【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
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>>32
> 皆数学少年じゃったのじゃよ。
そういえば広中先生も京大なんだよなぁ ……
SSS(新数学者集団)とかの話とか、なんか載ってる本とかない?
自分は東日本なんだけど、遠山さんが東大中退だったりするので、
いまいち「東京」って、狭苦しい感じがある。京都って、数学に
向いてる土地柄なのかもしれない、と思って興味があるんだよ。 >>35
そういえば阿部寛も数学少年だったらしいぞ(笑) ロシアの謎の高校生向け数学物理雑誌、Kvant、レベル高いで。
将来の数学者発掘が目的。ドリンフェルトも愛読??? >>38
いや、面白いのは分かるし、たぶん問題の意味もわかるだろうと
思う(数学は世界の共通言語だ)んだけど、
ロシア語とかハンガリー語とかで解答を書けって言われたら、
ちょっと退く部分はある。
まぁ、「やれ」と言われりゃ やらんでもないけど、
なんかしらコンピュータ言語とかに落としこんで
貰えれば、そのほうが楽なような気がする(笑)。 コテを付け忘れてた。コテなんて要らない気もするが
昔コテ付け忘れるなハゲとか罵倒されたので泣く泣く付けた
11月号はいったいどうしたことだ
出題1は文字通り30秒、頭の中だけで解ける難易度
出題2は一昔前の高校教科書の例題レベル
はっきり言おう、糞であると。
今月はp.40の数オリを解いて楽しめということか・・
というわけで数オリを解いているのですが、どれもこれもエレガントな良問ばかりですばらしい
解答もエレガントさ(センスの良さ)を要求しているところがまたすばらしい
易しくてもエレ解難易度6以上といったところ
数オリ開催日にオーバーエイジ枠を同時開催してくれたらいいのに
エレ解常連がチームを組んで戦うのです。萌えますね エレカも総問題数、1300問になる。
たまには、一休みも必要です。
末永く継続してもらわんといかんからな。
数学者の皆様。 フィールズメダリスト、ショルツ先生、IMO金メダリストらしいな。
その他のフィールズ受賞者、ネバリンナ受賞者はどうよ。
佐藤ーテイト予想のテイラーもイギリス代表らしい
量子素因数分解のショアもアメリカ代表らしい IMOはレベル高いのおーーー
谷山ー志村予想のテイラー先生も出場者だったのか。
ピーター ショアもそうらしい。 数学は実戦的だから、スポーツボケを、排除できる司令官に向くだろう。 賞をとれることは、戦果として賞金をもらえることだから。結果がよろしい。 賞やメダルが、主体的じゃない生き方がおすすめです。若い人は特に。 >>40
> はっきり言おう、糞であると。
いや、問題2はともかくも、
問題1は けっこう深いぞ?
あれ、じつは構文解析のアルゴリズムの
計算量とかと関連してくる。
単純に解だけ示すんなら、確かに
「文字通り30秒、頭の中だけで解ける難易度」では
あるのだが、「だったら、なんで自然数限定なのか?」
(べつに実数まで拡張しても問題はあるまい?)とか
「点で接している複数の N 角形を認めるかどうか?
その場合の『面積』を、どう定義するか?」とか、
考えどころは ありそうな気はする。それを考えた上で
「エレガントな解答」を出そうと思うと、
それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。 >>47
こんばんは。返信どうも
自分はあんまり研究とか発展とか考えずに喋っております
研究肌の方のコメントは深みがありますな
> (べつに実数まで拡張しても問題はあるまい?)とか
Motoさんだったらどのように実数へ拡張しますか?
> 点で接している複数の N 角形を認めるかどうか?
> その場合の『面積』を、どう定義するか?」とか、
面白いですね。それは考えなかったです
この問題を特にあたっては心配無用なので・・
> それを考えた上で
> 「エレガントな解答」を出そうと思うと、
> それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。
なんか30秒でそれなりにエレガントな解答ができちゃったので、もう今月は羽を伸ばして紅葉にでも行こうかとw
でもそれじゃ知的満足が得られないってんで数オリに手をだしたら問題が美しすぎてうっとり
エレ解もこうならんかなと >>48
> どのように実数へ拡張しますか?
いや、これは単なる例えとして言ってみただけで、
やっても面白くないと思う。
むしろ、出題者の小谷 善行さんは情報工学がご専門なので
有限組合せ問題として考えるのが本筋かな、と。
たとえば、任意の長方形 m × n があったとして、
それに内接する N 角形があったときの最大の N は
いくつかとか、その場合の面積はいくつかとか、
そのあたりの考え方の問題は面白いんじゃないかな、と。
ただ、それをやるとコンピュータによる力業になって
しまいそうなので、エレ解の趣旨から外れる。
問題自体は、もともとプログラミングのほうで
チェッカーボードを使ったパズルがあり、
それがパリティを利用しているので、
「あぁ、それだな」と思った。
それで、ちょっと発展させて、フラクタル図形
とかに向かう方向で、面白い性質が出てくるんじゃ
ないかな、と。あるいは、「1 × 1 の正方形を
辺で接続したときに、頂点の個数と面積と図形の
関係を考える」とか。 すまん。大事な条件を見落としていた。
問題1は「辺の長さが順に 1, 2, 3, … N」なんだな。
見た感じ、「魔円陣」(完全ゴロム環)の
バリエーションみたいな感じだ。
例示された図は
4+6=8+2=10
5+3=7+1=8
だ。Nが4以上の偶数だというのは確定だが、
N=4では解がないのので6以上。
で、8のときに解があるのも例で示されている。
エレガントに解こうとすると、けっこう手ごわいぞ、
これ。プログラム書いて数値実験で追っかけまわして
法則性を割り出す、とかやんないとダメかな? >>40
> 出題1は文字通り30秒、頭の中だけで解ける難易度
お互い恥をかいたので許そう(-_-!)。
早とちりはイカン、っちゅーこっちゃね。 >>33
「岡、NOTE をねらえ!」
判定の場(court。法廷。「テニスコート」の「コート」も
同義)では 誰でも 独り 独りきり
私の(数学への)愛も 私の苦しみも
数セミ読者しか わかってくれない
続きは誰か書いてくれ。 言っとくけど、うちの馬鹿(Mr.Moto)は三味線弾いてるっつーか、
「ヒントとか出しているようで、じつは引っ掛け」とかだから、
信用しないように。
「もっと困れ」(by 横井 庄一)じゃないけど、
「もっと苦しめ」という助言も上のほうから あったので、
せいぜい苦しんでくれ。 出題1
解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ…
>>53
「横井庄一のサバイバル極意書 〜 もっと困れ!」小学館 Be-pal books (1984/Jan)
181p.絶版 >>56
いや、奇数でないことを示すのが
意外に手ごわいっちゅーかキモっちゅーか。
合計が N (N + 1) / 2 なんで、「N または N + 1 の
どっちかが8の倍数」が必要条件なのは分かるが、
たとえば N = 7 のときの解がないことを
エレガントに示すのに手こずっている。
もう一点は、N が8の倍数のときに、必ず
N 角形が存在することの証明がどう示せるかだ。
16角形とかいうと、「後戻り」の可能性もあれば
辺が途中で交差してしまうケースも排除せんと
いかんだろうし。 >>57
「N角形になる」のであれば N個の頂点で曲がっているはず。(本問では垂直に) うむ。始点と終点のつながりを考えると、奇数だと明らかに不可。 >>59
うむ。確かに「明らか」なんだが、
それを「中学生にもわかる」ように
「示す」のがエレガンスだと思う。
数学マニアにとっての「明らか」さは、
必ずしも数学初心者にとっての
「明らか」さではないところが
悩みどころ。
整数論(というか、自然数論)の範囲内だと、
「古代バビロニア人にも説明できる」くらいまで
ガッチリ組まないと いかんと思う。 ・水平な辺
Σ→ + Σ← = 1 + 3 + … + (N-1) = NN/4,
Σ→ = Σ← (…閉じる)
∴ 8 | NN
∴ 4 | N
∴ N+2 ≡ 2 (mod 4)
・鉛直な辺
Σ↑ + Σ↓ = 2 + 4 + … + N = N(N+2)/4,
Σ↑ = Σ↓ = (偶数) (…閉じる)
∴ 16 | N(N+2)
∴ 8 | N
で、この後どうするか。 >>58 いいのかな?これくらいなら。
とりあえずN=8,12,16,…くらいで実際できるかできないかやってみるこってすな。
ヒントあるし。
しかし水平は偶数、垂直は奇数??? >>60
えっ、各頂点の角度が90度または270度の多角形が偶数角形なの、そんなに証明が難しいか? >>63
> そんなに証明が難しいか?
「エレガントな解答をもとむ」なんだから、
エレガンスを追求しろと言っている!
『数学セミナー』の創刊者は
遠山 啓先生なんだから、「テープ算」みたいな
「中学・高校生にも直観的に理解できるような
シェーマを提示する」っつーのが、
重要なんだよ。エレ解は、「正解すりゃあ入選」みたいな
甘いモンじゃねぇんだぞ? >>64
激しく同意
むしろ引っ掛けとか
誤誘導のほうが
マシ >>67
安心しろ。『スパイ大作戦』を知らない奴は
多いだろうが、『ミッション・インポッシブル』は
映画でシリーズ続行中だ。
つーか、朝方なにげなく TV をつけてると、
クインシー・ジョーンズの『アイアンサイド』とか
『ミッション・インポッシブル』が、BGM として
流れていたりするので「変わんねぇなぁ ……」と
思う。
まぁ、エレ解スレでするネタじゃねぇとは思うが。 1月号のICMレポが楽しみじゃあ。
各種賞受賞者の数オリ出場歴もたのみまっせ!! 以前「幻の0番法」という記事があったのですが
数列の和についての生地だったと思うのですが
どのような内容だったかご存知のかたいるすか? >>72
それ、「エレ数」だったかなぁ ……
共立出版の『bit』で出てきた
「生贄」の話のような気がする。
n = 1 から始まる数列に、
n = 0 の項を つけ加えて一般化するとか。
たとえば「1 から n までの和」だったら、
「0 から n までの和」としてもイコールだから、
「n ×(n + 1)」でいいとか。
「(n + 1)× 1」よりエレガントな
感じがしないか? ×「(n + 1)× 1」
〇「(n + 1)× n」
orz >>70
5拍子の曲いいね。
「メリーゴーラウンド」 {大木彩乃:「幻の魚」(1999)}, #2
http://www.youtube.com/watch?v=0BF4YPjDkZw
「スプリット」{大木彩乃:「屋上遊園地」(2000)}, #10
"Wind" {明星: "Stoned Town" (2002)}, #1
"Wind" {Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #1
http://www.youtube.com/watch?v=SaaRwKlcNaA
「ウタカタ」 {ジムノペディ:「今宵も、うたかた探し」(2004)}, #2
http://www.youtube.com/watch?v=W3GnrgBAwg0
「神様の舌打ち」{Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #13
http://www.youtube.com/watch?v=U_3jGtk4l6A
雅楽の夜多羅拍子も。楽典とは何ぞや?
スレ違いだが。 >>75
まったくのスレ違いだが、
デイヴ・ブルーベックの
“Take Five” を忘れてはいけない。 ごめん。今月号(二〇〇八年十一月号)の問題1に関してはパス。
うちの所長が、「パズル懇話会」の会合で小谷先生と二次会で
一緒だったので、結果的にヒントを貰っちゃったので
フェアではない、という話になった。
N ≡ 0 (mod 8) であろうことは、わりと証明が簡単だと
思うけれど(ぶっちゃけ、力業で なんとかなると思う)、
「N ≡ 0 (mod 8) のときに、常に解が存在するか?」を
“エレガント” に証明できるかどうかが問われているような
気がする。
ただし、あくまで「気がする」だけなんで、そこいらは
投稿した結果次第で判断してくれ (-_-) 一応解は作れたけど、ちゃんと(交わらない)多角形になってるのを証明するのが面倒だなぁ。 必要条件の導出のとこもそうだけど、
十分性のとこも腕の見せ所だねぇ。 >>79
「少なくとも、一個以上存在する」のを示せばいいんじゃね?
「魔円陣」みたいに、「あると思ったら解がなかった」
みたいな話を排除すりゃいいんだと思われ。 解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ… >>55 >>82
そうじゃない。
「解がない」ケースは排除できるんだが、
「解がありそうな」ケースにおいて、
具体的な解が あることを
証明できるか どうかが問題なんだ。 この中に大学への数学の宿題もやってる人いる?
また、どちらの方が難しい? 宿題コーナー:問題をネット公開してないから、田舎住んでるおいらには情報入手がねっく。
仕事忙しくて、休日も都会に出れない。
しかも、今、免停中。 ICMレポでは受賞者のIMO履歴レポも楽しみにしとります。 >>84
もちろん 数オリです。
[前スレ.543, 554, 566, 577] >>84
そんなこと訊かれちゃ KöMaL なぁ。
[前スレ.581, 592, 960-963] エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続。
数理科学の最新動向を気軽に入手するには必須の雑誌ですからね。
これからも期待してます。 ICM各種賞の受賞者のIMO出場歴には関心あり。
Hilbert 第10問題の解決者もIMO金メダリストらしい。
量子素因数分解のショアもメダリストらしい。
計算機科学とIMO(数論、組み合わせmainテーマ)は相性いいみたい。
今回のショルツの数論幾何、p進理論みたいだし。 11月号
■出題1
N=8n に限ることは容易に分かると思う。
例の図を見て最初に思いつくのは
1〜2n では ↓,←
2n+1〜6n では ↑,→
6n+1〜8n では ↓,←
というものだろう。
曲線 x = y - √|y| 上に
P_k (-k(k+1),-kk) k=0〜4n
曲線 x = y + √|y| 上に
Q_k(-k(k+1),-(k+1)^2) k=0〜4n-1
を取り、
P_0 - Q_0 - P_1 - Q_1 - … - P_4n を結ぶ。
* これらの曲線は、1本の放物線(軸: y=x-1/4)の2本の枝である。
このままでは閉じないから、P_nで180゚ 折り曲げ、さらに P_3n でも180゚折り曲げよう。
このとき P_n および P_3n の接線を横切るから、N角形は自身と交叉しない。
また P_4n は P_0 と重なる、つまり閉じる。
このN角形の面積は 4(11n+2)n^2
3曲線に囲まれた部分の面積は (4/3)n^3
P_k たちが作る4n角形の面積は (4/3)n^3 + (2/3)n,
らしい。 >>95
>
> N=8n に限ることは容易に分かると思う。
>
限らんやろ?
水平 : 1 6 12 と 3 5 11
垂直 : 2 8 10 と 4 7 9
にわけて
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
でいけるやん。 >>96
辺の長さが順に1〜Nになるって問題文の最初に書いてある。 今回はみんな問1に興味があるようだね。俺は解けなかったよ。問2だけ応募した。 >>99
順に、だよ。
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
は順になってない。 実をいうと自分もこの順にというのを見落としていて、だいぶたってから気づいた。
問題文に不備はないけど、これを考慮せずに応募した解答者が何人かは居るような気がする。 12月のエレガントな解答はどうかね。
年末楽しめるぞ。
IMOは格式高いみたいだな。
マチアゼビッチもメダリストなんか。 でもまぁ8n+4の場合が増えるだけで自由に並べていいなら十分性のチェックがやや楽になるからなぁ。
どっこいかも。 11月号
■出題2
x = a cosθ + b sinθ,
y = c cosθ + d sinθ,
ad-bc ≠ 0,
はxy-平面上の楕円である、を証明する問題
パラメータθを消去するのですが、
dx-by = (ad-bc)cosθ,
ay-cx = (ad-bc)sinθ,
からすぐに
(dx-by)/√(dd+bb) = u,
(ay-cx)/√(aa+cc) = v,
と置くのは良くない…
θをずらしてから消すのがミソ? >>106
2次曲線は楕円、放物線、双曲線に限るという事を認めてしまえば一瞬だけどそれを証明しなさいというやつなんだよね。
容易”、”自明”で済まされることも高校の教科書レベルで許されるまで下げないといけない。
その前提で楕円、双曲線の定義も “うまく座標をとればAx^2 + By^2 = 1の形になる。”として
x^2+y^2 = 1の像をAx^2+By^2+Cxy=1として
2(Ax^2+By^2+Cxy) = r^2((A-B)cos2θ+ Csin2θ+(A+B))=r^2(Dcos(2θ+α)+E)=2と変形される。
回転させればr^2(cos(2θ)+F)=Gとなる。
変形してr^(2cos^2θ+F-1)=Gだから2x^2 +(F-1)(x^2+y^2)=lであり楕円、直線、又は双曲線となる。
コンパクトなので楕円。
とかでどう?たしか大数はこんな感じの解説だった。 18年11月号の講評:
■出題1:レベル4(常連正解率98%)
小谷先生の出題。辺の長さが順に1,2,...,NとなるN角形の存在を問う問題。
必要条件N=8nを示すのは容易。
問題は十分条件だが、問題文に描かれている8角形の構成をそのまま一般のnに拡張すればよい。
辺が交差しないことを確認する方法は数通りある。
2点の座標を用いて交差条件を不等式で表すという愚直な方法を採れば、
高校数学でさんざんやったXY平面の領域問題に帰着する。
常連にとっては必要性も十分性も解答方針がすぐにピンと来る易問。
十分条件をエレガントに示す楽しみはあるかもしれない。
■出題2:レベル3(大学1年生の正解率95%以上)
岩I先生の出題。
本問は教科書から書き写してきたような一次変換の問題。
どうして本誌名物コーナーにこの問題を出そうと思ったか、理解に苦しむ。 確かにIMOは格式高いの。
マチアゼピッチ、ドリンフェルト、ラフォルク、ペレルマン、リチャードテイラー
ショア、皆、メダリストじゃあ。
最も格式高い、理論計算機、数論はメダリスト多し。
今回のフィールズ、ネバリンナはどうかの? 束の間の静けさ。
今日は、お伊勢参りしちょります。
週明けから、12月号と格闘。
英気を養うべし。 数学と 文学と 天文学あわせて、人文科系に新しい天文数学という分野を立ててみたい。 来月は京大ガロア祭の問題解説もあるようですね
楽しみです >>106
原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D'・cos(2θ+α) + E',
原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。
番外問題 焦点はOPmax の方向にある。 >>93
>エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続
正解者として名前が載った回の数セミは買って手元に置いておきたい、という読者心理を巧く掴んでいる気がしますね >>107
それがこの問題の模範解答でしょうね。
個人的には座標変換を記述するのに行列を使うか三角関数を使うかは非常にどうでもよく、従って>>108のような素っ気無いコメントになってしまいました。
たまに大学範囲の簡単な問題に対して「中高生でも分かるような解答」を要求する出題者が居ますが、ああいうのは苦手です。
三角関数を捏ねくり回すよりも、一次変換の基礎を書き下して本質を抉った方がよっぽど中高生のためになるんじゃないかと思ってしまいます。 とはいえ10月は忙しかったので問題が簡単で助かりました。
12月号が届くまでの間、束の間の雑談。
10月号の時弘先生の問題>>34が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。
「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。 皆さん、束の間の紅葉見物でしょうか?
福岡はまだですね。
北海道、東北は終了? >>122
関東の平地は来月頭にかけてピークですかね。
標高高めのところは今がピークか、終わりかけているところでしょう。
今年は時弘先生が10月号にずれてくれたので旅行の計画に余裕が生まれましたw 時弘先生の重量級は旅行シーズンは外してほしいですね。
私は応募しませんでした。
数の幾何学絡みの哲学的問いかけも含んだ深遠な問題待ってます。 >>125
まったくです。
岩沢先生も行楽シーズンは駄目です
問題が魅力的かつ難しいので。
時枝先生は問題出さないのかなー
とここを見ているかも知れない編集部の方に向けて呟いてみる 電子版、エレガント。まだ更新されとらんどす。
今月はupが遅れとります。 エレ解は難しすぎるから、大学への数学の宿題にチャレンジするわ 今月の1は、pを既知として良いか否かで違うが、前者だと3秒で解けるから後者なんだろうな。それでも
解を見つけるだけなら簡単。ただ、最適解を、ということならどうだろう。
2は、ちょっと面白そう。 >>128
宿題ですか。なつかしいですね。
問題教えてくれれば解いてみたいですけど。 コインはさておき、ジャンケンで決めるなんてのはどうだろう なんか期待値の最小値で評価するのすごい違和感あるな。
p がなんであっても大体この回数では決着がつく=期待値の最大値で評価したくなるけどな。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています