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【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
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2018/10/23(火) 17:09:09.90ID:t71LiLEA
ごめん。今月号（二〇〇八年十一月号）の問題１に関してはパス。
うちの所長が、「パズル懇話会」の会合で小谷先生と二次会で
一緒だったので、結果的にヒントを貰っちゃったので
フェアではない、という話になった。

N ≡ 0 (mod 8) であろうことは、わりと証明が簡単だと
思うけれど（ぶっちゃけ、力業で なんとかなると思う）、
「N ≡ 0 (mod 8) のときに、常に解が存在するか？」を
“エレガント” に証明できるかどうかが問われているような
気がする。

ただし、あくまで「気がする」だけなんで、そこいらは
投稿した結果次第で判断してくれ (-_-)
0079１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 19:43:18.34ID:HKtMWUIJ
一応解は作れたけど、ちゃんと(交わらない)多角形になってるのを証明するのが面倒だなぁ。
0080１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 22:22:27.01ID:xS8rsyai
必要条件の導出のとこもそうだけど、
十分性のとこも腕の見せ所だねぇ。
0081１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 15:29:13.77ID:c0Urnqy9
>>79
「少なくとも、一個以上存在する」のを示せばいいんじゃね？
「魔円陣」みたいに、「あると思ったら解がなかった」
みたいな話を排除すりゃいいんだと思われ。
0083１３２人目の素数さん
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2018/10/26(金) 20:16:00.43ID:zxLKzcfw
>>82
そうじゃない。
「解がない」ケースは排除できるんだが、
「解がありそうな」ケースにおいて、
具体的な解が あることを
証明できるか どうかが問題なんだ。
0084１３２人目の素数さん
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2018/10/28(日) 19:00:03.20ID:VHGHHXX0
この中に大学への数学の宿題もやってる人いる？
また、どちらの方が難しい？
0085１３２人目の素数さん
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2018/10/31(水) 07:53:43.12ID:o2qBtZC4
宿題コーナー：問題をネット公開してないから、田舎住んでるおいらには情報入手がねっく。
仕事忙しくて、休日も都会に出れない。
しかも、今、免停中。
0086１３２人目の素数さん
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2018/10/31(水) 11:55:46.85ID:HbGeox4u
ICMレポでは受賞者のIMO履歴レポも楽しみにしとります。
0090１３２人目の素数さん
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2018/11/01(木) 07:06:15.14ID:5LSLCiuV
人引いたっちゃの
0092１３２人目の素数さん
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2018/11/04(日) 19:22:34.74ID:dybDQ925
宿題よりもエレ解の方が遥かに難しい
0093１３２人目の素数さん
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2018/11/08(木) 09:23:16.64ID:7+cigYji
エレガント問題のネット公開→good　idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続。
数理科学の最新動向を気軽に入手するには必須の雑誌ですからね。
これからも期待してます。
0094１３２人目の素数さん
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2018/11/08(木) 10:11:35.27ID:85Uw/O+I
ICM各種賞の受賞者のIMO出場歴には関心あり。
Hilbert　第１０問題の解決者もIMO金メダリストらしい。
量子素因数分解のショアもメダリストらしい。
計算機科学とIMO（数論、組み合わせmainテーマ）は相性いいみたい。
今回のショルツの数論幾何、ｐ進理論みたいだし。
0095１３２人目の素数さん
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2018/11/09(金) 12:04:27.56ID:pvdoV3Z4
11月号

■出題１

N=8n に限ることは容易に分かると思う。

例の図を見て最初に思いつくのは
　1〜2n では ↓，←
　2n+1〜6n では ↑，→
　6n+1〜8n では ↓，←
というものだろう。

曲線 x = y - √|y| 上に
　P_k (-k(k+1),-kk)　　　k=0〜4n
曲線 x = y + √|y| 上に
　Q_k（-k(k+1),-(k+1)^2)　　k=0〜4n-1
を取り、
P_0 - Q_0 - P_1 - Q_1 - … - P_4n を結ぶ。

* これらの曲線は、1本の放物線（軸： y=x-1/4）の2本の枝である。

このままでは閉じないから、P_nで180ﾟ 折り曲げ、さらに P_3n でも180ﾟ折り曲げよう。
このとき P_n および P_3n の接線を横切るから、N角形は自身と交叉しない。
また P_4n は P_0 と重なる、つまり閉じる。

このN角形の面積は 4(11n+2)n^2
3曲線に囲まれた部分の面積は (4/3)n^3
P_k たちが作る4n角形の面積は (4/3)n^3 + (2/3)n,
らしい。
0096１３２人目の素数さん
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2018/11/09(金) 12:45:24.20ID:VQ778wZ3
>>95
>
> N=8n に限ることは容易に分かると思う。
>
限らんやろ？

水平 : 1 6 12 と 3 5 11
垂直 : 2 8 10 と 4 7 9

にわけて

→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9

でいけるやん。
0098１３２人目の素数さん
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2018/11/09(金) 13:06:36.41ID:/YvwhmDF
今回はみんな問1に興味があるようだね。俺は解けなかったよ。問2だけ応募した。
0102１３２人目の素数さん
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2018/11/09(金) 19:49:16.20ID:GKcYZvRK
実をいうと自分もこの順にというのを見落としていて、だいぶたってから気づいた。
問題文に不備はないけど、これを考慮せずに応募した解答者が何人かは居るような気がする。
0104１３２人目の素数さん
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2018/11/09(金) 22:34:17.43ID:8HhBr9kV
12月のエレガントな解答はどうかね。
年末楽しめるぞ。
IMOは格式高いみたいだな。
マチアゼビッチもメダリストなんか。
0105１３２人目の素数さん
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2018/11/09(金) 22:34:36.85ID:VQ778wZ3
でもまぁ8n+4の場合が増えるだけで自由に並べていいなら十分性のチェックがやや楽になるからなぁ。
どっこいかも。
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 01:46:12.25ID:0LaPCkg7
11月号

■出題２
　x = a cosθ + b sinθ,
　y = c cosθ + d sinθ,
　ad-bc ≠ 0,
はxy-平面上の楕円である、を証明する問題

パラメータθを消去するのですが、
　dx-by = (ad-bc)cosθ,
　ay-cx = (ad-bc)sinθ,
からすぐに
　(dx-by)/√(dd+bb) = u,
　(ay-cx)/√(aa+cc) = v,
と置くのは良くない…

θをずらしてから消すのがミソ？
0107１３２人目の素数さん
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2018/11/10(土) 12:11:14.57ID:EuCYu9xA
>>106
２次曲線は楕円、放物線、双曲線に限るという事を認めてしまえば一瞬だけどそれを証明しなさいというやつなんだよね。
容易”、”自明”で済まされることも高校の教科書レベルで許されるまで下げないといけない。
その前提で楕円、双曲線の定義も “うまく座標をとればAx^2 + By^2 = 1の形になる。”として

x^2+y^2 = 1の像をAx^2+By^2+Cxy=1として
2(Ax^2+By^2+Cxy) = r^2((A-B)cos2θ+ Csin2θ+(A+B))=r^2(Dcos(2θ+α)+E)=2と変形される。
回転させればr^2(cos(2θ)+F)=Gとなる。
変形してr^(2cos^2θ+F-1)=Gだから2x^2 +(F-1)(x^2+y^2)=lであり楕円、直線、又は双曲線となる。
コンパクトなので楕円。

とかでどう？たしか大数はこんな感じの解説だった。
0108１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 12:48:56.13ID:TylIaUHL
18年11月号の講評：

■出題１：レベル４（常連正解率98％）

小谷先生の出題。辺の長さが順に1,2,...,NとなるN角形の存在を問う問題。

必要条件N＝8nを示すのは容易。
問題は十分条件だが、問題文に描かれている8角形の構成をそのまま一般のnに拡張すればよい。
辺が交差しないことを確認する方法は数通りある。
2点の座標を用いて交差条件を不等式で表すという愚直な方法を採れば、
高校数学でさんざんやったXY平面の領域問題に帰着する。

常連にとっては必要性も十分性も解答方針がすぐにピンと来る易問。
十分条件をエレガントに示す楽しみはあるかもしれない。


■出題２：レベル３（大学1年生の正解率95％以上）

岩I先生の出題。
本問は教科書から書き写してきたような一次変換の問題。
どうして本誌名物コーナーにこの問題を出そうと思ったか、理解に苦しむ。
0109１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 13:27:12.74ID:3qbO+/fB
確かにIMOは格式高いの。
マチアゼピッチ、ドリンフェルト、ラフォルク、ペレルマン、リチャードテイラー
ショア、皆、メダリストじゃあ。
最も格式高い、理論計算機、数論はメダリスト多し。
今回のフィールズ、ネバリンナはどうかの？
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 14:07:27.76ID:3qbO+/fB
12月のエレガントは週明け公表かの？
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 14:07:37.01ID:3qbO+/fB
12月のエレガントは週明け公表かの？
0112１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 16:38:01.74ID:O3Li6cBe
束の間の静けさ。
今日は、お伊勢参りしちょります。
週明けから、12月号と格闘。
英気を養うべし。
0113学術
垢版 |
2018/11/10(土) 17:45:42.08ID:RS+jJjFq
数学と　文学と　天文学あわせて、人文科系に新しい天文数学という分野を立ててみたい。
0114学術
垢版 |
2018/11/10(土) 17:46:10.00ID:RS+jJjFq
星占いのような迷信も取り込んでね。科学的に。
0115１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 18:59:47.30ID:XUkVeMLH
占いや心理学は学問ではない
0117１３２人目の素数さん
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2018/11/10(土) 23:20:37.94ID:0LaPCkg7
>>106
原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
　x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D'･cos(2θ+α) + E',

原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。

番外問題　焦点はOPmax の方向にある。
0118１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 23:57:09.76ID:TylIaUHL
>>93
>エレガント問題のネット公開→good　idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続

正解者として名前が載った回の数セミは買って手元に置いておきたい、という読者心理を巧く掴んでいる気がしますね
0120１３２人目の素数さん
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2018/11/11(日) 10:20:35.92ID:JwUfUe23
>>107
それがこの問題の模範解答でしょうね。

個人的には座標変換を記述するのに行列を使うか三角関数を使うかは非常にどうでもよく、従って>>108のような素っ気無いコメントになってしまいました。

たまに大学範囲の簡単な問題に対して「中高生でも分かるような解答」を要求する出題者が居ますが、ああいうのは苦手です。

三角関数を捏ねくり回すよりも、一次変換の基礎を書き下して本質を抉った方がよっぽど中高生のためになるんじゃないかと思ってしまいます。
0121１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/11(日) 10:44:02.52ID:JwUfUe23
とはいえ10月は忙しかったので問題が簡単で助かりました。

12月号が届くまでの間、束の間の雑談。

10月号の時弘先生の問題>>34が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。

「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/11(日) 11:10:08.25ID:82kqsbVR
皆さん、束の間の紅葉見物でしょうか？
福岡はまだですね。
北海道、東北は終了？
0123１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/11(日) 11:37:17.52ID:JwUfUe23
>>122
関東の平地は来月頭にかけてピークですかね。
標高高めのところは今がピークか、終わりかけているところでしょう。
今年は時弘先生が10月号にずれてくれたので旅行の計画に余裕が生まれましたw
0125１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/11(日) 12:42:22.93ID:82kqsbVR
時弘先生の重量級は旅行シーズンは外してほしいですね。
私は応募しませんでした。
数の幾何学絡みの哲学的問いかけも含んだ深遠な問題待ってます。
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/11(日) 22:10:27.22ID:rkLPSQph
>>125
まったくです。
岩沢先生も行楽シーズンは駄目です
問題が魅力的かつ難しいので。

時枝先生は問題出さないのかなー

とここを見ているかも知れない編集部の方に向けて呟いてみる
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/12(月) 12:55:00.29ID:XWeln17t
電子版、エレガント。まだ更新されとらんどす。
今月はupが遅れとります。
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/12(月) 14:49:52.79ID:EHCP4EhY
エレ解は難しすぎるから、大学への数学の宿題にチャレンジするわ
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/12(月) 17:49:10.23ID:w4Fdouwh
今月の1は、pを既知として良いか否かで違うが、前者だと3秒で解けるから後者なんだろうな。それでも
解を見つけるだけなら簡単。ただ、最適解を、ということならどうだろう。
2は、ちょっと面白そう。
0135１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/13(火) 15:20:09.06ID:9YhCG0Hp
コインはさておき、ジャンケンで決めるなんてのはどうだろう
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/13(火) 15:45:44.26ID:FBLhmoMV
なんか期待値の最小値で評価するのすごい違和感あるな。
p がなんであっても大体この回数では決着がつく＝期待値の最大値で評価したくなるけどな。
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/13(火) 16:53:58.95ID:/uXd0fJd
>問題 2 の答えは，いろいろと考えられるが，上記の期待値の最小値が小さいほど良いものとしよう．

この書き方はもしかして出題者側は持ってる答えの最小性の証明が出来てないのかな？
懸賞問題だから “最小性の証明はなくていい。投稿された答えの中で最小なのが勝ち” なのかな？
Aさんのルールより期待値の最小値が小さいやつはすぐ作れるけど、それが最小である自信は全くないや。
0140１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/13(火) 19:07:29.49ID:/uXd0fJd
あ、ホントだ。最小値にせざるを得ないのか。
平均値ってするとpの分布与えないとダメだし。
やむを得ないのか。
まぁ十分ムズイし。
0141１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/13(火) 21:29:36.39ID:eok3e5c2
問題文中にさらっと書いてあるけど、できるだけ公平になるようにするっていうのは暗黙の了解なのかな。
もっとも不公平でいいなら1回で終わるけど。
0142１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/13(火) 22:10:18.01ID:/uXd0fJd
だろうね。
pがいかなる値であっても両者の勝つ確率は常に1/2
は暗黙の了解なんだろね。
受験で問題文にこの事明示してなかったら大問題だけど。
幾分エスパーしないといけない要素あるね。
最小性の証明が全くできる気がしない。orz
0143１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/15(木) 18:00:48.42ID:l3Lnz9+G
出題1、意外に難しい。すぐ思い付いた方法、全然公平じゃなかったわ。
0144１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/15(木) 18:19:50.06ID:+bxD8ezx
出題１→あっさり解けてしまった。もしかしたら、出題意図に反した解答かもしれないが。

出題２→問２、３に悪戦苦闘中。
0145１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 01:15:11.21ID:3fj2avs/
え？そんなにあっさりとける？
そのルールで期待値が最小値を取ることもあっさりしめせたの？
0146１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 04:33:31.42ID:VGuNCxDQ
そうそう。これ正面から解釈して本当に解ある？って疑い始めてるけど。
裏ワザ的解釈なら、とんでもない解があるが。
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 07:04:55.79ID:xmVvCZPI
>>119

9月号出題の解答を貼っとく。

■出題1　

2020 = 2×2×5×101
M = 5×10^226 -20 -3×10^223 -5×10^224
　= 49469･･･(221ｺ)･･･980,　(227ｹﾀ)

　*　[前スレ.964] (228ｹﾀ) は間違い。

2019 (素数)
M = 6×10^224 -1 -10^19 -10^223
　= 589･･･(203ｺ)･･･989･･･(19ｺ)･･･9,　(225ｹﾀ)

2018 = 2×1009
M = 6×10^224 -2 -10^35 -10^204
　= 59･･･(19ｺ)･･･989･･･(168ｺ)･･･989･･･(34ｺ)･･･98,　(225ｹﾀ)

■出題2
　ラッキーナンバーが 0,3,5,7 のとき確実作戦が存在する。
　その他 (1,2,4,6,8-14) のときは存在しない。
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 09:25:48.69ID:sF85eyia
>>146
そう。裏技を用いると、意外な解が得られる。
果たして、それが許されるのか
0150１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 12:32:24.77ID:3fj2avs/
自分なりのエスパー解釈。

表、裏の有限列SでSの通りに出る確率をP(S)、l(S)をその長さとしてそのようなSからなる集合A.Bで条件

S、T∈A∪B、S≠TならP(S∩T)=0、
Σ[S∈A]P(S)= Σ[S∈B]P(S)=1/2

を満たすものの中で

Σ[S∈A∪B]P(S)l(S)

の最小値を求めよ。

最小値があるのか知らんけど。
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 17:54:51.21ID:1MCcWI6o
出題1分かったー。いや、これは面白い！
でも、平均回数が解析的に計算できる気がぜんぜんいしないぞ。
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 22:32:57.24ID:j3PWNWS8
>>150
例えば表裏表で勝負が付いた場合は、それより長い表裏表裏なんかは必ず同じグループに入れるなりカウントしないなどの措置が必要になる。
この辺りが面倒なんだよこの問題。
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/18(日) 00:22:05.25ID:ZJOO9Eig
>>153
一個目の条件でオウオとオウオウのような背反でない事象はとらないようにしてる。
まぁ難しい。
これかな？と思い当たるのはあるんだけど最小性の証明ができてないからなぁ。
まぁできても応募する気なんぞサラサラないからいいんだけど。
しかしおそらく出題者は最小性の証明持ってるだろうし出来ないのなんかムカつくので熟考中。
問題文の文面ではとりあえず答えだけ合ってればいいみたいな事は書いてたけど、おそらく何人かは最小性の証明付きで応募してくるだろうね。
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 14:20:51.49ID:OsmklUOL
出題１の(２)って、
最小値１回ってありうるのかな。無論、公平な賭けを前提に。
0156１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 14:39:42.36ID:vaYg27wd
それで題意にあった解答になってると思うならそれで投稿してみればよし。
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/19(月) 17:53:22.98ID:ejOV8r8r
>>155
そうならないように問題文で巧みにブロックされてるように見えるが、俺の想像の範囲外なら分からん。
とりあえず応募
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/20(火) 15:04:36.36ID:vbTkRlXv
大学への数学の宿題とエレ解って、どちらの方が難しいの？
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/21(水) 12:54:39.03ID:2IiwMfBx
おまえら、東大理系数学解けるのかよ？
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/22(木) 19:45:54.42ID:abQO36xj
高橋くん、大学への数学の宿題に正解してたね
やっぱ、天才だね！
0163学術
垢版 |
2018/11/23(金) 09:16:31.61ID:SGy5FeB4
東大が毎年難問ではない。私立もあるし国立地方、県立、内部進学の数学まであるのに。
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 08:02:45.28ID:mKOFZSkZ
宿題教えて下さい
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 18:38:30.94ID:R9V2c3jb
問2、教えてください
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/24(土) 20:21:41.97ID:R9V2c3jb
やだ！
誰か解いてください
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/26(月) 07:26:40.85ID:YFHQ7bYc
大学への数学の宿題、教えてください
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 06:29:35.11ID:MxsTPpzh
早く教えてください
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 19:20:30.29ID:0qmOU9Vl
私は嵐のメンバーではありません
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/27(火) 23:32:05.69ID:QMhuYErk
嵐 寛壽郎　（1902/12/08〜1980/10/21）　映画俳優、映画プロデューサー。「鞍馬天狗」
石原裕次郎　（1934/12/28〜1987/07/17）　俳優、声優、歌手。「嵐を呼ぶ男」
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/12/01(土) 18:35:35.59ID:m3XT35CL
嵐を呼ぶバンド:LUNA SEA
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