現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>127
おつです
上弦 下弦の 月 みてない（＾＾ >>129
>なつかしいが若かったな。あの時は。
彼女いた？（＾＾ >>129
>相変わらずのアホっぷり
はい鏡
ご苦労さま（＾＾ 本庶先生ノーベル賞(^_^)v
このスレでも、一度話題になりました（＾＾
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO3596516001102018AC8Z00/
本庶氏にノーベル賞 患者団体「救世主」「研究に期待」 日経 2018/10/1 19:08
2018年のノーベル生理学・医学賞に1日、京都大の本庶佑特別教授の受賞が決まった。本庶氏の研究に着目して作られた新型治療薬「オプジーボ」の登場は、肺がんや皮膚がんなどで治療の選択肢が限られた深刻な状況の患者に希望を与えている。
https://www.nikkei.com/content/pic/20181001/96958A9F889DE1E7EBE4E7E3E4E2E2E3E3E2E0E2E3EA9391EA88E2E2-DSXMZO3596527001102018000001-PN1-2.jpg
2016年11月、第32回京都賞を受賞した本庶佑・京都大特別教授（中央）=共同 >>133
￥さん、すごいわ（＾＾
”本庶先生（コチラも本物のノーベル賞候補）”と１年前に
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/320
現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む36
320 名前：￥氏 ◆2VB8wsVUoo [sage] 投稿日：2017/07/17(月) 14:13:25.89 ID:PMZXT70X [6/16]
だからですね、元から『理研の運営側がグル』なのは明らかですわ。何故ならば：
１．私みたいな生物学のド素人が見ても「小保方が馬鹿」なのは明らか。
２．運営側が協力しなければ、割烹着やムーミンのビデオ撮影なんてあり得ない。
３．そもそも笹井本人とか、また竹市先生こそが「運営側を制止」するべき。
運営側なんて非専門家なんだから、従って「何がどれだけ信頼性を持った結果であるか」
なんて判りっこないです。であれば『こそ』、現場の者達が研究者としてのモラルをき
ちんと発揮するべきなんです。駅弁がこういう事を散々してるのは私も熟知してるので、
まあ「有り勝ち」ではあるでしょう。でも『理研は駅弁ではない』ので。
（笹井みたいなアホとは違って）竹市先生は、それこそノーベル賞候補の大研究者です
からね、だからああいう大物研究者が『ビシッとダメだと言うべき』なんです。実際に
本庶先生（コチラも本物のノーベル賞候補）も、かなり早い段階で『懸念を示して居ら
れた』のも知られてます。（TCR再構成をチェックするべきという論点。）
ああいう強い主張をスルのであれば尚更の事、そしてまた「コンタミが疑われる」ので
あれば当然に『万全の裏をきちんと取る』のは当たり前です。こういう事をきちんとや
ってこその、超一流の研究者ですわ。
竹市先生は本物の優秀な研究者だから、なので批判はしたくないです。でも笹井は酷い。
￥
追加：コレは日本の悪習ですが、きちんと『ダメなものはダメ』と主張スルべき。さも
ないと早稲田みたいな罰を受ける事にナルだけ。ああいう事をスルから大学院制度が崩
壊するんです。だからせめて東大と京大だけでもちゃんと死守するべきなんです。
(引用終り) >>133-134
ともかく、本庶先生、おめでとうございます！＼(^o^)／ 突然ですが、これ見てた
ハサミの動きがすごい
背筋がぞくっとしたね
すごみがある
https://twitter.com/nhk_proff/status/1044859923417497602
プロフェッショナル仕事の流儀
?@nhk_proff
フォローする @nhk_proffをフォローします
その他
【スペシャル動画公開！】
#ハラジュクSP 第1弾は #カリスマ美容師 ！
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10月1日(月)22:00～ オンエア
#NHK #プロフェッショナル
#髙木琢也 #美容師 #原宿
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>136
追加
https://sekainodaihugou.net/takagitakuya-wiki-1796
超カリスマ美容師・高木琢也の美容室やwiki風プロフ！年齢,彼女,年収,髪型の画像など紹介！【ナカイの窓に出演！】世界の大富豪を丸裸に！ 2017/1/4 2017/8/18
(抜粋)
改めまして高木琢也さんは、「OCEAN TOKYO（オーシャントーキョー）」の創業者。
代表取締役をつとめるカリスマ美容師さんです！
「OCEAN TOKYO（オーシャントーキョー）」と言えば、今、最も勢いのある美容室！
代表の高木琢也さん自身も月間売上１２００万円を達成するなどご活躍中です！！
生年月日は１９８５年７月１４日。
現在の年齢は３１歳。
若くして経営者となり、活躍されているんですね！ 女性を一人に絞るのはどうも。受けを広くしてないと。 >>91
>また、背理法で有名な対角線論法も構成的で短い直接証明が、
>いくつもあり、講義では随時使っています。
>(脱背理法ＨＰに証明)
背理法、脱背理法
時間があれば、少し書いてみたいと思っているんだ（＾＾；
http://abel.a.la9.jp/index.html
東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人
2013年02月23日 一部改
脱背理法教育、脱背理法依存教育
http://abel.a.la9.jp/sub11.html
東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人
新設 07月06日
脱背理法と大学入試問題
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%83%8C%E7%90%86%E6%B3%95
背理法
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction
Proof by contradiction
https://blog.miz-ar.info/2015/10/nonsense/
雑記帳
「脱背理法」のまやかしとウソ 2015年10月11日 | >>138
>女性を一人に絞るのはどうも。受けを広くしてないと。
女性を一人に絞るのは、男性側の要求ではないでしょ？
多分、女性側の要求でしょ
かつ、社会的要求でもある
（二股以上の女性とのつき合いは、揉めることが多く、近所迷惑だから（＾＾； ） これ、丸善で見てきたけど、いいわ～（＾＾
分り易い。絶対お薦め
まあ、大学なら図書に入れて貰って嫁（＾＾；
https://www.amazon.co.jp/dp/4000296779
ガロアの論文を読んでみた (岩波科学ライブラリー) 単行本（ソフトカバー） ? 2018/9/22 金重明 (著)
内容紹介
決闘の前夜、ガロアが手にしていた第1論文。方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は、まさに時代を超越するものだった。置換の定式化にはじまり、ガロア群、正規部分群の発見をへて、方程式が代数的に解ける条件の証明へ。簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ、高校数学をベースにじっくりと読み解く。 >>141
金重明さんは、ガロアは「体の概念」を持っていたというが、賛成だね
ガロアは、有限体についても書いているから（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93
有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。 >>139
安部直人の脱背理法を聞いて、最初はなるほどと思ったけど
そして、自分なりに、背理法について考えてみたが
背理法をそれほど排除しなくても良いと思うようになったんだ >>143
取り敢ず背理法とベン図について
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1399736633
ove********さん 2013/1/4
なぜp→qという命題の背理法では結論を否定して矛盾を見つけるんですか？ yahoo 知恵袋
ベストアンサーに選ばれた回答
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qxx********さん 2013/1/521:19:30
証明方法の原理はベン図で考えると分かりやすいです。
p→qというのは、ベン図で言うなら、Pという集合の中に属しているなら、Qという集合の中に必ず属しているということと同義です。(図1)
例えばpを4の倍数qを2の倍数としてみましょうか。
図1と同じベン図になるのことが分かりますね。
では背理法で行う「 p かつ (qでない) 」ことを仮定して、否定するというのはベン図で言うとどういうことか？
「 p かつ (qでない) 」は図2の斜線部分に相当します。
本当は図1のようにPは全てＱのなかにすっぽり入っていて欲しいのです。
ここで、ＰのくせにＱからはみ出している奴ら「 p かつ (qでない) 」を仮定してこいつらについて考えます。
そこで矛盾を導き出すことで、こんなはみ出し者どもは居ない、ということを証明し、PはすべてＱの中にすっぽりと入っていること、すなわちp→qを証明するのです。
これが背理法ですね。
図１図２
https://iwiz-chie.c.yimg.jp/im_siggFyAr34RakUkopM9veWp76A---x320-y320-exp5m-n1/d/iwiz-chie/ans-235148351 >>144
あと、「仮説思考」という方法
https://whitenekone.com/hypothesis_thinking/
シロネコネ - 崩壊3rd
仮説思考の方法とメリット 2018.05.27
あなたは、「仮説思考」という言葉を聞いたことがあるだろうか。
仮説思考を身につけると、短時間で質の高い成果を上げることができるようになる。
目次
１．仮説思考とは？
１．答えを早く出すことができる
２．無駄な作業が少なくなる
３．仮説思考を身につけるための効果的な方法
４．まとめ
https://www.weblio.jp/content/%E4%BB%AE%E8%AA%AC%E6%80%9D%E8%80%83
人事労務用語辞典 weblio
仮説思考
「仮説思考」とは、目標達成や問題解決のために、限られた情報からとりあえずの仮説を立て、その仮説を実行・検証・修正することにより、効率的に最適解を導き出す思考法のことです。
情報やデータを網羅的に収集・分析し、現状がすべてわかってから行動を起こしていたのでは、激しい環境の変化やビジネスのスピードに対応することはできません。
どんなに判断材料が乏しくても、まずはおよその“あたり”をつけて動き出し、行動する過程でその“あたり”の精度を補正しながら、できるだけ早く正しい解決にたどり着こうとするのが「仮説思考」の考え方です。
https://kotobank.jp/word/%E4%BB%AE%E8%AA%AC%E6%80%9D%E8%80%83-1125528
仮説思考 人材マネジメント用語集の解説
・仮説思考とは、情報収集の途中や分析作業以前にある一定の「結論」(仮説)を導き出し、その仮説を検証することにより真の結論を導き出す手法である。仮説を用いることで効率的に真の結論にたどりつくことができる点がメリットとなる。
・仮説の検証は、仮説→実験→検証を繰り返すことによって、より真なる結論に近い仮説として進化していくため、当該プロセスを繰り返せば繰り返すほどよい。
出典 (株)アクティブアンドカンパニー人材マネジメント用語集について >>145
「仮説思考」は、数学の手法ではなく、ビジネスの手法なんだが
人は、仮説をおいて考えるというのは、結構ありうる思考法だと思う
p→qを考えるときに、結論qに対して、「もしqでないとしたら」と考えることは、結構普通でしょ？ >>141
それでお前はガロア理論を理解できるようになったのか？ >>147
「ガロア理論」とは？ 定義
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
ガロア理論（ガロアりろん、Galois theory）は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。
ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
目次
1 概要
1.1 より発展的な定式化
1.2 逆問題
1.3 有限体上のガロア群
2 ガロア理論の基本定理
3 歴史
4 脚注
5 参考文献
6 関連文献
7 外部リンク
(引用終り) >>148 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
数学において、ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
目次
1 証明
2 対応の明示的な記述
3 対応の性質
4 例
5 非アーベル的な例
6 応用
7 無限次拡大の場合
8 脚注
9 参考文献
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる（しかしより簡単な）証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない[1]。
抽象的な言葉では「ガロア対応（英語版）が存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。
(引用終り) >>149 つづき
>それでお前はガロア理論を理解できるようになったのか？
数検ならぬガロア検でもあれば、「ガロア検何級」などと言えるのだが、私の理解を示すには「このスレの余白は狭すぎる」（＾＾；
https://www.su-gaku.net/
公益財団法人 日本数学検定協会 >>139
少し引用しよう
http://a/bel.a.la9.jp/index.html
東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人
2013年02月23日 一部改
脱背理法教育、脱背理法依存教育
(抜粋)
背理法無用：「√2 が無理数」の直接証明：
「自然数 a,b につき、
aa と 2bb の素因数の個数は偶数と奇数
で異なるから aa≠2bb、よって √2≠a/b。」
(不要かもしれませんが少し説明を加えます。
a と b を素数の積で表したとき、その素数(素因数)の個数をそれぞれ s と t とすれば、aa と 2bb の素因数の個数は s+s=2s と 1+t+t=2t+1 です。
また、2＝(a/b)^2 から √2≠a/b を導くのに背理法を使っていると疑う人がいるので、
x,y>0 のとき、√x＝√y と x＝y は同値
ですから、 √x≠√y と x≠y も同値です。)
(引用終り)
つづく >>141
このバカは大学一年の数学すら理解してないよ >>151 つづき
上記の安部直人先生の証明は、下記の素因数分解を用いた証明と本質的には同じ
で、証明のキーになる式があるよね
上記では、「aa≠2bb」（これから直ちに”aa と 2bb ”対比ができる）
下記では、「a^2=2b^2」という式
で、肝は、証明のキーになる式が、安倍先生では天下り（どうやってこの式を思いつくのかが不明）
一方、下記は背理法で、「√2 が有理数 ←→√2=a/b を満たす整数 a,b が存在する」から自然に「a^2=2b^2」という式が出るんだ
https://mathtrain.jp/sqrt2irrational
高校数学の美しい物語
ルート２が無理数であることの４通りの証明 最終更新:2015/11/05
(抜粋)
素因数分解を用いた証明
先ほどの証明とかなり似ていますが素因数分解を用います。
証明
√2 が有理数 ←→√2=a/b を満たす整数 a,b が存在する
なので，
a^2=2b^2 を満たす整数 a,b が存在しないことを証明すればよい。
a,b を素因数分解したときの 2 の指数（2 で何回割り切れるか）を考えることで，
左辺は 2 で偶数回，右辺は 2 で奇数回割り切れることになる。つまりそのような整数 a,b は存在しない。
厳密には最後の部分で素因数分解の一意性を使っています。→素因数分解の一意性とその証明について https://mathtrain.jp/primeunique
(引用終り) >>152
過大評価だ
おれは中学一年の数学を知らない
いま、何を教えているんだ？（＾＾； >>153
他にも言いたいことはあるので、後ほどな（＾＾ >>155
これ面白いから貼っておく（＾＾
http://webhawks.oceanize.co.jp/manavie/lectures/movie?id=4011
MANAVIE
数学 学習塾講師にしいの授業動画（高校数学Ⅰ） 集合と論理 【集合と論理⑪】 背理法の証明①
【集合と論理⑪】 背理法の証明①
集合と論理ではベン図を使ってまず考えていきます。あとは必要・十分条件、逆・対偶・裏、対偶の証明・背理法の証明などが頻出事項です。文章題ではパターンが決まっていますので、繰り返し練習しましょう。
コース
学習塾講師にしいの授業動画（高校数学Ⅰ）
高校数学のインプット系講義です。数学?の範囲を全て網羅しています。各授業動画は５分前後で手軽に見ることができます。動画のみで学習可能です。
西井佑一
関連動画
【集合と論理①】 集合と要素
【集合と論理②】 部分集合①
【集合と論理③】 部分集合②
【集合と論理④】 共通部分・和集合
【集合と論理⑤】 補集合
【集合と論理⑥】 命題
【集合と論理⑦】 必要条件・十分条件
【集合と論理⑧】 否定
【集合と論理⑨】 逆・対偶・裏
【集合と論理⑩】 対偶の証明
【集合と論理⑪】 背理法の証明①
【集合と論理⑫】 背理法の証明② >>144
追加
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/index_m.htm
高校数学の基本問題
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004.htm
数Ｉ ［ 命題と証明 ］
対偶証明法と背理法
(抜粋)
■イラストによる背理法の説明(2)
論理的な関係 p→q（pならばq）は，集合ではp⊂qに対応します。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004_illust1.png
言い換えれば，集合の関係としてp⊂qとなっていることを示せば，p→qの証明になります．
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004_illust2.png
P∩￣Q(注*)）が空集合になることを言えばよい．（右図の×印の部分が空集合になることを言う）．
注*)￣Qは、Qの否定を表わす。
P∩￣Qが空集合になること（右図の×の部分には何もないこと）を示すには，「Pであって」かつ「 ￣Qである」ものが存在すると仮定すると，矛盾を生じることを示せばよい．
要素xが，x∈Pかつx∈￣Qを満たすとすると具合の悪いことが起こることを示せばよい．
＜背理法＞
ｐとを仮定して矛盾を示す方法
※ｐを仮定することが重要．この点が対偶証明法と異なり，結論としてが導ける場合に限られず，他の内容でも数学的に矛盾することが示せたら何でもよいので，自由度が大きい．
(引用終り) >>157
訂正
＜背理法＞
ｐとを仮定して矛盾を示す方法
※ｐを仮定することが重要．この点が対偶証明法と異なり，結論としてが導ける場合に限られず，他の内容でも数学的に矛盾することが示せたら何でもよいので，自由度が大きい．
↓
＜背理法＞
ｐと￣qを仮定して矛盾を示す方法
※ｐを仮定することが重要．この点が対偶証明法と異なり，結論としてが導ける場合に限られず，他の内容でも数学的に矛盾することが示せたら何でもよいので，自由度が大きい．
補足
”ｐと￣qを仮定”と、二つ条件を使うことが重要
対偶は、￣qのみの一つの仮定（条件）しか使っていないという見方もできるな（＾＾ >>153 関連
https://cakes.mu/posts/14581
数学ガールの秘密ノート 結城浩 第177回 背理法をめぐって（前編）20161118
(抜粋)
僕：数学が好きな高校生。
テトラちゃん：僕の後輩。好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。
問題1 √2が無理数であることを証明せよ。
僕「ああ、これは有名な問題だよね。背理法を説明するときに必ず出てくる例題だよ。 でも、テトラちゃんならこの証明、できるんじゃない？」
テトラ「ええ……はい……まあ。先輩もすぐに『背理法』とおっしゃるんですね」
僕「そうだね。これはいろんな本で読むから、証明も暗記しているくらいだよ。 こんな感じになるよね」
解答1 略
僕「それで、何に引っかかっているの？」
テトラ「ありがとうございます。では、基本的なことから……どうして、この問題を見たときに《背理法》を使おうとすぐに思いつけるんでしょうか？」
僕「おっと。それは基本的なところというより、とても大事なところだと思うなあ。この問題に関していえば、 僕の場合は『覚えているから』だと思うよ」
テトラ「えっ！ 暗記？」
僕「暗記といえるかどうかわからないけれど……もしも僕が生まれて初めて、この問題を見たとするなら、絶対に背理法なんて思いつかないはず。 僕がいつ背理法のことを知ったかはもう忘れちゃったけど、 何かの本で読んで『こんな証明の方法があるんだ！』 とすごくびっくりして印象に残ったんだ。
僕「なるほどね。ただね。背理法を使うのによさそうだな、ということはよく考えてみるとわかるよ。
だって”√2が無理数である”ということは、 ”任意の整数a,bに対して√2≠a/b”だといってるわけだから」
テトラ「え、それで……？」
僕「つまり、無数のa,bについて成り立たないことを証明しなくちゃいけないよね。それはなかなかつらい。 それだったら、背理法を使って、 具体的なa/bを使って考えを進められたほうがいい。矛盾まで進めばいいんだから」
僕「だから《有理数》を《互いに素》を使ってa,bという二整数に置き換えたことによって、 僕たちは、
・議論を先に進めるための数式を得たし、
・矛盾を作り出す二つの命題を作れた。
といえるんだよ。 とにかく、式を作れるようになるのは大きな一歩だと思うよ」
(引用終わり) >>159
>僕「なるほどね。ただね。背理法を使うのによさそうだな、ということはよく考えてみるとわかるよ。
> だって”√2が無理数である”ということは、 ”任意の整数a,bに対して√2≠a/b”だといってるわけだから」
これを場合分けという観点から、切ってみよう（＾＾
＜証明すべき＞命題
y=√xで、x=2の場合→y(=√2)は無理数・・・(1)
ということを主張しているんだ
１）で、まずy=√xは、実関数をいうことを認めよう
つまり、yは実数だと。
２）次に、実数は有理数と無理数に分けられるということも、認めよう。
（無理数の定義から、有理数でない実数が無理数だから、当然ではある）
３）場合分けで、有理数の場合と無理数の場合を考えた時、圧倒的に有理数が扱い易い。
４）で、まず有理数の場合から攻めて、有理数でないことを証明してしまえば、無理数だと証明したことになる。
５）つまりは、２択問題で、AとBの選択肢があって、どちらかが答えの時、Bが不正解を証明すれば、Aが正解ってことだ。 >>160
> ３）場合分けで、有理数の場合と無理数の場合を考えた時、圧倒的に有理数が扱い易い。
> ４）で、まず有理数の場合から攻めて、有理数でないことを証明してしまえば、無理数だと証明したことになる。
> ５）つまりは、２択問題で、AとBの選択肢があって、どちらかが答えの時、Bが不正解を証明すれば、Aが正解ってことだ。
まあ、背理法ってのは、２択問題AとBの選択肢で、易しい選択肢を攻めて潰すという視点な（＾＾
（だから、背理法にすると、かえって難しくなる問題もある（その場合難しい方の枝を攻めることに）ってわけですよ） >>160
> y=√xで、x=2の場合→y(=√2)は無理数・・・(1)
(1)の対偶は
結論”y(=√2)は無理数”の否定：yは有理数
仮定”y=√xで、x=2”の否定：y=√xで、x=2ではない
なので
yは有理数→y=√xで、x=2ではない
となります
この命題に背理法を適用すると
「yは有理数」＆「y=√xで、x=2」
となって、最初の命題に背理法を適用したことと同じになります
「y=√xで、x=2ではない」を扱うより、「y=√xで、x=2」を扱う方が圧倒的に易しいんです（＾＾
（易しい選択肢を攻めて潰せの原則がここでも通用する）
これで見るように、場合分けして、易しい選択肢を攻めて潰すという切り口で見ると
なぜ背理法？ということに対する答えが見えてくるだろう
（いまの場合、対偶を使うよりも、背理法が簡単なんだ。だが、問題によっては対偶法が適切な場合もあるんだ） >>162
>最初の命題に背理法を適用したことと同じになります
「”ｐと￣qを仮定”と、二つ条件を使うこと」（>>158より）
背理法がこういうものだと理解していれば
対偶命題：”￣q→￣p に背理法を適用すると
「￣qとｐを仮定と、二つ条件を使うこと」となり
最初の命題に対する背理法と、同じ命題になることもわかる
これ重要な視点だな >>163
”二つ条件を使う”
つまり、使える明示的な条件が増えていることも
証明を考えるときにありがたいよね（＾＾ >>164
証明は、三段論法の連鎖だと言われる
命題 p→q
に対し
p→p1→p2→・・・→q2→pq1→q
という経路で証明できたとする。
問題は、この三段論法の経路をどうやって見つけるか
なのです。問題が難しくなると、この経路がなかなか見えない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AE%B5%E8%AB%96%E6%B3%95
(抜粋)
三段論法（さんだんろんぽう、希: συλλογισμ??, シュロギスモス[1]、羅: syllogismus、英: syllogism）は、論理学における論理的推論の型式のひとつ。典型的には、大前提、小前提および結論という3個の命題を取り扱う。これを用いた結論が真であるためには、前提が真であること、および論理の法則（同一律、無矛盾律、排中律、および充足理由律）が守られることが必要とされる[2]。
アリストテレスの『オルガノン』（『分析論前書』『分析論後書』）によって整備された。
目次
1 語義
2 構成
2.1 3つの項（概念）と3つの命題
2.2 命題の4つの型
2.3 三段論法の4つの格（配列パターン）
3 種類
3.1 詩による表現
3.2 ベン図による表現
3.3 オイラー図による表現
(引用終わり) >>165
１）
対偶証明は
対偶命題 ￣q→￣p
という経路の方が見易い場合に有効
２）
背理法は
￣q ? ￣p→空集合または矛盾
という経路の方が見易い場合に有効
ということではないでしょうか？ >>166
（文字化け訂正）
背理法は
￣q ? ￣p→空集合または矛盾
という経路の方が見易い場合に有効
↓
背理法は
￣q ＆ ￣p→空集合または矛盾
という経路の方が見易い場合に有効 なので、背理法をそれほど目の敵にしなくても良いと思う（＾＾ >>151
ああ、こんなのが
このカスタマーレビュー、”脱背理法で有名なお二方の著作で、その背理法に対する憎悪を味わうことの出来る本になっています”だって（＾＾
https://www.amazon.co.jp/dp/4865432418
数理論理の手法 - 証明の発見と背理法の除去 (MyISBN - デザインエッグ社) 2017/2/13
安部直人 (著), 中西泰雄 (著)
内容紹介
本書は「数学の方法としての実践的論理」の解説書であり、数理論理の基礎的事項とともに「(新たに)証明を発見する方法」および「既存の背理法証明から背理法を除去する方法」を述べた書物である。本書の方法を用いれば、原理的には任意の(証明可能な)定理の証明を機械的に発見することができるほか、背理法による証明を非背理法証明に機械的に書き換えることによって、格段に多くの情報を得ることができる.
著者について
安部直人:1950年生まれ。現在、東京理科大学理学部第一部数学科教授(理学研究科数学専攻教授)。理学博士。 中西泰雄:1960年生まれ。現在、東京都立産業技術高等専門学校ものづくり工学科教授。理学修士。
トップカスタマーレビュー
JRN 5つ星のうち5.0厳密な証明の発想法
2015年7月18日
脱背理法で有名なお二方の著作で、その背理法に対する憎悪を味わうことの出来る本になっています。
よく勘違いされているのが背理法を使ってはならないと言っているのでは無い点について書かなくてはと思いました。
巷で脱背理法が詭弁であるような書き方が散見されますが、著者は詭弁を喋っているのでは無いのです。
ただあまりに熱心に背理法をこけ下ろすのでみなさんが勘違いなさるのです。ですので中立な立場として著者の弁護をさせていただきます。
第一に背理法による証明は正しい証明です。
第二に背理法の証明はバリエーションが豊かで、一つの定理に独自に面白い発想で証明できます。
第三に背理法は数学の定理の内容を理解するにはあまり向いていないです。
著者は教育者としてこの第三の理由から極力背理法を避けて考える方が勉強になると書いてあります。
なぜ定理の内容があまり理解出来ないかと言いますと、定理を証明しようとする段階でその定理の特性を考え、その定理の内容に沿って証明を書くことで、その定理の使えるシチュエーションを見抜くことが出来るようになると言う主張です。 >>171
追加
https://matome.na ver.jp/odai/2142460817863383501
脱背理法ってそんなにおかしい？
そこのあなた、背理法で頭が腐っているかも。※「集合の包含関係や写像の単射性にまで背理法を用いるのはどうなの？」というのがこのまとめの要点。 satourenさん 更新日: 2015年03月03日 NAVER まとめ
(抜粋)
※このまとめにおける「脱背理法」の定義
「背理法をわざわざ使う必要のない部分は、極力直接証明にすること」を定義とする。
「背理法依存からの脱却」の方が誤解がないかも。
※まとめ製作者のスタンス
「背理法は不要」「学校で教えるべきではない」とは考えていない。様々な手法を知ることは重要だし、後述するように背理法は学術論文では強力な手法である。
理科大の名物教授、安部直人先生
安部先生はとにかく背理法を批判する。飽きる気配がない。
「背理法を批判するだけでエネルギーを得られるんじゃないか？」とさえ感じてしまうほどだ。
実際、筆者も安部先生と何度も背理法談義をした。
安部先生が背理法を批判するのには理由がある。
背理法を使わなければ証明が短くなるからだ。
つづく >>172
つづき
https://matome.na ver.jp/odai/2142460817863383501?page=2
(抜粋)
背理法全否定ではない
https://www.amazon.co.jp/review/RG8IQ8GF1K77A
カスタマーレビュー
5つ星のうち2.0背理法を使わない方が簡単なのに？
投稿者Jimmy_N_A2012年8月13日
(抜粋)
新しい結果を導くことを第一義とする研究者の立場であれば、
未解決問題のように理解できないものに挑戦するのに
背理法は大変強力な手法なので院生やPDの論文には推奨しています。
脱背理法証明の例
Let's 脱背理法！ - NAVER まとめ
http://matome.na ver.jp/odai/2142495698009343801
もっと知りたい人へ
脱背理法っておかしいよ！ - NAVER まとめ
http://matome.na ver.jp/odai/2142528653692274001
おまけ
0の0乗は「定義不能」じゃない！ - NAVER まとめ
http://matome.na ver.jp/odai/2142089923915775801
安部先生は「0の0乗は1です！」の啓蒙活動でも有名。
(引用終り) こんちゃ、まだやってたんだ。。。久しぶりに覗いてみた。 >>174
BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、どもありがとう
LOTO7スレの人だったよね（下記）
お元気そうでなにより
１年半ぶりくらいかな（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1451195025/331
数学的にLOTO7 [無断転載禁止]©2ch.net
331 名前：BLACKX ◆jPpg5.obl6 [sage] 投稿日：2017/11/20(月) 17:26:47.70 ID:/ZSMzpYg [1/2]
久しぶりにとあるyoutuberに触発されて戻って来た１です。
現状はあまり芳しく無い状態で放置してしまいましたが、ここから再スタートしたいと思います。
ここからは１と分かるように西付きにしたいと思いますので宜しくお願いいたします。
ウェブ検索結果
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 - 2ちゃんねる ...
https://2ch.live ? ... ? キャッシュ - (2018-06-25 08:25:02 解析)
現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む” ..... まあ、BLACKX ◇jPpg5.obl6さんも、何を聞いているかよくわからないが、そう「難しい」と頭から決めつけないで、 ...
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47 (651)
https://2ch.vet/re_ai_math_1512046472_152_100
626 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◇e.a0E5TtKE [sage] ...... >112によると、BLACKX ◇jPpg5.obl6 氏は航空科修士過程卒で 専門は数値流体 ...
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850
190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09 ...... あれ、BLACKX ◇jPpg5.obl6さん（下記LOTO7スレの人）が、確率について質問してき ... >>173
>安部先生は「0の0乗は1です！」の啓蒙活動でも有名。
https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero
Zero to the power of zero
(抜粋)
History of differing points of view
Some argue that the best value for 0^{0} depends on context, and hence that defining it once and for all is problematic.[18] According to Benson (1999), "The choice whether to define 0^{0} is based on convenience, not on correctness.
If we refrain from defining 0^{0} 0^{0}, then certain assertions become unnecessarily awkward. [...] The consensus is to use the definition 0^{0}=1, although there are textbooks that refrain from defining 0^{0}."[19]
https://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97
0の0乗
(抜粋)
目次
1 背景
2 1と定義する考え方
2.1 モノイド論における扱い
3 1が導出される場合
3.1 集合論における扱い
4 定義しないとする考え方
4.1 実解析における扱い
4.2 複素解析における扱い
5 コンピュータにおける扱い >>177
BLACKXさん、どもありがとう
残念ながら、レベルが高すぎて、特にアイデアはないけど
(引用開始)
P177
方法(A)(B) とも，Risa/Asir でグレブナー基底を計算すると，数時間～十数時間かかり，現在でもかなり
の難問である．(「対称式の性質を用いて式(16) 中の$h_{11}$ を書き換えると，計算が高速化されて(B) の方が有
利になる」というのが[4] の主旨であるが，本研究の目的には適用できないので，ここでは深入りしない．)
P178
方法(A)(B) とも，グレブナー基底の直接計算は極めて困難と思われ，Risa$/$ Asir, Maple いずれにおいても
成功しなかった．(途中で式が爆発して，メモリ管理に関わるエラーを引き起こすか$\searrow$ または100 時間程度
経過しても終了しなかった．)
(引用終り)
案１：”途中で式が爆発して，メモリ管理に関わるエラーを引き起こす”は、多分Risa/Asirを使った場合と思うが、途中の式を簡約化して、メモリー制限内にできないかどうか？例えば、ある式の大きさになれば簡約プログラムを走らすとか
案２：”100 時間程度経過しても終了しなかった”は、時間かければ終わるのかどうか？ Maple だと思うが、 時間の見積問題？ 例えば、1000時間（１．５ヶ月）かければOK？ あと、台数増やすとか（俗にいうクラウド）
案１，案２とも、計算の経過を実際に調べてみることがスタートだと思う。
（グレブナー基底のアルゴリズムの改良という大きなテーマもあるかも（＾＾ ）
案３：本気でやるなら、筆者の森継修一氏にコンタクトして聞いてみる手があるだろう。
（参考）
https://researchmap.jp/read0019556/
研究者氏名
森継 修一
モリツグ シユウイチ
所属
筑波大学
部署
図書館情報メディア系
職名
教授 >>178
>台数増やすとか（俗にいうクラウド）
有名なのが下記な（＾＾
http://0-chromosome.hatenablog.jp/entry/2016/08/30/180429
0番染色体
2016-08-30
素数探索はじめました
(抜粋)
筆者が VPS（Virtual Private Server）を利用するようになって，半年以上が経ちました．しかし，個人サイトをホストする他は，ごく稀に実行に時間のかかるプログラムを動かす目的でしか利用していなかったため，利用開始以来の平均 CPU 使用率がほぼ0%といえる状態が続いているのが実情でした．
それではあまりにもったいないということで，先月から GIMPS という素数の探索を目的とする分散コンピューティングプロジェクトに参加し，筆者の利用していない「余った」リソースで，現代科学の発展に貢献しています．
https://ja.wikipedia.org/wiki/GIMPS
(抜粋)
GIMPS は Great Internet Mersenne Prime Search の略称。メルセンヌ素数の発見を目的として1996年に発足した。
分散型コンピューティングによって、参加者のコンピュータの余剰処理能力などを利用して解析、検証作業を行う。参加者は、インターネットから無料でダウンロードできるオープンソースソフトウェアを用いて解析の手助けをする。このプロジェクトは George Woltman によってソフトが作られ、開始された。Scott Kurowski が研究を手助けするサーバを稼動させている。
このプロジェクトはかなり成功しているといえる。15のメルセンヌ素数を発見し、そのうち13が発見時には最大のメルセンヌ素数であり、さらに発見されている素数の中でも最大のものである。2018年9月現在発見されている最大のメルセンヌ素数は 277,232,917 ? 1 である。 あと、関係ないけど検索ヒットしたので貼る
https://researchmap.jp/goo-ishikawa/
研究者氏名
石川剛郎
イシカワ・ゴウオ
URL
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/
所属
北海道大学
部署
大学院理学研究院
職名
教授
学位
理学博士
研究キーワード
モンジュ・アンペール方程式(4) , 特異点論(13) , 接触構造(5) , 単純特異点(3) , ラグランジュ特異点(2) , 接触幾何(1) , ルジャンドル特異点(4) , サブリーマン幾何(3) , 等径超曲面(1) , 特異ルジャンドル多様体(1) , 可展面(1) , 可展開面(1) , 射影幾何(2) , 非ホロノーム横断性定理(1) , ガウス写像(1) ,
ケーリー8元数体(1) , 結び目の数え上げ(1) , Web幾何(1) , グルサ系(1) , パッチワーク(1) , コイソトロピック写像(1) , モンジュ・アンペール系(1) , ヒルベルト第16問題(1) , 接触同値(1) , 笠(1) , 擬直線配置(1) , ルジャンドル曲線(1) , symplectic幾何(1) , 接触モデュライ空間(1) , ケーレー8元体(1) >>178
>案１：”途中で式が爆発して，メモリ管理に関わるエラーを引き起こす”は、多分Risa/Asirを使った場合と思うが、途中の式を簡約化して、メモリー制限内にできないかどうか？例えば、ある式の大きさになれば簡約プログラムを走らすとか
式の簡約については、下記に記述があるね
おれば思いつくこと・・というか、こんな話をどこかで読んでいて、それを想起しただけと思うが、ご参考。
現場現物という思想からすれば、まず爆発がどのように起こっているかを知ることが出発点と思うね
http://www.lib.kobe-u.ac.jp/repository/thesis/d2/D2002848.pdf
竹島卓 著 - ?2005
数式処理システム Risa/Asir の開発と応用 学位論文 P211 >>181
こんなのも、ちょっと古いが面白そうだ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1158-2.pdf
ホモロジーの摂動定理 丸山文綱 数理解析研究所講究録 1158 巻2000 年17-25 >>181
これは結構初期の論文だね
似た話は、どっかで読んだかも
https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20181007213157.pdf?id=ART0004921242
特集● 制約論理プログラミング チュートリアル代数制約の処理 竹島卓 横山和弘 コンピュータソフトウェア，vol ．9， No ．6（1992 ） >>183
ついでに
http://www.cybernet.co.jp/maple/tech/math/041_Grobner.html
Maple 数式処理・数式モデル設計環境 グレブナ基底 CYBERNET SYSTEMS CO.,LTD
(抜粋)
Maple には Grobner というパッケージがあります。グレブナ基底に関する計算は数式処理の基幹をなすアルゴリズムです。
グレブナ基底とは？
この基底にはどのような意味があるのでしょう。
数学的にはイデアルという概念を理解しなければなりません。この二つの式（生成子）を使って構成（変形）できる式の集合がイデアルです。
方程式でいうと、もとの（連立）方程式系と求められたグレブナ基底の方程式系は同値になります。従って新しい連立方程式を解けば元の方程式の解となります。
元の式で生成されるイデアルとグレブナ基底で生成されるイデアルが同じとなるわけです。 >>181
節約って厳しいんだと思います。
節約するか金をかけるかになるとかなり大がかりになります。
なんか圧倒的な閃きが無いとなぁと思います。 これもついでに
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AF%84%E7%96%87_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
範疇 (数学)
数学において、範疇（はんちゅう）とは位相空間の部分集合を 2 通りに分類する方法のことである。カテゴリーと呼ぶことも多いが、同様にカテゴリーと呼ばれる圏とは全く異なるものである。
定義
X を位相空間とし、A をその部分集合とする。
A の閉包の内部が空であるとき、A は疎であるという。A が可算個の疎な集合の和集合で表せるとき A は第 1 類であるといい、そうでないとき A は第 2 類であるという。第 1 類の集合をやせた集合ともいう。
第 1 類の集合の部分集合は第 1 類であり、可算個の第 1 類の集合の和集合は第 1 類である。
ベールの範疇定理
完備距離空間の空でない開部分集合は第 2 類である。これをベールの範疇定理と呼ぶ。この定理は特に関数解析などで有用である。
この定理は、次のように言い換えることもできる：
・完備距離空間において、内点をもたない閉集合の可算個の和集合は内点をもたない。
・完備距離空間において、稠密な開集合の可算個の共通部分は稠密である。
ベール空間
ベール空間とは、空でない任意の開部分集合が第 2 類であるような位相空間のことである。
ベールの範疇定理は、完備距離空間がベール空間であることを意味している。局所コンパクトなハウスドルフ空間もベール空間である。 >>185
BLACKX さん、どもありがとう
>なんか圧倒的な閃きが無いとなぁと思います。
いやだから、日本の現場思考というのは、まずは現場現物を見て、そこから解決策を考えろという教え
短絡的に、「なんか圧倒的な閃き」を指向せず、まず「原因は何か」をきちんと、現場を押さえて考えることがスタートなんだ
https://diamond.jp/articles/-/75867?page=3
問題にぶつかった時、トヨタマンはどう考えるのか？トヨタ式問題解決「4つの口ぐせ」 原マサヒコ?DIAMOND online 2015.8.4
目的は何か？
現場で一番よく聞く口ぐせは「目的は何？」でした。日々の仕事をしていると、手段が目的化してしまうことがよくあります。そんな時には、「なぜその行動をするのか」「目的は何なのか」という視点に、常に立ち返らなければいけないと思います。
「三現主義」で現場を重視
「正しい解決策」を考えるうえで外せないのが「現場」です。トヨタグループはとにかく現場を重視しており、毎日現場にいた私にとってもヒシヒシと肌で感じることの一つでした。現地・現物・現実を重視する「三現主義」という言葉も、古くから存在していました。 >>187
色々なご指摘ありがとうございます。
企業のマインドに則ったご指摘も噛み締めてこれからやっていきます。
しかし物理のトラシューベース上で考える問題と
探索・捜索ベースで考えられる問題は別問題と捉えています。
例えば桁の多い友愛数を見つけるにはPCのベース速度が必要ですし、ワークテーブルが広いことが条件ですが、それを揃えたとしても現象は確認出来たとしても友愛数という実体は掴めません。法則性を考える技量や、それに準ずる全体を見るものさしが必要なのだと思います。
eaさんのいう教えは背理法的思考で僕の思い当たる方法は変換器のモデリング化です。その点で違った視点となっているのだと思います。 >>188
BLACKX さん、どもありがとう
>物理のトラシューベース上で
トラシュー＝トラブルシューティングだね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0
トラブルシューティング
トラブルシューティング（英: Troubleshooting）は、問題解決の一手法である。
目次
1 概要
2 脚注
3 関連項目
概要
問題を解決するためには、正確な事実を状況把握し、問題の根源を論理的・体系的に探る必要があり、順を追って解決してゆくのが一般的である。
トラブルシューティングは、問題の原因を識別するために用いられる。
原因として考えられる最も可能性の高いものを消去法で見出し、それを取り除き正常な状態に戻すための方法である。あらかじめ想定されたトラブルについて、解決方法がマニュアル化されたものを指すことが多い[1]。 >>189
で、「問題解決」の一手法だ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%95%8F%E9%A1%8C%E8%A7%A3%E6%B1%BA
(抜粋)
問題解決
問題解決（もんだいかいけつ、英: problem solving）とは、問題を解決する、すなわち解を発見することであり、思考の一部分である。すべての知的な機能の中で最も複雑な思考であり、高次元の要求の認識と定義されている。それには、より筋道の立った手順及び基礎的な知識の操作、調節が必要となる[1]。
問題解決は、生命体または人工知能のシステムが、与えられた状態（given state）から、望む目標 (goal) に到達しようとするときに生じる。進み方の知識をもち合わせていない未解決の問題は、新たに道すじを作る（解く）必要がある。
問題の発見と問題の形成を含む大きな問題処理のうちの一部分をなす。
目次
1 概要
2 歴史
3 アメリカ合衆国とカナダの研究
4 ヨーロッパ諸国
5 困難な問題の特徴
6 問題解決の方法例
7 脚注
8 参考文献
9 関連項目
概要
人間の問題解決は心理学者によって過去1世紀以上研究されてきた。問題解決にはいくつかの方法がある、例えば、内観、行動主義、シミュレーション、コンピュータ・シミュレーション、そして実験である。
問題解決の方法例
・山登り法： すべてのステップにおいてゴールの状況に近づく試み。最初の状態からゴール状態まで到着するプロセスに基づき、代替的なゴールを設定することを必要とする。
・ゴールからの逆行 (Working backward = working backward from the goal)
・仮説の逆転： 問題についての仮定を書き留め、次にそれをすべてを逆にする仮定の逆利きを行う。
・仮説検定： 問題に考えられる解釈を仮定して、仮定を証明しようとすること。
関連項目
・TRIZ
・USIT >>188
>例えば桁の多い友愛数を見つけるには
友愛数は詳しくないのでスルーな（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8B%E6%84%9B%E6%95%B0
友愛数
友愛数（ゆうあいすう、英: amicable numbers）とは、異なる 2 つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数をいう。双子数、親和数（しんわすう）とも呼ばれる。
最小の友愛数の組は (220, 284) である。
220 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 で、和は 284 となる。一方、284 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 71, 142 で、和は 220 である。
友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた（ダンブリクス Damblichus）。現在まで知られる友愛数の組は、すべて偶数同士または奇数同士の組である。
(220, 284) の次に求められた友愛数は (17296, 18416) である。この友愛数はそれ以前にも求められていたが、フェルマーにより再発見された。その後、オイラーにより 60 余りの友愛数が求められている。
目次
1 友愛数の例
2 友愛数を生成する法則
2.1 サービト・イブン＝クッラの法則
2.2 オイラーの法則
3 未解決問題
未解決問題
参照：数学上の未解決問題
友愛数の組は無数に存在するか？
x が大きいとき、x より小さい友愛数の個数は {\displaystyle xe^{(\log x)^{-{\frac {1}{3}}}}} xe^{(\log x)^{-\frac{1}{3}}} 以下であることが知られている。特に友愛数の逆数の和は収束する。
偶数と奇数からなる友愛数の組は存在するか？ >>188
>法則性を考える技量や、それに準ずる全体を見るものさしが必要なのだと思います。
BLACKXさん、おっしゃる通りと思います
単に一般的な手法だけではなく、その分野の専門知識は必須ですね（＾＾ >>188
>eaさんのいう教えは背理法的思考で僕の思い当たる方法は変換器のモデリング化です。その点で違った視点となっているのだと思います。
ああ、そうですね
あと、ご参考に
https://ja.wikipedia.org/wiki/TRIZ
(抜粋)
TRIZ
TRIZ（トゥリーズ、トリーズ[1]）は、ソビエト連邦発の問題解決理論・全体最適化理論・システム思考・クリエイティブシンキングである。
同じく問題解決理論・全体最適化理論・システム思考である 制約条件理論TOCと併用するのが良い。
目次
1 概要
2 誤解された TRIZ
3 40の発明原理
4 日本TRIZ協会
5 TRIZと他の手法との連携 >>193
追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/USIT
(抜粋)
USIT
統合的構造化発明思考法（Unified Structured Inventive Thinking、USIT、ユーシット）は、問題解決手段を一通り編み出すための思考法である。
目次
1 歴史
2 USITの概要
3 その他
歴史
1990年代前半にRoni Horowitz博士らがTRIZを簡単にすることを目標として発展させてきた体系的発明思考法Systematic Inventive Thinking(SIT)、
最近では改良型体系的発明思考法Advanced Systematic Inventive Thinking(ASIT)として知られている方法論を、1995年にEd Sickafus博士がフォード自動車へ導入した。
Sickafus博士はSITを自動車業界の問題解決に合うように工夫ｓｈて1997年にフォード社がテキストを出版したのを機に、Sickafus博士は方法論を「統合的構造化発明思考法」Unified Structured Inventive Thinking(USIT) － How to Inventと名付けた。
(引用終り)
以上です（＾＾ 突然ですがヒットしたので貼る（＾＾
https://mif.vu.lt/lt3/en/
Vilnius リトアニア共和国の首都
https://klevas.mif.vu.lt/~rimasn/seminaras/Colyvan,%20Mark%20-%20An%20Introduction%20to%20the%20Philosophy%20of%20Mathematics.pdf
Colyvan, Mark - An Introduction to the Philosophy of Mathematics.pdf 2011 >>195 追加
https://mif.vu.lt/lt3/en/
Vilnius リトアニア共和国の首都
https://klevas.mif.vu.lt/~rimasn/seminaras/Introducing%20Philosophy%20of%20Mathematics.pdf
Introducing Philosophy of Mathematics.pdf Michele Friend 2007 >>196 追加
https://mif.vu.lt/lt3/en/
Vilnius リトアニア共和国の首都
https://klevas.mif.vu.lt/~rimasn/seminaras/Gray%20MTM.pdf
PLATO’S GHOST THE MODERNIST TRANSFORMATION OF MATHEMATICS JEREMY GRAY PRINCETON 2008 >>197 追加
背理法の話が出てくるね（＾＾
https://mif.vu.lt/lt3/en/
Vilnius リトアニア共和国の首都
https://klevas.mif.vu.lt/~rimasn/seminaras/Constructive-mathematics.pdf
FIVE STAGES OF ACCEPTING CONSTRUCTIVE MATHEMATICS
ANDREJ BAUER
BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 54, Number 3, July 2017, Pages 481?498 突然ですが、面白いので貼る（＾＾
http://www.itmedia.co.jp/news/articles/1810/09/news010.html
これからのAIの話をしよう（覆面AIベンダー編）：松本健太郎 ITmedia NEWS 018年10月09日 08時00分
「開発の丸投げやめて」 疲弊するAIベンダーの静かな怒りと、依頼主に“最低限”望むこと (1/5)
(抜粋)
「AI（人工知能）は触ったことないし、プログラムも書けません。でも社長が“AIをやれ”って言うので何とかしてください」――こんな困ったオジサンたちを、ユーモアたっぷりの愛と皮肉で表現する人物をご存じでしょうか。
その名は「マスクド・アナライズ」さん。正体は一切不明でソーシャル上のアイコンは覆面マスクと、一見イロモノ系アカウントに見えますが、Twitterでの発言は多くの人たちから「あるある」「共感する」と絶賛され、ときには何千回、何万回とRTやいいねされています。
それもそのはず。普段の仕事では「AIを作ってほしいという相談から、導入後の改善まで請け負い、お客さまに合わせてAI開発、データ分析、IoT導入と結構幅広くやっている」とのこと。発言に信ぴょう性や具体性があって当然です。
冒頭のようなむちゃぶりをしてくるオジサンに向けて、痛いところを突いて地味にダメージを与えるような発言を続けるマスクドさん。「各方面からいろいろ言われますけど」と笑う一方で、言わなきゃいけないことを誰かが言わないといけないという使命感も持っているそうです。
そんなマスクドさんに、現場の最前線に立ち続けるからこそ分かるAI開発現場のリアルな現状をざっくばらんに語っていただきました。その覆面を通し、AI開発の今をどのように見ているのでしょうか。
（編集：ITmedia村上） >>199 関連
”嘘をウソと見抜けなければ”は、５CHにもいえるね（＾＾
https://www.amazon.co.jp/dp/4620325414
データサイエンス「超」入門 嘘をウソと見抜けなければ、データを扱うのは難しい 単行本 ? 2018/9/28
松本 健太郎 (著) 毎日新聞出版 (2018/9/28)
商品の説明
内容紹介
世界は今、?とフェイクに満ちあふれている。
ニュースも、ウェブ検索も、専門家の言うことも、鵜呑みにすれば騙されてしまう。
本書は今もっとも注目を集めるデータサイエンティストが、データに注目して「?を見抜く技術」を解説！
世論調査の結果はなぜ各社異なるのか？
アベノミクスによって景気は良くなったのか？
「最近の若者は……」論の誤り
本当に地球は温暖化しているのか？ ……etc.
新時代の教養「データサイエンス」の入門書として、
数学が苦手な人、統計学に挫折した人にもわかりやすい一冊！
[index]
00.バイアスだらけの私にリテラシーを
01.「世界から愛される国、日本」に外国人はどれくらい訪れているのか
02.なぜネットと新聞・テレビで支持率がこんなに違うのか
03.結局、アベノミクスで景気は良くなったのか
04.東日本大震災、どういう状況になれば復興したと言えるのか
05.経済大国・日本はなぜ貧困大国とも言われるのか
06.人手不足なのにどうして給料は増えないのか
07.海外旅行、新聞、酒、タバコ…若者の◯◯離れは正しいのか
08.地球温暖化を防ぐために、私たちが今できることは何か
09.糖質制限ダイエットの結果とデータにコミットする
10.生活水準が下がり始めたのか、エンゲル係数急上昇の謎 メモ
検索”ruler function differentiability rational irrational ”
https://math.stackexchange.com/questions/2115/discontinuous-at-rationals-and-differentiable-at-irrationals
Discontinuous at rationals and differentiable at irrationals? Mathematics Stack Exchange
But does there exist a function f:R→R that is differentiable at every irrational and discontinuous at every rational?
asked Aug 11 '10 at 7:32 user9413
検索”Ruler Function Differentiability”
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=6779440
Topic: Differentiable only at irrational x ? Math Forum
Replies: 19 Last Post: Jul 12, 2009 5:01 AM
Re: Differentiable only at irrational x ?
Posted: Jul 9, 2009 3:22 PM
Dave L. Renfro http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/1810/10/news009.html
＠IT AI IoT Smart & Social AI
「AI」エンジニアになるための「基礎数学」再入門（1）：
AIは「単なる関数」、数学は「言語の一つ」、「文系出身」でも問題ない――Pythonで高校数学の範囲から学び始めよう
AIに欠かせない数学を、プログラミング言語Pythonを使って高校生の学習範囲から学び直す連載。初回は、「AIエンジニア」になるために数学を学び直す意義や心構え、連載で学ぶ範囲について。
2018年10月10日 05時00分 公開
[西村圭介，東京ITスクール]
(抜粋)
AI人材の不足
2015年にDeep Learningを利用したモデルが、画像認識率において人間を上回る結果を残したことを皮切りに、世の中はAIブームに突入しました。その勢いはすさまじく、業界を問わずビジネス形態が目まぐるしく変化しています。
世界中のサービスが即座に利用できてしまう現代では、各業界の各企業にとってのライバルは、もはや同業他社だけではありません。これからの時代は、Googleをはじめとした最先端テック企業をライバルとして戦っていくことになるでしょう。
一方で、世界的に「AI人材の不足が深刻だ」といわれています。日本は特に深刻で、経済産業省は、2020年には5万人弱のAI人材不足が発生すると推計しています（参考：経済産業省「ITベンチャー等によるイノベーション促進のための人材育成・確保モデル事業」）。
http://www.meti.go.jp/policy/it_policy/jinzai/27FY/ITjinzai_fullreport.pdf
このような人材不足を主因として、日本社会におけるAIの普及はまだまだ進んでいない状況です。これについては、内閣府もいよいよ焦りを見せ、2018年の4月の重要課題専門調査会議では「AI人材の充足に向けた具体策を早急に検討することが必要」との話し合いが行われました（参考：人工知能（AI）技術戦略 - 内閣府）。
http://www8.cao.go.jp/cstp/tyousakai/juyoukadai/14kai/siryo6.pdf
ITエンジニアからAIエンジニアへのスキルアップ
(引用終わり) このPDFちょっと古いが面白いわ（＾＾
ttp://www.at markit.co.jp/ait/art icles/1601/28/news022.html#utm_so urce=aiteb ook&utm_cam paign=aitban_1709&utm_con tent=163137041_2
いまさら聞けないDeep Learning超入門 IT eBook 16 石川信行、白井祐典／リクルートテクノロジーズ［著］制作：アイティメディア IT 編集部 ITmedia 2016 年1 月28 日 メモ
突然ですが、ボルツァーノさん
ttp://yuru2physics.bl og.fc2.com/bl og-entry-247.html
ゆるゆる物理☆ときどき数学
(抜粋)
ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理 2014/04/15
有界実数列は、収束する部分列を持つ。
＜証明概略＞
（証明終了）
参考文献
[1] 杉浦光夫「解析入門Ｉ」（東大出版会）
https://researchmap.jp/shinjike/
池田 真治
https://researchmap.jp/muyz7mds4-1774112/#_1774112
資料公開 >> コンテンツ詳細
タイトル 【2012・後期】西洋思想史（８）
カテゴリ 講義資料
概要 2012年度・後学期、「西洋思想史」講義、第８回目のスライド資料。テーマは「近・現代の無限論」。第８回目は「ボルツァーノの無限論」について。
ダウンロード 西洋思想史（８）後期.pdf(1724)
https://researchmap.jp/?action=multidatabase_action_main_filedownload&;download_flag=1&upload_id=39871&metadata_id=39541
ボルツァーノ 2012年度・後学期 西洋思想史 第11回 池田真治 これ面白いわ（以前にも紹介したけど、また検索でヒットして読んでいるんだ（＾＾； ）
http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
西大和学園 数学研究部
病的な関数
2016-04-10
(抜粋)
目次
・病的な関数とは?
・ディリクレの関数
・トマエ関数
・可算集合と連続・不連続
この記事では、連続の定義は知っているものとして定理の証明等を行います。 連続の定義は、「意外と知らない? 中間値の定理の証明」の定義4に書かれています。
(引用終り)
http://nygsuken.webcrow.jp/article/3.html
意外と知らない?中間値の定理の証明
2016-04-10
(抜粋)
証明が教科書に載らない理由
中間値の定理の証明はどうして教科書に載っていないのでしょうか。 その理由は、高校数学における極限の定義には問題があって、中間値の定理の証明ができないからなのです。
極限・連続関数の定義
厳密な極限の定義には「 ε?δ 論法」というものを使います。 読みは「イプシロン-デルタ論法」で、
ε と δ はどちらもギリシア文字です。
定義3 (極限の定義「 ε?δ 論法」)
関数 f(x) において、 x→a のときの極限が α であるとは、 どんなに小さな実数 ε>0 を選んでも、次を満たすような小さな実数 δ>0
が存在することである。
|x?a|<δ→|f(x)?α|<ε
それでは、続いて連続関数の定義をしましょう。
定義4
関数 f(x) が x=a で連続であるとは、どんなに小さな実数 ε>0 を選んでも、 次を満たすような小さな実数 δ>0 が存在することである。
|x?a|<δ⇒|f(x)?f(a)|<ε
(引用終り) >>206
ありがとう
お褒めを頂き光栄です
レベルの低さがこのスレの持ち味（＾＾ >>207
いま、数学板にスレ立て715ある
で、「勢い」を一つの指標として見ると、上位はこんなスレが来る
（但し、レスが100未満とか、あきらかに数学らしくないスレタイを除く）
No タイトル 勢い（ ＊））
（ ＊）専用ブラウザに表示される数値）
１．Inter-universal geometry と ABC予想 32 勢い115
２．奇数の完全数の存在に関する証明2 勢い55
３．分からない問題はここに書いてね447 勢い28
４．数学の本第79巻 勢い21
５．Michael F. Atiyahがリーマン予想を証明しました。 勢い18
６．面白い問題おしえて～な 27問目 勢い10
７．現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53 勢い9
８．【数学検定】数学検定（数検）総合スレッド Part.12 勢い6
・
・
１１．現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む52 勢い5
番外 No.700 対角線論法あるじゃん？ 勢い0.0
以上
補足
要するに、数学板に715のスレがあるが、勢いがあって伸びている実質的なスレは10個前後で
このガロアスレは、7番目で勢い9なんだ
因みに、前ガロアスレで殆ど終わったスレ（上記の11番）でも勢い5をキープしているんだ（＾＾； >>208
>因みに、前ガロアスレで殆ど終わったスレ（上記の11番）でも勢い5をキープしているんだ（＾＾；
前ガロアスレ（現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む52）は、最終書き込みが2018/09/20(木) で、それ以降だれも書いていないんだがね～（＾＾
そんな数学板で、レベルが高いの低いのと言ったとこで、どれほどの意味があるのかね？（＾＾
「大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；」（テンプレ>>5より）（＾＾ >>209
因みに
おれは、Inter-universal geometry と ABC予想 32 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1538755734/
は、いつも楽しく読ませて貰っているんだ
もちろん、エンタとしてだがね（＾＾ ところで、いまね、「AIと数学」みたいなのを追っかけしてんだ～（＾＾； >>208
（ご参考） 専用ブラウザでなくとも、ここでスレの勢いが分かるよ（＾＾
（2ch→5chと読み替えてね）
http://49.212.78.147/index.html?board=math
2ch勢いランキング
数学 10月12日 9:55:28 更新
順位 6Hr前比 スレッドタイトル レス数 勢い
1位 = Inter-universal geometry と ABC予想 32 757 119
2位 new 現実的な説明があった方がしっくりきて分かり易いと思う 2 100
3位 = 奇数の完全数の存在に関する証明2 357 51
4位 ↓-2 娘が某大学の数学科に進学するのですが 19 39
5位 ↓-1 分からない問題はここに書いてね447 708 28
6位 ↓-1 数学の本第79巻 599 21
7位 ↓-1 Michael F. Atiyahがリーマン予想を証明しました。 367 18
8位 ↑1 面白い問題おしえて～な 27問目 763 10
9位 ↓-1 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む53 211 9
10位 = いくら数学を勉強しようが女にはモテない 26 8
11位 ↓-4 数学を続けるか就活をするか？ 6 8
12位 ↓-1 【自称数学者】三鷹の大類昌俊 Part7【つどい出禁】 304 7
13位 ↓-1 巨大数探索スレッド14 431 6
14位 ↓-1 【数学検定】数学検定（数検）総合スレッド Part.12 496 6
15位 ↓-1 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む52 686 5
16位 ↓-1 数理論理学（数学基礎論） その13 369 5
17位 ↓-1 コラッツ予想がとけたらいいな その2 650 4 >>205
http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
西大和学園 数学研究部
病的な関数
2016-04-10
(抜粋)
・トマエ関数
（引用開始）
x が無理数の場合
無理数 x で連続になることを示そう。
任意の正の実数 ε に対してある自然数 q0 が存在して、
1/q0<ε
を満たす。
ところで、分母が q0 以下の有理数で、最も x との差の絶対値が小さくなるようなものを選ぶ。
そして、その値と x との差の絶対値を δ とする。
そのとき、開区間 (x－δ,x+δ) には分母が q0 よりも大きな有理数は存在しない。
(引用終わり)
ああ、そうか
開区間 (x－δ,x+δ) には分母が q0 よりも大きな有理数は存在しない。
↓
開区間 (x－δ,x+δ) には分母が q0 よりも小さい有理数は存在しない。
だね（下記）
ここが間違っているのか（＾＾；
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1127539791
2009/6/22 関数の連続性 kes********さん Yahoo
問題が解けません。助けてください。お願いします。
f(x)=0 (xが無理数αの時)
f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時）
とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。
つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。
稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。
できる方!!お願いします。
ベストアンサーに選ばれた回答
hsm********さん 編集あり2009/6/24
(抜粋)
|x-α|＜δ となるようなxについて考えます。x=p/q（有理数）
だとすると、δの作り方より、この範囲に入っている有理数はすべて
分母がq_εより大きいはずなので（そうでないとδの最小性に矛盾します）
f(x) ＝ 1/q < 1/q_ε ＜ ε
が成り立ちます。
(引用終わり) >>206
>他スレと比べてここだけ明らかにレベル低いね
確かに
西大和学園の記述ミスに気付かずにスルーしていたよ
分かってないねおれって（＾＾ >>215
いや、それでね
「病的な関数とは? 西大和学園」は、>>16から続いているのだが
ディリクレ関数、トマエ関数、The modified ruler function など
例えば
f(x) ＝ f(1/q） ｘ＝p/q（有理数で、p、qは互いに素な整数）
f(x) ＝f(s）＝0 ｘ＝s (sは無理数)
のような、病的な関数を扱うときには
きちんと
ｘ＝p/q（有理数）と、ｘ＝s (sは無理数)とを場合分けしないと、まずいだろうと。
つまり、>>13みたいな有理数と無理数を分けない扱いでは、まずいように思うんだ。
即ち、本質的に、ある開区間 (x－δ,x+δ) には、必ず有理数と無理数が稠密に入りまじり
有理数と無理数とで、関数の定義が異なっているのだから
因みに
f(x) ＝ f(1/q）＝1/q とするのがトマエ関数です
（整数点についても、０と定義する流儀と、１と定義する流儀があるのだが・・） ついでに貼る
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日～8月7日開催)
関数の歴史 - 京都大学 岡本久 >>216
>つまり、>>13みたいな有理数と無理数を分けない扱いでは、まずいように思うんだ。
>即ち、本質的に、ある開区間 (x－δ,x+δ) には、必ず有理数と無理数が稠密に入りまじり
>有理数と無理数とで、関数の定義が異なっているのだから
例えば
トマエ関数は、有理数で不連続で、無理数連続だ
が、明確に (x－δ,x+δ) において連続とは言えない
というか、連続な区間 (x－δ,x+δ) は取れないでしょ？ >>14
>>14-15
>https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
いま、アクセスしてみたら、ファイルが削除されているね（下記）（＾＾
残念だな
（余談だが、リンク切れは時間が経つとよくある。だから、ある程度内容を抜粋貼付しておかないと、わけわからん状態になるんだ～（＾＾； ）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
404 Not Found
ファイルが見つかりません
既にファイルが削除されたか、期限切れになったか、ダウンロード上限数に達した、若しくは誤ったURLが指定されています。
再度ご確認下さいますようお願い致します。
削除されたファイルの場合，投稿者からその理由についてお問い合わせ頂ければ原則としてお答えできます。f ついでに
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/15603/3/20140615%E5%85%A8%E5%9B%BD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%99%E8%82%B2%E5%AD%A6%E4%BC%9A%E7%99%BA%E8%A1%A8%E8%B3%87%E6%96%99.pdf
第 40 回全国数学教育会 20140615
命題と条件に関する教材研究 と指導の提言 -必要条件と十分の指導について-
兵庫教育大学 濱中裕明
兵庫教育大学院生 安納秀佳・寶田光太朗・森邊智美
(抜粋)
ここでとりあげる内容は、高校の数学 I の単元「命題と条件」のなかの必要条件と十分条件についてである。
実際、筆者の経験上の実感では、一般的な大学生においても「必要条件」と「十分条件」という用語に対する理解は極めて低い。
実は、今回のゼミ活動に参加した院生たち自身もその理解が曖昧であった。
しかし、逆にいえば、どうして理解がなされていなかったのかを自問自答することもできる。
本稿は、そうした研究活動のなかでなされた考察の成果についてまとめたものであり、「必要条件」と「十分条件」について、どのような理解が不足しているのか、また理解の不足の原因は何かについて検討し、それを改善するための指導の提言を目的とする。
「必要条件」「十分条件」の理解の実態としては、次のような誤解があるのではないかと考えた。
例えば、図１に示した S 社の教科書「数学 I」を見ると、必要条件と十分条件の定義の説明文の横には、「ｐ→ｑ」の図式があり、ｐとｑの下にそれぞれ「十分条件」、「必要条件」と書かれている。
ここから「ｐが十分条件であり、ｑが必要条件である」と誤解してしまう傾向はないだろうか。
本来、定義の文にあるように「ｐならばｑ」が成り立つときに、ｐは「ｑであるための十分条件」であって、「ｑであるための」は省略できない。
つづく >>220
つづき
なぜならば、十分条件という用語は、ｐとｑという２つの数学的な条件間の相対的な関係を表すための概念だからである。
例えば、２つの数の５と３について、「５は３より大きい」という表現は正しいが、「５は大きい」という表現は不自然で数学的にナンセンスである。
これと同様の不自然さが「ｐは十分条件である」という文についてもいえる。
「ｐはｑの十分条件である」という文は、「ｐはｑよりも強い（厳しい）条件である」ということを意味しており、「ｑはｐの必要条件である」という文は「ｑはｐよりも弱い（緩い）条件である」ことを意味している。
このように、十分条件や必要条件という言葉は、本来、２つの条件間の相対関係を表す用語であるにも関わらず、単に「仮定が十分条件」「結論が必要条件」というような誤った理解が多い様に思われる。
森(1993)では「必要条件」「十分条件」を、「十分が前」「矢の先は必要」といった丸暗記のためのこじつけ文で覚えている学習者も多いことが述べられており、そのような学習のもとでは、多分にあり得ることではないかと考える。
(引用終り) さて、今日言いたいこと（＾＾
>>13より
(引用開始)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
ここで
条件P：f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
定理1.7 (422 に書いた定理)：P→Q
対偶：￢Q→￢P
￢Q：￢（f はある開区間の上でリプシッツ連続である）
書き換えると
￢Q：f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない
となる
つまり、「f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない」ならば、￢P。つまり、ｆは条件Pを満たさない。
つづく >>222
つづき
ところで、定理1.7 (422 に書いた定理)より系1.8が導かれるとされる
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
これを考えるに
関数ｆは、有理数の点で不連続だから、「f は全ての開区間の上でリプシッツ連続ではない」（￢Qが成立）（対偶命題）
∵ 有理数が稠密に存在することと、不連続→”リプシッツ連続ではない”ことより
さて、系1.8の証明の荒筋は
「証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」
というものである。
著者は、背理法だという。
だが、上述から明らかに、「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf」は、定理1.7の前提条件を満たさないから、定理1.7を適用することで矛盾を来すのは当然。
よって、これは背理法の証明になっていない！！
以上 >>223
>「証明
>定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
ここは、正確には、下記のようにいろいろ難しく、”よって, 定理1.7 が使えて”と書いてあるが
単純に、定理1.7の対偶命題を考えれば、”有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf”は、定理1.7 の条件節を満たさないので、定理1.7の適用外であることは明白
だから、下記の系1.8の証明は不成立
(引用開始)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/184
184 返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金) 00:08:43.66 ID:miqaDy4s [7/12]
>>183 つづき
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
存在すると仮定する. 定理1.7 のBf について,
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R － Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)
である. ここで, 1 点集合｛p｝ (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各｛p｝ は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上
で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,
f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛
盾. よって, 題意が成り立つ.
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