【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
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>>57
「N角形になる」のであれば N個の頂点で曲がっているはず。(本問では垂直に) うむ。始点と終点のつながりを考えると、奇数だと明らかに不可。 >>59
うむ。確かに「明らか」なんだが、
それを「中学生にもわかる」ように
「示す」のがエレガンスだと思う。
数学マニアにとっての「明らか」さは、
必ずしも数学初心者にとっての
「明らか」さではないところが
悩みどころ。
整数論(というか、自然数論)の範囲内だと、
「古代バビロニア人にも説明できる」くらいまで
ガッチリ組まないと いかんと思う。 ・水平な辺
Σ→ + Σ← = 1 + 3 + … + (N-1) = NN/4,
Σ→ = Σ← (…閉じる)
∴ 8 | NN
∴ 4 | N
∴ N+2 ≡ 2 (mod 4)
・鉛直な辺
Σ↑ + Σ↓ = 2 + 4 + … + N = N(N+2)/4,
Σ↑ = Σ↓ = (偶数) (…閉じる)
∴ 16 | N(N+2)
∴ 8 | N
で、この後どうするか。 >>58 いいのかな?これくらいなら。
とりあえずN=8,12,16,…くらいで実際できるかできないかやってみるこってすな。
ヒントあるし。
しかし水平は偶数、垂直は奇数??? >>60
えっ、各頂点の角度が90度または270度の多角形が偶数角形なの、そんなに証明が難しいか? >>63
> そんなに証明が難しいか?
「エレガントな解答をもとむ」なんだから、
エレガンスを追求しろと言っている!
『数学セミナー』の創刊者は
遠山 啓先生なんだから、「テープ算」みたいな
「中学・高校生にも直観的に理解できるような
シェーマを提示する」っつーのが、
重要なんだよ。エレ解は、「正解すりゃあ入選」みたいな
甘いモンじゃねぇんだぞ? >>64
激しく同意
むしろ引っ掛けとか
誤誘導のほうが
マシ >>67
安心しろ。『スパイ大作戦』を知らない奴は
多いだろうが、『ミッション・インポッシブル』は
映画でシリーズ続行中だ。
つーか、朝方なにげなく TV をつけてると、
クインシー・ジョーンズの『アイアンサイド』とか
『ミッション・インポッシブル』が、BGM として
流れていたりするので「変わんねぇなぁ ……」と
思う。
まぁ、エレ解スレでするネタじゃねぇとは思うが。 1月号のICMレポが楽しみじゃあ。
各種賞受賞者の数オリ出場歴もたのみまっせ!! 以前「幻の0番法」という記事があったのですが
数列の和についての生地だったと思うのですが
どのような内容だったかご存知のかたいるすか? >>72
それ、「エレ数」だったかなぁ ……
共立出版の『bit』で出てきた
「生贄」の話のような気がする。
n = 1 から始まる数列に、
n = 0 の項を つけ加えて一般化するとか。
たとえば「1 から n までの和」だったら、
「0 から n までの和」としてもイコールだから、
「n ×(n + 1)」でいいとか。
「(n + 1)× 1」よりエレガントな
感じがしないか? ×「(n + 1)× 1」
〇「(n + 1)× n」
orz >>70
5拍子の曲いいね。
「メリーゴーラウンド」 {大木彩乃:「幻の魚」(1999)}, #2
http://www.youtube.com/watch?v=0BF4YPjDkZw
「スプリット」{大木彩乃:「屋上遊園地」(2000)}, #10
"Wind" {明星: "Stoned Town" (2002)}, #1
"Wind" {Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #1
http://www.youtube.com/watch?v=SaaRwKlcNaA
「ウタカタ」 {ジムノペディ:「今宵も、うたかた探し」(2004)}, #2
http://www.youtube.com/watch?v=W3GnrgBAwg0
「神様の舌打ち」{Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #13
http://www.youtube.com/watch?v=U_3jGtk4l6A
雅楽の夜多羅拍子も。楽典とは何ぞや?
スレ違いだが。 >>75
まったくのスレ違いだが、
デイヴ・ブルーベックの
“Take Five” を忘れてはいけない。 ごめん。今月号(二〇〇八年十一月号)の問題1に関してはパス。
うちの所長が、「パズル懇話会」の会合で小谷先生と二次会で
一緒だったので、結果的にヒントを貰っちゃったので
フェアではない、という話になった。
N ≡ 0 (mod 8) であろうことは、わりと証明が簡単だと
思うけれど(ぶっちゃけ、力業で なんとかなると思う)、
「N ≡ 0 (mod 8) のときに、常に解が存在するか?」を
“エレガント” に証明できるかどうかが問われているような
気がする。
ただし、あくまで「気がする」だけなんで、そこいらは
投稿した結果次第で判断してくれ (-_-) 一応解は作れたけど、ちゃんと(交わらない)多角形になってるのを証明するのが面倒だなぁ。 必要条件の導出のとこもそうだけど、
十分性のとこも腕の見せ所だねぇ。 >>79
「少なくとも、一個以上存在する」のを示せばいいんじゃね?
「魔円陣」みたいに、「あると思ったら解がなかった」
みたいな話を排除すりゃいいんだと思われ。 解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ… >>55 >>82
そうじゃない。
「解がない」ケースは排除できるんだが、
「解がありそうな」ケースにおいて、
具体的な解が あることを
証明できるか どうかが問題なんだ。 この中に大学への数学の宿題もやってる人いる?
また、どちらの方が難しい? 宿題コーナー:問題をネット公開してないから、田舎住んでるおいらには情報入手がねっく。
仕事忙しくて、休日も都会に出れない。
しかも、今、免停中。 ICMレポでは受賞者のIMO履歴レポも楽しみにしとります。 >>84
もちろん 数オリです。
[前スレ.543, 554, 566, 577] >>84
そんなこと訊かれちゃ KöMaL なぁ。
[前スレ.581, 592, 960-963] エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続。
数理科学の最新動向を気軽に入手するには必須の雑誌ですからね。
これからも期待してます。 ICM各種賞の受賞者のIMO出場歴には関心あり。
Hilbert 第10問題の解決者もIMO金メダリストらしい。
量子素因数分解のショアもメダリストらしい。
計算機科学とIMO(数論、組み合わせmainテーマ)は相性いいみたい。
今回のショルツの数論幾何、p進理論みたいだし。 11月号
■出題1
N=8n に限ることは容易に分かると思う。
例の図を見て最初に思いつくのは
1〜2n では ↓,←
2n+1〜6n では ↑,→
6n+1〜8n では ↓,←
というものだろう。
曲線 x = y - √|y| 上に
P_k (-k(k+1),-kk) k=0〜4n
曲線 x = y + √|y| 上に
Q_k(-k(k+1),-(k+1)^2) k=0〜4n-1
を取り、
P_0 - Q_0 - P_1 - Q_1 - … - P_4n を結ぶ。
* これらの曲線は、1本の放物線(軸: y=x-1/4)の2本の枝である。
このままでは閉じないから、P_nで180゚ 折り曲げ、さらに P_3n でも180゚折り曲げよう。
このとき P_n および P_3n の接線を横切るから、N角形は自身と交叉しない。
また P_4n は P_0 と重なる、つまり閉じる。
このN角形の面積は 4(11n+2)n^2
3曲線に囲まれた部分の面積は (4/3)n^3
P_k たちが作る4n角形の面積は (4/3)n^3 + (2/3)n,
らしい。 >>95
>
> N=8n に限ることは容易に分かると思う。
>
限らんやろ?
水平 : 1 6 12 と 3 5 11
垂直 : 2 8 10 と 4 7 9
にわけて
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
でいけるやん。 >>96
辺の長さが順に1〜Nになるって問題文の最初に書いてある。 今回はみんな問1に興味があるようだね。俺は解けなかったよ。問2だけ応募した。 >>99
順に、だよ。
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
は順になってない。 実をいうと自分もこの順にというのを見落としていて、だいぶたってから気づいた。
問題文に不備はないけど、これを考慮せずに応募した解答者が何人かは居るような気がする。 12月のエレガントな解答はどうかね。
年末楽しめるぞ。
IMOは格式高いみたいだな。
マチアゼビッチもメダリストなんか。 でもまぁ8n+4の場合が増えるだけで自由に並べていいなら十分性のチェックがやや楽になるからなぁ。
どっこいかも。 11月号
■出題2
x = a cosθ + b sinθ,
y = c cosθ + d sinθ,
ad-bc ≠ 0,
はxy-平面上の楕円である、を証明する問題
パラメータθを消去するのですが、
dx-by = (ad-bc)cosθ,
ay-cx = (ad-bc)sinθ,
からすぐに
(dx-by)/√(dd+bb) = u,
(ay-cx)/√(aa+cc) = v,
と置くのは良くない…
θをずらしてから消すのがミソ? >>106
2次曲線は楕円、放物線、双曲線に限るという事を認めてしまえば一瞬だけどそれを証明しなさいというやつなんだよね。
容易”、”自明”で済まされることも高校の教科書レベルで許されるまで下げないといけない。
その前提で楕円、双曲線の定義も “うまく座標をとればAx^2 + By^2 = 1の形になる。”として
x^2+y^2 = 1の像をAx^2+By^2+Cxy=1として
2(Ax^2+By^2+Cxy) = r^2((A-B)cos2θ+ Csin2θ+(A+B))=r^2(Dcos(2θ+α)+E)=2と変形される。
回転させればr^2(cos(2θ)+F)=Gとなる。
変形してr^(2cos^2θ+F-1)=Gだから2x^2 +(F-1)(x^2+y^2)=lであり楕円、直線、又は双曲線となる。
コンパクトなので楕円。
とかでどう?たしか大数はこんな感じの解説だった。 18年11月号の講評:
■出題1:レベル4(常連正解率98%)
小谷先生の出題。辺の長さが順に1,2,...,NとなるN角形の存在を問う問題。
必要条件N=8nを示すのは容易。
問題は十分条件だが、問題文に描かれている8角形の構成をそのまま一般のnに拡張すればよい。
辺が交差しないことを確認する方法は数通りある。
2点の座標を用いて交差条件を不等式で表すという愚直な方法を採れば、
高校数学でさんざんやったXY平面の領域問題に帰着する。
常連にとっては必要性も十分性も解答方針がすぐにピンと来る易問。
十分条件をエレガントに示す楽しみはあるかもしれない。
■出題2:レベル3(大学1年生の正解率95%以上)
岩I先生の出題。
本問は教科書から書き写してきたような一次変換の問題。
どうして本誌名物コーナーにこの問題を出そうと思ったか、理解に苦しむ。 確かにIMOは格式高いの。
マチアゼピッチ、ドリンフェルト、ラフォルク、ペレルマン、リチャードテイラー
ショア、皆、メダリストじゃあ。
最も格式高い、理論計算機、数論はメダリスト多し。
今回のフィールズ、ネバリンナはどうかの? 束の間の静けさ。
今日は、お伊勢参りしちょります。
週明けから、12月号と格闘。
英気を養うべし。 数学と 文学と 天文学あわせて、人文科系に新しい天文数学という分野を立ててみたい。 来月は京大ガロア祭の問題解説もあるようですね
楽しみです >>106
原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D'・cos(2θ+α) + E',
原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。
番外問題 焦点はOPmax の方向にある。 >>93
>エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続
正解者として名前が載った回の数セミは買って手元に置いておきたい、という読者心理を巧く掴んでいる気がしますね >>107
それがこの問題の模範解答でしょうね。
個人的には座標変換を記述するのに行列を使うか三角関数を使うかは非常にどうでもよく、従って>>108のような素っ気無いコメントになってしまいました。
たまに大学範囲の簡単な問題に対して「中高生でも分かるような解答」を要求する出題者が居ますが、ああいうのは苦手です。
三角関数を捏ねくり回すよりも、一次変換の基礎を書き下して本質を抉った方がよっぽど中高生のためになるんじゃないかと思ってしまいます。 とはいえ10月は忙しかったので問題が簡単で助かりました。
12月号が届くまでの間、束の間の雑談。
10月号の時弘先生の問題>>34が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。
「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。 皆さん、束の間の紅葉見物でしょうか?
福岡はまだですね。
北海道、東北は終了? >>122
関東の平地は来月頭にかけてピークですかね。
標高高めのところは今がピークか、終わりかけているところでしょう。
今年は時弘先生が10月号にずれてくれたので旅行の計画に余裕が生まれましたw 時弘先生の重量級は旅行シーズンは外してほしいですね。
私は応募しませんでした。
数の幾何学絡みの哲学的問いかけも含んだ深遠な問題待ってます。 >>125
まったくです。
岩沢先生も行楽シーズンは駄目です
問題が魅力的かつ難しいので。
時枝先生は問題出さないのかなー
とここを見ているかも知れない編集部の方に向けて呟いてみる 電子版、エレガント。まだ更新されとらんどす。
今月はupが遅れとります。 エレ解は難しすぎるから、大学への数学の宿題にチャレンジするわ 今月の1は、pを既知として良いか否かで違うが、前者だと3秒で解けるから後者なんだろうな。それでも
解を見つけるだけなら簡単。ただ、最適解を、ということならどうだろう。
2は、ちょっと面白そう。 >>128
宿題ですか。なつかしいですね。
問題教えてくれれば解いてみたいですけど。 コインはさておき、ジャンケンで決めるなんてのはどうだろう なんか期待値の最小値で評価するのすごい違和感あるな。
p がなんであっても大体この回数では決着がつく=期待値の最大値で評価したくなるけどな。 >問題 2 の答えは,いろいろと考えられるが,上記の期待値の最小値が小さいほど良いものとしよう.
この書き方はもしかして出題者側は持ってる答えの最小性の証明が出来てないのかな?
懸賞問題だから “最小性の証明はなくていい。投稿された答えの中で最小なのが勝ち” なのかな?
Aさんのルールより期待値の最小値が小さいやつはすぐ作れるけど、それが最小である自信は全くないや。 出題2ってwww
あかん、ネタバレになるから言えんwww >>136
p=0またはその極限だと永久に決まらないから、なかなか難しいかと。 あ、ホントだ。最小値にせざるを得ないのか。
平均値ってするとpの分布与えないとダメだし。
やむを得ないのか。
まぁ十分ムズイし。 問題文中にさらっと書いてあるけど、できるだけ公平になるようにするっていうのは暗黙の了解なのかな。
もっとも不公平でいいなら1回で終わるけど。 だろうね。
pがいかなる値であっても両者の勝つ確率は常に1/2
は暗黙の了解なんだろね。
受験で問題文にこの事明示してなかったら大問題だけど。
幾分エスパーしないといけない要素あるね。
最小性の証明が全くできる気がしない。orz 出題1、意外に難しい。すぐ思い付いた方法、全然公平じゃなかったわ。 出題1→あっさり解けてしまった。もしかしたら、出題意図に反した解答かもしれないが。
出題2→問2、3に悪戦苦闘中。 え?そんなにあっさりとける?
そのルールで期待値が最小値を取ることもあっさりしめせたの? そうそう。これ正面から解釈して本当に解ある?って疑い始めてるけど。
裏ワザ的解釈なら、とんでもない解があるが。 >>119
9月号出題の解答を貼っとく。
■出題1
2020 = 2×2×5×101
M = 5×10^226 -20 -3×10^223 -5×10^224
= 49469・・・(221コ)・・・980, (227ケタ)
* [前スレ.964] (228ケタ) は間違い。
2019 (素数)
M = 6×10^224 -1 -10^19 -10^223
= 589・・・(203コ)・・・989・・・(19コ)・・・9, (225ケタ)
2018 = 2×1009
M = 6×10^224 -2 -10^35 -10^204
= 59・・・(19コ)・・・989・・・(168コ)・・・989・・・(34コ)・・・98, (225ケタ)
■出題2
ラッキーナンバーが 0,3,5,7 のとき確実作戦が存在する。
その他 (1,2,4,6,8-14) のときは存在しない。 >>146
そう。裏技を用いると、意外な解が得られる。
果たして、それが許されるのか 自分なりのエスパー解釈。
表、裏の有限列SでSの通りに出る確率をP(S)、l(S)をその長さとしてそのようなSからなる集合A.Bで条件
S、T∈A∪B、S≠TならP(S∩T)=0、
Σ[S∈A]P(S)= Σ[S∈B]P(S)=1/2
を満たすものの中で
Σ[S∈A∪B]P(S)l(S)
の最小値を求めよ。
最小値があるのか知らんけど。 出題1分かったー。いや、これは面白い!
でも、平均回数が解析的に計算できる気がぜんぜんいしないぞ。 >>147
2019は素数ではない。
2019=3×673 >>150
例えば表裏表で勝負が付いた場合は、それより長い表裏表裏なんかは必ず同じグループに入れるなりカウントしないなどの措置が必要になる。
この辺りが面倒なんだよこの問題。 >>153
一個目の条件でオウオとオウオウのような背反でない事象はとらないようにしてる。
まぁ難しい。
これかな?と思い当たるのはあるんだけど最小性の証明ができてないからなぁ。
まぁできても応募する気なんぞサラサラないからいいんだけど。
しかしおそらく出題者は最小性の証明持ってるだろうし出来ないのなんかムカつくので熟考中。
問題文の文面ではとりあえず答えだけ合ってればいいみたいな事は書いてたけど、おそらく何人かは最小性の証明付きで応募してくるだろうね。 出題1の(2)って、
最小値1回ってありうるのかな。無論、公平な賭けを前提に。 それで題意にあった解答になってると思うならそれで投稿してみればよし。 >>155
そうならないように問題文で巧みにブロックされてるように見えるが、俺の想像の範囲外なら分からん。
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