、必ずどこかに連続な開区間があり、従ってある開区間でリプシッツ連続になる可能性がある」
(B)「不連続点が稠密に存在する（例有理数Q上）関数は、どこにも連続な開区間がなく、従って開区間でリプシッツ連続になる可能性がない」
の2種類に分類される。

(A)自身は、トリビアで証明の必要がない。
(B)自身も、トリビアで証明の必要がない。

QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%AD%E3%83%87%E3%82%A3
パロディ（英語: parody、ギリシア語: παρωδια）は、現代の慣用においては他の芸術作品を揶揄や風刺、批判する目的を持って模倣した作品、あるいはその手法のことを指す。

2018/10/17(水) 08:05:29.05

>>335
>(A)「不連続点が稠密に存在しない関数は、必ずどこかに連続な開区間があり、従ってある開区間でリプシッツ連続になる可能性がある」
>(B)「不連続点が稠密に存在する（例有理数Q上）関数は、どこにも連続な開区間がなく、従って開区間でリプシッツ連続になる可能性がない」
>の2種類に分類される。

straddle lemma でしたか？
(A)で、ある開区間が、リプシッツ連続になる条件を求めることは意味がある
(B)で、ある開区間が、リプシッツ連続になる条件を求めることは意味がない

2018/10/17(水) 10:39:57.47

突然ですが（＾＾
http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/1810/17/news012.html
＠IT AI IoT Smart & Social
「深層学習の現状は、1998年のインターネットに近い」：
「インターネット」で勝てなかった日本が、「深層学習」で勝つには　東大・松尾豊氏 (1/2)
NVIDIAが開催した「GTC Japan 2018」で、東京大学特任准教授、日本ディープラーニング協会理事長の松尾豊氏が登壇。深層学習の原理や、深層学習に関する研究の現状について説明し、今後、実社会で深層学習がどう扱われていくのか、持論を展開した。
2018年10月17日 05時00分公開
(抜粋)
深層学習の原理を「深い関数を利用した最小二乗法だ」と説明する。

　最小二乗法は、統計学で用いられる「回帰分析」などにおいて、係数を推定する方法だ。「例えばMicrosoft Excelでは、xを気温、yを冷たい飲料の売り上げとしたときの散布図に近似直線（y=ax+b）を引ける。近似直線を引くための位置（係数a,b）を決定付けるアプローチが、最小二乗法だ」

　松尾氏は、「深層学習とは、最小二乗法の巨大なお化けのようなものだ」と紹介し、画像の各画素xから「猫（y＝1）」か「猫でないか（y＝0）」を出力する猫関数を例として取り上げた。「100x100の画像で猫関数を作成する場合は、1万個もの変数が必要になる。
深層学習の場合は、中間的な関数を介して、これを3層、4層と深くする。こうすることで、少ないパラメーターで表現力を高め、効率的に学習できる」

2018/10/17(水) 10:50:28.85

>>337 つづき

http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/1810/17/news012_2.html
「深層学習の現状は、1998年のインターネットに近い」：
「インターネット」で勝てなかった日本が、「深層学習」で勝つには　東大・松尾豊氏 (2/2)
2018年10月17日 05時00分公開
[石川俊明，＠IT]
(抜粋)
　「日本はインターネットというGPTには不向きだった。しかし、深層学習においては『機械を持った眼』のように、ものづくりと深層学習を組み合わせることで、日本のものづくりの強みを生かせられる。今から20年後に深層学習がどうなっているのか、先を読んで考えたプレイヤーが勝つので、深層学習を学ぶと同時に、深層学習が社会をどう変えるのか、死ぬほど考え抜いていってほしい」

2018/10/17(水) 10:53:31.93

>>338 関連

http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/1810/10/news009.html
＠IT AI IoT Smart & Socia
「AI」エンジニアになるための「基礎数学」再入門（1）：
AIは「単なる関数」、数学は「言語の一つ」、「文系出身」でも問題ない――Pythonで高校数学の範囲から学び始めよう
AIに欠かせない数学を、プログラミング言語Pythonを使って高校生の学習範囲から学び直す連載。初回は、「AIエンジニア」になるために数学を学び直す意義や心構え、連載で学ぶ範囲について。
2018年10月10日 05時00分公開
[西村圭介，東京ITスクール]
(抜粋)
AI人材の不足
　2015年にDeep Learningを利用したモデルが、画像認識率において人間を上回る結果を残したことを皮切りに、世の中はAIブームに突入しました。その勢いはすさまじく、業界を問わずビジネス形態が目まぐるしく変化しています。
世界中のサービスが即座に利用できてしまう現代では、各業界の各企業にとってのライバルは、もはや同業他社だけではありません。これからの時代は、Googleをはじめとした最先端テック企業をライバルとして戦っていくことになるでしょう。

　一方で、世界的に「AI人材の不足が深刻だ」といわれています。日本は特に深刻で、経済産業省は、2020年には5万人弱のAI人材不足が発生すると推計しています（参考：経済産業省「ITベンチャー等によるイノベーション促進のための人材育成・確保モデル事業」）。
http://www.meti.go.jp/policy/it_policy/jinzai/27FY/ITjinzai_fullreport.pdf

　このような人材不足を主因として、日本社会におけるAIの普及はまだまだ進んでいない状況です。これについては、内閣府もいよいよ焦りを見せ、2018年の4月の重要課題専門調査会議では「AI人材の充足に向けた具体策を早急に検討することが必要」との話し合いが行われました（参考：人工知能（AI）技術戦略 - 内閣府）。
http://www8.cao.go.jp/cstp/tyousakai/juyoukadai/14kai/siryo6.pdf

ITエンジニアからAIエンジニアへのスキルアップ

2018/10/17(水) 11:36:41.22

>>339
これ>>202と被ったな
まあご愛敬だ（＾＾

2018/10/17(水) 11:40:16.01

数学セミナー 2018年11月号
AIの記事２本あるね。まあ、そういう時代なんだね
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー　2018年11月号
(抜粋)
・人工知能は数学者になれるのか……穴井宏和　60
AIは受験問題を解けるのか
・数理のクロスロード／
機械学習の数理／(1) 深層学習の理論……鈴木大慈　66

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:16:52.01

>>335
的外れ。それのどこがアナロジーなんだよ。

＞(A)「不連続点が稠密に存在しない関数は、必ずどこかに連続な開区間があり、従ってある開区間でリプシッツ連続になる可能性がある」

ここはさすがにギャグとしか言いようがない。「リプシッツ連続になる可能性がある」ってなんだよｗ
「可能性がある」と書いただけでは、「なる可能性」と「ならない可能性」の割合すら提示されてないのだから、
数学的には、「なる」ケースと「ならない」ケースを丸ごと全て網羅してしまっている。つまり、数学的には

「リプシッツ連続になるか、もしくはリプシッツ連続にならないかのいずれかである」

という自明な主張にしかならない。
おそらく、リプシッツ連続性が100％導かれるような前提条件が思いつかなかったから
「可能性がある」という書き方にしたのだろうけど、浅知恵にもほどがあるね。

で、そのような自明な主張を結論に持ってくるのであれば、
スレ主の(A),(B)がトリビアルになったって何の不思議もないし、
そのかわりに、スレ主の(A),(B)と俺が書いた(A),(B)は無関係になるだけ。
だから、俺の方としては、

「なるほど、スレ主が自分で考案した(A),(B)は自明になるんですね。で？だから何？」

としか言いようがない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:22:11.50

P1「fは有理数点Qで不連続な病的関数である」
P2「R－B_fは第一類集合である」

と置くと、俺が書いた

＞的外れ。有理数点Qで不連続な病的関数は、さらに
＞(A)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合でないもの」
＞(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」
＞の2種類に分類される。

この部分は、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――
P1を満たす関数fは、
(A)「P1を満たすfであって、さらに￢P2を満たすもの」
(B)「P1を満たすfであって、さらにP2を満たすもの」
の2種類に分類される
――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:24:39.60

つまり、P1を満たす関数全体を出発点として、そのような関数全体を

P1＝P1∧(P2∨￢P2)＝(P1∧P2)∨(P1∧￢P2)

と2種類に分解しているのが、俺の書いた(A),(B)である。
そして、定理1.7と(A),(B)の間には、次のような関係性がある。

・ (A)のケースは定理1.7の前提を満たしてないので考える必要がない。
・ (B)のケースは定理1.7の反例になるので、定理1.7の証明の中で、その存在性が否定されなければならない。

この関係性をよく覚えておきたまえ。

2018/10/17(水) 18:26:48.80

>>330-331
どうもスレ主です。
コテがないから、だれがだれか分からんが
言いたいことは、>>333-338な
「数学の”矛盾なぞなぞ”定理」（>>334）やりたいなら別だが
まっとうな数学であるならば、証明で否定される命題の部分は、当初の命題から除外されるべきってことだよ
別の命題を立てて、「ｘｘなる関数は存在しない」とすべきだと（その正式な証明は、まだ見ていないがね）

2018/10/17(水) 18:28:04.95

>>332
おつです（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:28:11.66

で、もしこれのアナロジーをやりたいのならば、次のようにしなければならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7と(A),(B)のアナロジーとなる、別の定理Xと(A'),(B')を作りたい。
もちろん、定理1.7と(A),(B)の関係性を保つような例にしたい。つまり、

・ (A')のケースは定理Xの前提を満たしてないので考える必要がない。
・ (B')のケースは定理Xの反例になるので、定理Xの証明の中で、その存在性が否定されなければならない。

…という関係性を満たすようにしたい。そのような定理Xと、定理Xの証明と、
そして(A'),(B')を作りたい。その上で、この例においては「おかしなこと」が
発生することを言いたい。もしそれが言えたら、定理1.7と(A),(B)でも、
同様の「おかしなこと」が発生していることが予想される。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:30:01.36

よって、スレ主が考案しなければならないのは

・定理X
・定理Xの証明
・上の関係性を満たす(A'),(B')

の3つである。その上で、この定理X,(A'),(B')の例においては
「おかしなこと」が発生することを言わなければならない。

…こんなことをするよりも、定理1.7と(A),(B)に直接的に文句を言った方が
ずっと早いと思うが、まあそれができないからこそ、スレ主はアナロジーを
考えようと思ったのだろうな。しかし、>>335では全くアナロジーになってない。

なにが「リプシッツ連続になる可能性がある」だよ。この男は一体何がしたいんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:32:20.20

>>334
＞「証明の中の(1)によって、存在性が否定されている」なら、それを定理に含めてはいけない！
＞含めると、「白いクロネコ」になるよ！
＞『”(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」”は、リプシッツ連続な開区間を持つ』という命題を、定理1.7は含んでいる
＞”それで良いの？いいんです！” ということを、あなたは主張しているんだ～～（＾＾；

的外れ。証明の中で(B)のケースが存在しないことが示されているのだから、

『”(B)「有理数点Qで不連続な病的関数であって、R－B_fが第一類集合であるもの」”は、リプシッツ連続な開区間を持つ』

という命題は仮定が偽の命題になっており、よって命題全体は真である。よって、このような命題が
"仮に" 定理1.7に含まれていたとしても、何の批判にもなっていない。もし「偽である命題」が
定理1.7に含まれていたら、定理1.7は間違いとなるが、スレ主が挙げたその命題は「真である命題」
なのだから、その命題が "仮に" 定理1.7に含まれていたとしても、何の批判にもなってない。つまり、

・そのような命題がそもそも定理1.7に含まれて「ない」なら、スレ主が意図する批判にならない。

・そのような命題が定理1.7に含まれて「いる」としても、その命題は真の命題なのだから、
　定理1.7に含まれていても問題はなく、やはり批判になってない。

どっちに転んでも批判になってない。この男は一体なにがしたいのだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:35:04.96

スレ主の>>334の屁理屈は、ベールのカテゴリ定理の証明そのものにも通用してしまうので、
ベールのカテゴリ定理で同じことをしてみよう。まずは、ベールのカテゴリ定理とその証明を復習。
―――――――――――――――――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理
Rの閉集合列{E_n}_nがR⊂∪_nE_nを満たすなら、あるE_nは開区間を含んでいる。
―――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――
[ベールのカテゴリ定理の証明]
Rの閉集合列{E_n}_nは、R⊂∪_nE_nを満たすとする。

(1) どのR－E_nもRの中で稠密
(2) それ以外

で場合分けする。
(1)の場合は、～～(省略)～～よって矛盾する。
よって、(1)のケースは発生しないので、(2)が成り立つしかない。
よって、あるnに対してR－E_nはRの中で稠密でない。
つまり、あるE_nは開区間を含んでいる。
―――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:37:26.55

ベールのカテゴリ定理を証明しようと思ったら、ベールのカテゴリ定理の反例となるケースは、
証明の中でその存在性が否定されなければならない。例えば、どのR－E_nもRの中で稠密であるケースは
ベールのカテゴリ定理の反例になるので、証明の中でそのようなケースの存在性が否定されなければならない。
そのような記述が出来ていないなら、原理的には、反例となるケースが存在性を否定されずに
証明を通過できてしまうので、それでは反例の可能性が潰しきれておらず、ベールのカテゴリ定理の証明にならない。

>>350の証明では、反例となるケースは必ず(1)に流れ込んで消滅するようになっている。
だから、反例となるケースを提案するたびに、そのようなケースは(1)に流れ込んで消滅する。
試しに、反例となるケースを1つ提案してみよう。ここでは、

「閉集合列{E_n}_nであって、R⊂∪_nE_nが成り立ち、どのR－E_nもRの中で稠密であるもの」

を提案してみよう。このような閉集合列{E_n}_nはベールのカテゴリ定理の反例になるので、
証明の中で、このような閉集合列{E_n}_nの存在性が否定されなければならない。
実際、これは>>350の(1)のケースに流れ込むので、そのあと矛盾し、よって存在性が否定される。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 18:39:14.08

すると、スレ主の>>334の屁理屈によれば、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「証明の中の(1)によって、存在性が否定されている」なら、それを定理に含めてはいけない！
含めると、「白いクロネコ」になるよ！

『”「閉集合列{E_n}_nであって、R⊂∪_nE_nが成り立ち、どのR－E_nもRの中で稠密であるもの」”は、あるE_nが開区間を含んでいる』

という命題を、ベールのカテゴリ定理は含んでいる
”それで良いの？いいんです！” ということを、ベールのカテゴリ定理は主張しているんだ～～（＾＾；
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

この男は一体なにがしたいのだろう。
これで何を批判したつもりになっているのだろう。

ベールのカテゴリ定理は間違っていると言いたいのだろうか？
いや、ベールのカテゴリ定理は正しい定理だから、それはない。

では、ベールのカテゴリ定理の証明には不備があると言いたいのだろうか？
いや、この証明は既存の証明をコピペしているだけだから、証明に不備はない。

では、この男は一体なにを批判したつもりになっているのだろう。

2018/10/17(水) 20:49:48.48

>>352

数学において定理とは・・、
一般的に「まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている」
”前提条件→結論”の形な

で、いまどき中学生でも知っていることだが、数学の定理は”前提条件を満たせば、必ず結論が成り立たなければならない”
（数学は、そうして定理の連鎖の積み重ねで理論体系を成す。「前提条件を満たせば必ず結論が成り立つ」の例外を許せば、定理の連鎖ができないでしょ？（下記）（＾＾；）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86
定理
(抜粋)
定理（ていり、英: theorem）とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。
一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。
　前提条件：f(X) は複素数係数の定数でない多項式である。
　結論：f(X) は複素数の根を持つ。
ある一定の条件（公理系）下で定理を述べそれを証明すること、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。
(引用終り)

つづく

2018/10/17(水) 20:51:24.38

>>353
つづき

さて、例をあげよう。
ある数の集合Uで、ｘ∈Uで、結論：ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)を、考えよう
複素数Cでは、これは成り立たない
反例として純虚数をとるとｉ^2 = -1 < 0 となるからである

しかし、このような反例を除くべく、実数Rに限定して
定理；実数Rにおいて、ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)
は数学の定理として、完全に正しい

つまり、”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”というのが私の主張であり
定理1.7の条件節への批判である

以上

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 21:48:26.57

>>354
＞定理；実数Rにおいて、ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)
＞は数学の定理として、完全に正しい

スレ主がそこで「定理」と書いているように、
x∈Rのときにx^2≧0が成り立つことは証明が必要だよ。

証明がない状態では、「x∈R」という条件節だけで果たして本当に
x^2＜0となる反例が存在しないのかは確定しないよ。
そのことが確定するのは、証明を通過した後の話だよ。
つまり、証明の中で反例の存在性を潰した後になって初めて、

「ああ、この条件節で問題ないんだな」

ということが確定するんだよ。つまり、スレ主の詭弁を使えば、
「x∈R」でさえも「反例を除いた形の条件節になってない」ってことが言えてしまうよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:06:20.10

俺からの反論は>>355で十分なのだが、一応レスしておく。

＞つまり、”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”というのが私の主張であり
＞定理1.7の条件節への批判である

つまり、現状のままの条件節では、「反例を除いた形の条件節になってない」と言いたいわけだな？では、

「現状のままの条件節では除ききれていない反例」

を、具体的に1つ提案してみてくれよ。その反例は、日本語としてどのように表現されるんだ？
現状の条件節は「R－B_fは第一類集合」というものだから、提案すべき反例は、日本語としては

「R－B_fが第一類集合で、かつ〇〇を満たす関数」

という形で表現するしかないよな？このような形で表現される何らかの関数が、
現状のままの条件節では除ききれていない反例になるんだよな？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:08:33.33

じゃあ、俺の方から

「R－B_fが第一類集合で、かつトマエ型になっている関数」

を提案してみようか。これは、現状のままの条件節では除ききれてないのかな？
いや、除ききれている。なぜなら、定理1.7の証明の中で、このような関数の存在性が否定されるからだ。
同様にして、どんな反例を提案してみても、定理1.7の証明の中で、そのような関数の存在性が否定される。
よって、現状のままの条件節できちんと除ききれている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:10:29.01

しかし、ここでスレ主は、次のように主張している。

「その定理の証明を通過することで初めて消滅するのではダメだ！！その定理の証明を使うことなく、
　その定理の条件節とバッティングした時点で、何の証明もなしに自動的に消滅しなければならない」

しかし、その定理の証明を使ってはいけないのであれば、

「その定理が未証明の状態から出発して、しかも何の証明も使うことなく消滅させろ」

と言っているのと同じことである。つまり、

「その定理が成り立つか否かは不明の状態から出発して、しかも何の証明も使うことなく消滅させろ」

と言っているのと同じことである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:12:17.32

よって、スレ主は次のように言っていることになる。

「その定理の証明を通過することで初めて消滅するのではダメだ！！
　その定理が成立するか否かは不明の状態で、その定理の条件節とバッティングした時点で、
　何の証明もなしに自動的に消滅しなければならない」

これはとんでもない制限ルールである。
しかし、スレ主はそのような制限ルールを課しているのである。
このルールを突破できた条件節のみが、スレ主が認める条件節なのである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:17:14.31

ではここで、ベールのカテゴリ定理に再登場していただこう。
もっとこの話題に適した定理があるかもしれないが、とりあえずはベールのカテゴリ定理で。
―――――――――――――――――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理
E_nはRの閉集合であり、かつR⊂∪_nE_nを満たすとする。
このとき、あるE_nは開区間を含んでいる。
―――――――――――――――――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理の条件節は

「E_nはRの閉集合であり、かつR⊂∪_nE_nを満たす」

というものである。この条件節は果たして、スレ主が言うところの
「反例を除いた形の条件節になっている」のだろうか？

もしそうなっているなら、反例の候補を日本語で書いてみたところで、
条件節とバッティングした時点で、何の証明もなしに自動的に、
そのような反例が消滅するはずである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:21:01.64

じゃあ、俺の方から

(☆)「E_nはRの閉集合であり、かつR⊂∪_nE_nを満たし、どのR－E_nもRの中で稠密である」

という{E_n}_nを提案してみよう。このような閉集合列{E_n}_nはベールのカテゴリ定理の反例になるので、
もしベールのカテゴリ定理の条件節が「反例を除いた形の条件節になっている」のならば、
(☆)の文章を書いた時点で自動的に、何の証明もなしに、(☆)のような{E_n}_nが消滅するはずである。

もし、"先にベールのカテゴリ定理を利用していいのであれば"、ベールのカテゴリ定理により、
(☆)のような{E_n}_nは自動的に消滅してくれる。しかし、ここで>>359の制限ルールを思い出そう。
スレ主は次のように言っているのだ。

「その定理の証明を通過することで初めて消滅するのではダメだ！！
　その定理が　成　立　す　る　か　否　か　は　不　明　の　状　態　で、
　その定理の条件節とバッティングした時点で、何の証明もなしに自動的に消滅しなければならない」

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:24:53.00

よって、(☆)を消滅させるのにベールのカテゴリ定理を利用することはできない。そもそも、
スレ主の制限ルールによれば、ベールのカテゴリ定理が成り立つかどうかは不明の状態から
出発しなければならない。

しかし、ベールのカテゴリ定理が成り立つかどうかが不明の状態から出発するなら、
(☆)が消滅するための理由が欠落した状態から出発することになるので、
しかも何の証明もしてはいけないのだから、これでは絶対に(☆)は消えないｗ
それでも「消える」と言い張るのであれば、それはつまり、

「知識としてベールのカテゴリ定理を全く知らない人間であっても、
　(☆)を見ただけで何の証明もなしに、(☆)を自明に消滅させることができる」

と言っているのと同じことである。
つまり、ベールのカテゴリ定理の存在意義がなくなるｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:27:11.43

もったいぶってもしょうがないので結論に入るが、
このような制限ルールのもとでは、(☆)のような{E_n}_nは絶対に消滅しない。

なぜなら、(☆)のようなケースが存在しないことと、ベールのカテゴリ定理が成立することは同値だからだ。
言い換えれば、ベールのカテゴリ定理が成り立つか否かが不明の状態で何の証明もなしに自動的に
勝手に(☆)が消えるのであれば、それは

「ベールのカテゴリ定理は自明に成立する」

と言っているのと同じことになってしまうのだ。
しかし、ベールのカテゴリ定理は証明が必要な定理であるから、これはない。
つまり、スレ主の制限ルールのもとでは、(☆)は自動的には消えてくれない。
つまり、ベールのカテゴリ定理の条件節でさえも、スレ主は

「反例を除いた形の条件節になってない」

と批判していることになる。

この男は一体なにがしたいのだろうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:31:36.12

スレ主は命題とは何か、証明とは何かまったくわかってない
これ程のアホにはめったに遭遇しない

◆QZaw55cn4c · 2018/10/17(水) 23:45:44.73

>>364
それを示す具体例を明示していただけませんか？

2018/10/18(木) 07:04:18.64

>>364-365
◆QZaw55cn4c=C++さん、どもありがとう（＾＾
（C++さんが登場したのは、１年以上前だから、突然”C++さん”書いても分らないだろうから）

ID:SLv+6EN1さん（>>364）は、運営の人で、数学はからっきしなんだ。ただ、煽るだけの人
「つまり、”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”」（>>354）
が理解できない人でしょう

で、ID:2tWO+ewoさん（>>363）は、
分ってはいるが”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”
を受入れたくない（あるいはそこをスルーしたい）人なのだ（＾＾；

2018/10/18(木) 07:47:59.08

>>366 つづき
>分ってはいるが”数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである”
>を受入れたくない（あるいはそこをスルーしたい）人なのだ（＾＾；

なぜ”受入れたくない（あるいはそこをスルーしたい）”のか？
（>>13より）
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
だった

これを場合分けすると
(A)R－Bfが、R中で稠密でない場合
(B)R－Bfが、R中で稠密である場合

に分けられる
(A)を書き直すと、「R中のどこかに稠密でない区間が存在する」と書ける
　その区間は、Bfを満たす
　Bfの定義がリプシッツ連続を意味するなら、定理の結論成立は自明

つづく

2018/10/18(木) 07:54:12.55

>>367

つづき
(B)R－Bfが、R中で稠密である場合
この部分こそが、定理1.7 の核心部分で、証明もここに核心部分があり、ここにフォーカスして厚く書くべきだ＊）
なので、稠密である場合は、開区間は存在しないから
結論部分は、（定理1.7が正しいとして）”このような関数は存在しない”となる
（＊）注：フォーカスして厚く書いた証明を見てみたいね。多分、元の証明より、しっかり書かないとだめと思うよ。それが分っているんだろうね）

くどいが(B)は
「もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中で稠密である場合、このような関数ｆは存在しない」
となる

これを言い換えると、
「もしリプシッツ連続でない点が、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中で稠密である場合、このような関数ｆは存在しない」
となる＊＊）
（＊＊）注：ここは、（分っていると思うが）類似の既存の定理があり、”高々可算和にならない”（Each co-meager set has c points in every interval.（下記））ようだ。
（参考 >>16より）
　＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.）
(引用終り)）

つづく

2018/10/18(木) 07:58:47.34

>>368

つづき

（>>13より）
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」
だったから
これは、（上記）書き直した定理1.7の（B）の場合の
（B）「リプシッツ連続でない点が、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できかつ R中稠密な場合、
　それ以外の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない」
となって、これはまさに系1.8の拡張になっているので、定理1.7（B）より直ちに系1.8が出る

ただ、ID:2tWO+ewoさん（>>363）は、それをしたくないんだ
多分、定理1.7（B）の証明を厚くかくと、上記の
”THEOREM:
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.）”
と同じ程度のボリュームの証明になるだろうと分っているんじゃないかな？（＾＾；
（ID:2tWO+ewoさんは、実力あるからね）

以上

2018/10/18(木) 11:49:15.20

>>369
>(Each co-meager set has c points in every interval.）”
>と同じ程度のボリュームの証明になるだろうと分っているんじゃないかな？（＾＾；

＜前振り開始＞
（>>252より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0
ディリクレの関数
(抜粋)
式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0
トマエ関数
(抜粋)
この関数はディリクレの関数を修正したものである。

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function
The Math Forum
Dave L. Renfro Registered: 12/3/04
(抜粋)
Differentiability of the Ruler Function
Posted: Dec 13, 2006 5:20 PM
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.

Here is a summary of the main results below.
In this summary, f always refers to the ruler
function as defined above.

** f is nowhere differentiable.

We would expect higher powers of f to be smoother,
and this is what we find. Note that for each r > 0,
the sets where f^r is continuous and discontinuous
is the same as for f.
（注：つまりf^r(x) = (1/q)^r if x = p/q）

** For each 0 < r <= 2, f^r is nowhere differentiable.

** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.

つづく

2018/10/18(木) 11:49:57.25

>>370
つづき

The results above can be further refined.

** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]

** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]

** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]

Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

つづく

2018/10/18(木) 11:51:00.58

>>371

つづき

（簡単に要約すると）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
で
１）r=0 は、ディリクレの関数で、いたるところで不連続
２）r=1 は、トマエ数で、有理数Qで不連続、無理数で連続
３）0 < r <= 2, f^r is nowhere differentiable
４）For each r > 2, f^r is differentiable on a set that has c many points in every interval.
５）For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition.
６）For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals
７）For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r
８）Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f
　f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
　（increasing function that eventually majorizes every power function）
　f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero.
９）Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
（要約終わり）
＜前振り終わり＞

つづく

2018/10/18(木) 12:02:08.37

age

2018/10/18(木) 12:04:46.58

>>372
つづき

なので、
ある整数区間[n,m]において、ディリクレの関数であり、それ以外の区間で、ｆ＝0を考えると
区間[n,m]では不連続、それ以外の区間では微分可能となる
つまり、区間[n,m]の全てでリプシッツ連続でなく、それ以外の区間ではリプシッツ連続となる
なので、”リプシッツ連続でない”集合として、連続な区間[n,m]を取れる

よって、>>367の場合分けで
(A)R－Bfが、R中で稠密でない場合
において、条件「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば」は外せる（拡張できる）
R－Bf は内点を持ってもいい（例区間[n,m]が取れるから）
要するに、「R中のどこかに”R－Bfが稠密でない”区間が存在すれば」、その部分で、Bfの開区間が取れることになるから

では、(B)R－Bfが、R中で稠密である場合はどうか？
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」
　↓
「系1.8’ 有理数の点でリプシッツ連続でなく、無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在するか？」
が、問題となる。

　系1.8は、上記Dave L. Renfro氏要約に示すように、既存定理で論文がある。
　もし、系1.8’ で”存在しない”が言えれば、
　既存の系1.8の”不連続と、微分可能”を、”リプシッツ連続でない、リプシッツ連続”に拡張できたことになるのだ

つづく

2018/10/18(木) 12:10:53.79

>>374

つづき

　ところで、上記要約の６）
　”For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals ”
に注目しよう
　これは、The ruler function の類似が前提で、有理数Qで不連続なのだ
　要約６）で、有理数Qで不連続を、”有理数Qでリプシッツ連続でない”に条件を緩めたときに、
　”satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals”の部分がどうなるか？
　系1.8’の関数が存在するのか、はたまた存在しないのか？
　そこは、私の数学の力ではわからない
　どなたか、ご存知なら教えてほしい

　ともかく、定理1.7を>>367のように（A）（B）の二つに場合分けして
　定理1.7の（B）がきちんと証明できれば、既存の系1.8 の拡張になるだろう
　それが、新規な定理なのか、すでに知られているのかは、寡聞にして分からない
　ともかく、定理1.7の（B）をきちんと証明することは、わーわー言っているほど簡単じゃないと思う
　（もし、簡単に証明できるなら、既にだれかがやっていそうだし、
　　上記のDave L. Renfro さんのまとめなどでも、取り上げられていそうに思う
　　まあ、簡単にできそうもないから、わーわー言っているんだろうと思うがね）

言いたいことは以上です

2018/10/18(木) 15:28:42.26

>>355
>＞定理；実数Rにおいて、ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0 ("正または0"あるいは”負になることはない”)
>＞は数学の定理として、完全に正しい
>
>スレ主がそこで「定理」と書いているように、
>x∈Rのときにx^2≧0が成り立つことは証明が必要だよ。

（パロディーのレス）
・完全な証明を書くには、このスレの余白は狭すぎる（フェルマー）
・証明はおもいつくであろう（ガロア）

（まじレス）
本一冊分書けば、下記のように自然数wikipediaの公理から説き起こして
和と積を定義して、和の逆演算としての差、積の逆演算としての商・・と定義して、負数や有理数を定義して
有理数を完備化して、実数を構成して・・
さらに、無限集合を扱うために、ZFC公理系を書いて・・（それらは種本をカンニングしながらだが）

結局、実数とは、正と０（ゼロ）と負の数から成っているこを示せば、あとはこの３通りを場合分けして、「ｘ∈Rで、ｘの二乗ｘ^2 >=0」が証明できるのだった
まあ、ε－δについての論を真似れば、（高校教師）「高校生の君たちは、実数とは何かをスルーして、数学をやっているのだ」ということだね

だが、一般に数学においては、既存の定理として認められていることは、つどつど証明する必要はないのだ！！
そうしないと、上記のように、簡単な命題でもすべての証明はZFCから書き起こさなければならなくなるよ（＾＾；
（もっとも上記は、試験レベルにもより、大学入試で、大学レベルの定理を証明なしに適用して、簡単に答えを出すと、減点の場合もあるのだが）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 18:23:50.09

>>376
＞だが、一般に数学においては、既存の定理として認められていることは、つどつど証明する必要はないのだ！！

つまり、「x∈Rならばx^2≧0」という定理は既知としてよいと。
そうすれば、この定理の条件節は「反例を除いた形の条件節になっている」と。

この男は一体なにを言っているのだ？先に定理の方を既知としてしまうなら、

「その定理の条件節を見ただけで、既に反例が除かれているように見える」

のは当たり前だろ。でも、それでは循環論法だろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 18:25:57.08

定理1.7で同じことをやってみようか？
――――――――――――――――――――――――――――――
先に定理1.7を既知とせよ。すると、R－B_fが題意一類集合なら
必ずリプシッツ連続な開区間が取れるのだから、

「 "R－B_fは第一類集合" という条件節を見ただけで、既に反例が除かれている」

ことが分かる。
――――――――――――――――――――――――――――――

どうだ。定理1.7だって、スレ主が目標としている条件節になってるじゃないか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 18:28:28.60

もちろん、これでは循環論法なので、こんなことは許されない。
それと全く同じように、定理Xの方だって、これを先に既知とすることで

「反例を除いた形の条件節になっている」

と結論づけることは許されない。つまり、スレ主の言い分は通らない。
定理Xの条件節が「反例を除いた形の条件節になっている」と言いたいのであれば、

「定理Xを既知としない状態で、そのことを立証しなければならない」

のである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 18:31:11.16

言い換えれば、定理Xを証明してない状態の、

「x∈Rであっても、必ずしもx^2≧0となるかどうかは不明」

という状態から出発して、「x∈R」という条件節が
「反例を除いた形の条件節になっている」ことを
立証しなければならないのである。しかし、この状態から出発することは、

「x∈Rなのにx^2＜0となる反例が存在する可能性を秘めたままの状態で出発する」

ということを意味するので、結局この状況下では、「x∈R」という条件節は、

「条件節を見ただけでは反例を除ききれてない(余計な証明を経由しなければ反例が潰せない)」

ことになる。つまり、スレ主が言うところの

「反例を除いた形の条件節になってない」

ことになる。結局、スレ主が言うところの「反例を除いた形の条件節」とは、
先に定理の方を既知としなければ意味を成さない詭弁なのである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 18:34:43.15

>>374
＞では、(B)R－Bfが、R中で稠密である場合はどうか？

だから、そういうケースは>>282の(1)に流れ込んで消滅するのである。スレ主は

「(B)のケースがまだ否定できていない。これが否定できたら既存の定理の拡張になる」

と考えているようだが、既に否定できているのである。

「(B)R－Bfが、R中で稠密である」というケースの場合、
fがリプシッツ連続になるような開区間は取れないので、
どのB_{N,M}も開区間を含みようがない。言い換えれば、
どのR－B_{N,M}もRの中で稠密である。
また、R－A_iは最初からRの中で稠密であることが分かっている。
よって、どのR－B_{N,M}とR－A_iもRの中で稠密となる。
これは>>282の(1)のケースなので、(1)に流れ込んで消滅する。

つまり、スレ主が考案した(B)のケースは、より一般的な形である>>282の(1)によって、
その存在性が既に否定されているのである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 18:37:49.78

このように、どのような反例を提案しても、その反例が消滅することが
「より一般的な形で」(1)によって既に示されてるんだよ。

なにが「厚く書かなければならない」だよ。書き直す必要はないんだよ。
現状のままで証明になってるんだよ。どうしても「(B)専用の証明が欲しい」のであれば、

・ (B)のケースでは、どのR－B_{N,M}とR－A_iもRの中で稠密である。

という一文を書いたあとに、>>282の(1)の議論をコピペしてくれば、(B)専用の証明が完成する。
(1)によって一般的に書けているのだから、わざわざ(B)に特化させるメリットは全くないのだが、
あくまでも(B)専用の証明が欲しいのであれば、このようにすれば十分である。

これで満足か？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 22:44:41.63

>>366
＞数学の定理としては、反例を除いた形で、条件節を設定すべきである
反例があったらそもそも定理ではないｗ
アホ丸出しｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 23:00:12.22

何かスレ主は以前より退化してないか？
いや以前も相当アホだったが、最近の発言は度を越している

2018/10/19(金) 19:50:57.14

>>383-384
運営、あおりご苦労さん（＾＾

2018/10/19(金) 20:41:41.87

>>378

（＾＾；

（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.

　↓

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)

さて、
１）定理1.7で、集合Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }は、”R中リプシッツ連続な点の集合”と言い換えることができる
２）そうすると、”R－Bf”は、”R中リプシッツ連続でない点の集合”の集合と言い換えることができる
３）定理1.7の条件節は、「”R中リプシッツ連続でない点の集合”が、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば」と書ける

つづく

2018/10/19(金) 20:45:46.24

>>386

つづき

４）ここで、”R中で、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる” 集合の例として、整数の集合Zを考えよう
　　・Zは、加算無限集合ではあるけれども、R中で稠密ではない。だから、ある整数ｎに対して開区間(ｎ，ｎ＋１)∈Bfとできるので、定理1.7を満たす
　　・この場合において、定理1.7 の証明中で行った”straddle lemma”を使って、閉区間BN,Mが作れて
　　　R-Z ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
　　（∵R-Zは、実数から整数点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。
　　　　つまり、BN,Mが閉区間になるとしても、R-Zで任意にある区間[a,b]を取っても、[a,b]が整数点を含むなら、R-Z中[a,b]は閉区間ではないということ）

５）次ぎに、”R中で、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる” 集合の例として、有理数の集合Qを考えよう
　　・Qは、加算無限集合ではあり、R中で稠密である。だから、どんな開区間(a,b) (ここに、a,bは a<b なる実数) を取っても、その中に必ず有理数を含む
　　　有理数は、”リプシッツ連続でない点”としたのだから、”R中で稠密”の下では、リプシッツ連続な開区間(a,b)は存在せず、定理1.7を満たすことはできない
　　・この場合において、定理1.7 の証明中で行った”straddle lemma”を使って、閉区間BN,Mが作れても
　　　R-Q ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
　　（∵R-Qは、実数から整数点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。
　　　　つまり、BN,Mが閉区間になるとしても、R-Qで任意にある区間[a,b]を取っても、[a,b]が有理数点を含むなら、R-Q中[a,b]は閉区間ではない。そして、 a<b なら必ず、有理数点を含む）

つづく

2018/10/19(金) 20:48:28.62

>>387

つづき

６）さて、定理1.7の条件節のおかしさと、それに伴う証明のおかしさは以上として、
　　系1.8について考える
　　・系1.8では、有理数の点で不連続とおいたので、有理Qは稠密であるから、上記の５）の場合が該当することは明らか
　　・よって、系1.8の証明中において、定理1.7の上記４）の ”稠密でない”場合を適用することは、もともと論理が破綻していると思う
　　・よって、矛盾が導かれるのは当然としか言いようがない（証明になっていないでしょ）

以上

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 20:50:34.26

>>384
心身機能の加齢性変化だと当時思ったが2年前ぐらいにガクっときた印象がある
こういうのは本人はなかなか自覚できないからしょうがない

約2年前のスレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/
約3年前のスレ
https://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 21:33:13.72

>>385
あのレスを煽りと捉えるということは「私は馬鹿です」と言ってるのと同じことだと気付かないアホ主ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 21:37:25.64

>>387
＞閉区間BN,Mが作れて
どういうこと？B_{N,M}は「閉集合」だよ？必ずしも閉区間とは限らないよ？

＞R-Z ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
仮に等号が成り立たないのだとして、だから何？
もし、その部分が等号でなければ使えないような議論を
証明の中で使ってるなら「証明の不備を見つけたぞ」ということになるが、
実際には、その部分が等号でなければ使えないような議論は1つも使ってないよ？
だから、何の批判にもなってないよ？何を批判したつもりになってるの？

＞５）次ぎに、”R中で、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる” 集合の例として、有理数の集合Qを考えよう
つまり、R－B_fがQであるケースを考えよう、という話でしょ？
その場合はスレ主が昨日言っていた「(B)R－Bfが、R中で稠密である場合はどうか？」というケースの
部分ケースなので、昨日指摘したように、>>282の(1)に流れ込んで消滅する。
つまり、そのケースは存在しないことが証明できている。

＞・この場合において、定理1.7 の証明中で行った”straddle lemma”を使って、閉区間BN,Mが作れても
だからさ、閉区間BN,Mってどういうこと？
B_{N,M}は「閉集合」だよ？必ずしも閉区間とは限らないよ？

＞R-Q ⊂＝ ∪ N,M>=1 BN,M とできるかもしれないが、等号は不成立
だからさ、仮に等号が成り立たないのだとして、だから何？
何を批判したつもりになってるの？

2018/10/19(金) 21:41:04.02

>>387 訂正

　（∵R-Qは、実数から整数点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。
　　　↓
　（∵R-Qは、実数から有理点を除いた集合だから、閉区間の和集合とは等しくできないことを注意しておく。

な。分ると思うが（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 21:42:40.06

>>388
＞６）さて、定理1.7の条件節のおかしさと、それに伴う証明のおかしさは以上として、
定理1.7の条件節のどこがおかしいの？
証明のどこがおかしいの？
おかしなところが1つも指摘されてないんだけど。

この男は一体なにがしたいんだ？何を批判したつもりになってるんだ？

＞系1.8について考える
定理1.7を系1.8に適用する話は後回しだと言っている。
定理1.7そのものの話を優先している。

定理1.7を系1.8に適用する話が「おかしい」と感じられてしまうのは、
スレ主が定理1.7とその証明を正しく理解していないことが原因の1つ。
なので、今の時点でそっちの話までやり始めると収集がつかなくなる。

2018/10/19(金) 21:46:01.72

>>391

>＞閉区間BN,Mが作れて
>どういうこと？B_{N,M}は「閉集合」だよ？必ずしも閉区間とは限らないよ？

ああ、ごめん
閉区間は、閉集合と読み替えて貰って結構だ

まあ、要するに、「無理数の部分集合としては、閉集合も閉区間も、取れない」ってこと

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 21:47:15.18

>>394
うん、それで？結局、あなたは何を批判したつもりになってるの？

2018/10/19(金) 21:52:45.71

>>393

ついでだから書いておくが

>定理1.7の条件節のどこがおかしいの？
>おかしなところが1つも指摘されてないんだけど。

定理1.7で
条件節：R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
　↓
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)

ここで、
１）内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、整数の集合Zの場合は、”ある開区間の上でリプシッツ連続”は成り立つが
２）内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、有理数の集合Qの場合は、”ある開区間の上でリプシッツ連続”は不成立

定理1.7って、おかしいよ

2018/10/19(金) 21:54:02.00

>>395
運営ご苦労さん >>396な（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 21:59:54.11

>>397
(2)が間違っている。なぜなら、

・内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、
　有理数の集合Qの場合は、ある開区間の上でリプシッツ連続に「なる」

からだ。なぜかって？

R－B_fがRの中で稠密なケースは存在しないので、
このケースは仮定が偽のケースを考えていることになり、
よって命題全体は真だからだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 22:08:00.40

いや、そうか。

細かいことだが、仮定が偽であるがゆえに、
次の2つは両方とも正しいことになる。

・内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、
　有理数の集合Qの場合は、ある開区間の上でリプシッツ連続に「なる」

・内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるの例で、
　有理数の集合Qの場合は、ある開区間の上でリプシッツ連続に「ならない」

両者は相反する主張をしているが、仮定が偽なので両方とも正しい。
だから、この意味においては、>>397の(2)は間違ってはいないことになる。だから、

「>>397の(2)を使っても定理1.7への批判にはならない」

というのが正確な返答になる。

2018/10/20(土) 07:53:53.07

>>399
同意です

(引用開始)
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
(引用終り)

１）
定理1.7で
条件節 A：
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
結論 B：
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
とおきます

２）
くどいが
定理1.7は、条件節 A→結論 B ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”です
で対偶を考えると
￢（結論 B ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”）→ ￢（条件節 A）です
（注：￢は否定の記号）

３）
対偶の条件節を言い換えると
￢結論 B：￢ ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”＝ ”f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない”
となります

４）
よって
￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない
　↓
￢（条件節 A）：条件節 Aを満たさない
となります

５）
よって
R－B_fが、有理数Q（R中で稠密）の場合には、
「￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない」が成立するので
「f は、条件節 Aを満たさない」となります
QED

補足
なお、これは”証明以前の論理の問題”ですね
ようやく正しい理解に、一歩近づきましたね

2018/10/20(土) 08:00:18.29

>>389-390
ご苦労さん、ご指摘は正しいと思うが（スレ主はあほばか）
しかし、それが正しくない方の肩を持ちながらでは、説得力がないね
（>>400を、ご参照）

2018/10/20(土) 09:56:52.05

見つけたから貼っておく（＾＾
https://study-guide.hatenablog.jp/archive/2014/4
https://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140403/p1
「圏論」は関数プログラミングの「モナド」に役立つ。入門PDF等のリンク集 2014-04-03

圏論を学ぶ目的は，HaskellやScalaなどの関数型プログラミング言語をよく理解するため，としてよい。

モナドを実装するために必要という応用がある。

オンラインで圏論を学ぶための教科書：
役に立つ読み物
関数プログラミングと関連が深い
とくに，モナドを考えるために圏論が必須！
本格的に学ぶには？
オンラインで圏論を学ぶための教科書：

オンラインで圏論を学ぶための教科書：
「圏と関手入門」
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hasim...
100ページ以上あるオンライン入門書
圏論は面白い（１）　メタグラフ : tnomuraのブログ
圏論は面白い(3)　メタ圏 : tnomuraのブログ（2は存在しない）
圏論は面白い(4)　メタ圏(2) モノイド : tnomuraのブログ
圏論は面白い(5)　関手 : tnomuraのブログ
圏論は面白い(6)　自然変換 : tnomuraのブログ
圏論は面白い(7)　随伴 : tnomuraのブログ
圏論は面白い(8)　モナド : tnomuraのブログ
圏論の攻略法 : tnomuraのブログ（オブジェクトが何か、射がなにかということは置いておいて、オブジェクトと射の代数を学ぶつもりで）
プログラマのための圏論攻略法 : tnomuraのブログ（プログラマが圏論を学習したいと思う理由の第一はIOモナドを理解したいという欲求）
圏論の言葉 : tnomuraのブログ（Haskell の記法は圏を記述するのに便利）
圏論の言葉　その２ : tnomuraのブログ（point は集合の要素の一個を関数で表現したものだが、集合の全射や、単射を圏論の言葉で扱うときに重要）

つづく

2018/10/20(土) 09:57:23.40

>>402

つづき

役に立つ読み物
圏論の初歩を理解するためのWeb上での無料の読み物：
圏論を小学生にも分かるように説明するスレ | 2ch勉強・学問まとめ
http://gakumon-matomeread.doorblog.jp...
圏を「対象」と「射」で説明するのは冗長だ。射だけあれば良い。射と射が結合して射になる所が本質。「対象」は単位射と同じ。このくらい単純化すれば小学生にも説明できる。
圏論ってざっくり言うと例え話の理論じゃねーの。話が圏，話の登場人物が対象，登場人物間のやりとりが射
「ある話を別の話に例える」という操作、すなわち例え話が関手
2通りの例え話ができるけど実質同じだよねーってのが自然変換

はじめての圏論その第1歩：しりとりの圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/200608...
「"あ";"あか" = "あか"」の例から分かるように、1文字だけからなる文字列（長さ1の列）は単位のような働きを持ちます。

Modegramming Style: 圏論デザインパターン
http://modegramming.blogspot.jp/2012/...
関手(functor)：2つの圏間の構造保持するマッピング
(引用終り) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:f2c519fe5384e767e1c9e99abdcfc293)

2018/10/20(土) 10:00:47.74

ついで
一応ガロアすれなのでね（＾＾
https://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140406/p1
慶応大の「ガロア理論講義」の動画と，講義ノートPDF 2014-04-06

慶応大でのガロア理論の講義の実況ビデオ。
無料でYoutubeでガロア理論をここまで詳しく学べるのはありがたい。
線型代数に続く多項式論や，代数的数論，また群論の導出される必然性などを学ぶのに最適。

動画の一覧
1. 【ガロア理論・第1回】代数の基本概念の復習
https://www.youtube.com/watch?v=Bncdt...
2. 【ガロア理論・第2回】代数拡大と最小分解体
https://www.youtube.com/watch?v=HIN33...
3. 【ガロア理論・第３回】自己同型群とガロア拡大
https://www.youtube.com/watch?v=Oftw4...
4. 【ガロア理論・第４回】ガロアの基本定理
https://www.youtube.com/watch?v=ll7Qv...
5. 【ガロア理論・第５回】作図可能性
https://www.youtube.com/watch?v=5-_NK...
6. 【ガロア理論・第７回】方程式の解の公式
https://www.youtube.com/watch?v=aHBgL...
7. 【ガロア理論・第８回】基本群と被覆空間
https://www.youtube.com/watch?v=JjxnU...

対応する講義ノート
講義ノートのPDF：

2013年度・代数学第２代数学第２ 2013年度・秋学期
alg2-S01.pdf 代数学第２
alg2-02.pdf 体の拡大・代数拡大
alg2-03.pdf 分解体・代数閉体
alg2-04.pdf 分離拡大
alg2-05.pdf 分離拡大
alg2-06.pdf ガロア拡大
alg2-07.pdf ガロアの基本定理
名称未設定 - Galois2013.pdf ガロア理論の圏論的定式化

2018/10/20(土) 10:55:09.14

これもついでに

/ quantum-classic2016 /pages/15.html
(抜粋)
松久勝彦（東京大学）(仮)圏による操作的理論と量子論
近年の圏論ブーム(？)によるものか、量子論の基礎理論研究に圏論の語法を持ち込む試みが幾つかなされている。いずれも「Quantum Foundation」すなわち量子基礎論を志向してはいるものの、既存の理論体系をあるクラスの圏で再定義したり、上位の一般理論の可能性を示唆したりと、ナイーブな実証科学からは位置付けの難しい話題が多い。
これらの話題から幾つかを多少の私感を交えて紹介するとともに、そもそもの話として、物理理論の基礎において、圏論がどんな役割を果たうるのかということについて議論/意見交換などを行いたい。

/ attach/15/2/QR PG_C at_phys_sld.pdf
圏による操作的理論と量子論松久勝彦 KEK 筒井研究室 2016/04/30/QRPG

2018/10/20(土) 10:58:03.60

>>405
これね、URLがNGワードで通らないんだ
なので、URLを削っていって、残骸だけになったときに通った
キーワード圏による操作的理論と量子論松久勝彦、あるいは、quantum-classic2016 なども加えて、検索から直接飛んでください（＾＾

◆QZaw55cn4c · 2018/10/20(土) 11:28:45.13

>>402
＞圏論を学ぶ目的は，HaskellやScalaなどの関数型プログラミング言語をよく理解するため

プログラム屋から一言いわせていただきますと、順序が逆でして、圏論を理解するために haskell を学んでいるのが実態です
あと scala はオブジェクトオリエンテッドな要素も濃厚で、関数型というよりは「マルチパラダイム」という妥協の産物、みかたによっては唾棄すべき産物です
関数型言語の最も古くかつ最も有力なカテゴリーは間違いなく lisp 族であり、lisp は fortran・cobol と同時期でありながら、今も成長し続けかつそのアイディアを他言語に供給し続ける不死の存在です

2018/10/20(土) 15:40:56.58

>>407

C++さん、どもありがとう
数学で、数式処理などは、LISPで記述されることが多かったそうですね
https://ja.wikipedia.org/wiki/LISP
LISP
(抜粋)
1958年にはじめて設計されたLISPは、現在広範囲に使用されている高水準プログラミング言語の中でもFORTRANに次いで2番目に古い[1]。ただし、FORTRANと同様に、現在のLISPは初期のものから非常に大きく変化している。
(引用終り)

>あと scala はオブジェクトオリエンテッドな要素も濃厚で、関数型というよりは「マルチパラダイム」という妥協の産物、みかたによっては唾棄すべき産物です

昔っから、最初は高級言語で書いても、
実用化されると、処理速度向上とメモリー容量圧縮のために、中心部分はアセンブラで書き直すと言う話は多かったですね

2018/10/20(土) 15:44:05.38

>>408
余談ですが、Prolog（プロログ）なんてのもありましたね。 IBMはワトソンか。ソフトバンクのPepperね。ここに使われているのか・・（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/Prolog
(抜粋)
Prolog（プロログ）は、非手続き型プログラミング言語の一つ。論理型言語に分類される。名称は、「論理を使ったプログラミング」を意味するフランス語「programmation en logique」に由来している[1][2]。

2.3 新世代コンピュータ技術開発機構とProlog
1970年代終り頃、日本では通産省の電子技術総合研究所の淵一博を中心とするグループが論理プログラミングの重要性を認識して、日本のコンピュータ技術の基礎技術としてこれを取り上げることを提案する。
これが最終的に1980年代の新世代コンピュータ技術開発機構の発足と活動につながった。総額約570億円の国家予算を約束されて1982年に新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）は活動を開始する。Prolog を含む論理型言語はこの研究の核言語と位置づけられ世界的な注目を浴びることとなる。

2.5 人工知能ブームとProlog
日本において、ICOT の活動時期から1990年代前半に掛けては、いわゆる人工知能ブームの時期であり、人工知能研究への期待はこの時期再び異様に高まった。LISP マシンによる医療情報エキスパートシステムでの成果は、人工知能の研究の成果の一部は情報処理に於いても利用可能なのではないかとの夢を抱かせた。このような評価の中で Prolog は人工知能のアセンブリ言語的な位置づけを期待された。

2.7 今日
2013年 IBMはワトソンの商用化を積極的に進めることとし、研究開発要員を2000名に増強することを発表した。さらに2014年秋、ソフトバンクとの間でワトソンの日本語化で提携することが発表された。
ソフトバンクは既にADSLの故障診断をPrologで開発して利用してきた実績があり、既に公開され、2015年春出荷が予定されている感情認識パーソナルロボットPepperでも中核部にPrologを採用することが予想されている。
同社がワトソンと強く結びつくことによって、Pepperが将来ワトソンから情報を受け取ることによって、どのように強化されて、変化していくのかということが俄然興味深い問題に浮上した。
同時に、その二つのシステムに跨って、Prologがどのような関わりを持つのか、役割を担うのかということも注目されている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 18:22:16.54

>>407
Lispはλ計算が起源というのは本当ですか？

◆QZaw55cn4c · 2018/10/20(土) 18:26:44.07

>>410
私にはわかりません、なぜなら、今 https://www.amazon.co.jp/dp/4274068269/ を読んでいる最中ですので

2018/10/20(土) 18:28:56.50

>>410
ども
そんなことを書いてあるね（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/LISP
(抜粋)
元々、LISPは、アロンゾ・チャーチのラムダ計算表記法に影響を受け、コンピュータープログラムのための実用的かつ数学的な表記法として作られた。そして、すぐに人工知能研究に好まれるプログラミング言語になった。

目次
1 LISPの歴史

LISPの歴史

LISPは1958年にジョン・マッカーシーがMITにいた期間に考案された[3]。
マッカーシーは1960年にACMの学会誌Communications of the ACMに「Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I」[4]という題名の論文（「パートII」が発表されることはなかった）を発表した。
この論文において、M-expression（Meta expression）と呼ばれる少数の単純な演算子と関数の表記法で、自分自身を評価するeval関数（超循環評価器）を記述できることが示された。

1955年または1956年からはじまった、IPLは、最初の人工知能言語で、リスト処理や再帰などの多くの概念をすでに含んでいたが、その後すぐにそういった分野ではLISPが使われるようになった。

前述の超循環評価器はLISP自身で実装されているが、ひとたびLISP以外の言語で実装すればそれは実際にLISPを解釈実行できるインタプリタとなる。
マッカーシーは自分の論文中にある評価器は単なる理論上の存在で、そのようにしてインタプリタを実装可能であると考えていなかった。
しかし、マッカーシーのもとで大学院生であったスティーブ・ラッセルは論文を読んだ後、機械語でそれを実装してみせ、マッカーシーを驚かせた。そうしてLISPインタプリタが生まれた。
(引用終り)

2018/10/20(土) 18:31:57.45

>>411
C++さん、ども
かぶったー（＾＾
けど、wikipediaは便利だね

2018/10/20(土) 18:37:45.96

>>412
>マッカーシーは1960年にACMの学会誌Communications of the ACMに「Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I」[4]という題名の論文（「パートII」が発表されることはなかった）を発表した。

リンクを辿るとPDFが読めるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/LISP
LISP
脚注・出典
４^ John McCarthy. “Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I”. 2015年10月30日閲覧。
http://www-formal.stanford.edu/jmc/recursive.html
RECURSIVE FUNCTIONS OF SYMBOLIC EXPRESSIONS AND THEIR COMPUTATION BY MACHINE (Part I)
This paper appeared in Communications of the ACM in April 1960. It is the original paper on Lisp.
There are html, dvi, pdf and Postscript versions of the paper.

http://www-formal.stanford.edu/jmc/recursive.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 18:42:35.04

>>400
そのレスの意図が分からない。>>399の2つは、両方とも命題としては真であるがゆえに、

「スレ主のやり方では定理1.7の批判にならない」

と言っているのである。その>>399に「同意した」ということは、
スレ主は定理1.7の批判を撤回したことになる。

批判を撤回して、それで何がしたいのだ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 18:44:43.43

>>400
＞R－B_fが、有理数Q（R中で稠密）の場合には、
＞「￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない」が成立するので
＞「f は、条件節 Aを満たさない」となります
＞QED

何が言いたいのか分からない。何がQEDなんだ？

「R－B_f＝Q は明らかに定理1.7の条件節を満たすが、
　しかし>>400の議論によって "満たさない" ことになる。
　"満たす" のに "満たさない" のはおかしい」

とでも言いたいのか？R－B_f＝Qというケースは存在しないのだから、

・ "R－B_f＝Qの場合には、条件節Aを満たす"
・ "R－B_f＝Qの場合には、条件節Aを満たさない"

の両方とも仮定が偽の命題であり、よって両方とも命題全体としては真である。
両者は相反する結論を導いているのに、仮定が偽だから両方とも正しいのである。
つまり、「 "満たす" のに "満たさない" のはおかしい」という批判は通用しない。

「 "満たす" のに "満たさない" のは一見するとおかしいように見えるが、
　実際に両方とも成立しているので、何もおかしくない」

というのが正しい見方である。

では、この男は>>400で一体何を批判したつもりになっているのか？

2018/10/20(土) 19:28:36.52

>>414

PDFで下記にのように
given by Church [3].
by Church’s λ-notation.
3. A. CHURCH, The Calculi of Lambda-Conversion
と出てくるね（＾＾

(引用開始)
P6
e. Functions and Forms. It is usual in mathematics?outside of mathe-
matical logic?to use the word “function” imprecisely and to apply it to forms
such as y2 +x. Because we shall later compute with expressions for functions,
we need a distinction between functions and forms and a notation for express-
ing this distinction. This distinction and a notation for describing it, from
which we deviate trivially, is given by Church [3].
Let f be an expression that stands for a function of two integer variables.
It should make sense to write f(3, 4) and the value of this expression should be
determined. The expression y2+x does not meet this requirement; y2+x(3, 4)
is not a conventional notation, and if we attempted to define it we would be
uncertain whether its value would turn out to be 13 or 19. Church calls an
expression like y2 + x, a form. A form can be converted into a function if we
can determine the correspondence between the variables occurring in the form
and the ordered list of arguments of the desired function. This is accomplished
by Church’s λ-notation.

P34
REFERENCES
3. A. CHURCH, The Calculi of Lambda-Conversion (Princeton University
Press, Princeton, N. J., 1941).
(引用終り)

2018/10/20(土) 19:35:33.26

>>415-416
言いたいことが分らないのか？（＾＾
あんたのは、反論になってないし
論理が破綻している
まあ、忙しいので、一晩自分で考えてみな

いいか、言いたいこと（>>400）
”R－B_fが、有理数Q（R中で稠密）の場合には、
「￢結論 B：f はどんな開区間の上でもリプシッツ連続でない」が成立するので
「f は、条件節 Aを満たさない」となります”

ってこと
それだけだよ
一晩自分で考えてみな

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 19:38:36.54

>>418
スレ主の言い分が反論になってない理由は既に提示した。

＞つまり、「 "満たす" のに "満たさない" のはおかしい」という批判は通用しない。

これがその理由である。これが反論になっておらず論理が破綻しているのであれば、
どこが破綻しているのか、スレ主には再反論の義務がある。

スレ主は今回、再反論をせずに逃げている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 19:41:50.84

>>418
＞一晩自分で考えてみな

何日経っても、こちらからの返答は変わらない。
スレ主の言い分が反論になってない理由は既に提示した。
今度はスレ主が再反論する番である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/20(土) 19:50:03.33

スレ主の再反論というか、そもそもスレ主が>>400によって
何を批判したつもりになっているのか、そのことすらスレ主は
明示してないのだから、まずそこからスレ主は説明しなければならない。

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53

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