現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む53

2018/09/19(水) 22:33:01.69

“現代数学の系譜物理工学雑談古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）

2018/10/11(木) 23:44:31.94

>>209
因みに
おれは、Inter-universal geometry と ABC予想 32 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1538755734/
は、いつも楽しく読ませて貰っているんだ
もちろん、エンタとしてだがね（＾＾

2018/10/11(木) 23:47:25.80

ところで、いまね、「AIと数学」みたいなのを追っかけしてんだ～（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/12(金) 10:31:00.31

>>208
（ご参考）専用ブラウザでなくとも、ここでスレの勢いが分かるよ（＾＾
（2ch→5chと読み替えてね）
http://49.212.78.147/index.html?board=math
2ch勢いランキング
数学 10月12日 9:55:28 更新
順位 6Hr前比スレッドタイトルレス数勢い
1位 = Inter-universal geometry と ABC予想 32 757 119
2位 new 現実的な説明があった方がしっくりきて分かり易いと思う　2 100
3位 = 奇数の完全数の存在に関する証明2 357 51
4位 ↓-2 娘が某大学の数学科に進学するのですが 19 39
5位 ↓-1 分からない問題はここに書いてね447 708 28
6位 ↓-1 数学の本第79巻 599 21
7位 ↓-1 Michael F. Atiyahがリーマン予想を証明しました。 367 18
8位 ↑1 面白い問題おしえて～な 27問目 763 10
9位 ↓-1 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む53 211 9
10位 = いくら数学を勉強しようが女にはモテない 26 8
11位 ↓-4 数学を続けるか就活をするか？ 6 8
12位 ↓-1 【自称数学者】三鷹の大類昌俊 Part7【つどい出禁】 304 7
13位 ↓-1 巨大数探索スレッド14 431 6
14位 ↓-1 【数学検定】数学検定（数検）総合スレッド Part.12 496 6
15位 ↓-1 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む52 686 5
16位 ↓-1 数理論理学（数学基礎論）　その13 369 5
17位 ↓-1 コラッツ予想がとけたらいいな　その2 650 4

2018/10/12(金) 10:41:13.08

あれ、新スレで、コテとトリップが抜けたね（＾＾；

2018/10/12(金) 14:14:09.74

>>205

http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
西大和学園数学研究部
病的な関数
2016-04-10
(抜粋)
・トマエ関数
（引用開始）
x が無理数の場合
無理数 x で連続になることを示そう。
任意の正の実数 ε に対してある自然数 q0 が存在して、
1/q0<ε
を満たす。
ところで、分母が q0 以下の有理数で、最も x との差の絶対値が小さくなるようなものを選ぶ。
そして、その値と x との差の絶対値を δ とする。
そのとき、開区間 (x－δ,x+δ) には分母が q0 よりも大きな有理数は存在しない。
(引用終わり)

ああ、そうか
開区間 (x－δ,x+δ) には分母が q0 よりも大きな有理数は存在しない。
　↓
開区間 (x－δ,x+δ) には分母が q0 よりも小さい有理数は存在しない。
だね（下記）
ここが間違っているのか（＾＾；
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1127539791
2009/6/22 関数の連続性 kes********さん Yahoo
問題が解けません。助けてください。お願いします。
f(x)=0 (xが無理数αの時)
f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時）
とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。
つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。
稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。
できる方!!お願いします。

ベストアンサーに選ばれた回答
hsm********さん編集あり2009/6/24
(抜粋)
|x-α|＜δ となるようなxについて考えます。x=p/q（有理数）
だとすると、δの作り方より、この範囲に入っている有理数はすべて
分母がq_εより大きいはずなので（そうでないとδの最小性に矛盾します）
f(x) ＝ 1/q < 1/q_ε ＜ ε
が成り立ちます。
(引用終わり)

2018/10/12(金) 14:15:43.60

>>206
>他スレと比べてここだけ明らかにレベル低いね

確かに
西大和学園の記述ミスに気付かずにスルーしていたよ
分かってないねおれって（＾＾

2018/10/12(金) 15:09:15.59

>>215
いや、それでね
「病的な関数とは? 西大和学園」は、>>16から続いているのだが
ディリクレ関数、トマエ関数、The modified ruler function など

例えば
f(x) ＝ f(1/q）ｘ＝p/q（有理数で、p、qは互いに素な整数）
f(x) ＝f(s）＝0 ｘ＝s (sは無理数)
のような、病的な関数を扱うときには
きちんと
ｘ＝p/q（有理数）と、ｘ＝s (sは無理数)とを場合分けしないと、まずいだろうと。

つまり、>>13みたいな有理数と無理数を分けない扱いでは、まずいように思うんだ。
即ち、本質的に、ある開区間 (x－δ,x+δ) には、必ず有理数と無理数が稠密に入りまじり
有理数と無理数とで、関数の定義が異なっているのだから

因みに
f(x) ＝ f(1/q）＝1/q とするのがトマエ関数です
（整数点についても、０と定義する流儀と、１と定義する流儀があるのだが・・）

2018/10/12(金) 15:31:10.96

ついでに貼る
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日～8月7日開催)
関数の歴史 - 京都大学岡本久

2018/10/12(金) 15:36:07.35

>>216
>つまり、>>13みたいな有理数と無理数を分けない扱いでは、まずいように思うんだ。
>即ち、本質的に、ある開区間 (x－δ,x+δ) には、必ず有理数と無理数が稠密に入りまじり
>有理数と無理数とで、関数の定義が異なっているのだから

例えば
トマエ関数は、有理数で不連続で、無理数連続だ
が、明確に (x－δ,x+δ) において連続とは言えない
というか、連続な区間 (x－δ,x+δ) は取れないでしょ？

2018/10/13(土) 07:02:00.47

>>14

>>14-15
>https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz

いま、アクセスしてみたら、ファイルが削除されているね（下記）（＾＾
残念だな
（余談だが、リンク切れは時間が経つとよくある。だから、ある程度内容を抜粋貼付しておかないと、わけわからん状態になるんだ～（＾＾；）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
404 Not Found
ファイルが見つかりません
既にファイルが削除されたか、期限切れになったか、ダウンロード上限数に達した、若しくは誤ったURLが指定されています。
再度ご確認下さいますようお願い致します。
削除されたファイルの場合，投稿者からその理由についてお問い合わせ頂ければ原則としてお答えできます。f

2018/10/13(土) 09:03:51.68

ついでに
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/15603/3/20140615%E5%85%A8%E5%9B%BD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%99%E8%82%B2%E5%AD%A6%E4%BC%9A%E7%99%BA%E8%A1%A8%E8%B3%87%E6%96%99.pdf
第 40 回全国数学教育会 20140615
命題と条件に関する教材研究と指導の提言 -必要条件と十分の指導について-
兵庫教育大学濱中裕明
兵庫教育大学院生安納秀佳・寶田光太朗・森邊智美
(抜粋)
ここでとりあげる内容は、高校の数学 I の単元「命題と条件」のなかの必要条件と十分条件についてである。
実際、筆者の経験上の実感では、一般的な大学生においても「必要条件」と「十分条件」という用語に対する理解は極めて低い。
実は、今回のゼミ活動に参加した院生たち自身もその理解が曖昧であった。
しかし、逆にいえば、どうして理解がなされていなかったのかを自問自答することもできる。
本稿は、そうした研究活動のなかでなされた考察の成果についてまとめたものであり、「必要条件」と「十分条件」について、どのような理解が不足しているのか、また理解の不足の原因は何かについて検討し、それを改善するための指導の提言を目的とする。

「必要条件」「十分条件」の理解の実態としては、次のような誤解があるのではないかと考えた。
例えば、図１に示した S 社の教科書「数学 I」を見ると、必要条件と十分条件の定義の説明文の横には、「ｐ→ｑ」の図式があり、ｐとｑの下にそれぞれ「十分条件」、「必要条件」と書かれている。
ここから「ｐが十分条件であり、ｑが必要条件である」と誤解してしまう傾向はないだろうか。
本来、定義の文にあるように「ｐならばｑ」が成り立つときに、ｐは「ｑであるための十分条件」であって、「ｑであるための」は省略できない。

つづく

2018/10/13(土) 09:04:09.51

>>220
つづき

なぜならば、十分条件という用語は、ｐとｑという２つの数学的な条件間の相対的な関係を表すための概念だからである。
例えば、２つの数の５と３について、「５は３より大きい」という表現は正しいが、「５は大きい」という表現は不自然で数学的にナンセンスである。
これと同様の不自然さが「ｐは十分条件である」という文についてもいえる。
「ｐはｑの十分条件である」という文は、「ｐはｑよりも強い（厳しい）条件である」ということを意味しており、「ｑはｐの必要条件である」という文は「ｑはｐよりも弱い（緩い）条件である」ことを意味している。
このように、十分条件や必要条件という言葉は、本来、２つの条件間の相対関係を表す用語であるにも関わらず、単に「仮定が十分条件」「結論が必要条件」というような誤った理解が多い様に思われる。
森(1993)では「必要条件」「十分条件」を、「十分が前」「矢の先は必要」といった丸暗記のためのこじつけ文で覚えている学習者も多いことが述べられており、そのような学習のもとでは、多分にあり得ることではないかと考える。

(引用終り)

2018/10/13(土) 09:31:39.41

さて、今日言いたいこと（＾＾

>>13より
(引用開始)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
ここで
条件P：f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる

結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である．

定理1.7 (422 に書いた定理)：P→Q
対偶：￢Q→￢P

￢Q：￢（f はある開区間の上でリプシッツ連続である）
書き換えると
￢Q：f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない
となる
つまり、「f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない」ならば、￢P。つまり、ｆは条件Pを満たさない。

つづく

2018/10/13(土) 09:33:13.62

>>222

つづき

ところで、定理1.7 (422 に書いた定理)より系1.8が導かれるとされる
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.

これを考えるに
関数ｆは、有理数の点で不連続だから、「f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない」（￢Qが成立）（対偶命題）
∵ 有理数が稠密に存在することと、不連続→”リプシッツ連続ではない”ことより

さて、系1.8の証明の荒筋は
「証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」
というものである。

著者は、背理法だという。
だが、上述から明らかに、「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf」は、定理1.7の前提条件を満たさないから、定理1.7を適用することで矛盾を来すのは当然。
よって、これは背理法の証明になっていない！！

以上

2018/10/13(土) 09:41:30.49

>>223
>「証明
>定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.

ここは、正確には、下記のようにいろいろ難しく、”よって, 定理1.7 が使えて”と書いてあるが
単純に、定理1.7の対偶命題を考えれば、”有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf”は、定理1.7 の条件節を満たさないので、定理1.7の適用外であることは明白
だから、下記の系1.8の証明は不成立

(引用開始)
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/184
184 返信：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金) 00:08:43.66 ID:miqaDy4s [7/12]
>>183 つづき

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.

証明
存在すると仮定する. 定理1.7 のBf について,
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R － Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝・・・(1)
である. ここで, 1 点集合｛p｝ (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各｛p｝は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上
で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,
f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛
盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)

2018/10/13(土) 09:45:01.15

>>224
えーと、もう少し補足すると
定理1.7が、（数学的に）正しい定理かどうかだが

１．定理1.7が、（数学的に）正しい定理だとしても、定理1.7から系1.8を導くことはできない（証明になっていない）
２．定理1.7が、（数学的に）正しい定理でないとすると、証明全体が不成立

どちらにしても、証明は不成立だと

2018/10/13(土) 10:10:30.32

>>225
＞定理1.7が、（数学的に）正しい定理かどうか

（>>222）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)

この定理すべっちゃってると思うんだ
リプシッツ連続のまま考えるほど賢くないので、リプシッツ連続の否定→不連続と単純に置き換えて考察する

１）不連続点が、高々可算個だが、有理数Qのように稠密に存在しているなら、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」は不成立
２）不連続点が、高々可算個で、有理数Qのように稠密に存在していないなら、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」は成立

こう単純化して考えた場合、単純化した定理1.7は、自明なことしか言っていない
では、単純化する前の定理1.7は、自明ではない正しい定理として成立しているのかどうか？
そこは、いまだに分らない。
が、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」であって、有理数Qのように稠密な場合をきちんと扱って証明しないといけないんじゃないか？
それが、>>218や>>216で言いたいこと

2018/10/13(土) 10:30:58.23

>>226
補足

（>>14）
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/594
＜422に書いた定理＞
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。
ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
(引用終り)

だからなー
たかが>>222-223程度のことを書けるようになるのに、ほぼ１年かかった
ほんとおれって、レベル低いわ（＾＾
今回、つくづくそう思ったよ（＾＾；

2018/10/13(土) 20:37:49.08

>>222 (補足)
"定理1.7
条件P：f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である．

定理1.7 (422 に書いた定理)：P→Q
対偶：￢Q→￢P
￢Q：￢（f はある開区間の上でリプシッツ連続である）
書き換えると
￢Q：f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない
となる
つまり、「f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない」ならば、￢P。つまり、ｆは条件Pを満たさない。"

(補足)
・有理数体Q上で不連続なトマエ型の関数では、定理1.7を満たさない
・一方、上記はなく、どこかにリプシッツ連続な区間が存在するならば、当然「結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である」は成立
・例えば、上記のトマエ型関数のある（ｎ、ｎ＋１）の区間において、特別にｆ＝０と定義すれば、この関数は（ｎ、ｎ＋１）の区間でリプシッツ連続となる。この区間以外では当然同じで差が無い。
　（ｎ、ｎ＋１）の区間は、いくらでも任意に設定できる。
　とするならば、「結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」を成り立たせるべき適切な数学的な条件Pの設定は、このままではうまくいかないと思われる。∵プシッツ連続な区間設定の任意性が高すぎるから
　（ (a)トマエ型関数のある（ｎ、ｎ＋１）の区間において特別にｆ＝０と定義しプシッツ連続な区間設定をした関数と、(b)もとのままのトマエ型関数で、二つの場合の比較で、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」については差が無い）
・もし、定理1.7に数学的な意味を持たせるなら、条件Pがもう少しすっきりと正確にできれば良いが、それは難しいかも

2018/10/13(土) 20:44:25.78

これ面白いわ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%8C22/7%E3%82%88%E3%82%8A%E5%B0%8F%E3%81%95%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
円周率が22/7より小さいことの証明
(抜粋)
有名な数学的事実であるところの、円周率 π が
22/7
より小さいことの証明(えんしゅうりつが7ぶんの22よりちいさいことのしょうめい)は、古代ギリシアのアルキメデスに始まり、何通りも与えられている。
本項では、そのうちの一つで、微分積分学の初等的なテクニックのみを用いる、近年に発見された証明を扱う。
この証明は、その数学的な美およびディオファントス近似の理論との関係によって、現代数学においても注目されてきた。
スティーヴン・ルーカスは、これを「π の近似に関する最も美しい結果の一つ」と呼び[1]、ジュリアン・ハヴィルは、円周率の連分数近似の議論を終える際に「この結果に言及せざるを得ない」と述べた上で証明を示している[2]。

もし円周率が 3.14159 に近いことを知っていれば、
22/7
（3.142857 に近い）よりも小さいことは自明である。しかし、π <
22/7
を示すのは、π が 3.14159 に近いことを示すよりもずっと手間は小さい。この証明の評価方法は一般化され、円周率の値を計算する系統的な方法になっている。

目次
1 背景
2 証明
3 積分の評価の詳細
4 直ちに得られる円周率の評価
5 より良い評価
6 一般化
6.1 例
7 脚注
7.1 注釈
7.2 出典

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 23:51:57.70

凄い（偉い）ですね、ここ
こういうとこで数式と術語をちゃんと書いて読むのって僕にはできない
どうせ変なコピペやトンデモが混じってると思ってしまって心理的に集中できないのでw

2018/10/14(日) 07:02:32.48

>>228 補足

「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明
スレ49において、PDFから、証明をアスキー化して、下記にその全文を貼った (>>15)
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178-186
なお、現在 PDF https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz は、残念ながらアクセスしてみたら、ファイルが削除されている（>>219）

2018/10/14(日) 07:08:45.96

>>230
おつです

>こういうとこで数式と術語をちゃんと書いて読むのって僕にはできない
>どうせ変なコピペやトンデモが混じってると思ってしまって心理的に集中できないのでw

完全同意です（＾＾
（テンプレ>>5より）
”そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを”

なので、私スレ主は
（テンプレ>>9より）
”どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；”

ということです（＾＾

2018/10/14(日) 07:19:40.25

>>232 補足

>URLとコピペやPDFの方

ここな,
方針として
１．コピペ元のURLを明示すること
２．URLの正体（例えば、どこの大学の数学科のだれそれと）を記すこと（URLと付合わせればおかしなサイトでないと判断できる）
３．URLの抜粋引用をコピペする（∵URLへ飛ぶ価値があるかどうかの判断のためと、自分の検索の便と＊）、スレのアーカイブとしての価値を高めるためと）
なのです（＾＾

＊）(>>50)
>キーワード ”現代数学の系譜ガロア理論 preferred-networks”で検索すると、一発でヒットしたぜ
> ２ｃｈ（5ｃｈ）に書いていると、google検索が使えるんだ・・（＾＾
ここを解説しておくと
２ｃｈ（5ｃｈ）は、個人の普通のブログよりランキングが上なのだ
だから、検索ヒットが上位に来て、数千、数万あるページの上位で、上澄みに入るのですぐ見つかるってことだ
（まあ、個人のブログでもURL限定検索ならそうなるだろうが）
これは、個人の普通のブログに書くよりもプラスの面なのだ（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:41:46.57

定理1.7における、稠密かどうかの場合分けについて。

「そんなことを考えなくても証明になっているから、稠密かどうかの場合分けは必要ない」

と再三書いてきたが、100歩譲って場合分けする立場で証明を読み直したところ、
定理1.7の証明では、「稠密かどうかの場合分け」を実質的に行っていると解釈できることが分かった。
よって、スレ主の批判は定理1.7には当てはまらないことが確定した。詳細は次のレスから。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:44:02.38

スレ主は、定理1.7でリプシッツ連続な開区間が取れることが気に食わないわけだが、
定理1.7の証明の中で開区間を生成しているのはベールのカテゴリ定理である。

ベールのカテゴリ定理を使う前の段階では、開区間の生成はなく、
ベールのカテゴリ定理を使った時点で初めて開区間が生成され、
そのあとは、その生成した開区間からリプシッツ連続な開区間に繋げていく。
つまり、リプシッツ連続な開区間が取れる原因はベールのカテゴリ定理であり、
かつその定理のみが原因である。

よって、スレ主はベールのカテゴリ定理が気に食わないと言っていることになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:45:15.89

ベールのカテゴリ定理は何種類かの形態を持つが、pdfの中で使っているのは次の形態のものである。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理
E_n⊂R (n≧1)はRの閉集合であり、(a,b)⊂∪[n＝1～∞]E_nを満たすa＜bが
存在するとする。このとき、あるnとあるc＜dに対して(c,d)⊂E_nが成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
これが、(Rでの)ベールのカテゴリ定理である。簡略化して書けば、

「各E_nが閉集合であり、∪[n＝1～∞]E_nが開区間を含むならば、あるE_nが開区間を含む」

と言っているのがベールのカテゴリ定理である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:46:55.02

しかし、よく考えてみたまえ。各E_nが閉集合で、∪[n＝1～∞]E_nが開区間を含むからといって、
なぜそれで、あるE_nが開区間を含むと言えるのだね？なぜスレ主は、そこには疑問を抱かないのだね？
スレ主はベールのカテゴリ定理が気に食わないのだから、あるE_nが開区間を含むことに
不満を持たなければ駄目だろう。

たとえば、R－E_nがRの中で稠密なら、そのnに対してE_nは開区間を含みようがない。
特に、任意のnに対してR－E_nがRの中で稠密なら、どのE_nも開区間を含みようがない。

これは、スレ主が大好きな論法のはず。しかしスレ主は、
ベールのカテゴリ定理に関しては、このように考えようとはしない。
だから、俺がスレ主にかわってスレ主の論法を使うと、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
もしR－E_nがRの中で稠密なら、そのE_nは開区間を含むわけがないから、
ベールのカテゴリ定理を証明するには、

「任意のnに対してR－E_nがRの中で稠密」

という条件が成り立つか否かで場合分けしなければ証明できるはずがない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:48:14.49

ところで、E_nが開区間を含まないことと、R－E_nがRの中で稠密であることは同値である(自明)。
よって、次のような言い換えもできる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理を証明するには、

「任意のnに対してE_nは開区間を含まない」

という条件が成り立つか否かで場合分けしなければ証明できるはずがない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:49:10.42

では、ベールのカテゴリ定理の実際の証明はどうなっているのかというと、

「任意のnに対してE_nは開区間を含まない」

と仮定して矛盾を導くという方法で証明するのが普通である
(具体的な証明は適当に検索してくれ)。全く同じことだが、

「任意のnに対してR－E_nはRの中で稠密」

と仮定して矛盾を導くという方法で証明するのが普通である。
つまり、ベールのカテゴリ定理については、スレ主が主張する
「稠密かどうかで場合分け」が実際に行われていると解釈できるのである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:50:27.78

従って、ベールのカテゴリ定理を使った時点で、
稠密かどうかの場合分けを行ったのと同じ効果が得られる。
つまり、定理1.7の証明では、実質的に稠密かどうかの場合分けが内包されている。

明示的に場合分けを出現させたければ、定理1.7の証明の中で
ベールのカテゴリ定理を使っている箇所を削除して、その部分に
ベールのカテゴリ定理の証明そのものを丸ごとコピペすればいい。
すると、定理1.7の証明の中に、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現することになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:51:22.76

よって、

「稠密かどうかの場合分けが見当たらないのでインチキくさい」

というスレ主の意見は的外れである。
ベールのカテゴリ定理の中でその場合分けは実際に行われているので、
定理1.7の証明でも、実質的には稠密かどうかの場合分けが内包されているからである。

「ベールのカテゴリ定理のおかげで、定理1.7では表面上、場合分けが必要なくなっている」

という見方もできる。
どうしても現状の証明が気に食わないなら、定理1.7の証明の中で
ベールのカテゴリ定理を使っている箇所を削除して、その部分に
ベールのカテゴリ定理の証明そのものを丸ごとコピペすればいい。
すると、定理1.7の証明の中に、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 07:52:55.20

まとめると、次のようになる。

・そもそも稠密かどうかの場合分けは必要ないと再三書いている。

・ 100歩譲って場合分けする立場で考えると、ベールのカテゴリ定理の中で
　その場合分けが実際に行われているので、定理1.7の証明でも、
　実質的には稠密かどうかの場合分けが内包されている。
　「ベールのカテゴリ定理のおかげで、定理1.7では表面上、場合分けが必要なくなっている」
　という見方も可能。つまり、場合分けが必要ないのはベールのカテゴリ定理のおかげ。

・どうしても現状の証明が気に食わないなら、定理1.7の証明の中でベールのカテゴリ定理を
　使っている箇所を削除して、その部分にベールのカテゴリ定理の証明そのものを
　丸ごとコピペすればいい。すると、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現する。

これで、定理1.7における「稠密かどうかの場合分け」については話が終わった。
スレ主の批判は完全に効力を失った。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 08:00:39.61

結局、スレ主が感じているインチキくささの原因は、
ベールのカテゴリ定理に関するスレ主の無理解から来ている。

開区間を生成しているのはベールのカテゴリ定理なのだから、
開区間が取れるのが気に食わないなら、まずベールのカテゴリ定理が
どういう仕組みで成立している定理なのか理解しなければいけないのに、
スレ主はベールのカテゴリ定理をスルーしている。そこをスルーするから、
開区間が生成されることに「不思議さ」「インチキくささ」を感じてしまうのである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 08:04:54.06

また、100歩譲って場合分けが必要だという立場でベールのカテゴリ定理の証明を見ると、
スレ主が主張する「稠密かどうかで場合分け」が実際に行われていることを既に指摘した。
ゆえに、場合分けの議論はベールのカテゴリ定理の中に内包されてしまうので、
定理1.7側では表面上、場合分けが必要なくなる。
「場合分けが必要ないのはベールのカテゴリ定理のおかげ」ということ。
これもまた、ベールのカテゴリ定理と向き合うことで判明した事実である。

結局、ベールのカテゴリ定理をスルーし続けるから、「不思議さ」「インチキくささ」から
脱却できないのである。ベールのカテゴリ定理の仕組みをきちんと精査すれば、
スレ主が感じている「不思議さ」「インチキくささ」は真正面から解消できるのである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 08:06:24.44

とりあえずここまで。背理法についての反論は長くなるので次回。

2018/10/14(日) 08:49:47.78

>>233

まあ、なので、このスレの使い方としては
　面白そうなトピックスについて
・貼ってあるURLに飛んでみる
・貼ってあるキーワードを使って、自分で検索する
ってことだね（＾＾

2018/10/14(日) 09:15:50.97

>>245
ゾンビか？（＾＾；

いいけど、長くなりそうだから
この議論限りでも良いから、コテハン頼む
（遡って議論を辿るときに便利なようにね）

（コテハン提案）
１．コテ案”定理1.7（422に書いた定理）”
２．コテその他（もちろん１には拘らない。お好きな名前をどうぞ）
３．望ましくは、トリップ（下記）も付けてくれ（成り済まし混乱未然防止のため）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%97_(%E9%9B%BB%E5%AD%90%E6%8E%B2%E7%A4%BA%E6%9D%BF)
トリップ (電子掲示板)
(抜粋)
トリップを表示する方法
名前欄に名前を入力する。（必要が無ければ入力しなくてもよい）
名前の後に"#"を入力し、続いて（トリップキーとなる）任意の文字列を入力する。
書き込む。
例えばトリップキーに「Wikipedia」という文字列を用いた場合、名前の後に『◆Ig9vRBfuyA』と表示される。これがトリップである。
トリップキーとして有効であるのは、文字列の先頭の"#"を除いて8バイトまでであり、9バイト以降は適用されない（12バイト以降は後述）。2ちゃんねるのトリップシステムではShift_JISを用いており、半角文字は1バイト、全角文字は2バイトとなり、全て全角文字であれば4文字までとなる。

2018/10/14(日) 09:17:40.03

>>247
なお、以前ほど忙しくないが、おれも仕事があるので、レスの時間は限られている
なので、遅レスもあると思うが、悪しからず。ゆっくりやろうね（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 09:33:42.36

>>247
＞ゾンビか？（＾＾；

おいおい、スレ主がこの話を蒸し返したんだろ？>>13ではっきりと

＞それで、いま前スレ50から引き続いて議論しているのが、下記の定理1.7と関連の系1.8だ

と書いてるじゃないか。「引き続いて議論している」と言いつつも、
実際に議論の相手が出てくると「ゾンビか？」は無いだろうよ。

「相手は二度と戻ってこないだろうから、今なら安全圏から言いたい放題言えるな」

とでも考えていたのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 09:35:41.55

半年前の「定理F」の件にスレ主は反論をよこさず、そのままスレ主は
フェードアウトしていたので、俺の方も何も言わなかったんだぞ。

そのまま何も言わなければ永遠に俺の方も何も言わなかったのに、
何の未練があるのか、ついにスレ主は自分の方からこの話を蒸し返したのだ。
だったら俺も書かせてもらうよ。いや、もう書いてるけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 09:38:07.45

俺の方からこの話を蒸し返したのではない。
スレ主の方から自発的にこの話を蒸し返した。

このことはここに明記しておく。
後で水掛け論になりかねないので。

2018/10/14(日) 10:21:29.94

>>244-255
なるほどね
すれ違いの原因が見えてきたかも

１．まず、正直定理1.7の証明が成り立っているかどうか？　そこはまだよく分らない
２．だが、（証明の中だけでも）場合分けをしないから、正直定理1.7が意味不明だと思う
３．私が（多分多くの人も）、フォーカスしているのは、ディリクレの関数やトマエ関数やそれを改良した”Differentiability of the Ruler Function ”についてだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0
ディリクレの関数
(抜粋)
ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。
f(x)={1 (x ( ∈ {Q} ) or (x ( ∈ {R} \smallsetminus ∈ {Q} )}
(数式はURL原文の方が見やすいよ（＾＾ )
ただし、Q は有理数全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0
トマエ関数

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function
The Math Forum
Dave L. Renfro Registered: 12/3/04
(抜粋)
Differentiability of the Ruler Function
Posted: Dec 13, 2006 5:20 PM
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
（注：We would expect higher powers of f to be smoother,
and this is what we find. Note that for each r > 0,
the sets where f^r is continuous and discontinuous
is the same as for f. つまりf^r(x) = (1/q)^r if x = p/q）

つづく

2018/10/14(日) 10:37:55.47

>>252 つづき

４．例えば、床関数とかあるでしょ？（下記）
５．で、床関数は、各整数点ごとに、ヘヴィサイドの階段関数が重なっていると見ることもできる
６．だから、床関数を微分すると、整数点以外では微分可能でその値は０で、整数点では普通の意味の微分は不可能（各整数点で、超関数の意味でデルタ関数が存在すると解釈できる）
７．なので、床関数は、明らかに
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
の射程内だ
８．が、こんなこと（上記加算無限個の孤立整数点のみでプシッツ連続ではない関数）は全く興味の外。あくまで問題は、稠密な有理点Q上不連続で、連続な開区間は取れない関数だ

（参考）
床関数と天井関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0
ヘヴィサイドの階段関数
https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function
Heaviside step function
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
ディラックのデルタ関数
(抜粋)
しかし、通常の意味ではまったく関数ではないデルタ関数は、適当な枠組みの下では意味を持ち、例えばデルタ分布はヘヴィサイドの階段関数の弱微分（超関数の意味での微分）を与えている。

つづく

2018/10/14(日) 10:38:56.98

>>251
つー、>>247 コテハンよろしくな（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 11:02:27.94

>”どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
>URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；”

お前が偉そうに言うなこのアホが

2018/10/14(日) 11:05:49.26

>>253 つづき
> ８．が、こんなこと（上記加算無限個の孤立整数点のみでプシッツ連続ではない関数）は全く興味の外。あくまで問題は、稠密な有理点Q上不連続で、連続な開区間は取れない関数だ

だから、あんたも、
The ( modified ）ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f^r(x) = (1/q)^r if x = p/q） if x = p/q
にフォーカスして欲しい。
（定理1.7で、R上で不連続点が稠密でなければ、その前提の上でどこか”ある開区間の上でリプシッツ連続である”が成立する可能性はあるが
　R上で不連続点が稠密ならば、その前提の上でどこか”ある開区間の上でリプシッツ連続である”が成立する可能性はない）

言いたいことは、なんとなく分ってきたが
こういうことかな？
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
　↓
だれでも背理法を使おうと思うだろうね
で
背理法の仮定：有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在するとする
　↓
矛盾を導く
ってことだろう

で、おれの（今の）主張は、定理1.7の証明の筋（ベールのカテゴリ定理に反する？）で矛盾を導くは可能かも知れないが
定理1.7そのものを適用することはできないってこと。（理由は>>228辺りな）

だから、前にも言ったけど
定理1.7を分けて、
R上で不連続点が稠密でなければ、その前提の上でどこか”ある開区間の上でリプシッツ連続である”を証明すれば良いでしょ
R上で不連続点が稠密ならば（今回のThe ( modified ）ruler function）、この場合
その前提の上では、どこにも”ある開区間の上でリプシッツ連続である”が成立する可能性はない
なので、系1.8は直接「R上で不連続点が稠密」の条件を明示的に使い、系1.8を証明すれば良いんじゃ無い？

2018/10/14(日) 11:06:32.83

>>255
運営ごくろうさん（＾＾

2018/10/14(日) 11:28:03.62

>>256
>定理1.7の証明の筋（ベールのカテゴリ定理に反する？）で矛盾を導くは可能かも知れないが

下記みたいな文献はあるから（特に最後）、それが「可能かも知れない」の根拠だ

(Lipschitzで抜粋）
（なお、c many pointsとc pointsとが、意味が取れない。だれか分る方頼む）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function
The Math Forum
Dave L. Renfro Registered: 12/3/04
(抜粋)
Differentiability of the Ruler Function
Posted: Dec 13, 2006 5:20 PM
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
（注：We would expect higher powers of f to be smoother,
and this is what we find. Note that for each r > 0,
the sets where f^r is continuous and discontinuous
is the same as for f. つまりf^r(x) = (1/q)^r if x = p/q）

** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.
The results above can be further refined.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)

2018/10/14(日) 11:43:53.06

>>249
>＞ゾンビか？（＾＾；
> おいおい、スレ主がこの話を蒸し返したんだろ？>>13ではっきりと

まあ、>>13はおれの宿題でね
遅レスで悪いが

で、>>231に書いたけど、
現在 PDF https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz は、残念ながらアクセスしてみたら、ファイルが削除されている（>>219）

なので、前のままでも良いし、書き直したものでもいい
新しく来た人のために、またPDF頼むよ（この板でアスキーベースの本格的な数学はつらいだろう。limだってまともに書けないしね）

>「相手は二度と戻ってこないだろうから、今なら安全圏から言いたい放題言えるな」
>とでも考えていたのか？

いや、
一つは、PDFファイルが削除されていることと（自主的な削除か自然な削除か、確率5割）
一つは、戻ってくるとしたら、よほどヒマか

まあ、おれはヒマだが
で、過去あんたの賛同者は、”ぷふ”さん一人だった
（”おっちゃん”も居たけどね）
それ以外に明確な賛同者は居なかった
なんで（明確な賛同者は居なかった）？　ということは、このスレのROMさんたち必ずしも、あんたに諸手を挙げて賛同しているわけじゃないってことと思っているんだよ
（もし賛同者が居たらこのさい応援してあげてね）
ということは、諸手を挙げて賛同しかねる理由があるってことでしょ。それを自得したのかと思ったのが、「ゾンビか？」の第三の理由だよ

2018/10/14(日) 11:54:51.84

>>259
最後念押し３点（＾＾

１．コテハン頼む（>>247）
２．ディリクレの関数やトマエ関数やそれを改良した”Differentiability of the Ruler Function ”についてフォーカスしてほしい　（>>252>>256）
３．新しく来た人のために、またPDF頼むよ（前のままでも良いし、書き直したものでもいい）（>>259）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:19:19.91

＞１．コテハン頼む（>>247）
コテハンは面倒くさいので取得しない。IDで十分。
うっかりコテハン忘れたら名無しと同じだし、そのあとコテハンつけても、
名無しで書いてしまったレスはIDの同一性で区別するしかない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:23:41.79

＞２．ディリクレの関数やトマエ関数やそれを改良した”Differentiability of the Ruler Function ”についてフォーカスしてほしい　

またその論法か。

忘れたとは言わせないぞ。トマエ関数やその類似品は反論にならない。
理由は過去ログで何度も述べたとおり。

(1)トマエ関数やその類似品は、そもそも定理1.7の前提を満たしていないので、
　定理1.7とは無関係であり、最初から反論になってない。

これがその理由。つまり、トマエ関数やその類似品は、R－B_f が第一類集合になってない。
そのことの証明も過去ログで既に書いた。確か、スレ主が引用している英文の中で
紹介されている定理を組み合わせるだけで、そのことが示せていたはず。

だから、繰り返しになるが、トマエ関数やその類似品は、
そもそも定理1.7の前提を満たしていないので、定理1.7とは無関係であり、
最初から反論になってない。考えるに値しない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:28:50.67

また、今回の一連の書き込みに照らし合わせると、次のようにも言える。

(2)ベールのカテゴリ定理の証明の中で、稠密かどうかの場合分けが行われているので、
　トマエ関数の類似品は、原理的にはここで篩にかけられて落とされる。
　よって、トマエ関数を持ち出しても反論にならない。

これなら、スレ主が言うところの「フォーカス」になってるだろう。
結局、ベールのカテゴリ定理の中で「稠密かどうかの場合分け」が行わているがゆえに、
そこでトマエ関数は落とされるわけで、トマエ関数なんぞにフォーカスしても
無駄であることが確定するわけだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:32:55.07

>>262の(1)は別の見方も可能で、

「ベールのカテゴリ定理によって篩にかけられて落とされているからこそ、
　定理1.7の前提を満たさなくなっている」

という考え方もできる。すると、(1)は>>263の(2)と同じ内容になる。
ここに来て(1)と(2)が同じ見解に統一されるわけだ。
だから、スレ主向けの説明としては、(1)よりも(2)の方がいいと思われる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:37:39.18

＞３．新しく来た人のために、またPDF頼むよ（前のままでも良いし、書き直したものでもいい）（>>259）

リンク切れの件があるので、もうpdfはアップロードしない。
俺は気づかなかったが、アスキー化したものがあるようだな。

スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178-186

これで十分。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:43:15.47

＞定理1.7を分けて、
＞R上で不連続点が稠密でなければ、その前提の上でどこか”ある開区間の上でリプシッツ連続である”を証明すれば良いでしょ
＞R上で不連続点が稠密ならば（今回のThe ( modified ）ruler function）、この場合
＞その前提の上では、どこにも”ある開区間の上でリプシッツ連続である”が成立する可能性はない
＞なので、系1.8は直接「R上で不連続点が稠密」の条件を明示的に使い、系1.8を証明すれば良いんじゃ無い？

だから、そのような場合分けは定理1.7の証明の中にも内包されている、と既に述べただろ。

どうしても現状の証明が気に食わないなら、定理1.7の証明の中で
ベールのカテゴリ定理を使っている箇所を削除して、その部分に
ベールのカテゴリ定理の証明そのものを丸ごとコピペすればいい。
すると、定理1.7の証明の中に、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現する。

…と、このようにも述べた。だから、今のままの証明で何の問題もない。
「稠密かどうかで場合分けしてないからインチキくさい」
というスレ主の意見は既に効力を失ってるんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 12:56:55.67

詳しく書こう。

＞R上で不連続点が稠密ならば（今回のThe ( modified ）ruler function）、この場合
＞その前提の上では、どこにも”ある開区間の上でリプシッツ連続である”が成立する可能性はない

定理1.7の前提は「R－B_fは第一類集合」というものである。スレ主はここで、

「R上で不連続点が稠密のケースを考えよ」

と言っているが、定理1.7の証明では、実際にそのようなケースを考えており、
「その場合は矛盾が起きる」という議論をしているのである(より一般的な形で)。
今回の一連のレスで、俺は何度もそのことを指摘しているのである。何度も言うが、

定理1.7の証明の中でベールのカテゴリ定理を使っている箇所を削除して、
その部分にベールのカテゴリ定理の証明そのものを丸ごとコピペすればいい。
すると、定理1.7の証明の中に、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現する。

…という、この議論こそが、スレ主が言うところの「場合分けせよ」の正体なのである。
実際に、スレ主が言うところの場合分けをしているのである(より一般的な形で)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 13:04:31.03

このように、定理1.7の証明では、スレ主が希望している場合分けを
実際に行っているのである。にも関わらず、スレ主はそのことを理解せず、

「場合分けせよ」

と同じ主張を繰り返しているのである。だからね、実際に場合分けしているのだよ。
場合分けした上で、スレ主が希望するトマエ型のケースでは矛盾が導けるので
そのようなケースは起こらず、そうでないケースだけが生き残り、
それが「リプシッツ連続な開区間が取れるケース」なのであり、
それが定理1.7の結論なんだよ。そのことを一般的な形で言ってるのが
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7の証明の中でベールのカテゴリ定理を使っている箇所を削除して、
その部分にベールのカテゴリ定理の証明そのものを丸ごとコピペすればいい。
すると、定理1.7の証明の中に、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現する。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
この部分なんだよ。だから、スレ主が希望する立場から眺めても、
定理1.7は完全に正しいんだよ。

このプロセスを見れば、トマエ関数の類似品にフォーカスしても
無駄であることがスレ主にも実感できるだろ。トマエ型の関数は、
ベールのカテゴリ定理のところで篩にかけられて落とされ、
そうでないケースだけが生き残り、それが定理1.7の結論。

スレ主の言っていることは、もう通用しないんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 14:06:18.41

スレ主は論破されかけると一方的に議論を打ち切るくせに、忘れた頃にしれっと自分の主張をさも真実が如く再掲する。
これを卑怯と言わず何と言おう。
アホなのは許す。卑怯は許さん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 14:55:03.13

まだやってんのかお前ら

2018/10/14(日) 20:51:23.20

関連ありそうなので貼る

2018/10/14(日) 20:53:15.01

>>270
同意
ヒマなんだろうね？　こっちもヒマができたので、付合うがね
（おれを論破したら、自分の株が上がると思ってくれているのかな？（＾＾）

2018/10/14(日) 20:54:23.15

>>269
運営おつです
あおり上手いね、ざぶとん１枚
本気で何か言いたいなら、自分の数学を書いたらどう？運営さん（＾＾

2018/10/14(日) 21:06:30.83

>>268
一杯書いたね（＾＾
まあ、細かい点はあとで

”「場合分けせよ」
と同じ主張を繰り返しているのである。だからね、実際に場合分けしているのだよ。
場合分けした上で、スレ主が希望するトマエ型のケースでは矛盾が導けるので
そのようなケースは起こらず、そうでないケースだけが生き残り、
それが「リプシッツ連続な開区間が取れるケース」なのであり、
それが定理1.7の結論なんだよ。そのことを一般的な形で言ってるのが
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7の証明の中でベールのカテゴリ定理を使っている箇所を削除して、
その部分にベールのカテゴリ定理の証明そのものを丸ごとコピペすればいい。
すると、定理1.7の証明の中に、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現する。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
この部分なんだよ。だから、スレ主が希望する立場から眺めても、
定理1.7は完全に正しいんだよ。”

１点、
　おれには普通の数学の作法（定理の書き方）と違う自分流を主張しているとしか思えないね
・定理は、証明とは独立であるべき。なぜなら、別証明もあるのだし。証明読まなきゃ意味不明の定理などおかしい
・その論法を拡大すれば、ある定理で整数全体について述べて、Aという性質を持つという。だが、証明を読むと、それは偶数の場合のみ成立で、奇数では不成立だと分る。
・だったら、定理の記述段階で、偶数の場合の定理としておくべきでしょ？
・で、当初から問題にしているのは、実数R上の関数で有理体Q上で不連続な病的関数を問題にしていて、
　その定理1.7は「ある開区間にリプシッツ連続な区間を持つ」という定理なら、有理体Q上で不連続な病的関数の前提からずれているよね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 21:53:17.91

俺の言っていることが伝わってないようだな。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7の証明の中でベールのカテゴリ定理を使っている箇所を削除して、
その部分にベールのカテゴリ定理の証明そのものを丸ごとコピペすればいい。
すると、定理1.7の証明の中に、稠密かどうかの場合分けが明示的に出現する。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――

これを具体的に実行してみせないと理解できないのか？
では実行してみせよう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 21:54:43.68

定理1.7の証明の中で、ベールのカテゴリ定理を使っている箇所を抜き出してみる。
この証明では、ベールのカテゴリ定理のことを「系1.4」と呼んでいるので、
その周辺を抜き出せばよい。該当箇所は次のとおり。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
[定理1.7の証明の一部分]
すると, (2) の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになるので,
系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もしくは,
あるN,M >= 1 に対してBN,M は内点を持つかのいずれかである.
各Aiは内点を持たないのだったから, あるN,M >= 1 に対して
BN,M が内点を持つことになる.
――――――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 21:56:09.38

ここでの(2)とは、R ⊂ (∪_{N,M}B_{N,M})∪(∪_iA_i) という包含のことを
指しているので、これを直接的に書けば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
[定理1.7の証明の一部分]
すると,

R ⊂ (∪_{N,M}B_{N,M})∪(∪_iA_i)

の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになるので,
系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もしくは,
あるN,M >= 1 に対してBN,M は内点を持つかのいずれかである.
各Aiは内点を持たないのだったから, あるN,M >= 1 に対して
BN,M が内点を持つことになる.
――――――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 21:57:48.94

次に、「系1.4」で使われているベールのカテゴリ定理は、
簡潔に書けば次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――
ベールのカテゴリ定理
E_n⊂R (n≧1)は閉集合で、R⊂∪_nE_nが成り立つとする。
このとき、あるnに対してE_nは開区間を含む。
―――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:00:21.33

既に指摘したように、このベールのカテゴリ定理の証明は、
次のフォーマットになっている。
――――――――――――――――――――――――――――
[ベールのカテゴリ定理の証明]
R⊂∪_nE_nが成り立つとする。

「どのR－E_nもRの中で稠密」

と仮定して矛盾を導く。～～(省略)～～よって矛盾する。
よって、あるnに対してR－E_nはRの中で稠密でない。
つまり、E_nは開区間を含む。
――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:02:11.72

これを場合分けのフォーマットに直すと、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――
[ベールのカテゴリ定理の証明]
R⊂∪_nE_nが成り立つとする。

(1) どのR－E_nもRの中で稠密
(2) それ以外

で場合分けする。
(1)の場合は、～～(省略)～～よって矛盾する。
よって、(1)のケースは発生しないので、(2)が成り立つしかない。
よって、あるnに対してR－E_nはRの中で稠密でない。
つまり、E_nは開区間を含む。
―――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:04:51.76

定理1.7の証明の中では、ベールのカテゴリ定理に書かれている可算個のE_nとして
B_{N,M}, A_iが使われているので、これを上のフォーマットに適用すると、
ベールのカテゴリ定理の証明は次のように具体化される。
――――――――――――――――――――――――――――――――
[ベールのカテゴリ定理の証明の具体化]
R ⊂ (∪_{N,M}B_{N,M})∪(∪_iA_i) が成り立つとする。

(1) どのR－B_{N,M}とR－A_iもRの中で稠密
(2) それ以外

で場合分けする。
(1)の場合は、～～(省略)～～よって矛盾する。
よって、(1)のケースは発生しないので、(2)が成り立つしかない。
よって、あるB_{N,M}は開区間を含むか、あるA_iは開区間を含むかの
いずれかである。
――――――――――――――――――――――――――――――――

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:06:08.80

定理1.7の証明の中に、この証明をコピペして修正すれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
[定理1.7の証明の一部分]
すると,

R ⊂ (∪_{N,M}B_{N,M})∪(∪_iA_i)

の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになる。ここで、

(1) どのR－B_{N,M}とR－A_iもRの中で稠密
(2) それ以外

で場合分けする。
(1)の場合は、～～(省略)～～よって矛盾する。
よって、(1)のケースは発生しないので、(2)が成り立つしかない。
よって、あるB_{N,M}は開区間を含むか、あるA_iは開区間を含むかの
いずれかである。A_iは開区間を含まないのだったから、
あるB_{N,M}が開区間を含むことになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

これで完成。稠密かどうかの場合分けが明示的に出現していることが分かるだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:07:49.57

本題はここから。f：R→Rは、R－B_fが第一類集合であるとする。スレ主は

「R上で不連続点が稠密のケースを考えよ」

と言っているので、そのようなケースを考えてみる。
このとき、どのR－B_{N,M}もRの中で稠密であることが示せる。
また、R－A_iは最初からRの中で稠密であることが分かっている。
よって、>>282における

(1) どのR－B_{N,M}とR－A_iもRの中で稠密
(2) それ以外

のうち、(1)のケースに流れる。そして、(1)のケースは矛盾するのだった。
よって、スレ主が提唱する「R上で不連続点が稠密のケース」は発生しないことになる。
>>282はさらに一般的な形になっているので、スレ主が提唱する "トマエ型" のケースは、
より一般的な形で(1)によって全滅する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:09:27.84

このように、定理1.7の証明では、スレ主が言うような場合分けが
実際に行われているのである(より一般的な形で)。
にも関わらず、スレ主はそのことを理解しておらず、

「場合分けせよ」

と繰り返しているのである。だからね、実際に場合分けしてるんだよ。
その上で、スレ主が提唱する "トマエ型" のケースは、より一般的な形である
(1)のケースに常に流れ込んでしまい、流れ込んだその先には矛盾が
待ち構えているので、そのようなケースはここで全滅するんだよ。
そして、生き残ったケースが「リプシッツ連続な開区間が取れるケース」
になっていて、それが定理1.7の結論なんだよ。

このようなプロセスを見れば、トマエ関数の類似品にフォーカスしても
意味がないことがスレ主にも実感できるはずだ。そういう関数は全て
(1)に流れて全滅するんだから。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:11:24.17

よって、スレ主の立場から眺めても定理1.7は「正しい」のである。
また、正しいことのメカニズムもすっきりしている。

「トマエ型のケースは必ず(1)に流れて消滅する」

というのが具体的なメカニズムである。
もはや「不思議さ」も「インチキくささ」もない。

「(1)で矛盾を引き起こしている部分の記述は正しいのか？」

という疑問は残るかもしれないが、(1)の部分はベールのカテゴリ定理の証明そのものを
コピペしているのであるから、正しいことは保証されているし、
あとはベールのカテゴリ定理を勉強しろとしか言いようがない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:15:56.98

ここからは、>>274への返答。

＞・定理は、証明とは独立であるべき。なぜなら、別証明もあるのだし。証明読まなきゃ意味不明の定理などおかしい

的外れ。定理1.7の証明はそのままで意味が通っている。
スレ主がその証明を理解せずに「場合分けがないからインチキくさい」と言っているだけ。

スレ主がどこを理解してないのかというと、ベールのカテゴリ定理をスレ主は理解していないのである。
だから、ベールのカテゴリ定理の証明をこちらでインライン展開してやったのである。
すると、スレ主が主張する「場合分け」が明示的に出現するのである。
ここまでくれば、定理1.7の証明が正しいことがスレ主にも理解可能となる。
が、そうなるとスレ主は反論できなくなるので、スレ主にとっては面白くないのだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:20:07.08

この話の流れが分かるか？

「定理1.7の証明が、このままでは意味不明だからインライン展開している」

のではない。スレ主はそのように捉えていて、

「インライン展開しなければ意味が通らない証明なんておかしい」

と批判しているが、それは的外れである。俺がやっていることは、

「インライン展開しなければ証明のタネが理解できないスレ主のために、
　わざわざこちらでインライン展開してやった」

ということである。インライン展開する前と後で証明の真偽が変わるわけがないので、
インライン展開する前の、既存のままの証明でも正しいのである。
しかし、そのような証明では、スレ主にとっては証明の正しさが理解できないのである。
だから、こちらで「インライン展開してやった」のである。
すると、スレ主が主張する「場合分け」が明示的に出現するのである。
ここまでくれば、定理1.7の証明が正しいことがスレ主にも容易に理解可能になる。
が、そうなるとスレ主は反論できなくなるので、スレ主にとっては面白くないのだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:22:59.74

次はこれだが、

＞で、当初から問題にしているのは、実数R上の関数で有理体Q上で不連続な病的関数を問題にしていて、
＞その定理1.7は「ある開区間にリプシッツ連続な区間を持つ」という定理なら、有理体Q上で不連続な病的関数の前提からずれているよね？

これも的外れ。定理1.7の前提を満たしてない関数をいくら持ってきても無駄。
トマエ関数やその類似品そのものは、定理1.7の前提を満たしてないので、
そのような関数にリプシッツ連続な開区間が存在しなくても「だから何？」としか言えない。
スレ主が本当に扱うべき関数は、トマエ関数やその類似品そのものではなくて、

「定理1.7の前提を満たし、かつトマエ型の条件も満たしているような関数」

である。つまり、

「R－B_fが第一類集合になっていて、かつトマエ型の条件も満たしているような関数」

である。スレ主はこのような性質を持つ関数を持ってこなければならない。
トマエ関数やその類似品そのものは、このような性質を満たしてないので、考えるだけ無駄。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:24:57.46

もう少し詳しく言っておこう。今回スレ主は、

「実数R上の関数で有理体Q上で不連続な病的関数を考えようじゃないか」

と提案しているが、これは簡潔に言えば、

「トマエ型の関数を考えようじゃないか」

という提案である。しかし、>>288で書いたように、
スレ主が本当に提案しなければならないのは、ただの「トマエ型の関数」ではなく、

「R－B_fが第一類集合になっていて、かつトマエ型の条件も満たしているような関数」

である。スレ主はこのような関数を提案しなければならないのである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:26:46.05

そして、スレ主の提案に乗っかって、

「R－B_fが第一類集合になっていて、かつトマエ型の条件も満たしているような関数」

を考えてみると、このような関数は実際には存在しないことが
定理1.7の証明の中で既に示されている(より一般的な形で)。

なぜなら、R－B_fが第一類集合であり、かつトマエ型の条件も満たすなら、
そのfは>>282の場合分けにおける(1)に流れ込んでしまい、そこで矛盾するからだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 22:30:32.75

つまり、スレ主は

＞で、当初から問題にしているのは、実数R上の関数で有理体Q上で不連続な病的関数を問題にしていて、
＞その定理1.7は「ある開区間にリプシッツ連続な区間を持つ」という定理なら、有理体Q上で不連続な病的関数の前提からずれているよね？

と書いたが、実際にはそのような関数は定理1.7の証明の中で
既に一般的な形で扱われているのであって、そのような関数が
存在しないことまで証明の中で既に示されているのである。
そのことにスレ主は気づいておらず、

「こちらが提案する関数を扱ってない！」

と的外れなことを言っているのである。だからね、あなたが言うような関数は
きちんと扱ってますよ。そのような関数が存在しないことまで既に示されてますよ。
あなたがきちんと理解できてないだけですよ。

これ以上何が不満なんですかね？

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2018/10/14(日) 23:41:17.36

すごいわ…ID:Mvi1lMr3さんに完全に別件だけど僕の抱えてる問題見て欲しいわ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 23:53:12.02

あのさぁ、>>13にあるこれ何だよ↓

Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 00:26:33.77

このアホは∀と∃の違いすらロクに理解してないので相手するだけ時間の無駄

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 00:29:36.25

ここのスレ主に数学の話をしてはいけない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 02:04:35.77

訳わからん。

2018/10/15(月) 06:49:19.96

>>292
BLACKXさん、どもありがとう

確かに、この人はレベル高いね～
ただし、おれとは定理1.7で意見が合わないが（＾＾
僕の抱えてる問題というのを相談してみたら？

2018/10/15(月) 07:11:54.94

>>293
>あのさぁ、>>13にあるこれ何だよ↓
>Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }

本来、ID:Mvi1lMr3さんが回答するべきだが
そして、元はPDFにあったのを、そこからアスキーテキストに落としたものでね
もともとは、分数の”（f(y) － f(x)）/（y － x）”は３行で
” lim sup y→x”の部分は、y→xが lim supの下に書いてあるんだ
それで、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”は、リプシッツ連続な集合のことと理解しているがね
（まあ、PDFを再アップしてやらないと、PDFを持っていない人には読みづらいだろう）

2018/10/15(月) 07:13:15.20

>>296
>訳わからん。

まあ、元のPDFを持ってないと、フォローは困難かも

2018/10/15(月) 07:13:54.32

>>294-295
どもありがとう（＾＾

2018/10/15(月) 07:29:06.57

>>291
細かいことは別にして
あんたのなんとなく言いたいことは分ってきた

”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”
で、「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能」だから、
定理1.7の「もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば」を満たしているから良いのだと

だが、こちらの主張は、大前提は、有理点Qで不連続という病的な関数を問題としているのだから
「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」と主張するような定理は、適用範囲外だと
（>>228に書いたように、定理1.7：P→Q、対偶：￢Q→￢P で、上記病的な関数は”リプシッツ連続な区間は存在しない”から条件Pを満たしていないことが導かれるから）

で、定理1.7が、「有理点Qで不連続という病的な関数をも扱っている」という主張なら、それをきちんと定理1.7の主張に明記すべきだし
それを明記した定理1.7の証明中でも、「有理点Qで不連続という病的な関数をも扱っている」ことが明示されるべき
（つまり、R－Bf が有理点Qのように稠密に存在する場合を明示的に扱うべきだと）

そうしないと、分かり難いだろ？
それが、不満だね
細かい点は、また後で

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 09:50:04.40

訳わからん。

2018/10/15(月) 14:28:49.51

>>302
無理に分かろうとしなくていい
面白くなければね（＾＾

2018/10/15(月) 14:31:02.20

突然ですが
これ面白いので貼る（＾＾
まあ、５年前だけどね
https://gigazine.net/news/20130806-simulating-1-second-of-real-brain/
2013年08月06日 09時00分サイエンス GIGAZINE
人間の脳の活動でわずか1秒間はなんとスーパーコンピュータ「京」の40分に匹敵することが判明
(抜粋)
世界で4番目に速いスーパーコンピュータである「京」を使い、実際の人の脳1％分に相当する10兆4000億個のシナプスで結合された神経回路のシミュレーションに成功しました。これは小型霊長類であるサルの全脳と同じ規模に達するとのことです。

Simulating 1 second of real brain activity takes 40 minutes and 83K processors ? Tech News and Analysis
http://gigaom.com/2013/08/02/simulating-1-second-of-real-brain-activity-takes-40-minutes-83k-processors/

「京（けい）」を使い10兆個の結合の神経回路のシミュレーションに成功 | 理化学研究所
http://www.riken.jp/pr/topics/2013/20130802_2/

日本とドイツの研究者チームが、人間の脳の神経回路シミュレーションとしては史上最大規模のものを、8万2944個のCPUと、1.4ペタバイトのメモリー量を持つスーパーコンピュータ京で行いました。

17億3000万個の神経細胞が10兆4000億個のシナプスで結合された神経回路のシミュレーションを行い、生物学的には1秒間に相当することを、京は40分かけて計算したようです。また、この10兆4000億個のシナプスというのは、ちょうど人の脳の神経回路1％程の規模に相当し、小型霊長類であるサルの全脳の規模に達しているとのこと。

シミュレーションを発表したプロジェクトのリーダーであるマーカス・ディースマン氏によると「京のようなペタ規模のスーパーコンピュータは、人間の脳のネットワーク1％に匹敵するようになりました。
私たちは次の10年間の内に、ペタ規模コンピュータの1000倍の性能のものを使って脳全体にある個々の神経細胞とそのシナプスのシミュレートが可能になると考えている」と発言しています。

学術 · 2018/10/15(月) 14:37:51.04

才能が圧縮したスパコン込みのかっこいいの誰かもらってたよ。

学術 · 2018/10/15(月) 14:38:24.79

内を知るには外を体験しなくてはならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 18:39:15.53

>>301
今は定理1.7そのものの話を優先している。
定理1.7を系1.8に適用する話は後回し。

＞で、定理1.7が、「有理点Qで不連続という病的な関数をも扱っている」という主張なら、それをきちんと定理1.7の主張に明記すべきだし

余計な文言は必要ない。定理1.7の主張はこのままで正しいからだ。
「それではスレ主にとっては分かりにくい」というなら、
スレ主のメモ帳に補足事項としてポイントを書けばいいだけである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 18:42:07.64

>>301
＞それを明記した定理1.7の証明中でも、「有理点Qで不連続という病的な関数をも扱っている」ことが明示されるべき
＞（つまり、R－Bf が有理点Qのように稠密に存在する場合を明示的に扱うべきだと）

全く明記する必要がない。より一般的な形で扱われているからだ。
具体的には、「トマエ型のような病的な関数は(1)に流れて消滅する」のである。
この構図をわざわざ崩して、「Qで不連続」というケースを個別に考える必要はどこにもない。
なぜなら、Qで不連続なら、やはり(1)のケースに流れて消滅するからである。
スレ主はどうやら、このことを証明の中に明記しなければ

「Qで不連続な場合が扱われたことにならない」

と考えているようだが、そんなことはない。わざわざ明記しなくても、より一般的な形で

「(1)のケースは矛盾する」

と書いてあるのだから、この書き方により、Qで不連続なケースも一括して矛盾することが
既に示されているのである。だから、明記する必要はどこにもない。
どうしてもスレ主にとって分かりにくいなら、スレ主のメモ帳に

「 "(1)のケースは矛盾する" という記述によって、Qで不連続なケースまでもが
　一括して矛盾することが既に示されている」

とメモしておけばいい。

2018/10/15(月) 21:16:50.31

>>307-308

前振り（＝予備知識：吉田伸生「ベールのカテゴリー定理とその応用」より）（＾＾
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/index_j.html
吉田伸生☆web site
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/tch_web/index_j.html
教育活動
現在までの主な担当授業
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/tch_web/fana/10/index_j.html
2010年度関数解析学
担当教員：吉田伸生
講義ノート
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_9.pdf
9.ベールのカテゴリー定理とその応用 (2011 年1 月28 日更新)
(抜粋)
9.1 ベールのカテゴリー定理
まず抽象的な定義から始める：
定義9.1.1 X は距離空間, S ⊂ X とする.
I S が内点を持たない閉集合の可算和に含まれるときS をX で第一類(of the first
category) であると言い、そうでないとき、X で第二類(of the second category) である
と言う．特にX がX で第一類（第二類）なら，単にX が第一類（第二類）という．
感覚的に言うと，第一類集合は位相的に見て退化した集合，第二類集合はそうでない
集合と言える．

問9.1.2 X を距離空間，S ⊂ X とする．以下を示せ．i) S が内点を持たない閉集合な
らX＼S≠ Φ. ii)X が第二類，S がX で第一類ならX＼S はX で第二類．

定理9.1.2 (ベールのカテゴリー定理47) 完備距離空間X で内点を持つ部分集合はX で
第二類である。

注：
2) 完備距離空間の第二類部分集合が内点を持たないこともある（例えばR でのR＼Q;
問9.1.1, 問9.1.2 参照）. その意味で「定理9.1.2 の逆」は不成立．
(引用終り)

＜要約＞
実数をR、有理数をQ、無理数をP＝R＼Qとする
１）実数Rと無理数Pは、第二類。
２）有理数Qは、第一類
３）但し、実数Rは内点を持つが、無理数Pと有理数Qは内点を持たない

つづく

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53

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